第1章 信号与系统的基本概念
1.1 信号与系统的定义
1.1.1 信号的定义
人类社会活动离不开信息的传递。从古代的狼烟报警、近代的电报、电话、无线电广播与电视，直到现代的国际互联网、移动通信，其目的都是要把某些信息借助一定形式的信号传递给对方。因而我们第一个要回答的问题是：“什么是信号？”我们所说的“信号”是指任何传送某种信息的物理现象，例如：人声、鼓声、手语、电码等等。在通信技术中，一般将文字、图片、声音或数据等统称为消息（message ），消息中包含的有意义的或有实质性的内容称为信息（information ），而信息必须借助一定形式的信号(signal)（电信号、光信号、微波等），才能远距离地传输和进行处理。因此概括起来讲，信号是信息、消息的载体，信息、消息是信号的内涵，信息是消息中有意义的或实质性的内容。噪声有时也被称作随机信号，尽管它不是携带有用信息的信号。
信号具有时间特性、频率特性、能量特性和信息特性。具体讲，确定信号的变化速率、幅度大小、持续时间长短以及随时间变化的规律反映了时间特性。在一定条件下，一个复杂信号可以分解成许多不同频率成分的正弦分量的线性组合，则体现了信号的频率特性。任何信号通过系统时都伴随着能量或功率的传输，表明信号具有能量和功率特性。
1.1.2 系统的定义
信号总是由系统进行处理或在系统中传递。当一个或多个激励信号作用到系统的一个或多个系统输入端时，系统就会在输出端产生一个或多个响应信号。如图1. 1描述的是一个单输入单输出的简单系统。图1. 2描述了一个通信系统的模型，发送设备、信道和接收设备各自都是系统，同时它们是整个系统的组成部分或者子系统。所以，系统是由若干个相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。在“信号与系统”中我们将系统定义为：实现信号的传输、交换和处理的实体。
系统涵盖的内容非常丰富。比如：工业过程控制系统、汽车中的点火和燃油泵送控制系统、天气预报系统、市政管理系统、股票分析系统等等。它们都会对激励做出响应。有些系统
可以进行详细的描述，有些系统只能做近似的分析，还有一些系统复杂得我们不知道如何去理解和控制它们。
系统的基本特性包括：线性与非线性特性、时不变与时变特性、因果与非因果特性和稳定与非稳定特性等。本书中，我们主要讨论的是线性时不变系统LTI （ Linear Time Invariant ）。
1.2 信号的分类与数学描述
按照信号不同的物理属性、用途、数学特征，信号存在多种不同的分类方法。例如，按其物理属性，可分为光信号、电信号、声信号等；按照不同的用途，可分为雷达信号、电视信号、通信信号、遥控遥测信号等；按照数学对称性，可分为奇信号、偶信号、非对称信号等；从能量角度出发，可分为功率信号与能量信号，如此等等。下述4种分类方法，在信号与系统分析中最常用到。
1.2.1 确定信号和随机信号 ( Determinate signal and Random signal )
若信号可以用确定的图形、曲线或函数式来准确描述时，这种信号称为确定信号；反之，不能被准确预测且不能由任何数学函数描述的信号，称为随机信号。
随机信号既然是一种客观存在的信号，加之确定信号在传输过程中，也必定会受到各种具有随机特性的干扰和噪声的影响。因此对随机信号经系统传输、处理的研究也是十分重要的问题。在通信中，随机信号被称为噪声信号，通常运用概率统计的方法进行研究。
1.2.2 连续信号和离散信号 ( Continuous signal and Discrete signal )
连续信号，也叫连续时间信号f (t ) ，是指在某一时间段内，其每个瞬间值都有确定值的信号，其波形如图1. 3(a ) 所示。离散信号，也叫离散时间信号f [k ]，指仅在某些不连续点上有定义，而在其它时刻没有定义的信号。其波形如图1. 3(b ) 所示。
连续信号f (t ) 在具体时刻t 的函数值也可以不连续。如图1. 4中的f 1(t ) 和f 2(t ) 。
αt
⎧⎪Ae f 1(t ) =⎨βt
⎪⎩Be
-
+
t 0t >0，β
显然，f 1(0) =A ，f 1(0) =B ，f 1(0) 没有定义。
⎧1f 2(t ) =⎨
⎩0
0
t 4
，t =2，t =4处有不连续点，一般可以不定义不连续点处的函信号f 2(t ) 在t =0，t =1
数值。
离散信号f [k ]也称为序列，其数学表示式可以写成闭合形式，也可以逐一列出f [k ]的值。图1. 5中的信号即为离散信号。
⎧⎪⎪⎪⎪f 1[k ]=⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
024121
k
⎧0
f 2[k ]=⎨-αk
⎩e
k 0
上述表达式中，f 1[k ]列出了各点的值，f 2[k ]为单边指数序列，以代数形式表示。 1.2.3 周期信号和非周期信号 ( Periodic signal and Aperiodic signal ) 无始无终地重复着某种变化规律的信号称为周期信号，因此其函数表达式一定具有如下关系式。
⑴连续时间周期信号
一个连续信号f (t ) ，若对所有的t 均有f (t ) =f (t +mT ) =
m =-∞
∑f
∞
(t -mT ) ，
T 为满足上式的最小正整数，m =0，±1，±2，, ，则称f (t ) 为连续时间周期信号，称作f (t )
的周期。
⑵离散时间周期信号（序列）
一个离散信号f [k ]，若对所有的k 均有f [k ]=f [k +mN ]=
m =-∞
∑f [k -mN ]，
∞
m =0，±1，±2， ，则称f [k ]为离散时间周期信号，N 为满足上式的最小正整数，称作
f [k ]的周期。
f 0(t ) 、f 0[k ]则是它们在第一个周期（即[0，T ]及0~N -1范围内）的变化过程，而
且每经过一个整周期T 、N 后，该过程又再次重复。图1. 6是两个周期信号的例子。
⎧1
⎪t
图(a ) 中连续周期信号周期T =3，在[0, 3) 内 f 0(t ) =⎨3
⎪⎩0⎧1⎪k
图(b ) 中离散周期序列周期N =3，在[0, 3]内 f 0[k ]=⎨3
⎪⎩0
0≤t
0≤k
由于周期信号具有重复再现的规律，只要知道了一个周期内的变化过程，其他任何时间的情况也就完全知道。因此，就传送消息而言，周期信号是最不经济的，但是由于它具有重复的规律，便于数学分析，加之大多数确定信号都可以分解为无数周期（正弦）信号的叠加，因而在“信号与系统”分析中，占有特殊的、重要的地位。
如果两个（或两个以上）周期信号f 1(t ) 和f 2(t ) 的周期具有公倍数，则它们的和（或差）仍然是周期信号，即f (t ) =f 1(t ) +f 2(t ) 是周期信号，且f (t ) 的周期是f 1(t ) 与f 2(t ) 的周期的最小公倍数。
假如函数表达式cos ω1t +cos ω2t 的信号是一个基本周期为T 的周期信号，则它必定能够求得两个没有整数公因子的正整数m 和n ，使得ω1T =2πm 和ω2T =2πn ,只要判定
ω1:ω2=m :n 成立，cos ω1t +cos ω2t 便为周期信号，周期为T =
2πm
ω1
=
2πn
ω2
。
离散信号同理。如果cos ω1k +cos ω2k 的信号是一个基本周期为N 的周期信号，则周期
N =
2πm
ω1
=
2πn
ω2
，N 为某正整数。
【例1-1】 试判断下列信号是否是周期信号？若是，试求出周期T 。
⑴f (t ) =sin 3t +cos 2t ⑵f (t ) =sin 5t +sin πt
⑶f (t ) =A sin t ⎪+B cos t ⎪+C sin t ⎪ ⑷f [k ]=sin 2k ⑸f [k ]=sin
⎛1⎫⎝2⎭⎛1⎫⎝3⎭⎛1⎫⎝5⎭
k πk π+2cos 53
⑹f [k ]=e j 0. 2πk +e j 0. 3πk 解
⑴f (t ) =sin 3t +cos 2t
ω1:ω2=3:2 T =
⑵f (t ) =sin 5t +sin πt
2π⋅32π⋅2
==2π 32
ω1:ω2=5:π 无整数公因子，不是周期信号 ⑶f (t ) =A sin t ⎪+B cos t ⎪+C sin t ⎪
⎛1⎫
⎝2⎭⎛1⎫⎝3⎭⎛1⎫⎝5⎭
ω1:ω2:ω3=
1112π⋅152π⋅102π⋅6::=15:10:6 T ====60π
235
⑷f [k ]=sin 2k 因为ω0=2 ，⑸f [k ]=sin
2π
ω0
=π为无理数，所以该序列不是周期序列
k πk π
+2cos 53
因为ω1:ω2=
ππ
53:
=3:5，所以N =
2π⋅3
=
2π⋅5
=30
⑹f [k ]=e
j 0. 2πk
+e j 0. 3πk
2π⋅22π⋅3
==20 0. 2π0. 3π
2
因为ω1:ω2=0. 2π:0. 3π=2:3，所以N =
1.2.4 能量信号和功率信号 ( Energy signal and Power signal )
设信号电压或电流为连续信号f (t ) ，则它在1Ω电阻上的瞬时功率p (t ) =f (t ) ，在时
T
间间隔-T ≤t ≤T 内消耗的能量为E =
-T
⎰
f (t ) dt 。由此可以定义：
2
T
当T →∞时，总能量为： E =
lim ⎰lim
T →∞
f (t ) dt （1-1）
T
2
T →∞-T
平均功率为： P =
12T
-T ∞
⎰
f (t ) dt （1-2）
2
2
同理 离散非周期信号f [k ]的能量E 为： E =
k =-∞
∑
f [k ] （1-3）
N -1
1
离散周期信号f [k ]平均功率P 为： P =
N
k =-N
∑
f [k ] （1-4）
2
⑴ 当总能量E 为有限值而平均功率P =0，即0
② 属于功率信号的非周期信号是|t |→∞时仍为有限值的信号。 ③ 有些既不是功率信号又不是能量信号。
【例1-2】 下列信号哪些是能量信号，能量为多少？哪些是功率信号，功率为多少？ ⑴f (t ) =e
-2|t |
⑵f (t ) =e
k
-2t
⎛1⎫⑶f [k ]= ⎪
⎝2⎭
解 ⑴f (t ) =e
-2|t |
⎛k π⎫
k ≥0 ⑷f [k ]=6cos ⎪
⎝2⎭
E =lim
T →∞
⎰
T
-T
(e -2|t |) 2dt =2lim
T →∞
⎰
T
e -4t dt =12T
T
1 2
P =lim
T →∞
12T
⎰
T
-T
(e
-2|t |2
) dt =2lim
T →∞
⎰
e -4t dt =0
1 2
所以 e
-2|t |
为非周期脉冲、能量信号，能量E =
属于能量信号的非周期信号称为脉冲信号。 ⑵f (t ) =e -2t
E =lim
T →∞
1-4T -2t 24T
(e ) dt =-[e -e ]=∞ lim ⎰-T
4T →∞
T
P =lim
T →∞-2t
1
2T
⎰
T
-T
(e
-2t
) dt =lim
2
T →∞
e 4T -e -4T e 4T 4e 4T
=lim =lim =∞
8T 8T →∞8T T →∞
所以e
既非能量信号又非功率信号。
k
⎛1⎫
⑶f [k ]= ⎪
⎝2⎭E =
k ≥0
∞
k 2
k =-∞
∑
∞
⎛1⎫
f [k ]=∑ ⎪
k =-∞⎝2⎭
2⎛1⎫=∑ ⎪k =0⎝2⎭
∞
2k
=1+
11++ =2422
11-1
4
=
4 3
4⎛1⎫
所以 ⎪为能量信号，能量E =
3⎝2⎭
⑷f [k ]=6cos
k
⎛k π⎫
⎪ 2⎝⎭
⎛k π⎫
⎪是周期信号，所以能量E =0。 ⎝2⎭
因为f [k ]=6cos
其周期N =4，一个周期内|f [k ]|的值为|6060|n =0, 1, 2, 3。
1312
P =∑f [k ]=(62+62) =18
4k =04
1.2.5 因果信号和时限信号( Causal signal and Time-limited signal )
习惯上，常将自变量t ，k 叫连续时间变量和离散时间变量，而把不同时间区间存在的信号分别称为因果信号、反因果信号、有始信号、有终信号、时限信号及无时限信号等等。
⑴f 1(t ) 、f 1[k ]称为有始（连续、离散）信号。如图1. 8(a )
⎧f 1(t )
f 1(t ) =⎨
⎩0⎧f 1[k ]
f 1[k ]=⎨t
t >t 1k ≥k 1k
如果t 1, k 1为零，则称为因果（连续、离散）信号。 ⑵f 2(t ) 、f 2[k ]称为有终信号。如图1. 8(b )
⎧0
f 2(t ) =⎨
⎩f 2(t )
t >t 2
⎧0
f 2[k ]=⎨t
k ≥k 2k
如果t 2, k 2为零，则称为反因果（连续、离散）信号。 ⑶f 3(t ) 、f 3[k ]称为时限（连续、离散）信号。如图1. 8(c )
⎧f 3(t )
f 3(t ) =⎨
⎩0⎧f 3[k ]
f 3[k ]=⎨
t t 2⎩0
t 1k 2
而把在t ∈(-∞，∞) ，k ∈(-∞，∞) 都有取值的信号f 4(t ) 、f 4[k ]叫无时限（连续、离散）信号。如图1. 8(d
)
1.3 信号的基本运算
1.3.1 常用信号
⑴ 斜变信号 f (t ) =At +B 、f [k ]=Ak +B
其中，A 称为斜变信号的斜率；B 是信号在t =0，k =0时的值，称为截距。图1. 9画出了两个斜变信号的例子，其中(a ) 是有始连续信号，(b ) 是因果离散信号（其中B =1 ，
A =1）。
⑵ 门信号 f (t ) =P 2N +1[k ] τ(t ) ，f [k ]=P
门信号用英文字母P 来标记，下角标τ，2N +1特指门信号的宽度。即
⎧1
⎪
P τ(t ) =⎨
0⎪⎩
|t |τ
P 2N +1[k ]=⎨
⎧1
⎩0
|k |≤N
|k |>N
门信号属于时限信号。图1. 10画出了信号的波形。
⑶ 正（余）弦信号 f (t ) =A sin(ωt +φ) ， f [k ]=A sin(Ωk +φ)
正（余）弦信号中，A 为振幅，ω、Ω称为（角）频率，φ为初始相角。通常，t 的量纲
是秒，k 无量纲，φ的量纲是弧度，ω的量纲是弧度／秒，Ω的量纲则为弧度。
连续正(余) 弦信号中，ω=2πf ，f 称为频率（Hz — 赫兹），T =
1
称为周期f
（T =
2π
ω
），即波形重复出现的最短时间（秒）。T 与ω成反比，ω愈高、T 愈小。图1. 11画
出了两个不同角频率的连续正弦信号波形。
离散正（余）弦信号中，由于自变量k 为整数，所以并非任何sin Ωk 都是周期信号，Ω虽然也习惯上称为（角）频率，但其量纲则为弧度，也并不是Ω愈大，（角）频率愈高，更谈不上其周期N 愈小。离散正（余）弦信号的这一特点，造成了离散信号频谱与离散系统频率响应特性的特殊性，我们将在以后详细讨论。
⑷ 无时限指数信号Ae ，A (υ)
无时限指数信号在“信号与系统”中占重要地位。
s τ
k
d st 1st
由于(e ) =se ，⎰(e s τ) d τ=e st 以及A (υ) k =A (e λk ) ，因此无时限指数函数乃是
dt s -∞
物理可实现的线性时不变系统的特征函数。根据指数s 的取值不同，无时限指数连续信号又可细分为实指数信号、虚指数信号及复指数信号。 ① 实指数信号f (t ) =Ae
σt
t
Ae σt 的波形如图1. 12所示，图(a ) 为σ0的情况。
σt
注意，当σ=0时，f (t ) =Ae =A 是一个直流信号。
② 虚指数信号f (t ) =Ae j ωt
由尤拉公式，Ae j ωt =A cos ωt +jA sin ωt , 可见，虚指数信号Ae 实部与虚部分别是一个余弦、正弦信号。
③ 复指数信号(Complex exponential signal)f (t ) =Ae
显然，Ae
(σ+j ω) t
(σ+j ω) t
j ωt
是一个复信号，其
=Ae σt cos ωt +jAe σt sin ωt 也是一个复信号，其实部与虚部分别是一
个幅度按实指数规律变化的余弦、正弦信号。其中σ称为衰减因子，ω称为振荡（角）频率。当σ0时，其包络幅度随时间t 的增大而增大。图1. 13画出了Ae
(σ+j ω) t
在σ0时的实部波形。
⑸ 取样函数（信号）Sa (t )
取样函数（信号）f (t ) =Sa (t ) ∆
sin t
，其图形如图1. 14所示，它具有振荡的波形，其t
振幅按的规律衰减。根据Sa (t ) 函数的定义可以得到以下重要结论：
①Sa (t ) 函数是偶函数；
② 在t =k π(k =1,2,3 ) 处，Sa (t ) =0；
1t
③ t =k π(k ≠0) 时，Sa (t ) 相邻两个过零点之间距离相等，为π。
Sa (t ) 函数还具有如下性质：⎰Sa (
t ) dt =π
-∞
+∞
1.3.2 连续信号的运算
连续信号的基本运算包括信号的相加和相乘，信号的反转、平移和尺度变换，连续信号的微分、积分等。
① 加法：两个信号在同一瞬间的值相加就等于和信号在该瞬间的值。 ② 乘法：两个信号在同一瞬间的值相乘就等于积信号在该瞬间的值。
③ 反转（折叠）：将信号f (t ) 表达式以及定义域中的所有自变量t 换成-t 。从波形上看，
f (-t ) 的波形是f (t ) 波形相对于纵轴的镜象。
④ 平移：将信号f (t ) 表达式以及定义域中的所有自变量t 换成t ±t 0。从波形上看，
f (t ±t 0) 的波形是f (t ) 波形相对于横轴的左右移动。
⑤ 尺度变换：将信号f (t ) 表达式以及定义域中的所有自变量t 换成at 。其中a 为常数，称为尺度变换系数。从波形上看，当a >1，f (at ) 的波形是f (t ) 波形以原点(t =0) 为基准，沿时间轴压缩至原来的
11
；当0
f (at ) 的波形把f (t ) 波形折叠并压缩或扩展至原来的
1
。 |a |
df (t )
。从波形上看，表示信号dt
⑥ 微分：将信号f (t ) 求一阶导数，得微分信号f ' (t ) =值随时间变化的变化率。
t
⑦ 积分：将信号f (t ) 在区间(-∞, t ]内积分，得积分信号f
(-1)
(t ) =
-∞
⎰f (τ) d τ。从波形
上看，表示信号在任意时刻t 的值为从-∞到t 区间，f (t ) 与时间轴所包围的面积。
图1. 15给出了f (t ) 的变换图形。
1.3.3 离散信号的运算（加、乘、平移、反转、尺度变换、差分与累加）
离散信号的基本运算包括信号的相加和相乘，信号的反转、平移和尺度变换，以及离散信号的差分、迭分等。
① 加法：两个信号在同一瞬间的值相加就等于和信号在该瞬间的值。 ② 乘法：两个信号在同一瞬间的值相乘就等于积信号在该瞬间的值。
③ 反转（折叠）：将信号f [k ]表达式以及定义域中的所有自变量k 换成-k 。从波形上看，f [-k ]的波形是f [k ]波形相对于纵轴的镜象。
④ 平移：将信号f [k ]表达式以及定义域中的所有自变量k 换成k ±k 0。从波形上看，
f [k ±k 0]的波形是f [k ]波形相对于横轴的左右移动。
⑤ 尺度变换：离散信号f [k ]的尺度变换与连续信号f (t ) 的尺度变换完全不同。f [ak ]只有在ak 为整数时才有确定值。从波形上看，当a >1，f [ak ]的波形是对f [k ]波形进行a 倍
的抽取；当0
⑥ 差分：离散信号f [k ]的前向差分定义为∆f [k ]=f [k +1]-f [k ]，后向差分定义为
∇f [k ]=f [k ]-f [k -1]，与连续信号f (t ) 的一阶导数类似。
二阶差分定义为：∆2f [k ]=∆{∆f [k ]}=f [k +2]-2f [k +1]+f [k ]
∇2f [k ]=∇{∇f [k ]}=f [k ]-2f [k -1]+f [k +2]
n 阶差分表示为∆n f [k ]=∆{∆n -1f [k ]}或∇n f [k ]=∇{∇n -1f [k ]}
⑦ 迭分：也称积分和。与连续信号信号f [k ]的积分对应。定义为
-1
f [k ]=
n =-∞
∑f [n ]。
k
图1. 16给出了离散信号平移、反转、比例变换的波形。
1.4 阶跃信号和冲激信号
阶跃信号和冲激信号不同于普通的信号，称为奇异信号。是指信号本身具有不连续点，或
其导数、积分具有不连续点的信号。奇异信号在信号理论中具有重要作用，能为信号与系统分析带来很多方便。
1.4.1 阶跃信号ε(t ) 、ε[k ] 连续和离散单位阶跃信号定义为
ε(t ) =⎨
⎧1t >0⎧1
ε[k ]=⎨k ≥0
（1-5） ⎩0t
k
显然，阶跃信号属于因果信号，如图1. 17画出了它们的波形。
如果ε(t ) 越变点发生在t =t 0时刻，则记作ε(t -t 0) ，定义为
ε(t -t 0) =⎨
⎧1t >t 0⎩0
t
如果ε[k ]越变点发生在k =k 0时刻，则记作ε[k -k 0]，定义为
ε[k -k k ≥k 00]=⎨
⎧1⎩0
k
对于复合函数形式的阶跃信号ε[f (t )]，定义为：ε[f (t )]=⎨⎧1f (t ) >0
⎩0
f (t )
例如ε(sint ) ，波形如1. 18。
（1-6）
（1-7）
任何实际的物理信号总有一个起始时间，如果把其起始时间定为时间轴的零点，则任何实际的物理信号都可以表示为一个因果信号。任何一个非因果信号f (t ) 、f [k ]都可以通过与单位阶跃信号相乘来变成因果信号f (t ) ε(t ) 、f [k ]ε[k ]。
1.4.2 冲激信号（序列）δ(t ) 、δ[k ] 单位冲激信号（序列）的工程定义
0t ≠0
δ(t ) =⎧⎪⎨k ≠0
+∞
δ(t ) dt =t =0 δ[k ]=⎧⎨0
⎪⎩⎰-∞
1⎩1
k =0
如果δ(t ) 发生在t =t 0时刻，则记作δ(t -t 0) ，定义为
t ≠t δ⎧(t -t ⎪
000) =⎨+∞
⎪⎩⎰-∞
δ(t -t 0) dt =1t =t 0
如果δ[k ]发生在k =k 0时刻，则记作δ[k -k 0]，定义为
δ[k -k 0]=⎨
⎧0k ≠k 0⎩1
k =k 0
1.4.3 冲激信号的性质 ⑴ 取样性
若f (t ) 为在t =0处连续的有界函数，则
f (t ) δ(t ) =f (0) δ(t ) ⎰+∞
-∞
f (t ) δ(t ) dt =f (0) 同理 f (t ) δ(t -t 0) =f (t 0) δ(t -t 0)
⎰
+∞
-∞
f (t ) δ(t -t 0) dt =f (t 0) 对于离散时间冲激序列来说，有如下性质：
f [k ]δ[k ]=f [0]δ[k ] f [k ]δ[k -k 0]=f [k 0]δ[k -k 0]
（1-8）
（1-9）
（1-10）
（1-11）
（1-12）
（1-13）
【例1-3】计算下列各式的值
①(cost ) δ(t ) ②(sint ) δ(t )
5
5
③(t 2+t +1) δ(t ) dt ④(t 3+10t +41) δ(t -10) dt
-55
∞
⎰
-55
∞
⎰
⑤e
0-
⎰
-t
k =-∞
∑δ(t -2k ) dt ⑥⎰e ∑δ(t -2k ) dt
-t 0+
k =-∞
解
①(cost ) δ(t ) =cos 0δ(t ) =δ(t ) ②(sint ) δ(t ) =sin 0δ(t ) =0
5
③(t 3+t +1) δ(t ) dt =t 2+t +1|t =0=1
-55
⎰
5]内没有冲激。 ④(t 3+10t +41) δ(t -10) dt =0 积分在[-5，
-55
∞
5
⎰
⑤e
0-5
⎰
-t
k =-∞∞
∑δ(t -2k ) dt =⎰[δ(t ) +e
0-5
-2
δ(t -2) +e -4δ(t -4)]dt =1+e -2+e -4
⑥e
+
⎰
-t
k =-∞
∑
δ(t -2k ) dt =⎰[e -2δ(t -2) +e -4δ(t -4)]dt =e -2+e -4
0+
⑵ 尺度特性
若a ≠0，且为实数，则
δ(at ) =
1
δ(t ) （1-14） |a |
同理 δ(at -t 0) =
t 1
δ(t -0) （1-15） |a |a
当a =-1时，得：δ(t ) =δ(-t ) 即δ(t ) 是一个偶函数 【例1-4】计算下列各式的值 ①e
5
-2t
δ(2t ) ②(sint ) δ(2t -π)
③e
-5
⎰
-2t
π⎫⎛π⎫
δ(2-2t ) dt ④⎰sin ⎛ t -⎪⋅δ 2t -⎪dt
2⎭⎝2⎭⎝-∞
∞
解 ①e
-2t
δ(2t ) =e -2t ⋅1δ(t ) =1e 0δ(t ) =1222
δ(t )
②sin t δ(2t -π) =sin t ⋅
12δ⎛ ⎝t -π⎫2⎪1⎛π⎫⎛π⎫1⎛π⎫⎭=2sin ⎝2⎪⎭δ ⎝t -2⎪⎭=2δ ⎝t -2⎪⎭
5
5
③⎰e
-2t
δ(2-2t ) dt =11-5⎰e -2t ⋅2(t -1) dt =2
e -2
-5
∞
④⎰sin ⎛ t -π⎫⎛π⎫∞
⎛π⎫1⎛π⎫
2-∞⎝2⎪⎭δ ⎝2t -2⎪⎭dt =-⎰sin t -⎪⋅δ t -⎪dt =-
∞
⎝2⎭2⎝4⎭4⑶ δ(t ) 、ε(t ) 、t ε(t ) 的关系
d dt t ε(t ) =ε(t ) d
dt
ε(t ) =δ(t ) ⎰
t
t
-∞
δ(t ) dt =ε(t ) ⎰-∞
ε(t ) dt =t ε(t )
对于离散时间冲激序列来说，有如下性质
δ∞
[k ]=ε[k ]-ε[k -1] ε[k ]=∑δ[k -n ] n =0
【例1-5】求门函数P (t ) 的导数P ' ττ(t ) ，画波形图。
解
P τ(t ) =ε(t +τ) -ε(t -τ) P τ' (t ) =δ(t +τ) -δ(t -τ)
结果如图1. 20。
【例1-6】f (t ) 如图1. 21(a ) ，求⎰
t
-∞
f (τ) d τ并画图。
解
f (t ) =2δ(t +1) -δ(t -1) -δ(t -2)
1-16）（
g (t ) =⎰t
-∞
f (τ) d τ=2ε(t +1) -ε(t -1) -ε(t -2)
图形如1. 21(b
)
⑷ δ(t ) 的导数δ'
(t )
δ' (t ) =
d
dt
δ(t ) 称为冲激偶函数。 t
∞
-⎰δ'
(t ) dt =δ(t ) ∞
⎰δ' (t ) dt =0
-∞
δ' (t ) 有如下性质：
δ' (t ) =-δ' (-t )
类推 δ
(n )
(t ) =(-1) n δ(n ) (-t ) δ' (at ) =
1
a |a |
δ' (t ) (a ≠0) 类推 δ(n )
(at ) =
1a n
⋅|a |
δ(n )
(t ) f (t ) δ' (t ) =f (0) δ' (t ) -f ' (0) δ(t ) ∞
t ) δ' (t ) dt =-f ' (0) -⎰
f (∞
f (t ) δ' (t -t 0) =f (t 0) δ' (t -t 0) -f ' (t 0) δ(t -t 0) ∞
) δ' (t -t 0) dt =-f ' (t 0) -⎰
f (t ∞
1-17）1-18）1-19）1-20）1-21）1-22）1-23）
（
（
（ （
（ （
（
∞
同理
-∞
5
⎰
f (t -t 0) δ(n ) (t ) dt =(-1) n f (n ) (t 0) （1-24）
【例1-7】计算e
-5
⎰
-2t
δ' (2-2t ) dt
解
∞1'
利用公式δ' (at ) =δ(t ) 和⎰f (t ) δ' (t -t 0) dt =-f ' (t 0)
-∞a |a |
5
-2t
'
5
-5
-2t
e δ(2-2t ) dt =e ⎰⎰⋅
-5
111
δ' (t -1) dt =(2e -2t ) |t =1=-e -2 -2⋅2-42
⑷复合函数形式的冲激函数δ[f (t )]
设f (t ) =0有n 个互不相等的实根t i (i =1, 2, 3 , n ) ，则
δ[f (t )]=∑
1
(t -t i ) 。 （1-25）
i =1|f ' (t i ) |
n
如果f (t ) =0有重根，δ[f (t )]没有意义。 【例1-8】求δ[4t -1]的表达式 解
令f (t ) =4t 2-1=0 得t =±
2
1
则|f ' (t ) |=|8t |=4 2
δ[4t 2-1]=δ t +⎪+δ t -⎪
1⎛4⎝1⎫2⎭1⎛4⎝1⎫2⎭
1.5 系统描述与分析
1.5.1 系统及基本问题
系统是一个比较广泛而抽象的概念, 很难用精确的语言来定义。几乎任何具有某种功能、彼此相关的事物组成的整合体都可称为系统。比如：电力系统、通信系统、生物系统、社会系统、机械系统等等。这里我们将系统定义为产生、传输或处理信号的客观实体。它是由一些“单元”、按一定规则相互连接而组成的、具有一定功能的有机整体。
虽然系统类型不同，但是信号作用于系统将产生怎样的影响则是各种系统共同关注的问
题。因此，信号作用于系统后，系统发生的变化、系统响应的动态特性、系统的稳定性、如何使系统性能优化等问题就是系统分析的主要问题。
1.5.2 系统的描述
要分析一个系统，首先要建立描述这个系统基本特性的数学模型，然后用数学方法求出它的解答，并对所得结果赋予实际的含义。
描述系统的常用方法之一是建立输入信号和输出信号所遵循的数学方程，即输入输出方程。图1. 22所示的电路为LRC 串联电路，建立激励f (t ) 与响应y (t ) 的关系遵循基尔霍夫电压定律有：u L (t ) +u R (t ) +u C (t ) =f (t )
du C (t ) ⎧
i (t ) =C ⎪dt ⎪
⎪u R (t ) =Ri (t )
各元件端电压与电流关系： ⎨
di (t ) ⎪u (t ) =L
⎪L dt ⎪y (t ) =u (t )
C ⎩
整理，得 y " (t ) +
R ' 11
y (t ) +y (t ) =f (t ) L LC LC
这就是该系统的数学模型。
有时还可以用一些基本运算单元描述系统，如利用加法器、放大器、乘法器、积分器、延时器等构成系统的模拟图，从而反映系统的激励与响应之间的数学运算关系。在信号与系统分析中，常用的基本运算单元如图1. 23和图1. 24所示。
【例1-9】某连续系统的框图如图1. 25所示，写出该系统的微分方程。
解 框图中有两个积分器，所以该系统是二阶微分系统。最右端的积分器输出为y (t ) ，则其输入信号为y (t ) ，左方的积分器输入为y (t ) ，加法器的输出为：
'
"
y " (t ) =-ay ' (t ) -by (t ) +f (t ) （1-26）
整理后，得该系统微分方程 y " (t ) +ay (t ) +by (t ) =f (t )
【例1-10】某连续系统的框图如图1. 26所示，写出该系统的微分方程。
'
解 框图中有两个积分器，该系统仍然是二阶微分系统。引入辅助函数q (t ) ，则积分器
的输入分别为q ' (t ) ，q ' ' (t ) ，如图1. 26所示。
输入端加法器：f (t ) =q ' ' (t ) +a 1q ' (t ) +a 0q (t ) （1-27） 输出端加法器：y (t ) =b 2q ' ' (t ) +b 1q ' (t ) +b 0q (t ) （1-28） 消除辅助函数q (t ) ，可得系统的微分方程：
y ' ' (t ) +a 1y ' (t ) +a 0y (t ) =b 2f ' ' (t ) +b 1f ' (t ) +b 0f (t )
【例1-11】某离散系统的框图如图1. 27所示，写出该系统的差分方程。
解 框图中有两个延迟单元，该系统仍然是二阶差分系统。引入辅助函数q [k ]，则延迟单元的输出分别为q [k -1]、q [k -2]，如图1. 27所示。
输入端加法器：f [k ]=q [k ]+a 1q [k -1]+a 0q [k -2] （1-29） 输出端加法器：y [k ]=b 2q [k ]+b 1q [k -1]+b 0q [k -2] 消除辅助函数q [k ]、q [k -1]、q [k -2]，可得差分方程：
（1-30）
y [k ]+a 1y [k -1]+a 0y [k -2]=b 2f [k ]+b 1f [k -1]+b 0f [k -2]
1.5.3 系统的分类
在信号与系统分析中，常以系统的数学模型和基本特性分类。较为常见的分类方法有： ⑴ 动态系统与静态系统( Dynamical system and Static system )
如果系统在时刻t 0的响应y (t 0) ，不仅与该时刻的激励f (t 0) 有关，而且与该时刻以前，即(-∞, t 0) 区间内的激励有关，则这种系统称为动态系统（或记忆系统）。如对于电路中的电
-容、电感等储能元件（电容器上的初始电压U C (t 0) 反映了电场能储存，电感线圈中的初始电-流i L (t 0，系统t 0时刻的状态{x i (t 0), i =1~n }，实际上是(-∞, t 0) 区间) 反映了磁场能储存）
-
内一切外部原因（激励）对系统的总贡献，所以凡具有初始状态的系统，一定是动态系统。从能量的观点看，系统在t 0时刻的状态，反映了系统在t 0时刻的储能情况。因此，动态系统也就是包含有储能元件的系统。
反之，若系统在t 0时刻的响应y (t 0) ，只与t 0时刻的激励f (t 0) 有关，而与t 0以前，即
(-∞, t 0) 区间内的激励无关，则称为静态(或无记忆) 系统。因此静态系统无状态可言，纯电阻
网络就是静态系统的典型例子。
⑵ 因果系统与非因果系统( Causal system and Non-causal system )
如果系统在任意时刻的响应y (t ) ，只决定t 及t 前的激励，而与t 后的激励无关，这种系统称为因果系统(有原因方有结果的系统) 。反之，t 时刻的响应y (t ) 不仅与(-∞, t ) 区间的激励有关，而且与t 之后的激励有关时，这种系统称为非因果系统。如y (t ) =f (t +2), t >0，因为响应出现在激励加入之前，所以该系统是一个非因果系统。
一般的电路系统、机械系统等物理可实现系统都是因果系统。非因果系统的响应既然与未来的激励有关，因此属于可预测未来的系统，如气象预报、股票分析、人口统计就属于这种系统。非因果系统是不可物理实现的系统，气象预测、股票预测只能是一种估计，是不可能预先得到完全准确的未来结果的。
⑶ 线性系统与非线性系统( Linear system and Non-linear system )
线性系统是指系统的数学模型是线性方程的系统。“线性（Linearity ）”在数学上包括比例性和叠加性，加之影响系统响应的因素，除了从某一时刻加入系统的激励之外，还有此时刻系统的状态，因此，如果某系统是线性的，则它必须满足以下3个条件：
① 可分解性质
系统的输出响应可分解为零输入响应与零状态响应之和。 即 y (t ) =y zi (t ) +y zs (t ) y [k ]=y zi [k ]+y zs [k ]
其中，y zi (t ) 或y zi [k ]是系统的零输入响应，y zs (t ) 或y zs [k ]是系统的零状态响应。也就是说，一个线性系统，其初始状态可以作为系统的一个独立原因来加以考虑，即能将响应分解为零输入响应和零状态响应来分别独立计算。
② 零输入线性性质
所谓零输入线性是指当输入为零时，由初始状态集合{x i (0-) ，i =1~n }各项值x i (0-)
所引起的响应y zi (t ) ，t ≥0具有比例性和叠加性，即
若 x i (0) →y zi i (t ) t ≥0 则
-
∑a x
i i =1
n
i
(0) →
-
∑a y
i i =1
n
zi i
(t ) t ≥0
其中，单箭头→ 指左端引起右边的响应，a i 为任意常数。 ③ 零状态线性性质
所谓零状态线性是指当系统初始状态为零时，由输入信号集合{f i (t ) ε(t ) ，i =1~m }中各项f i (t ) ε(t ) 所引起的响应y zs i (t ) ε(t ) 具有比例性和叠加性，即，
若 f i (t ) ε(t ) →y zsi (t ) ε(t ) 则 其中b i 成为任意常数。
总结以上三点，一个线性系统的总响应应具有以下性质：
∑b f (t ) ε(t ) →∑b y
i i
i
i =1
i =1
m m
zsi
(t ) ε(t )
y (t ) =y zi (t ) +y zs (t ) =∑a i y x i (t ) ＋∑b i y f i (t ) ε(t ) t ≥0
i =1
i =1
n m
凡不满足上述性质的系统都是非线性系统。
另外，线性系统还有3个重要特性：微分特性、积分特性和频率保持特性。 ④ 微分特性
如果线性系统输入f (t ) 引起的响应为y (t ) ，则当输入为f (t ) 的导数
df (t )
时，其响应为dt
y (t ) 的导数
dy (t )
。 dt
t
⑤ 积分特性
如果线性系统输入f (t ) 引起的响应为y (t ) ，则当输入为f (t ) 的积分应为y (t ) 的积分
⎰
f (τ) d τ时，其响
⎰y (τ) d τ。
t
⑥ 频率保持特性
如果线性系统的输入信号含有频率ω1, ω2, , ωn 的成分，则系统的稳态响应也只含有
ω1, ω2, , ωn 的成分。即，信号通过线性系统后不会产生新的频率分量。
【例1-12】已知系统输入输出关系如下，其中f (t ) 和y (t ) 分别为连续系统的输入和输出，
y (0) 为初始状态；f [k ]和y [k ]分别为离散系统的输入和输出，y [0]为初始状态。判断这些
系统是否为线性系统。
⑴y (t ) =y (0) f (t ) ε(t ) ⑵y [k ]=5y [0]+3f 2[k ] ⑶y (t ) =3y (0) +2解
⑴y (t ) =y (0) f (t ) ε(t )
由于无法区分激励f (t ) ε(t ) 与初始状态y (0) 分别对y (t ) 的影响，即不满足可分解性，因此该方程所描述的是非线性系统。
⑵y [k ]=5y [0]+3f [k ]
满足可分解性，零输入响应y zi [k ]=5y [0]具有线性特性。但是零状态响应
2
df (t )
dt
y zs [k ]=3f 2[k ]不满足线性特性，因此该方程所描述的是一个非线性系统。
⑶y (t ) =3y (0) +2
df (t )
dt
满足可分解性和零输入响应线性，零状态响应满足微分特性。因此该方程所描述的是线性系统。
【例1-13】某线性系统的状态由两个变量x 1(t ) 、x 2(t ) 确定。现已观察到： 当x 1(0-) =1，x 2(0-) =0时，系统的零输人响应为y zi 1(t ) =e -2t +e -3t 当x 1(0-) =0，x 2(0-) =1时，系统的零输人响应为y zi 2(t ) =e -2t -e -3t
t ≥0 t ≥0
---2t 当x 1(0) =1，x 2(0) =-1，f (t ) =ε(t ) 时，系统的全响应为y (t ) =2+e --
试计算f (t ) =2ε(t ) ，x 1(0) =5，x 2(0) =3时的全响应y (t ) 。
t ≥0
解 由线性系统的性质可知：
y (t ) =y zi 1(t ) -y zs 2(t ) +y zs (t ) =2e -3t +y zs (t ) =2+e -2t y zs (t ) =2+e -2t -2e -3t
y (t ) =5y zi 1(t ) +3y zi 2(t ) +2y zs (t )
=5[e -2t +e -3t ]+3[e -2t -e -3t ]+2[2+e -2t -2e -3t ] t ≥0 =4+10e -2t -2e -3t
⑷ 时不变与时变系统( Time-invariant system and Time-variant system ) 系统参数不随时间变化的系统称为时不变系统（也称恒参系统、定常系统）；反之，参数随时间而变化的系统称为时变系统（也称变参系统）。
图1. 28示意出线性时不变系统的这个关系。当因果输入信号f (t ) 延迟t 0而成为f (t -t 0) 时，由于t =0和t =t 0时刻系统的状态一样，所以应也由y (t ) ，t ≥0成为y (t -t 0) ，t ≥t 0。
系统的线性和时不变性质是两个不同概念，线性系统可以是时变，也可以是时不变，非线性系统也是如此。若系统既是线性的又是时不变的，则称为线性时不变系统（ Linear Time Invariant ）, 简记为LTI 系统。
【例1-14】某线性时不变系统，已知当
⑴x 1(0) =1, x 2(0) =2, f 1(t ) =ε(t ) 时，系统全响应y 1(t ) =(3e
-
-
-
-
-t
+4e -2t ) ε(t ) ；
-t
⑵x 1(0) =1, x 2(0) =2, f 1(t ) =2ε(t ) 时，系统全响应y 2(t ) =(5e 分别计算下列情况时系统的全响应：
①x 1(0-) =1, x 2(0-) =2, f 3(t ) =0时，y 3(t ) =？；
-3e -2t ) ε(t ) 。
②x 1(0) =1, x 2(0) =2, f 4(t ) =ε(t ) -2ε(t -1) 时，y 4(t ) =？。 解
根据线性系统的特性有：
--
y 1(t ) =y zi 1(t ) +y zs 1(t ) y 2(t ) =y zi 2(t ) +y zs 2(t )
∵ y 1zi (t ) =y 2zi (t ) （系统状态相同，零输入响应相同）
y 2zs (t ) =2y 1zs (t ) （f 2(t ) =2f 1(t ) ，零状态响应2倍关系）
-t -2t
⎧⎪y 1(t ) =y zi 1(t ) +y zs 1(t ) =(3e +4e ) ε(t ) 即⎨ -t -2t
⎪⎩y 2(t ) =y zi 2(t ) +2y zs 1(t ) =(5e -3e ) ε(t )
∴ 零输入响应 y 3(t ) =y zi 1(t ) =2y 1(t ) -y 2(t ) =(e -t +11e -2t ) ε(t ) ∵ 零状态响应 y zs 1(t ) =y 1(t ) -y zi 1(t ) =y 2(t ) -y 1(t ) =(2e -t -7e -2t ) ε(t )
而 f 4(t ) =f 1(t ) -2f 1(t -1) ∴全响应
y 4(t ) =y zi 1(t ) +y zs 1(t ) -2y zs 1(t -1)
=(3e +4e
-t
-2t
) ε(t ) -2[2e
-(t -1)
-7e
-2(t -1)
]ε(t -1)
⑸ 稳定系统与非稳定系统( Stable and Unstable system )
如果一个系统在输入有界时，系统的输出也有界，则这个系统就是稳定系统。否则，一个小的激励就会使响应发散的系统称为非稳定系统。即，若系统的激励f (⋅)
1.6 信号及其运算的MATLAB 实现
MATLAB 可以方便地绘制信号的时域波形，使信号分析过程变得更加直观。 1.6.1 常用信号
⑴ 斜变信号 f (t ) =At +B 、f [k ]=Ak +B 图1.29所示连续斜変信号的MATLAB 源程序波形。 %斜变函数f(t)=at+b A=2;B=3; t=-5:0.01:5; Y1=A*t;Y2=-A*t; Y3=A*t+B;Y4=-A*t+B;
subplot(2,2,1),plot(t,Y1),title('y = At'); subplot(2,2,2),plot(t,Y2),title('y = - At');
subplot(2,2,3),plot(t,Y3),title('y = At+B');
subplot(2,2,4),plot(t,Y4),title('y = - At+B');
图1.30所示离散斜变信号的MATLAB 源程序波形。 %斜变序列f(k)=ak+b A=2;B=10;k=-18:2:18; Y1=A*k;Y2=-A*k; Y3=A*k+B;Y4=-A*k+B;
subplot(2,2,1),stem(k,Y1),title('y = - Ak'); subplot(2,2,2),stem(k,Y2),title('y = - Ak'); subplot(2,2,3),stem(k,Y3),title('y = Ak+B');
subplot(2,2,4),stem(k,Y4),title('y = - Ak+B');
⑵正（余）弦信号 f (t ) =A sin(ωt +φ) ， f [k ]=A sin(Ωk +φ) 图1.31所示正余弦连续信号的MATLAB 源程序波形。 %正余弦信号 a=2;w0=pi/8; t=0:0.001:40
ft1=a*sin(w0*t);ft2=a*sin(2*w0*t); ft3=a*cos(w0*t);ft4=a*cos(2*w0*t);
subplot(2,2,1),plot(t,ft1),title('正弦信号sin(wt)'); subplot(2,2,2),plot(t,ft2),title('正弦信号sin(2wt)'); subplot(2,2,3),plot(t,ft3),title('余弦信号cos(wt)'); subplot(2,2,4),plot(t,ft4),title('余弦信号
cos(2wt)');
图1.32所示正余弦序列的MATLAB 源程序波形。 %正余弦序列 a=2; w0=pi/20; k=0:2:80 fk1=a*sin(w0*k); fk2=a*sin(2*w0*k); fk3=a*cos(w0*k);
fk4=a*cos(2*w0*k);
subplot(2,2,1),stem(k,fk1),title('正弦序列sin(wk)'); subplot(2,2,2),stem(k,fk2),title('正弦序列sin(2wk)'); subplot(2,2,3),stem(k,fk3),title('余弦序列cos(wk)'); subplot(2,2,4),stem(k,fk4),title('余弦序列
cos(2wk)');
⑶指数信号f (t ) =Ae
图1.33所示指数信号的MATLAB 源程序波形。调用形式为y=A*exp(a*t) %指数信号 A=2; t=-5:0.001:5 a=-0.3; ft=exp(a*t);
subplot(1,3,1),plot(t,ft),title('a
subplot(1,3,2),plot(t,ft),title('a>0');grid sigma=0; ft=exp(a*t);
subplot(1,3,3),plot(t,ft3),title('a=0');grid
σt
⑷复指数信号f (t ) =Ae %复指数信号 A=2; t=-5:0.001:5 a=-0.3; w=10;
ft=exp((a+j*w)*t);
subplot(2,3,1),plot(t,real(ft)),title('a
ft=exp((a+j*w)*t);
subplot(2,3,2),plot(t,real(ft)),title('a
ft=exp((a+j*w)*t);
subplot(2,3,3),plot(t,real(ft)),title('a
(σ+j ω) t
⑸取样函数（信号）Sa (t ) %抽样函数信号
t=-10*pi:pi/100:10*pi; ft=sinc(t/pi); plot(t,ft);grid on;
xlabel('抽样函数（
sinc(t)=sin(PI*T)/pi*t')
1.6.2 信号的运算 ⑴连续时间信号的运算函数 %求和、差、标乘、乘积运算
t=-3:0.05:3; %定义时间变量
w=2*pi; %定义角频率
x=sin(w*t); %定义信号x(t)=sin(wt) y=sign(t); %定义信号y(t)=sgn(t) subplot(321)；plot(x)
title('x(t)')；xlabel('t')；grid subplot(322)；plot(y)
title('y(t)')；xlabel('t')；grid %求和运算
z1=x+y; subplot(323)；plot(z1)
title('x(t)+y(t)')；xlabel('t')；grid %求差运算
z2=x-y; subplot(324)；plot(z2)；
title('x(t)-y(t)')；xlabel('t')；grid %标乘运算
z3=2*x; subplot(325)；plot(z3)
title('2x(t)')；xlabel('t')；grid %乘积运算
z4=x.*y; subplot(326)；plot(z3)
title('x(t).y(t)')；xlabel('t')；grid
%时移、翻褶、尺度变换, 卷积运算
t=-5:0.05:5; %定义时间变量 w=4; %定义角频率
x=sin(w*t); %定义信号x(t)=sin(wt) y=sign(t); %定义信号y(t)=sgn(t) subplot(321);plot(t,x) title('x(t)');xlabel('t')
axis([-5.1 5.1 -2.1 2.1]);grid subplot(322);plot(t,y) title('y(t)');xlabel('t')
axis([-5.1 5.1 -2.1 2.1]);grid %时移
t1=t-1; %定义信号x1(t)=x(t+1) subplot(323);plot(t1,x) title('x(t+1)');xlabel('t') axis([-6.1 6.1 -2.1 2.1]);grid %翻褶
z1=fliplr(y); % y(-t) subplot(324);plot(t,z1)
title('y(-t)');xlabel('t');axis([-5.1 5.1 -2.1 2.1]);grid %尺度变换 t2=t*2;
z2=sin(w*t2); % z2(t)=x(2t)
subplot(325) ;plot(t,z2) ;title('x(2t)') ;xlabel('t') axis([-5.1 5.1 -2.1 2.1]) ;grid %卷积运算
z3=conv(x,y); % z3(t)=x(t)*y(t)
t1=[1:length(z3)]*0.05-10.05; % t1为卷积后信号的自变量定义范围 subplot(326) ;plot(t1,z3) ;title('x(t)*y(t)') ;xlabel('t')
axis([-10.5 10.5 -10.5 12]) ;grid
%微积分运算
t=-4:0.01:4; %定义时间变量 l=length(t);
x=[zeros(1,(l-1)/2) ones(1,(l+1)/2)]; %定义信号x(t)=u(wt) subplot(131)；plot(t,x)
title('x(t)')；xlabel('t')；axis([-3 3 -0.1 3.1])；grid %积分运算 z1=t;
z1(1:(l-1)/2)=zeros(1,(l-1)/2);
subplot(132)；plot(t,z1)；title('∫x(τ)d τ') xlabel('t')；axis([-3 3 -0.1 3.1])；grid %微分运算
z2=x(2:end)-x(1:end-1);
z2=z2/0.01;
subplot(133)；plot(t(1:end-1),z2) ；
title('dx(t)/dt')；xlabel('t')；axis([-3 3 -0.1 max(z2)+.1])；
grid
⑵离散时间信号的运算样函数
%离散时间信号的加、乘、平移、反转运算 n=-20:20; %定义时间变量 l=length(n)
w=0.2*pi; %定义角频率
x=sin(w*n); %定义信号x(n)=sin(w.n)
y=[zeros(1,(l-1)/2) ones(1,(l+1)/2)]; %定义信号y(t)=e(n) subplot(321);stem(n,x);
title('x(n)');xlabel('n');axis([-15 15 -2.1 2.1]);grid subplot(322);stem(n,y)
title('y(n)');xlabel('n');axis([-15 15 -2.1 2.1]);grid %加法运算 z1=x+y;
subplot(323);stem(n,z1)
title('x(n)+y(n)');xlabel('n');axis([-15 15 -2.1 2.1]);grid %乘法运算 z2=x.*y;
subplot(324);stem(n,z2);
title('x(n)·y(n)');xlabel('t');axis([-15 15 -2.1 2.1]);grid %平移 n1=n-4;
subplot(325);stem(n1,x);
title('x(n+4)');xlabel('n');axis([-15 15 -2.1 2.1]);grid %反转
z4=y(end:-1:1); subplot(326);stem(n,z4)
title('y(-n)');xlabel('n');axis([-15 15 -2.1 2.1]);grid
%差分、累加运算
n=-20:20; %定义时间变量 l=length(n)
w=0.2*pi; %定义角频率
x=sin(w*n); %定义信号x(n)=sin(w.n) subplot(131)；stem(n,x)；title('x(n)') %差分运算
detx=x(1:l-1)-x(2:l);
subplot(132)；stem(n(1:l-1),detx)；title('△x(n)')
xlabel('n')；axis([-15 15 -2 2])；grid %累加运算 acx=[]; for i=1:l
c=sum(x(1:i)); acx=[acx c]; end
subplot(133)；stem(n,acx) ；
title('Σx(n)')；xlabel('n')；axis([-15 15 min(acx)-.1 max(acx)+.1])；
grid
%定义空向量
习 题 一
1.1 画出下列各信号的波形。
⑴f (t ) =(2-3e -t ) ε(t ) ⑵f (t ) =t ε(t -2) ⑶f (t ) =2ε(t +1) -3ε(t -1) ⑷f (t ) =sin(πt ) ε(t ) ⑸f (t ) =sin t ε(sint ) ⑹f (t ) =ε(t 2-1)
⑺f (t ) =δ(sinπt ) ⑻f [k ]=(-2) -k ε[k ] ⑼f [k ]=sin
⎛k π⎫⎛k π⎫
⑽ε[k ]f [k ]=sin ⎪{ε[k ]-ε[k -7]} ⎪
⎝6⎭⎝4⎭
1.2 写出图示各波形的表示式。
1.3 判断下列信号是否为周期信号。如果是，确定其周期。 ⑴f (t ) =3sin 4t +
⎛
⎝
π⎫
⎪ ⑵f (t ) =sin t -3cos 2t 4⎭
⎛5⎫⎛2⎫⎛8k π⎫
t ⎪+3sin t ⎪ ⑷f [k ]=cos +2⎪ ⎝16⎭⎝13⎭⎝7⎭3k ⎛k π⎫
f [k ]=3cos() ⑹⎪
4⎝3⎭
⑶f (t ) =sin t ⎪+2cos
⎛3⎫
⎝2⎭
⑸f [k ]=2sin ⎪+3cos
⎛k ⎫⎝6⎭
1.4 设系统的初始状态为x (0) ，激励为f (t ) ，各系统的全响应y (t ) 与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的、时不变的。
⑴y (t ) =e x (0) +
-t
⎰
t 0
sin xf (x ) dx ⑵y (t ) =f (t ) x (0) +t
k
2
⎰
t 0
f (x ) dx
df (t ) ⎛1⎫
⑶y (t ) =x (0) +f (t ) ⑷y [k ]= ⎪x [0]+f [k ]⋅f [k -2]
dt ⎝2⎭
⑸y [k ]=kx [0]+
∑f [j ] ⑹y [k ]=x [0]⋅f [k -2]
j =0
k
1.5 已知信号f (t ) 的波形如图所示。
⑴ 求f (2-t ) 与f (6-2t ) 的表达式，并画出波形。 ⑵ 画出f 1(t ) =
⎰
t
-∞
f (2-τ) d τ和f 2(t ) =
d
[f (6-2t )]的波形。 dt
1.6 已知序列f [k ]的波形如图所示，画出下列各序列的波形。 ⑴f [k -2]ε[k ] ⑵f [k -2]ε[k -2] ⑶f [k -2]{ε[k ]-ε[k -4]} ⑷f [-k -2] ⑸f [-k +2]ε[-k +1] ⑹f [k ]-f [k -3]
⑺f [k ]δ[k -1] ⑻f [k ]δ
[2k ]
1.7 已知信号f (t ) 的波形如图所示，求f (3-2t ) 的表达式。 1.8 计算下列各题
⑴ t δ(2t ) ⑵ sin t ⋅δ t -⑶ e
-2t
⎛⎝
π⎫
⎪ 2⎭
δ(-t ) ⑷
d -2t
[e δ(t )] dt
d 2d 22
⑸ 2[sin(2t ) ε(t )] ⑹2[(t +1) ε(t )]
dt dt
1.9 计算下列积分 ⑴
⎰
0-∞∞
e -2t δ(t +3) dt ⑵ ⎰sin(2t ) ⋅δ(2t -3) dt
1
2
∞sin(π⋅t )
δ(t ) dt ⑷ ⎰e -2t [δ' (t ) +δ(t )]dt ⑶ ⎰-∞-∞t
⑸
⎰⎰
3-2∞
e -3t ⋅δ' (t -1) dt ⑹ ⎰(t 3+2t 2-2t +1) δ' (t -1) dt ⑻ ⎰
⎛t ⎫
(t 2+2) δ ⎪dt -∞
⎝2⎭
∞
⑺
+∞-∞
-∞
ε(t ) ⋅ε(2-t ) dt
1.10 已知t
⑴f (1-t ) +f (t -2) ⑵f (1-t ) ⋅f (2-t ) ⑶f ⎪
1.11 已知初始状态为零的LTI 系统，当激励为f 1(t ) 时，其对应的零状态响应为y 1(t ) ；当输入f 2(t ) 时，求对应的零状态响应y 2(t ) ，并画图。
⎛t ⎫⎝3⎭
-2t
1.12 某LTI 连续系统，已知当激励f (t ) =ε(t ) 时，其零状态响应y (t ) =e ε(t ) ，
求：⑴ 当输入为冲激函数δ(t ) 时的零状态响应；
⑵ 当输入为斜升函数t ε(t ) 时的零状态响应。
1.13 某LTI 离散系统如图，已知当激励为信号f 1[k ]=δ[k ]时，其零状态响应为y 1[k ]。 求：⑴当激励为信号f 2[k ]时，系统零状态响应y 2[k ]；
⑵当激励为信号f 3[k ]时，系统零状态响应y 3[k ]。
1.14 某二阶LTI 连续系统，其初始状态为x 1(0) 和x 2(0) ，已知当x 1(0) =1, x 2(0) =2，
f 1(t ) =ε(t ) 时，输出y 1(t ) =(6e -2t -5e -3t ) ε(t ) ；若初始状态不变，当f 2(t ) =3ε(t ) 时，输
出y 2(t ) =(8e -2t -7e -3t ) ε(t ) 。计算：
⑴当x 1(0) =1, x 2(0) =2，输入为f 3(t ) =0时的响应y 3(t ) =? ； ⑵当x 1(0) =x 2(0) =0，输入为f 4(t ) =2ε(t ) 的响应y 4(t ) =? 。
1.15 某LTI 连续系统S , 当激励为ε(t ) 时，其零状态响应为ε(t ) -ε(t -1) 。现将两个完全相同的系统级联，如图(a ) 所示。当这个复合系统的输入为图(b ) 的信号f (t ) ，求该系统零状态响应。
第1章 信号与系统的基本概念
1.1 信号与系统的定义
1.1.1 信号的定义
人类社会活动离不开信息的传递。从古代的狼烟报警、近代的电报、电话、无线电广播与电视，直到现代的国际互联网、移动通信，其目的都是要把某些信息借助一定形式的信号传递给对方。因而我们第一个要回答的问题是：“什么是信号？”我们所说的“信号”是指任何传送某种信息的物理现象，例如：人声、鼓声、手语、电码等等。在通信技术中，一般将文字、图片、声音或数据等统称为消息（message ），消息中包含的有意义的或有实质性的内容称为信息（information ），而信息必须借助一定形式的信号(signal)（电信号、光信号、微波等），才能远距离地传输和进行处理。因此概括起来讲，信号是信息、消息的载体，信息、消息是信号的内涵，信息是消息中有意义的或实质性的内容。噪声有时也被称作随机信号，尽管它不是携带有用信息的信号。
信号具有时间特性、频率特性、能量特性和信息特性。具体讲，确定信号的变化速率、幅度大小、持续时间长短以及随时间变化的规律反映了时间特性。在一定条件下，一个复杂信号可以分解成许多不同频率成分的正弦分量的线性组合，则体现了信号的频率特性。任何信号通过系统时都伴随着能量或功率的传输，表明信号具有能量和功率特性。
1.1.2 系统的定义
信号总是由系统进行处理或在系统中传递。当一个或多个激励信号作用到系统的一个或多个系统输入端时，系统就会在输出端产生一个或多个响应信号。如图1. 1描述的是一个单输入单输出的简单系统。图1. 2描述了一个通信系统的模型，发送设备、信道和接收设备各自都是系统，同时它们是整个系统的组成部分或者子系统。所以，系统是由若干个相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。在“信号与系统”中我们将系统定义为：实现信号的传输、交换和处理的实体。
系统涵盖的内容非常丰富。比如：工业过程控制系统、汽车中的点火和燃油泵送控制系统、天气预报系统、市政管理系统、股票分析系统等等。它们都会对激励做出响应。有些系统
可以进行详细的描述，有些系统只能做近似的分析，还有一些系统复杂得我们不知道如何去理解和控制它们。
系统的基本特性包括：线性与非线性特性、时不变与时变特性、因果与非因果特性和稳定与非稳定特性等。本书中，我们主要讨论的是线性时不变系统LTI （ Linear Time Invariant ）。
1.2 信号的分类与数学描述
按照信号不同的物理属性、用途、数学特征，信号存在多种不同的分类方法。例如，按其物理属性，可分为光信号、电信号、声信号等；按照不同的用途，可分为雷达信号、电视信号、通信信号、遥控遥测信号等；按照数学对称性，可分为奇信号、偶信号、非对称信号等；从能量角度出发，可分为功率信号与能量信号，如此等等。下述4种分类方法，在信号与系统分析中最常用到。
1.2.1 确定信号和随机信号 ( Determinate signal and Random signal )
若信号可以用确定的图形、曲线或函数式来准确描述时，这种信号称为确定信号；反之，不能被准确预测且不能由任何数学函数描述的信号，称为随机信号。
随机信号既然是一种客观存在的信号，加之确定信号在传输过程中，也必定会受到各种具有随机特性的干扰和噪声的影响。因此对随机信号经系统传输、处理的研究也是十分重要的问题。在通信中，随机信号被称为噪声信号，通常运用概率统计的方法进行研究。
1.2.2 连续信号和离散信号 ( Continuous signal and Discrete signal )
连续信号，也叫连续时间信号f (t ) ，是指在某一时间段内，其每个瞬间值都有确定值的信号，其波形如图1. 3(a ) 所示。离散信号，也叫离散时间信号f [k ]，指仅在某些不连续点上有定义，而在其它时刻没有定义的信号。其波形如图1. 3(b ) 所示。
连续信号f (t ) 在具体时刻t 的函数值也可以不连续。如图1. 4中的f 1(t ) 和f 2(t ) 。
αt
⎧⎪Ae f 1(t ) =⎨βt
⎪⎩Be
-
+
t 0t >0，β
显然，f 1(0) =A ，f 1(0) =B ，f 1(0) 没有定义。
⎧1f 2(t ) =⎨
⎩0
0
t 4
，t =2，t =4处有不连续点，一般可以不定义不连续点处的函信号f 2(t ) 在t =0，t =1
数值。
离散信号f [k ]也称为序列，其数学表示式可以写成闭合形式，也可以逐一列出f [k ]的值。图1. 5中的信号即为离散信号。
⎧⎪⎪⎪⎪f 1[k ]=⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
024121
k
⎧0
f 2[k ]=⎨-αk
⎩e
k 0
上述表达式中，f 1[k ]列出了各点的值，f 2[k ]为单边指数序列，以代数形式表示。 1.2.3 周期信号和非周期信号 ( Periodic signal and Aperiodic signal ) 无始无终地重复着某种变化规律的信号称为周期信号，因此其函数表达式一定具有如下关系式。
⑴连续时间周期信号
一个连续信号f (t ) ，若对所有的t 均有f (t ) =f (t +mT ) =
m =-∞
∑f
∞
(t -mT ) ，
T 为满足上式的最小正整数，m =0，±1，±2，, ，则称f (t ) 为连续时间周期信号，称作f (t )
的周期。
⑵离散时间周期信号（序列）
一个离散信号f [k ]，若对所有的k 均有f [k ]=f [k +mN ]=
m =-∞
∑f [k -mN ]，
∞
m =0，±1，±2， ，则称f [k ]为离散时间周期信号，N 为满足上式的最小正整数，称作
f [k ]的周期。
f 0(t ) 、f 0[k ]则是它们在第一个周期（即[0，T ]及0~N -1范围内）的变化过程，而
且每经过一个整周期T 、N 后，该过程又再次重复。图1. 6是两个周期信号的例子。
⎧1
⎪t
图(a ) 中连续周期信号周期T =3，在[0, 3) 内 f 0(t ) =⎨3
⎪⎩0⎧1⎪k
图(b ) 中离散周期序列周期N =3，在[0, 3]内 f 0[k ]=⎨3
⎪⎩0
0≤t
0≤k
由于周期信号具有重复再现的规律，只要知道了一个周期内的变化过程，其他任何时间的情况也就完全知道。因此，就传送消息而言，周期信号是最不经济的，但是由于它具有重复的规律，便于数学分析，加之大多数确定信号都可以分解为无数周期（正弦）信号的叠加，因而在“信号与系统”分析中，占有特殊的、重要的地位。
如果两个（或两个以上）周期信号f 1(t ) 和f 2(t ) 的周期具有公倍数，则它们的和（或差）仍然是周期信号，即f (t ) =f 1(t ) +f 2(t ) 是周期信号，且f (t ) 的周期是f 1(t ) 与f 2(t ) 的周期的最小公倍数。
假如函数表达式cos ω1t +cos ω2t 的信号是一个基本周期为T 的周期信号，则它必定能够求得两个没有整数公因子的正整数m 和n ，使得ω1T =2πm 和ω2T =2πn ,只要判定
ω1:ω2=m :n 成立，cos ω1t +cos ω2t 便为周期信号，周期为T =
2πm
ω1
=
2πn
ω2
。
离散信号同理。如果cos ω1k +cos ω2k 的信号是一个基本周期为N 的周期信号，则周期
N =
2πm
ω1
=
2πn
ω2
，N 为某正整数。
【例1-1】 试判断下列信号是否是周期信号？若是，试求出周期T 。
⑴f (t ) =sin 3t +cos 2t ⑵f (t ) =sin 5t +sin πt
⑶f (t ) =A sin t ⎪+B cos t ⎪+C sin t ⎪ ⑷f [k ]=sin 2k ⑸f [k ]=sin
⎛1⎫⎝2⎭⎛1⎫⎝3⎭⎛1⎫⎝5⎭
k πk π+2cos 53
⑹f [k ]=e j 0. 2πk +e j 0. 3πk 解
⑴f (t ) =sin 3t +cos 2t
ω1:ω2=3:2 T =
⑵f (t ) =sin 5t +sin πt
2π⋅32π⋅2
==2π 32
ω1:ω2=5:π 无整数公因子，不是周期信号 ⑶f (t ) =A sin t ⎪+B cos t ⎪+C sin t ⎪
⎛1⎫
⎝2⎭⎛1⎫⎝3⎭⎛1⎫⎝5⎭
ω1:ω2:ω3=
1112π⋅152π⋅102π⋅6::=15:10:6 T ====60π
235
⑷f [k ]=sin 2k 因为ω0=2 ，⑸f [k ]=sin
2π
ω0
=π为无理数，所以该序列不是周期序列
k πk π
+2cos 53
因为ω1:ω2=
ππ
53:
=3:5，所以N =
2π⋅3
=
2π⋅5
=30
⑹f [k ]=e
j 0. 2πk
+e j 0. 3πk
2π⋅22π⋅3
==20 0. 2π0. 3π
2
因为ω1:ω2=0. 2π:0. 3π=2:3，所以N =
1.2.4 能量信号和功率信号 ( Energy signal and Power signal )
设信号电压或电流为连续信号f (t ) ，则它在1Ω电阻上的瞬时功率p (t ) =f (t ) ，在时
T
间间隔-T ≤t ≤T 内消耗的能量为E =
-T
⎰
f (t ) dt 。由此可以定义：
2
T
当T →∞时，总能量为： E =
lim ⎰lim
T →∞
f (t ) dt （1-1）
T
2
T →∞-T
平均功率为： P =
12T
-T ∞
⎰
f (t ) dt （1-2）
2
2
同理 离散非周期信号f [k ]的能量E 为： E =
k =-∞
∑
f [k ] （1-3）
N -1
1
离散周期信号f [k ]平均功率P 为： P =
N
k =-N
∑
f [k ] （1-4）
2
⑴ 当总能量E 为有限值而平均功率P =0，即0
② 属于功率信号的非周期信号是|t |→∞时仍为有限值的信号。 ③ 有些既不是功率信号又不是能量信号。
【例1-2】 下列信号哪些是能量信号，能量为多少？哪些是功率信号，功率为多少？ ⑴f (t ) =e
-2|t |
⑵f (t ) =e
k
-2t
⎛1⎫⑶f [k ]= ⎪
⎝2⎭
解 ⑴f (t ) =e
-2|t |
⎛k π⎫
k ≥0 ⑷f [k ]=6cos ⎪
⎝2⎭
E =lim
T →∞
⎰
T
-T
(e -2|t |) 2dt =2lim
T →∞
⎰
T
e -4t dt =12T
T
1 2
P =lim
T →∞
12T
⎰
T
-T
(e
-2|t |2
) dt =2lim
T →∞
⎰
e -4t dt =0
1 2
所以 e
-2|t |
为非周期脉冲、能量信号，能量E =
属于能量信号的非周期信号称为脉冲信号。 ⑵f (t ) =e -2t
E =lim
T →∞
1-4T -2t 24T
(e ) dt =-[e -e ]=∞ lim ⎰-T
4T →∞
T
P =lim
T →∞-2t
1
2T
⎰
T
-T
(e
-2t
) dt =lim
2
T →∞
e 4T -e -4T e 4T 4e 4T
=lim =lim =∞
8T 8T →∞8T T →∞
所以e
既非能量信号又非功率信号。
k
⎛1⎫
⑶f [k ]= ⎪
⎝2⎭E =
k ≥0
∞
k 2
k =-∞
∑
∞
⎛1⎫
f [k ]=∑ ⎪
k =-∞⎝2⎭
2⎛1⎫=∑ ⎪k =0⎝2⎭
∞
2k
=1+
11++ =2422
11-1
4
=
4 3
4⎛1⎫
所以 ⎪为能量信号，能量E =
3⎝2⎭
⑷f [k ]=6cos
k
⎛k π⎫
⎪ 2⎝⎭
⎛k π⎫
⎪是周期信号，所以能量E =0。 ⎝2⎭
因为f [k ]=6cos
其周期N =4，一个周期内|f [k ]|的值为|6060|n =0, 1, 2, 3。
1312
P =∑f [k ]=(62+62) =18
4k =04
1.2.5 因果信号和时限信号( Causal signal and Time-limited signal )
习惯上，常将自变量t ，k 叫连续时间变量和离散时间变量，而把不同时间区间存在的信号分别称为因果信号、反因果信号、有始信号、有终信号、时限信号及无时限信号等等。
⑴f 1(t ) 、f 1[k ]称为有始（连续、离散）信号。如图1. 8(a )
⎧f 1(t )
f 1(t ) =⎨
⎩0⎧f 1[k ]
f 1[k ]=⎨t
t >t 1k ≥k 1k
如果t 1, k 1为零，则称为因果（连续、离散）信号。 ⑵f 2(t ) 、f 2[k ]称为有终信号。如图1. 8(b )
⎧0
f 2(t ) =⎨
⎩f 2(t )
t >t 2
⎧0
f 2[k ]=⎨t
k ≥k 2k
如果t 2, k 2为零，则称为反因果（连续、离散）信号。 ⑶f 3(t ) 、f 3[k ]称为时限（连续、离散）信号。如图1. 8(c )
⎧f 3(t )
f 3(t ) =⎨
⎩0⎧f 3[k ]
f 3[k ]=⎨
t t 2⎩0
t 1k 2
而把在t ∈(-∞，∞) ，k ∈(-∞，∞) 都有取值的信号f 4(t ) 、f 4[k ]叫无时限（连续、离散）信号。如图1. 8(d
)
1.3 信号的基本运算
1.3.1 常用信号
⑴ 斜变信号 f (t ) =At +B 、f [k ]=Ak +B
其中，A 称为斜变信号的斜率；B 是信号在t =0，k =0时的值，称为截距。图1. 9画出了两个斜变信号的例子，其中(a ) 是有始连续信号，(b ) 是因果离散信号（其中B =1 ，
A =1）。
⑵ 门信号 f (t ) =P 2N +1[k ] τ(t ) ，f [k ]=P
门信号用英文字母P 来标记，下角标τ，2N +1特指门信号的宽度。即
⎧1
⎪
P τ(t ) =⎨
0⎪⎩
|t |τ
P 2N +1[k ]=⎨
⎧1
⎩0
|k |≤N
|k |>N
门信号属于时限信号。图1. 10画出了信号的波形。
⑶ 正（余）弦信号 f (t ) =A sin(ωt +φ) ， f [k ]=A sin(Ωk +φ)
正（余）弦信号中，A 为振幅，ω、Ω称为（角）频率，φ为初始相角。通常，t 的量纲
是秒，k 无量纲，φ的量纲是弧度，ω的量纲是弧度／秒，Ω的量纲则为弧度。
连续正(余) 弦信号中，ω=2πf ，f 称为频率（Hz — 赫兹），T =
1
称为周期f
（T =
2π
ω
），即波形重复出现的最短时间（秒）。T 与ω成反比，ω愈高、T 愈小。图1. 11画
出了两个不同角频率的连续正弦信号波形。
离散正（余）弦信号中，由于自变量k 为整数，所以并非任何sin Ωk 都是周期信号，Ω虽然也习惯上称为（角）频率，但其量纲则为弧度，也并不是Ω愈大，（角）频率愈高，更谈不上其周期N 愈小。离散正（余）弦信号的这一特点，造成了离散信号频谱与离散系统频率响应特性的特殊性，我们将在以后详细讨论。
⑷ 无时限指数信号Ae ，A (υ)
无时限指数信号在“信号与系统”中占重要地位。
s τ
k
d st 1st
由于(e ) =se ，⎰(e s τ) d τ=e st 以及A (υ) k =A (e λk ) ，因此无时限指数函数乃是
dt s -∞
物理可实现的线性时不变系统的特征函数。根据指数s 的取值不同，无时限指数连续信号又可细分为实指数信号、虚指数信号及复指数信号。 ① 实指数信号f (t ) =Ae
σt
t
Ae σt 的波形如图1. 12所示，图(a ) 为σ0的情况。
σt
注意，当σ=0时，f (t ) =Ae =A 是一个直流信号。
② 虚指数信号f (t ) =Ae j ωt
由尤拉公式，Ae j ωt =A cos ωt +jA sin ωt , 可见，虚指数信号Ae 实部与虚部分别是一个余弦、正弦信号。
③ 复指数信号(Complex exponential signal)f (t ) =Ae
显然，Ae
(σ+j ω) t
(σ+j ω) t
j ωt
是一个复信号，其
=Ae σt cos ωt +jAe σt sin ωt 也是一个复信号，其实部与虚部分别是一
个幅度按实指数规律变化的余弦、正弦信号。其中σ称为衰减因子，ω称为振荡（角）频率。当σ0时，其包络幅度随时间t 的增大而增大。图1. 13画出了Ae
(σ+j ω) t
在σ0时的实部波形。
⑸ 取样函数（信号）Sa (t )
取样函数（信号）f (t ) =Sa (t ) ∆
sin t
，其图形如图1. 14所示，它具有振荡的波形，其t
振幅按的规律衰减。根据Sa (t ) 函数的定义可以得到以下重要结论：
①Sa (t ) 函数是偶函数；
② 在t =k π(k =1,2,3 ) 处，Sa (t ) =0；
1t
③ t =k π(k ≠0) 时，Sa (t ) 相邻两个过零点之间距离相等，为π。
Sa (t ) 函数还具有如下性质：⎰Sa (
t ) dt =π
-∞
+∞
1.3.2 连续信号的运算
连续信号的基本运算包括信号的相加和相乘，信号的反转、平移和尺度变换，连续信号的微分、积分等。
① 加法：两个信号在同一瞬间的值相加就等于和信号在该瞬间的值。 ② 乘法：两个信号在同一瞬间的值相乘就等于积信号在该瞬间的值。
③ 反转（折叠）：将信号f (t ) 表达式以及定义域中的所有自变量t 换成-t 。从波形上看，
f (-t ) 的波形是f (t ) 波形相对于纵轴的镜象。
④ 平移：将信号f (t ) 表达式以及定义域中的所有自变量t 换成t ±t 0。从波形上看，
f (t ±t 0) 的波形是f (t ) 波形相对于横轴的左右移动。
⑤ 尺度变换：将信号f (t ) 表达式以及定义域中的所有自变量t 换成at 。其中a 为常数，称为尺度变换系数。从波形上看，当a >1，f (at ) 的波形是f (t ) 波形以原点(t =0) 为基准，沿时间轴压缩至原来的
11
；当0
f (at ) 的波形把f (t ) 波形折叠并压缩或扩展至原来的
1
。 |a |
df (t )
。从波形上看，表示信号dt
⑥ 微分：将信号f (t ) 求一阶导数，得微分信号f ' (t ) =值随时间变化的变化率。
t
⑦ 积分：将信号f (t ) 在区间(-∞, t ]内积分，得积分信号f
(-1)
(t ) =
-∞
⎰f (τ) d τ。从波形
上看，表示信号在任意时刻t 的值为从-∞到t 区间，f (t ) 与时间轴所包围的面积。
图1. 15给出了f (t ) 的变换图形。
1.3.3 离散信号的运算（加、乘、平移、反转、尺度变换、差分与累加）
离散信号的基本运算包括信号的相加和相乘，信号的反转、平移和尺度变换，以及离散信号的差分、迭分等。
① 加法：两个信号在同一瞬间的值相加就等于和信号在该瞬间的值。 ② 乘法：两个信号在同一瞬间的值相乘就等于积信号在该瞬间的值。
③ 反转（折叠）：将信号f [k ]表达式以及定义域中的所有自变量k 换成-k 。从波形上看，f [-k ]的波形是f [k ]波形相对于纵轴的镜象。
④ 平移：将信号f [k ]表达式以及定义域中的所有自变量k 换成k ±k 0。从波形上看，
f [k ±k 0]的波形是f [k ]波形相对于横轴的左右移动。
⑤ 尺度变换：离散信号f [k ]的尺度变换与连续信号f (t ) 的尺度变换完全不同。f [ak ]只有在ak 为整数时才有确定值。从波形上看，当a >1，f [ak ]的波形是对f [k ]波形进行a 倍
的抽取；当0
⑥ 差分：离散信号f [k ]的前向差分定义为∆f [k ]=f [k +1]-f [k ]，后向差分定义为
∇f [k ]=f [k ]-f [k -1]，与连续信号f (t ) 的一阶导数类似。
二阶差分定义为：∆2f [k ]=∆{∆f [k ]}=f [k +2]-2f [k +1]+f [k ]
∇2f [k ]=∇{∇f [k ]}=f [k ]-2f [k -1]+f [k +2]
n 阶差分表示为∆n f [k ]=∆{∆n -1f [k ]}或∇n f [k ]=∇{∇n -1f [k ]}
⑦ 迭分：也称积分和。与连续信号信号f [k ]的积分对应。定义为
-1
f [k ]=
n =-∞
∑f [n ]。
k
图1. 16给出了离散信号平移、反转、比例变换的波形。
1.4 阶跃信号和冲激信号
阶跃信号和冲激信号不同于普通的信号，称为奇异信号。是指信号本身具有不连续点，或
其导数、积分具有不连续点的信号。奇异信号在信号理论中具有重要作用，能为信号与系统分析带来很多方便。
1.4.1 阶跃信号ε(t ) 、ε[k ] 连续和离散单位阶跃信号定义为
ε(t ) =⎨
⎧1t >0⎧1
ε[k ]=⎨k ≥0
（1-5） ⎩0t
k
显然，阶跃信号属于因果信号，如图1. 17画出了它们的波形。
如果ε(t ) 越变点发生在t =t 0时刻，则记作ε(t -t 0) ，定义为
ε(t -t 0) =⎨
⎧1t >t 0⎩0
t
如果ε[k ]越变点发生在k =k 0时刻，则记作ε[k -k 0]，定义为
ε[k -k k ≥k 00]=⎨
⎧1⎩0
k
对于复合函数形式的阶跃信号ε[f (t )]，定义为：ε[f (t )]=⎨⎧1f (t ) >0
⎩0
f (t )
例如ε(sint ) ，波形如1. 18。
（1-6）
（1-7）
任何实际的物理信号总有一个起始时间，如果把其起始时间定为时间轴的零点，则任何实际的物理信号都可以表示为一个因果信号。任何一个非因果信号f (t ) 、f [k ]都可以通过与单位阶跃信号相乘来变成因果信号f (t ) ε(t ) 、f [k ]ε[k ]。
1.4.2 冲激信号（序列）δ(t ) 、δ[k ] 单位冲激信号（序列）的工程定义
0t ≠0
δ(t ) =⎧⎪⎨k ≠0
+∞
δ(t ) dt =t =0 δ[k ]=⎧⎨0
⎪⎩⎰-∞
1⎩1
k =0
如果δ(t ) 发生在t =t 0时刻，则记作δ(t -t 0) ，定义为
t ≠t δ⎧(t -t ⎪
000) =⎨+∞
⎪⎩⎰-∞
δ(t -t 0) dt =1t =t 0
如果δ[k ]发生在k =k 0时刻，则记作δ[k -k 0]，定义为
δ[k -k 0]=⎨
⎧0k ≠k 0⎩1
k =k 0
1.4.3 冲激信号的性质 ⑴ 取样性
若f (t ) 为在t =0处连续的有界函数，则
f (t ) δ(t ) =f (0) δ(t ) ⎰+∞
-∞
f (t ) δ(t ) dt =f (0) 同理 f (t ) δ(t -t 0) =f (t 0) δ(t -t 0)
⎰
+∞
-∞
f (t ) δ(t -t 0) dt =f (t 0) 对于离散时间冲激序列来说，有如下性质：
f [k ]δ[k ]=f [0]δ[k ] f [k ]δ[k -k 0]=f [k 0]δ[k -k 0]
（1-8）
（1-9）
（1-10）
（1-11）
（1-12）
（1-13）
【例1-3】计算下列各式的值
①(cost ) δ(t ) ②(sint ) δ(t )
5
5
③(t 2+t +1) δ(t ) dt ④(t 3+10t +41) δ(t -10) dt
-55
∞
⎰
-55
∞
⎰
⑤e
0-
⎰
-t
k =-∞
∑δ(t -2k ) dt ⑥⎰e ∑δ(t -2k ) dt
-t 0+
k =-∞
解
①(cost ) δ(t ) =cos 0δ(t ) =δ(t ) ②(sint ) δ(t ) =sin 0δ(t ) =0
5
③(t 3+t +1) δ(t ) dt =t 2+t +1|t =0=1
-55
⎰
5]内没有冲激。 ④(t 3+10t +41) δ(t -10) dt =0 积分在[-5，
-55
∞
5
⎰
⑤e
0-5
⎰
-t
k =-∞∞
∑δ(t -2k ) dt =⎰[δ(t ) +e
0-5
-2
δ(t -2) +e -4δ(t -4)]dt =1+e -2+e -4
⑥e
+
⎰
-t
k =-∞
∑
δ(t -2k ) dt =⎰[e -2δ(t -2) +e -4δ(t -4)]dt =e -2+e -4
0+
⑵ 尺度特性
若a ≠0，且为实数，则
δ(at ) =
1
δ(t ) （1-14） |a |
同理 δ(at -t 0) =
t 1
δ(t -0) （1-15） |a |a
当a =-1时，得：δ(t ) =δ(-t ) 即δ(t ) 是一个偶函数 【例1-4】计算下列各式的值 ①e
5
-2t
δ(2t ) ②(sint ) δ(2t -π)
③e
-5
⎰
-2t
π⎫⎛π⎫
δ(2-2t ) dt ④⎰sin ⎛ t -⎪⋅δ 2t -⎪dt
2⎭⎝2⎭⎝-∞
∞
解 ①e
-2t
δ(2t ) =e -2t ⋅1δ(t ) =1e 0δ(t ) =1222
δ(t )
②sin t δ(2t -π) =sin t ⋅
12δ⎛ ⎝t -π⎫2⎪1⎛π⎫⎛π⎫1⎛π⎫⎭=2sin ⎝2⎪⎭δ ⎝t -2⎪⎭=2δ ⎝t -2⎪⎭
5
5
③⎰e
-2t
δ(2-2t ) dt =11-5⎰e -2t ⋅2(t -1) dt =2
e -2
-5
∞
④⎰sin ⎛ t -π⎫⎛π⎫∞
⎛π⎫1⎛π⎫
2-∞⎝2⎪⎭δ ⎝2t -2⎪⎭dt =-⎰sin t -⎪⋅δ t -⎪dt =-
∞
⎝2⎭2⎝4⎭4⑶ δ(t ) 、ε(t ) 、t ε(t ) 的关系
d dt t ε(t ) =ε(t ) d
dt
ε(t ) =δ(t ) ⎰
t
t
-∞
δ(t ) dt =ε(t ) ⎰-∞
ε(t ) dt =t ε(t )
对于离散时间冲激序列来说，有如下性质
δ∞
[k ]=ε[k ]-ε[k -1] ε[k ]=∑δ[k -n ] n =0
【例1-5】求门函数P (t ) 的导数P ' ττ(t ) ，画波形图。
解
P τ(t ) =ε(t +τ) -ε(t -τ) P τ' (t ) =δ(t +τ) -δ(t -τ)
结果如图1. 20。
【例1-6】f (t ) 如图1. 21(a ) ，求⎰
t
-∞
f (τ) d τ并画图。
解
f (t ) =2δ(t +1) -δ(t -1) -δ(t -2)
1-16）（
g (t ) =⎰t
-∞
f (τ) d τ=2ε(t +1) -ε(t -1) -ε(t -2)
图形如1. 21(b
)
⑷ δ(t ) 的导数δ'
(t )
δ' (t ) =
d
dt
δ(t ) 称为冲激偶函数。 t
∞
-⎰δ'
(t ) dt =δ(t ) ∞
⎰δ' (t ) dt =0
-∞
δ' (t ) 有如下性质：
δ' (t ) =-δ' (-t )
类推 δ
(n )
(t ) =(-1) n δ(n ) (-t ) δ' (at ) =
1
a |a |
δ' (t ) (a ≠0) 类推 δ(n )
(at ) =
1a n
⋅|a |
δ(n )
(t ) f (t ) δ' (t ) =f (0) δ' (t ) -f ' (0) δ(t ) ∞
t ) δ' (t ) dt =-f ' (0) -⎰
f (∞
f (t ) δ' (t -t 0) =f (t 0) δ' (t -t 0) -f ' (t 0) δ(t -t 0) ∞
) δ' (t -t 0) dt =-f ' (t 0) -⎰
f (t ∞
1-17）1-18）1-19）1-20）1-21）1-22）1-23）
（
（
（ （
（ （
（
∞
同理
-∞
5
⎰
f (t -t 0) δ(n ) (t ) dt =(-1) n f (n ) (t 0) （1-24）
【例1-7】计算e
-5
⎰
-2t
δ' (2-2t ) dt
解
∞1'
利用公式δ' (at ) =δ(t ) 和⎰f (t ) δ' (t -t 0) dt =-f ' (t 0)
-∞a |a |
5
-2t
'
5
-5
-2t
e δ(2-2t ) dt =e ⎰⎰⋅
-5
111
δ' (t -1) dt =(2e -2t ) |t =1=-e -2 -2⋅2-42
⑷复合函数形式的冲激函数δ[f (t )]
设f (t ) =0有n 个互不相等的实根t i (i =1, 2, 3 , n ) ，则
δ[f (t )]=∑
1
(t -t i ) 。 （1-25）
i =1|f ' (t i ) |
n
如果f (t ) =0有重根，δ[f (t )]没有意义。 【例1-8】求δ[4t -1]的表达式 解
令f (t ) =4t 2-1=0 得t =±
2
1
则|f ' (t ) |=|8t |=4 2
δ[4t 2-1]=δ t +⎪+δ t -⎪
1⎛4⎝1⎫2⎭1⎛4⎝1⎫2⎭
1.5 系统描述与分析
1.5.1 系统及基本问题
系统是一个比较广泛而抽象的概念, 很难用精确的语言来定义。几乎任何具有某种功能、彼此相关的事物组成的整合体都可称为系统。比如：电力系统、通信系统、生物系统、社会系统、机械系统等等。这里我们将系统定义为产生、传输或处理信号的客观实体。它是由一些“单元”、按一定规则相互连接而组成的、具有一定功能的有机整体。
虽然系统类型不同，但是信号作用于系统将产生怎样的影响则是各种系统共同关注的问
题。因此，信号作用于系统后，系统发生的变化、系统响应的动态特性、系统的稳定性、如何使系统性能优化等问题就是系统分析的主要问题。
1.5.2 系统的描述
要分析一个系统，首先要建立描述这个系统基本特性的数学模型，然后用数学方法求出它的解答，并对所得结果赋予实际的含义。
描述系统的常用方法之一是建立输入信号和输出信号所遵循的数学方程，即输入输出方程。图1. 22所示的电路为LRC 串联电路，建立激励f (t ) 与响应y (t ) 的关系遵循基尔霍夫电压定律有：u L (t ) +u R (t ) +u C (t ) =f (t )
du C (t ) ⎧
i (t ) =C ⎪dt ⎪
⎪u R (t ) =Ri (t )
各元件端电压与电流关系： ⎨
di (t ) ⎪u (t ) =L
⎪L dt ⎪y (t ) =u (t )
C ⎩
整理，得 y " (t ) +
R ' 11
y (t ) +y (t ) =f (t ) L LC LC
这就是该系统的数学模型。
有时还可以用一些基本运算单元描述系统，如利用加法器、放大器、乘法器、积分器、延时器等构成系统的模拟图，从而反映系统的激励与响应之间的数学运算关系。在信号与系统分析中，常用的基本运算单元如图1. 23和图1. 24所示。
【例1-9】某连续系统的框图如图1. 25所示，写出该系统的微分方程。
解 框图中有两个积分器，所以该系统是二阶微分系统。最右端的积分器输出为y (t ) ，则其输入信号为y (t ) ，左方的积分器输入为y (t ) ，加法器的输出为：
'
"
y " (t ) =-ay ' (t ) -by (t ) +f (t ) （1-26）
整理后，得该系统微分方程 y " (t ) +ay (t ) +by (t ) =f (t )
【例1-10】某连续系统的框图如图1. 26所示，写出该系统的微分方程。
'
解 框图中有两个积分器，该系统仍然是二阶微分系统。引入辅助函数q (t ) ，则积分器
的输入分别为q ' (t ) ，q ' ' (t ) ，如图1. 26所示。
输入端加法器：f (t ) =q ' ' (t ) +a 1q ' (t ) +a 0q (t ) （1-27） 输出端加法器：y (t ) =b 2q ' ' (t ) +b 1q ' (t ) +b 0q (t ) （1-28） 消除辅助函数q (t ) ，可得系统的微分方程：
y ' ' (t ) +a 1y ' (t ) +a 0y (t ) =b 2f ' ' (t ) +b 1f ' (t ) +b 0f (t )
【例1-11】某离散系统的框图如图1. 27所示，写出该系统的差分方程。
解 框图中有两个延迟单元，该系统仍然是二阶差分系统。引入辅助函数q [k ]，则延迟单元的输出分别为q [k -1]、q [k -2]，如图1. 27所示。
输入端加法器：f [k ]=q [k ]+a 1q [k -1]+a 0q [k -2] （1-29） 输出端加法器：y [k ]=b 2q [k ]+b 1q [k -1]+b 0q [k -2] 消除辅助函数q [k ]、q [k -1]、q [k -2]，可得差分方程：
（1-30）
y [k ]+a 1y [k -1]+a 0y [k -2]=b 2f [k ]+b 1f [k -1]+b 0f [k -2]
1.5.3 系统的分类
在信号与系统分析中，常以系统的数学模型和基本特性分类。较为常见的分类方法有： ⑴ 动态系统与静态系统( Dynamical system and Static system )
如果系统在时刻t 0的响应y (t 0) ，不仅与该时刻的激励f (t 0) 有关，而且与该时刻以前，即(-∞, t 0) 区间内的激励有关，则这种系统称为动态系统（或记忆系统）。如对于电路中的电
-容、电感等储能元件（电容器上的初始电压U C (t 0) 反映了电场能储存，电感线圈中的初始电-流i L (t 0，系统t 0时刻的状态{x i (t 0), i =1~n }，实际上是(-∞, t 0) 区间) 反映了磁场能储存）
-
内一切外部原因（激励）对系统的总贡献，所以凡具有初始状态的系统，一定是动态系统。从能量的观点看，系统在t 0时刻的状态，反映了系统在t 0时刻的储能情况。因此，动态系统也就是包含有储能元件的系统。
反之，若系统在t 0时刻的响应y (t 0) ，只与t 0时刻的激励f (t 0) 有关，而与t 0以前，即
(-∞, t 0) 区间内的激励无关，则称为静态(或无记忆) 系统。因此静态系统无状态可言，纯电阻
网络就是静态系统的典型例子。
⑵ 因果系统与非因果系统( Causal system and Non-causal system )
如果系统在任意时刻的响应y (t ) ，只决定t 及t 前的激励，而与t 后的激励无关，这种系统称为因果系统(有原因方有结果的系统) 。反之，t 时刻的响应y (t ) 不仅与(-∞, t ) 区间的激励有关，而且与t 之后的激励有关时，这种系统称为非因果系统。如y (t ) =f (t +2), t >0，因为响应出现在激励加入之前，所以该系统是一个非因果系统。
一般的电路系统、机械系统等物理可实现系统都是因果系统。非因果系统的响应既然与未来的激励有关，因此属于可预测未来的系统，如气象预报、股票分析、人口统计就属于这种系统。非因果系统是不可物理实现的系统，气象预测、股票预测只能是一种估计，是不可能预先得到完全准确的未来结果的。
⑶ 线性系统与非线性系统( Linear system and Non-linear system )
线性系统是指系统的数学模型是线性方程的系统。“线性（Linearity ）”在数学上包括比例性和叠加性，加之影响系统响应的因素，除了从某一时刻加入系统的激励之外，还有此时刻系统的状态，因此，如果某系统是线性的，则它必须满足以下3个条件：
① 可分解性质
系统的输出响应可分解为零输入响应与零状态响应之和。 即 y (t ) =y zi (t ) +y zs (t ) y [k ]=y zi [k ]+y zs [k ]
其中，y zi (t ) 或y zi [k ]是系统的零输入响应，y zs (t ) 或y zs [k ]是系统的零状态响应。也就是说，一个线性系统，其初始状态可以作为系统的一个独立原因来加以考虑，即能将响应分解为零输入响应和零状态响应来分别独立计算。
② 零输入线性性质
所谓零输入线性是指当输入为零时，由初始状态集合{x i (0-) ，i =1~n }各项值x i (0-)
所引起的响应y zi (t ) ，t ≥0具有比例性和叠加性，即
若 x i (0) →y zi i (t ) t ≥0 则
-
∑a x
i i =1
n
i
(0) →
-
∑a y
i i =1
n
zi i
(t ) t ≥0
其中，单箭头→ 指左端引起右边的响应，a i 为任意常数。 ③ 零状态线性性质
所谓零状态线性是指当系统初始状态为零时，由输入信号集合{f i (t ) ε(t ) ，i =1~m }中各项f i (t ) ε(t ) 所引起的响应y zs i (t ) ε(t ) 具有比例性和叠加性，即，
若 f i (t ) ε(t ) →y zsi (t ) ε(t ) 则 其中b i 成为任意常数。
总结以上三点，一个线性系统的总响应应具有以下性质：
∑b f (t ) ε(t ) →∑b y
i i
i
i =1
i =1
m m
zsi
(t ) ε(t )
y (t ) =y zi (t ) +y zs (t ) =∑a i y x i (t ) ＋∑b i y f i (t ) ε(t ) t ≥0
i =1
i =1
n m
凡不满足上述性质的系统都是非线性系统。
另外，线性系统还有3个重要特性：微分特性、积分特性和频率保持特性。 ④ 微分特性
如果线性系统输入f (t ) 引起的响应为y (t ) ，则当输入为f (t ) 的导数
df (t )
时，其响应为dt
y (t ) 的导数
dy (t )
。 dt
t
⑤ 积分特性
如果线性系统输入f (t ) 引起的响应为y (t ) ，则当输入为f (t ) 的积分应为y (t ) 的积分
⎰
f (τ) d τ时，其响
⎰y (τ) d τ。
t
⑥ 频率保持特性
如果线性系统的输入信号含有频率ω1, ω2, , ωn 的成分，则系统的稳态响应也只含有
ω1, ω2, , ωn 的成分。即，信号通过线性系统后不会产生新的频率分量。
【例1-12】已知系统输入输出关系如下，其中f (t ) 和y (t ) 分别为连续系统的输入和输出，
y (0) 为初始状态；f [k ]和y [k ]分别为离散系统的输入和输出，y [0]为初始状态。判断这些
系统是否为线性系统。
⑴y (t ) =y (0) f (t ) ε(t ) ⑵y [k ]=5y [0]+3f 2[k ] ⑶y (t ) =3y (0) +2解
⑴y (t ) =y (0) f (t ) ε(t )
由于无法区分激励f (t ) ε(t ) 与初始状态y (0) 分别对y (t ) 的影响，即不满足可分解性，因此该方程所描述的是非线性系统。
⑵y [k ]=5y [0]+3f [k ]
满足可分解性，零输入响应y zi [k ]=5y [0]具有线性特性。但是零状态响应
2
df (t )
dt
y zs [k ]=3f 2[k ]不满足线性特性，因此该方程所描述的是一个非线性系统。
⑶y (t ) =3y (0) +2
df (t )
dt
满足可分解性和零输入响应线性，零状态响应满足微分特性。因此该方程所描述的是线性系统。
【例1-13】某线性系统的状态由两个变量x 1(t ) 、x 2(t ) 确定。现已观察到： 当x 1(0-) =1，x 2(0-) =0时，系统的零输人响应为y zi 1(t ) =e -2t +e -3t 当x 1(0-) =0，x 2(0-) =1时，系统的零输人响应为y zi 2(t ) =e -2t -e -3t
t ≥0 t ≥0
---2t 当x 1(0) =1，x 2(0) =-1，f (t ) =ε(t ) 时，系统的全响应为y (t ) =2+e --
试计算f (t ) =2ε(t ) ，x 1(0) =5，x 2(0) =3时的全响应y (t ) 。
t ≥0
解 由线性系统的性质可知：
y (t ) =y zi 1(t ) -y zs 2(t ) +y zs (t ) =2e -3t +y zs (t ) =2+e -2t y zs (t ) =2+e -2t -2e -3t
y (t ) =5y zi 1(t ) +3y zi 2(t ) +2y zs (t )
=5[e -2t +e -3t ]+3[e -2t -e -3t ]+2[2+e -2t -2e -3t ] t ≥0 =4+10e -2t -2e -3t
⑷ 时不变与时变系统( Time-invariant system and Time-variant system ) 系统参数不随时间变化的系统称为时不变系统（也称恒参系统、定常系统）；反之，参数随时间而变化的系统称为时变系统（也称变参系统）。
图1. 28示意出线性时不变系统的这个关系。当因果输入信号f (t ) 延迟t 0而成为f (t -t 0) 时，由于t =0和t =t 0时刻系统的状态一样，所以应也由y (t ) ，t ≥0成为y (t -t 0) ，t ≥t 0。
系统的线性和时不变性质是两个不同概念，线性系统可以是时变，也可以是时不变，非线性系统也是如此。若系统既是线性的又是时不变的，则称为线性时不变系统（ Linear Time Invariant ）, 简记为LTI 系统。
【例1-14】某线性时不变系统，已知当
⑴x 1(0) =1, x 2(0) =2, f 1(t ) =ε(t ) 时，系统全响应y 1(t ) =(3e
-
-
-
-
-t
+4e -2t ) ε(t ) ；
-t
⑵x 1(0) =1, x 2(0) =2, f 1(t ) =2ε(t ) 时，系统全响应y 2(t ) =(5e 分别计算下列情况时系统的全响应：
①x 1(0-) =1, x 2(0-) =2, f 3(t ) =0时，y 3(t ) =？；
-3e -2t ) ε(t ) 。
②x 1(0) =1, x 2(0) =2, f 4(t ) =ε(t ) -2ε(t -1) 时，y 4(t ) =？。 解
根据线性系统的特性有：
--
y 1(t ) =y zi 1(t ) +y zs 1(t ) y 2(t ) =y zi 2(t ) +y zs 2(t )
∵ y 1zi (t ) =y 2zi (t ) （系统状态相同，零输入响应相同）
y 2zs (t ) =2y 1zs (t ) （f 2(t ) =2f 1(t ) ，零状态响应2倍关系）
-t -2t
⎧⎪y 1(t ) =y zi 1(t ) +y zs 1(t ) =(3e +4e ) ε(t ) 即⎨ -t -2t
⎪⎩y 2(t ) =y zi 2(t ) +2y zs 1(t ) =(5e -3e ) ε(t )
∴ 零输入响应 y 3(t ) =y zi 1(t ) =2y 1(t ) -y 2(t ) =(e -t +11e -2t ) ε(t ) ∵ 零状态响应 y zs 1(t ) =y 1(t ) -y zi 1(t ) =y 2(t ) -y 1(t ) =(2e -t -7e -2t ) ε(t )
而 f 4(t ) =f 1(t ) -2f 1(t -1) ∴全响应
y 4(t ) =y zi 1(t ) +y zs 1(t ) -2y zs 1(t -1)
=(3e +4e
-t
-2t
) ε(t ) -2[2e
-(t -1)
-7e
-2(t -1)
]ε(t -1)
⑸ 稳定系统与非稳定系统( Stable and Unstable system )
如果一个系统在输入有界时，系统的输出也有界，则这个系统就是稳定系统。否则，一个小的激励就会使响应发散的系统称为非稳定系统。即，若系统的激励f (⋅)
1.6 信号及其运算的MATLAB 实现
MATLAB 可以方便地绘制信号的时域波形，使信号分析过程变得更加直观。 1.6.1 常用信号
⑴ 斜变信号 f (t ) =At +B 、f [k ]=Ak +B 图1.29所示连续斜変信号的MATLAB 源程序波形。 %斜变函数f(t)=at+b A=2;B=3; t=-5:0.01:5; Y1=A*t;Y2=-A*t; Y3=A*t+B;Y4=-A*t+B;
subplot(2,2,1),plot(t,Y1),title('y = At'); subplot(2,2,2),plot(t,Y2),title('y = - At');
subplot(2,2,3),plot(t,Y3),title('y = At+B');
subplot(2,2,4),plot(t,Y4),title('y = - At+B');
图1.30所示离散斜变信号的MATLAB 源程序波形。 %斜变序列f(k)=ak+b A=2;B=10;k=-18:2:18; Y1=A*k;Y2=-A*k; Y3=A*k+B;Y4=-A*k+B;
subplot(2,2,1),stem(k,Y1),title('y = - Ak'); subplot(2,2,2),stem(k,Y2),title('y = - Ak'); subplot(2,2,3),stem(k,Y3),title('y = Ak+B');
subplot(2,2,4),stem(k,Y4),title('y = - Ak+B');
⑵正（余）弦信号 f (t ) =A sin(ωt +φ) ， f [k ]=A sin(Ωk +φ) 图1.31所示正余弦连续信号的MATLAB 源程序波形。 %正余弦信号 a=2;w0=pi/8; t=0:0.001:40
ft1=a*sin(w0*t);ft2=a*sin(2*w0*t); ft3=a*cos(w0*t);ft4=a*cos(2*w0*t);
subplot(2,2,1),plot(t,ft1),title('正弦信号sin(wt)'); subplot(2,2,2),plot(t,ft2),title('正弦信号sin(2wt)'); subplot(2,2,3),plot(t,ft3),title('余弦信号cos(wt)'); subplot(2,2,4),plot(t,ft4),title('余弦信号
cos(2wt)');
图1.32所示正余弦序列的MATLAB 源程序波形。 %正余弦序列 a=2; w0=pi/20; k=0:2:80 fk1=a*sin(w0*k); fk2=a*sin(2*w0*k); fk3=a*cos(w0*k);
fk4=a*cos(2*w0*k);
subplot(2,2,1),stem(k,fk1),title('正弦序列sin(wk)'); subplot(2,2,2),stem(k,fk2),title('正弦序列sin(2wk)'); subplot(2,2,3),stem(k,fk3),title('余弦序列cos(wk)'); subplot(2,2,4),stem(k,fk4),title('余弦序列
cos(2wk)');
⑶指数信号f (t ) =Ae
图1.33所示指数信号的MATLAB 源程序波形。调用形式为y=A*exp(a*t) %指数信号 A=2; t=-5:0.001:5 a=-0.3; ft=exp(a*t);
subplot(1,3,1),plot(t,ft),title('a
subplot(1,3,2),plot(t,ft),title('a>0');grid sigma=0; ft=exp(a*t);
subplot(1,3,3),plot(t,ft3),title('a=0');grid
σt
⑷复指数信号f (t ) =Ae %复指数信号 A=2; t=-5:0.001:5 a=-0.3; w=10;
ft=exp((a+j*w)*t);
subplot(2,3,1),plot(t,real(ft)),title('a
ft=exp((a+j*w)*t);
subplot(2,3,2),plot(t,real(ft)),title('a
ft=exp((a+j*w)*t);
subplot(2,3,3),plot(t,real(ft)),title('a
(σ+j ω) t
⑸取样函数（信号）Sa (t ) %抽样函数信号
t=-10*pi:pi/100:10*pi; ft=sinc(t/pi); plot(t,ft);grid on;
xlabel('抽样函数（
sinc(t)=sin(PI*T)/pi*t')
1.6.2 信号的运算 ⑴连续时间信号的运算函数 %求和、差、标乘、乘积运算
t=-3:0.05:3; %定义时间变量
w=2*pi; %定义角频率
x=sin(w*t); %定义信号x(t)=sin(wt) y=sign(t); %定义信号y(t)=sgn(t) subplot(321)；plot(x)
title('x(t)')；xlabel('t')；grid subplot(322)；plot(y)
title('y(t)')；xlabel('t')；grid %求和运算
z1=x+y; subplot(323)；plot(z1)
title('x(t)+y(t)')；xlabel('t')；grid %求差运算
z2=x-y; subplot(324)；plot(z2)；
title('x(t)-y(t)')；xlabel('t')；grid %标乘运算
z3=2*x; subplot(325)；plot(z3)
title('2x(t)')；xlabel('t')；grid %乘积运算
z4=x.*y; subplot(326)；plot(z3)
title('x(t).y(t)')；xlabel('t')；grid
%时移、翻褶、尺度变换, 卷积运算
t=-5:0.05:5; %定义时间变量 w=4; %定义角频率
x=sin(w*t); %定义信号x(t)=sin(wt) y=sign(t); %定义信号y(t)=sgn(t) subplot(321);plot(t,x) title('x(t)');xlabel('t')
axis([-5.1 5.1 -2.1 2.1]);grid subplot(322);plot(t,y) title('y(t)');xlabel('t')
axis([-5.1 5.1 -2.1 2.1]);grid %时移
t1=t-1; %定义信号x1(t)=x(t+1) subplot(323);plot(t1,x) title('x(t+1)');xlabel('t') axis([-6.1 6.1 -2.1 2.1]);grid %翻褶
z1=fliplr(y); % y(-t) subplot(324);plot(t,z1)
title('y(-t)');xlabel('t');axis([-5.1 5.1 -2.1 2.1]);grid %尺度变换 t2=t*2;
z2=sin(w*t2); % z2(t)=x(2t)
subplot(325) ;plot(t,z2) ;title('x(2t)') ;xlabel('t') axis([-5.1 5.1 -2.1 2.1]) ;grid %卷积运算
z3=conv(x,y); % z3(t)=x(t)*y(t)
t1=[1:length(z3)]*0.05-10.05; % t1为卷积后信号的自变量定义范围 subplot(326) ;plot(t1,z3) ;title('x(t)*y(t)') ;xlabel('t')
axis([-10.5 10.5 -10.5 12]) ;grid
%微积分运算
t=-4:0.01:4; %定义时间变量 l=length(t);
x=[zeros(1,(l-1)/2) ones(1,(l+1)/2)]; %定义信号x(t)=u(wt) subplot(131)；plot(t,x)
title('x(t)')；xlabel('t')；axis([-3 3 -0.1 3.1])；grid %积分运算 z1=t;
z1(1:(l-1)/2)=zeros(1,(l-1)/2);
subplot(132)；plot(t,z1)；title('∫x(τ)d τ') xlabel('t')；axis([-3 3 -0.1 3.1])；grid %微分运算
z2=x(2:end)-x(1:end-1);
z2=z2/0.01;
subplot(133)；plot(t(1:end-1),z2) ；
title('dx(t)/dt')；xlabel('t')；axis([-3 3 -0.1 max(z2)+.1])；
grid
⑵离散时间信号的运算样函数
%离散时间信号的加、乘、平移、反转运算 n=-20:20; %定义时间变量 l=length(n)
w=0.2*pi; %定义角频率
x=sin(w*n); %定义信号x(n)=sin(w.n)
y=[zeros(1,(l-1)/2) ones(1,(l+1)/2)]; %定义信号y(t)=e(n) subplot(321);stem(n,x);
title('x(n)');xlabel('n');axis([-15 15 -2.1 2.1]);grid subplot(322);stem(n,y)
title('y(n)');xlabel('n');axis([-15 15 -2.1 2.1]);grid %加法运算 z1=x+y;
subplot(323);stem(n,z1)
title('x(n)+y(n)');xlabel('n');axis([-15 15 -2.1 2.1]);grid %乘法运算 z2=x.*y;
subplot(324);stem(n,z2);
title('x(n)·y(n)');xlabel('t');axis([-15 15 -2.1 2.1]);grid %平移 n1=n-4;
subplot(325);stem(n1,x);
title('x(n+4)');xlabel('n');axis([-15 15 -2.1 2.1]);grid %反转
z4=y(end:-1:1); subplot(326);stem(n,z4)
title('y(-n)');xlabel('n');axis([-15 15 -2.1 2.1]);grid
%差分、累加运算
n=-20:20; %定义时间变量 l=length(n)
w=0.2*pi; %定义角频率
x=sin(w*n); %定义信号x(n)=sin(w.n) subplot(131)；stem(n,x)；title('x(n)') %差分运算
detx=x(1:l-1)-x(2:l);
subplot(132)；stem(n(1:l-1),detx)；title('△x(n)')
xlabel('n')；axis([-15 15 -2 2])；grid %累加运算 acx=[]; for i=1:l
c=sum(x(1:i)); acx=[acx c]; end
subplot(133)；stem(n,acx) ；
title('Σx(n)')；xlabel('n')；axis([-15 15 min(acx)-.1 max(acx)+.1])；
grid
%定义空向量
习 题 一
1.1 画出下列各信号的波形。
⑴f (t ) =(2-3e -t ) ε(t ) ⑵f (t ) =t ε(t -2) ⑶f (t ) =2ε(t +1) -3ε(t -1) ⑷f (t ) =sin(πt ) ε(t ) ⑸f (t ) =sin t ε(sint ) ⑹f (t ) =ε(t 2-1)
⑺f (t ) =δ(sinπt ) ⑻f [k ]=(-2) -k ε[k ] ⑼f [k ]=sin
⎛k π⎫⎛k π⎫
⑽ε[k ]f [k ]=sin ⎪{ε[k ]-ε[k -7]} ⎪
⎝6⎭⎝4⎭
1.2 写出图示各波形的表示式。
1.3 判断下列信号是否为周期信号。如果是，确定其周期。 ⑴f (t ) =3sin 4t +
⎛
⎝
π⎫
⎪ ⑵f (t ) =sin t -3cos 2t 4⎭
⎛5⎫⎛2⎫⎛8k π⎫
t ⎪+3sin t ⎪ ⑷f [k ]=cos +2⎪ ⎝16⎭⎝13⎭⎝7⎭3k ⎛k π⎫
f [k ]=3cos() ⑹⎪
4⎝3⎭
⑶f (t ) =sin t ⎪+2cos
⎛3⎫
⎝2⎭
⑸f [k ]=2sin ⎪+3cos
⎛k ⎫⎝6⎭
1.4 设系统的初始状态为x (0) ，激励为f (t ) ，各系统的全响应y (t ) 与激励和初始状态的关系如下，试分析各系统是否是线性的、时不变的。
⑴y (t ) =e x (0) +
-t
⎰
t 0
sin xf (x ) dx ⑵y (t ) =f (t ) x (0) +t
k
2
⎰
t 0
f (x ) dx
df (t ) ⎛1⎫
⑶y (t ) =x (0) +f (t ) ⑷y [k ]= ⎪x [0]+f [k ]⋅f [k -2]
dt ⎝2⎭
⑸y [k ]=kx [0]+
∑f [j ] ⑹y [k ]=x [0]⋅f [k -2]
j =0
k
1.5 已知信号f (t ) 的波形如图所示。
⑴ 求f (2-t ) 与f (6-2t ) 的表达式，并画出波形。 ⑵ 画出f 1(t ) =
⎰
t
-∞
f (2-τ) d τ和f 2(t ) =
d
[f (6-2t )]的波形。 dt
1.6 已知序列f [k ]的波形如图所示，画出下列各序列的波形。 ⑴f [k -2]ε[k ] ⑵f [k -2]ε[k -2] ⑶f [k -2]{ε[k ]-ε[k -4]} ⑷f [-k -2] ⑸f [-k +2]ε[-k +1] ⑹f [k ]-f [k -3]
⑺f [k ]δ[k -1] ⑻f [k ]δ
[2k ]
1.7 已知信号f (t ) 的波形如图所示，求f (3-2t ) 的表达式。 1.8 计算下列各题
⑴ t δ(2t ) ⑵ sin t ⋅δ t -⑶ e
-2t
⎛⎝
π⎫
⎪ 2⎭
δ(-t ) ⑷
d -2t
[e δ(t )] dt
d 2d 22
⑸ 2[sin(2t ) ε(t )] ⑹2[(t +1) ε(t )]
dt dt
1.9 计算下列积分 ⑴
⎰
0-∞∞
e -2t δ(t +3) dt ⑵ ⎰sin(2t ) ⋅δ(2t -3) dt
1
2
∞sin(π⋅t )
δ(t ) dt ⑷ ⎰e -2t [δ' (t ) +δ(t )]dt ⑶ ⎰-∞-∞t
⑸
⎰⎰
3-2∞
e -3t ⋅δ' (t -1) dt ⑹ ⎰(t 3+2t 2-2t +1) δ' (t -1) dt ⑻ ⎰
⎛t ⎫
(t 2+2) δ ⎪dt -∞
⎝2⎭
∞
⑺
+∞-∞
-∞
ε(t ) ⋅ε(2-t ) dt
1.10 已知t
⑴f (1-t ) +f (t -2) ⑵f (1-t ) ⋅f (2-t ) ⑶f ⎪
1.11 已知初始状态为零的LTI 系统，当激励为f 1(t ) 时，其对应的零状态响应为y 1(t ) ；当输入f 2(t ) 时，求对应的零状态响应y 2(t ) ，并画图。
⎛t ⎫⎝3⎭
-2t
1.12 某LTI 连续系统，已知当激励f (t ) =ε(t ) 时，其零状态响应y (t ) =e ε(t ) ，
求：⑴ 当输入为冲激函数δ(t ) 时的零状态响应；
⑵ 当输入为斜升函数t ε(t ) 时的零状态响应。
1.13 某LTI 离散系统如图，已知当激励为信号f 1[k ]=δ[k ]时，其零状态响应为y 1[k ]。 求：⑴当激励为信号f 2[k ]时，系统零状态响应y 2[k ]；
⑵当激励为信号f 3[k ]时，系统零状态响应y 3[k ]。
1.14 某二阶LTI 连续系统，其初始状态为x 1(0) 和x 2(0) ，已知当x 1(0) =1, x 2(0) =2，
f 1(t ) =ε(t ) 时，输出y 1(t ) =(6e -2t -5e -3t ) ε(t ) ；若初始状态不变，当f 2(t ) =3ε(t ) 时，输
出y 2(t ) =(8e -2t -7e -3t ) ε(t ) 。计算：
⑴当x 1(0) =1, x 2(0) =2，输入为f 3(t ) =0时的响应y 3(t ) =? ； ⑵当x 1(0) =x 2(0) =0，输入为f 4(t ) =2ε(t ) 的响应y 4(t ) =? 。
1.15 某LTI 连续系统S , 当激励为ε(t ) 时，其零状态响应为ε(t ) -ε(t -1) 。现将两个完全相同的系统级联，如图(a ) 所示。当这个复合系统的输入为图(b ) 的信号f (t ) ，求该系统零状态响应。