一元函数极限的求法
邯郸学院武安分院 贾书银
[摘要]：函数极限在数学分析中占有非常重要的地位，我们应该系统而全面地了解它。
掌握函数极限的定义、性质和求法。本文就着重讲述了求函数极限的11种方法。 [关键词]：两边夹定理 洛必达法则 等价无穷小量 泰勒展式
数学分析这一门课的研究对象是函数，主要研究函数的连续性、可微性和可积性。而研究函数的这些性质都要借助极限这一工具。例如:函数值的增量与自变量增量比值的极限就是函数的导数; 一元函数与小区间长度乘积的和式的极限是定积分; 二元函数与小矩形面积乘积的和式的极限是二重积分等等，总之, 和式的内容不一样, 所定义的名称也不一样。这些导数定义、积分定义都是由变量的极限脱胎而来的。可以说没有极限的概念，就没有数学分析。此外, 泛函分析和拓扑学等则是极限的发展和深化。既然函数的极限如此重要, 所以如何求出已知函数的极限, 就是学习微积分必须掌握的基本技能, 本文简述几种求函数极限的方法。
1、 利用连续函数的定义求极限
连续函数在某一点的函数值等于其极限值，即lim f (x )=f (x 0)
x →x 0
例1、lim 2sin x -cos x -x
x →
π
(
2
)
⎛π⎫- ⎪⎝2⎭
2
2
⎛ππ
解：lim 2(sin x -cos x -x )=2 sin -cos π 22x →
⎝2
2⎫⎛π2
=21-⎪⎪ 4⎭⎝
⎫
⎪ ⎭
评注：如果函数在某一点不连续，我们可以通过因式分解或分子、分母有理化进行约分，使原函数在这一点连续。 例2、
x →
解：x →4
4
=
==。 x →4
x →4
3
x 2-1
例3 、lim 2
x →12x -x -1
x 2-1(x -1)(x +1)=lim x +1=2
解：lim 2=lim
x →12x -x -1x →1x -12x +1x →12x +13
评注：如果无法通过约分化为连续函数的话，就要考虑其他方法了。比如换元法和洛必达法则等。
2、 利用变量代换即换元法求极限
例4、 l i a r c s i x n
x →0x
解：令t = arcsinx , 则 x=sint lim
arcsin x t 1
=lim =lim =1
x →0x →0sin t x →0sin t x
t
3、 利用洛必达法则求极限
例5、 lim
x →0x
⎰
x
cos t 2dt x
cos x 2
=lim =1
x →0x →0x 1
0∞
评注：洛必达法则主要解决和待定型的极限问题，但也不是所有的满足待定
0∞
⎰解: lim
cos t 2dt
型的函数的极限都用洛必达法则，这是因为有的不能用它求解，有的求起来比较麻烦，
这时候我们可以考虑适当的分组和替换求极限。 4、 恰当分组求极限
tan x -sin x
3x →0x
tan x -sin x sin x 11-cos x 1
lim 解：lim = = 32x →0x →0x x cos x x 2
例6、lim
5、 利用等价无穷小量替换求极限
当x →0时，有下列常用的几组等价无穷小量：
sin x ~x tan x ~x arctan x ~x arcsin x ~x ln (1+x )~x e x -1~x
x x 2αx
1-cos x ~ a -
1~x ln a 1~ (1+x )-1~αx
n 2
例7、 lim
x →0
x -⎰e t dt
x
2
x sin 2x
x t 20
2
解: lim
x →0
x -⎰e dt x sin 2x
2
=lim
x →0
x -⎰e t dt
x
2
2x 3
1-x 21-e x
-lim =lim ==
x →06x 2x →06x 26
2
1
2例8、lim
x →01+sin x ln 1+x 3sin x +x 2cos
112
3sin x +x cos 221lim 解：lim = lim =
x →01+sin x x →0x →01+sin x ln 1+x ln 1+x 3sin x +x 2cos
lim
1
lim
x →01+sin x x →0
3sin x +x 2cos
x
1
2= 3lim sin x +lim x cos 1=3
x →0x →0x x 2
6、 利用泰勒展式求极限
x 2x n
e =1+x ++ ++0(x n )
2! n !
x
x 3x 5x 2n +1n
sin x =x -++ +(-1)+0(x 2n +1)
3! 5! 2n +1!
2n x 2x 4n x
cos x =1-++ +(-1)+0(x 2n )
2! 4! 2n ! 2n +1
x 3x 5n x
arctan x =x -++ +(-1)+0(x 2n +1)
352n +1n x 2x 3n -1x
ln (1+x )=x -++
+(-1)+0(x n )
23n
x x 2n -1(2n -3)!! n
=1+-+ +(-1)x +0(x n )
282n !! x 例9、
x →0x 2
+0(x 2) 解： e =1+x +2!
x
x x 21++
c o =-
24!
x ) (0
2
x x 2
+
0x 2)
=1--(28
12
x +0(x 2)lim =-3 ∴x →0x →0⎛11⎫
- +⎪x 2+0(x 2)⎝824⎭
x
7、 利用重要极限和公式求极限
两类重要极限为：lim
sin x 1⎛⎫
=1 lim x sin =1⎪
x →0x x ⎝x →∞⎭
x
1
⎛⎫⎛1⎫
lim 1+⎪=e lim (1+x )x =e ⎪
x →∞
⎝x →0⎭⎝x ⎭
公式lim u (x )
x →∞
v (x )
x →∞
=⎡lim u (x )⎤⎣x →∞⎦
lim v (x )
1⎫⎛1
例10、 lim sin +cos ⎪
x →∞x x ⎭⎝
⎡⎛11⎫⎤2⎫21⎫⎛⎛1
解：lim sin +cos ⎪= lim ⎢ sin +cos ⎪⎥= lim 1+sin ⎪
x →∞x →∞x →∞x x ⎭⎥x ⎭x x ⎭⎝⎝⎢⎝⎣⎦
sin
1
⎡⎤2⎛⎫sin
=lim ⎢ 1+sin ⎪x ⎥x →∞⎢x ⎭⎥⎝⎣⎦
x 2x
x
x 2
x 2
x
=e =e
1
8、 利用两边夹定理求极限
例11、 lim
x →∞
[x ]
x
x ][x -1x -1[x ]x
lim =1≤≤=1，=1 解：当x>0而且所以由两边夹定理得lim x →∞x →+∞x x x x x
当x
[x ]=1 x -1x [x ]x -1
=1所以由两边夹定理得lim ≤≤，而且lim
x →-∞x →-∞x x x x x
x →∞
x ][综合以上结论得lim =1
x
9、 利用对数变换求极限
例12、 lim x +e
x →0
(
x
)
1
x
ln x +e x
解：lim x +e
x →0
(
x
)
1x
()
=lim e
x →0
x
=e x →0
lim
ln x +e x
x
()
lim
x →0
ln (x +e x )x
x
1+e x
=lim =2 x →0x +e x
∴lim (x +e
x →0
)
1x
=e 2
10、利用无穷小量的性质求极限
无穷小量和有界量的乘积还是无穷小量。
例13、 lim x sin
x →0
α
1
=0 (α>0) x
11、利用积分中值定理求极限 例14、lim ⎰
x →0
10
1
2
xt +1
解：由积分中值定理可得
⎰
1
11=(0
xt +1x ξ+1
lim ⎰
x →0
1
11
==1 lim
x →0x ξ2+1xt 2+1
一元函数极限的求法
邯郸学院武安分院 贾书银
[摘要]：函数极限在数学分析中占有非常重要的地位，我们应该系统而全面地了解它。
掌握函数极限的定义、性质和求法。本文就着重讲述了求函数极限的11种方法。 [关键词]：两边夹定理 洛必达法则 等价无穷小量 泰勒展式
数学分析这一门课的研究对象是函数，主要研究函数的连续性、可微性和可积性。而研究函数的这些性质都要借助极限这一工具。例如:函数值的增量与自变量增量比值的极限就是函数的导数; 一元函数与小区间长度乘积的和式的极限是定积分; 二元函数与小矩形面积乘积的和式的极限是二重积分等等，总之, 和式的内容不一样, 所定义的名称也不一样。这些导数定义、积分定义都是由变量的极限脱胎而来的。可以说没有极限的概念，就没有数学分析。此外, 泛函分析和拓扑学等则是极限的发展和深化。既然函数的极限如此重要, 所以如何求出已知函数的极限, 就是学习微积分必须掌握的基本技能, 本文简述几种求函数极限的方法。
1、 利用连续函数的定义求极限
连续函数在某一点的函数值等于其极限值，即lim f (x )=f (x 0)
x →x 0
例1、lim 2sin x -cos x -x
x →
π
(
2
)
⎛π⎫- ⎪⎝2⎭
2
2
⎛ππ
解：lim 2(sin x -cos x -x )=2 sin -cos π 22x →
⎝2
2⎫⎛π2
=21-⎪⎪ 4⎭⎝
⎫
⎪ ⎭
评注：如果函数在某一点不连续，我们可以通过因式分解或分子、分母有理化进行约分，使原函数在这一点连续。 例2、
x →
解：x →4
4
=
==。 x →4
x →4
3
x 2-1
例3 、lim 2
x →12x -x -1
x 2-1(x -1)(x +1)=lim x +1=2
解：lim 2=lim
x →12x -x -1x →1x -12x +1x →12x +13
评注：如果无法通过约分化为连续函数的话，就要考虑其他方法了。比如换元法和洛必达法则等。
2、 利用变量代换即换元法求极限
例4、 l i a r c s i x n
x →0x
解：令t = arcsinx , 则 x=sint lim
arcsin x t 1
=lim =lim =1
x →0x →0sin t x →0sin t x
t
3、 利用洛必达法则求极限
例5、 lim
x →0x
⎰
x
cos t 2dt x
cos x 2
=lim =1
x →0x →0x 1
0∞
评注：洛必达法则主要解决和待定型的极限问题，但也不是所有的满足待定
0∞
⎰解: lim
cos t 2dt
型的函数的极限都用洛必达法则，这是因为有的不能用它求解，有的求起来比较麻烦，
这时候我们可以考虑适当的分组和替换求极限。 4、 恰当分组求极限
tan x -sin x
3x →0x
tan x -sin x sin x 11-cos x 1
lim 解：lim = = 32x →0x →0x x cos x x 2
例6、lim
5、 利用等价无穷小量替换求极限
当x →0时，有下列常用的几组等价无穷小量：
sin x ~x tan x ~x arctan x ~x arcsin x ~x ln (1+x )~x e x -1~x
x x 2αx
1-cos x ~ a -
1~x ln a 1~ (1+x )-1~αx
n 2
例7、 lim
x →0
x -⎰e t dt
x
2
x sin 2x
x t 20
2
解: lim
x →0
x -⎰e dt x sin 2x
2
=lim
x →0
x -⎰e t dt
x
2
2x 3
1-x 21-e x
-lim =lim ==
x →06x 2x →06x 26
2
1
2例8、lim
x →01+sin x ln 1+x 3sin x +x 2cos
112
3sin x +x cos 221lim 解：lim = lim =
x →01+sin x x →0x →01+sin x ln 1+x ln 1+x 3sin x +x 2cos
lim
1
lim
x →01+sin x x →0
3sin x +x 2cos
x
1
2= 3lim sin x +lim x cos 1=3
x →0x →0x x 2
6、 利用泰勒展式求极限
x 2x n
e =1+x ++ ++0(x n )
2! n !
x
x 3x 5x 2n +1n
sin x =x -++ +(-1)+0(x 2n +1)
3! 5! 2n +1!
2n x 2x 4n x
cos x =1-++ +(-1)+0(x 2n )
2! 4! 2n ! 2n +1
x 3x 5n x
arctan x =x -++ +(-1)+0(x 2n +1)
352n +1n x 2x 3n -1x
ln (1+x )=x -++
+(-1)+0(x n )
23n
x x 2n -1(2n -3)!! n
=1+-+ +(-1)x +0(x n )
282n !! x 例9、
x →0x 2
+0(x 2) 解： e =1+x +2!
x
x x 21++
c o =-
24!
x ) (0
2
x x 2
+
0x 2)
=1--(28
12
x +0(x 2)lim =-3 ∴x →0x →0⎛11⎫
- +⎪x 2+0(x 2)⎝824⎭
x
7、 利用重要极限和公式求极限
两类重要极限为：lim
sin x 1⎛⎫
=1 lim x sin =1⎪
x →0x x ⎝x →∞⎭
x
1
⎛⎫⎛1⎫
lim 1+⎪=e lim (1+x )x =e ⎪
x →∞
⎝x →0⎭⎝x ⎭
公式lim u (x )
x →∞
v (x )
x →∞
=⎡lim u (x )⎤⎣x →∞⎦
lim v (x )
1⎫⎛1
例10、 lim sin +cos ⎪
x →∞x x ⎭⎝
⎡⎛11⎫⎤2⎫21⎫⎛⎛1
解：lim sin +cos ⎪= lim ⎢ sin +cos ⎪⎥= lim 1+sin ⎪
x →∞x →∞x →∞x x ⎭⎥x ⎭x x ⎭⎝⎝⎢⎝⎣⎦
sin
1
⎡⎤2⎛⎫sin
=lim ⎢ 1+sin ⎪x ⎥x →∞⎢x ⎭⎥⎝⎣⎦
x 2x
x
x 2
x 2
x
=e =e
1
8、 利用两边夹定理求极限
例11、 lim
x →∞
[x ]
x
x ][x -1x -1[x ]x
lim =1≤≤=1，=1 解：当x>0而且所以由两边夹定理得lim x →∞x →+∞x x x x x
当x
[x ]=1 x -1x [x ]x -1
=1所以由两边夹定理得lim ≤≤，而且lim
x →-∞x →-∞x x x x x
x →∞
x ][综合以上结论得lim =1
x
9、 利用对数变换求极限
例12、 lim x +e
x →0
(
x
)
1
x
ln x +e x
解：lim x +e
x →0
(
x
)
1x
()
=lim e
x →0
x
=e x →0
lim
ln x +e x
x
()
lim
x →0
ln (x +e x )x
x
1+e x
=lim =2 x →0x +e x
∴lim (x +e
x →0
)
1x
=e 2
10、利用无穷小量的性质求极限
无穷小量和有界量的乘积还是无穷小量。
例13、 lim x sin
x →0
α
1
=0 (α>0) x
11、利用积分中值定理求极限 例14、lim ⎰
x →0
10
1
2
xt +1
解：由积分中值定理可得
⎰
1
11=(0
xt +1x ξ+1
lim ⎰
x →0
1
11
==1 lim
x →0x ξ2+1xt 2+1