线性方程组：
高斯-约当算法：
增广矩阵→阶梯型矩阵→简化阶梯型矩阵
解的存在状况：
1. 阶梯型矩阵中出现“0=d(d≠0) ”，无解； 2. 阶梯型矩阵中不出现“0=d(d≠0) ”，若其中非零行个数为r, 主元个数为n, 则：r=n, 方程组有唯一解 r
齐次方程组（常数项全为0）的非零解的存在情况：
n元齐次线性方程组有非零解⇔阶梯状矩阵中：非零行个数r
数域：若K⊆C, 且K满足： 1. 0,1∈K
2. 对于任意的a, b∈K, 都有a±b, ab∈K; 并且b≠0时，
二元一次方程组的解法：
ax+a12x2=b1 111 a21x1+a22x2=b2
a
∈K a∆= a11
21a12
a22 ≠0 时，方程有唯一解：
b1 b2
ba12a∆1= 1 ,∆2= 11
b2a22a21∆∆x1=1 ,x2=2
行列式
a11a21 ⋮an1a11a21 ⋮a12a22⋮an2a12a22⋮……………a1na2n
··jn)
= (−1) τ(j1j2·a1j1a2j2···anjn ⋮
j1j2···jn
ann
a1na2n
τ(i1i2···in)
= (−1) ai1ai2···ain ⋮
12nan1
an2
…
anni1i2···in
性质：1. 行与列对称
a…aa…a a11a1221a…a1na112a21an1⋮⋮22⋮n = a12
⋮22…⋮n⋮2
an1an2
…anna1na2n…ann2. 公因子可以提出
a…a1na11aa⋮11a⋮12⋮⋮12…⋮1⋮n ka…kain=kaa…a⋮i1
ka⋮i2⋮ ⋮i1
⋮i2in ⋮ an1an2
…
annan1
an2
…ann
3. a…a1a…aa⋮11a⋮12⋮na11
⋮⋮12
1⋮na11
⋮12⋮ b1
+c…bn+cb…bc⋮1b2+c⋮2⋮n = b⋮1
⋮2⋮n + c⋮1
⋮2an1an2
…
annan1an2
…annan1
an2
4.两行交换，符号相反
a11aa1a…a ⋮12…⋮⋮na⋮
1112⋮1⋮n
aai2…a aak2…akn a⋮i1ka⋮a⋮in k⋮1
=−kna⋮…a⋮ ⋮1k⋮
2…⋮ a
⋮i1⋮i2⋮in
an1an2…annan1an2
…
ann
5.两行相同，值为零
a11a12…a ⋮⋮1⋮nai1a…ain
a⋮a⋮i2…a⋮=0 ⋮i1⋮i2⋮in
an1an2
…
ann
a1⋮ncn ⋮ ann
………
6. 两行成比例，值为零
a11⋮ ai1⋮la i1⋮an1
a12⋮ai2⋮lai2⋮an2
…………
a1n⋮ain
⋮=0 lain
⋮ann
7. 把一行的倍数加到另一行上，值不变
a11a12…a1naa… ⋮⋮⋮11⋮⋮12ai1+lak1
ai2+lak2…ain+lakn ai1ai… a⋮⋮⋮=⋮ka⋮2⋮1ak⋮2…akn⋮ ak⋮1
k2…⋮an1an2…annan1an2
…
综上：一个行列式进行初等变化，不改变值。
按照一行（列）展开
n
A =a1jA1j+a2jA2j+···+anjAnj= aijAij
i=1
其中, Aij= −1 i+jMij Aij:代数余子式；Mij:余子式 推广：
n
a A (l=j) ijAil=i=10 l≠j
范德蒙行列式
111
…
1 aaa…aa12a22a32…an
2 ⋮1⋮2⋮3⋮
n
= ai−aj an1−2an2
−2an3
−2…ann
−2 1≤j≤i≤nan1
−1an2−1an3
−1…
ann
−1
a1⋮nain a⋮ kn
⋮ ann
特殊的n 级行列式 a111 a1······11
⋮⋮⋮⋮ = a+n−1 a−1 n−1 1
1
1
···aa1−ba···a aa2⋮1
2−b···
an
⋮⋮
n
= a1+···+an−b −b n−1 a1
a2
···an−b
a1a2a3···1b210···0
b01···0=a⋮3⋮⋮
1−a⋮ 2b2−···−anbn bn00···1x1−a···x x1x2
···xn
n
⋮
1x2−a⋮
2⋮n = −1 n−1ax1a2···an i
−1 x1x2···xn−an
i=1
i
2−100···000 −01−21
−21−01······00
0000
⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮=n+1 0000···−12−1 0000···0−1
2
2aa200···00
0 12a20···000012···0
⋮⋮⋮a2⋮⋮0⋮0
⋮=an(n+1) 0000···12aa2 00
···0
1
2a
克莱姆法则 n 元方程组
a11x1+a12x2+···+a1nxn=b1ax+a22x2+···+a2nxn=b2 211 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+···+annxn=bn
a11a12…a1na21a22…a2n∆= ⋮
⋮⋮ ≠0时，
an1an2…ann
a11…a1i−1b1a1i+1…a1n
∆i= ⋮⋮⋮⋮⋮
an1…ani−1bnani+1…ann
则：
∆xi=i
拉普拉斯定理：
n 阶行列式A 中，取定k 行（列），则这k 行（列）元素形成的所有k 阶子式与他们自己的代数与子式的乘积之和等于A 。
eg ：五阶
A =
a11⋮ ak1c 11⋮cr1a11⋮ ak10 ⋮00⋮ 0b 11⋮br1
1≤j1≤j2≤5
‘‘‘
i1, i2i1, i, i3(i1+i2)+(j1+j2) A j, j (−1) A ‘2
12j, j‘, j‘
1
2
3
···a1k
⋮···akk···c1r
⋮···crr···a1k
⋮···akk···0
⋮···0···0
⋮···0···b1r
⋮···arr
⋮0b11⋮br1c11⋮cr1b11⋮br1a11⋮ak1c11⋮cr1
…⋯………⋯………⋯……
0⋮a110
= ⋮b1r
ak1 ⋮arrc1r⋮
a11
crr
b1r= ⋮ ak1⋮arr
……
a1kb11⋮ ∙ ⋮akkbr1
……
b1r
⋮ brr
……
a1kb11⋮ ∙ ⋮akkbr1
……
b1r
⋮ brr
a1k⋮a11akk
= −1 rk ⋮c1r
ak1
⋮crr
……
a1kb11⋮ ∙ ⋮akkbr1
……
b1r
⋮ brr
设非空集合V, α, β, γ∈V, k, l∈C 数集 , 定义加法：α+β, 和数乘kα 若V 满足：
（1）α+β=β+α
（2） α+β +γ=α+ β+γ （3）V中存在一个零元素：0, 使得
0+α=α
（4）∀α∈V, ∃β∈V(α的负元素), s. t.
β+α=0
（5）1α=α
（6）(kl) α=k(lα)
（7） k+l α=kα+lα （8）k α+β =kα+kβ
则，这样的集合V 成为线性空间。
性质：
1. 部分组线性相关→整个向量组线性相关； 整个向量组线性无关→部分组相性无关。
2. α1, α2, α3线性无关⇒α1+α2, α2+α3, α1+α3线性无关。
3. 向量组线性无关→延伸组（每个向量都添加m 个分量）线性无关； 向量组线性相关→缩短组（每个向量都减少m 个分量）线性相关。 4. α1, α2,···, αn线性无关，β可由α1, α2,···, αn线性表出 ⟺α1, α2,···, αn, β线性相关。
α1, α2,···, αn线性无关，β不能由α1, α2,···, αn线性表出 ⟺α1, α2,···, αn, β线性无关。
向量组α1, α2,···, αs和向量组β1, β2,···, βr可以互相线性表示，则
α1, α2,···, αs ≅ β1, β2,···, βr
性质：反身性、对称性、传递性
1. 向量组与它的极大线性无关组等价；
2. 向量组的任意两个极大线性无关组等价；
3. 向量组β1, β2,···, βr可由向量组α1, α2,···, αs线性表出，且r>s, 则： 向量组β1, β2,···, βr线性相关。
向量组β1, β2,···, βr可由向量组α1, α2,···, αs线性表出，且向量组β1, β2,··
·, βr线性无关, 则：r≤s
4. 等价的线性无关向量组所含向量个数相等。
5. 向量组任意两个极大线性无关组的向量个数相等。 秩
1. 向量组α1, α2,···, αs线性无关⟺它的秩等于他所含向量个数。 2. 向量组β1, β2,···, βr可由向量组α1, α2,···, αs线性表出，则
rank(β1, β2,···, βr) ≤rank(α1, α2,···, αs) 3. 等价的向量组有相同的秩。 4. 矩阵的秩：
（1）行秩等于列秩；
（2）初等变换不改变矩阵的秩； （3）rank A =rank A′
（4）任一非零矩阵的秩等于它的不为零的的子式的最高阶数，即：
A为n阶矩阵, 若存在不为零的r阶子式Ar, 且对于任一 r+1 阶子式Ar+1, 都有 Ar+1=0, 则rank A =r.
（5）A为n阶矩阵, rank A =n⟺ A =0
线性方程组的解
1. 线性方程组有解判定 线性方程组
x1α1+x2α2+···+xnαn=β
有解的充要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵拥有相同的秩。 = α1, α2,·即：A = α1, α2,···, αn , A··, αn, β n元齐次线性方程组
An×mx=0
若rank A =r
2. 线性方程组解的构造 齐次线性方程组
An×mx=0
若rank(A) =r, 则有n−r个线性无关的基本解组β1, β2,···, βn−r 通解：基本解组的线性组合，即x=c1β1+c2β2+···+cn−rβn−r
非齐次线性方程组
An×mx=b
若其特解为γ0, 导出组An×mx=0的解集为c1β1+c2β2+···+cn−rβn−r，则解为
x=γ0+c1β1+c2β2+···+cn−rβn−r
3. 基和维数
基：V中：α1, α2,···, αr线性无关，且V中的每一个向量都可用它们线性表出，则 其为V 的一个基。
性质：(1)V的任意两个基所含向量个数(维数：dimV) 相等； (2)n元齐次线性方程的解空间W 满足
dimW=n−rank(A)
矩阵的运算
1. 乘积：
A=(aij) s×n ,B=(bij) n×m
n
AB i; j = A(i; j) B(k; j)
k=1
(1)左矩阵列数=右矩阵行数；
(2)乘积矩阵的行数等于左矩阵行数，列数等于右矩阵列数。 (3) AB C=A(BC)
A B+C =AB+AC B+C D=BD+CD k AB = kA B=A(kB)
n级方阵：AkAl=Ak+l; Ak l=Akl
(4)AB≠BA; 但：K=kI 数量矩阵 , 则：KA=AK
AB=0⇏A=0或B=0
AB k≠AkBk, 但若A, B可交换： AB k=AkBkx(5) α, αx
112,···, αn ⋮2 = x1α1+x2α2+···+xnαn
xn
b 11…b αα⋮1⋮m
1, 2,···, αn
bn1…bnm
= b11α·1+b·a21α2+···+bn1α1,···, b1mα1+b2mα2+···+bnmα1 a11· a1nx1a11x1+a12x2+···+a1nxn21⋯a2⋮n x⋮2 = a21x1+a22x⋮2+···+a2nx⋮n as1…asnxnas1x1+as2x2+···+asnxn
2. 转置：
A+B ′=A′+B′ kA ′=kA′ AB ′=A′+B′
3. 对角矩阵： d100···0xd 0d01⋮⋮20⋯⋮⋮ x⋮2 = d1x12x⋮2 000…dnxndnxn
d100···0 α0d1, α2,···, αn ⋮⋮20⋯0
⋮⋮ = d1α1, d2α2,···, dnαn
000…dn
d100···0c100···0c1d100···0 0d⋮⋮20⋯0⋮⋮ 0c⋮⋮20⋯0⋮⋮ = 0c⋮2d⋮20⋯0⋮⋮ 000…dn000…cn000…cndn
4. 初等矩阵
用初等矩阵P(j, i(k)) 左乘一个矩阵，相当于把第i行的k倍加到第j行上； 用初等矩阵P(j, i(k)) 右乘一个矩阵，相当于把第j列的k倍加到第i列上； 5. 对称矩阵:A=A′
斜对称矩阵: A=−A′
6. 矩阵运算的秩
rank(AB) ≤min rank A , rank(B) rank A+B ≤rank A +rank(B) rank AA′ =rank A′A =rank(A) 若A、B都是n级矩阵： AB = A B 7. 可逆矩阵 (1)判断
A是可逆矩阵⟺ A ≠0, rank A =n
且A−1=
1AA∗
AA∗= A11AA21…A…An1⋮12⋮22n⋮2
A1nA2n…Ann
(2)性质
① AB −1=B−1A−1
A1A2···As −1=A−s1···A−21A−11
②若A 可逆，则A ′可逆；
③可逆矩阵经过初等变换化成的简化阶梯形矩阵一定是单位矩阵； ④可逆矩阵可以表示成一些初等矩阵的乘积，即： A=P1P2···Ps
⑤用一个可逆矩阵P 去左（右）乘矩阵A ，不改变A 的秩，即： rank PA =rank AP =rank A (3)初等变化法 A, I 初等行变换
I, A−1
8. 矩阵的分块
AA12BB12A= 11 , B= 11 A21A22B21B22
AB+A12B21A11B12+A12B22AB= 1111 A21B11+A22B21A21B12+A22B22
要求：左矩阵的列组数=右矩阵的行组数；
左矩阵的每个列所含列数等于右矩阵的相应行组所含行数。
若AB=0, B= β1, β2,···, βm
则：β1, β2,···, βm是齐次线性方程AX=0的解。
A1A2′A′A2′ = 1 A3A4A3′A4′
IB n = Is−AB = In−BA AIs
9. 正交矩阵
方阵A：AA′=I
性质：
(1)正交矩阵一定可逆A−1=A′；
(2)若A ，B 是正交矩阵，则AB 也是正交矩阵；
(3)若A 是正交矩阵，A−1=A′也是正交矩阵；
(4)若A 是正交矩阵： A =1或−1
(5)正交矩阵的行（列）向量组组成某空间的一个标准正交基（正交矩阵的充要条件），即：
γ1γ2 A=α1, α2,···, αn= ⋮ γiγ′j=δij; α′iαj=δij
γn
标准内积：
α= a1, a2,···, an ; β=(b1, b2,···, bn)
α, β ≝a1b1+a2b2+···+anbn
性质：
(1) α, β = β, α
(2) α+γ, β = α, β + γ, β
(3) kα, β = k α, β
(4) α, α ≥0, 等号成立当且仅当α=0
11
线性方程组：
高斯-约当算法：
增广矩阵→阶梯型矩阵→简化阶梯型矩阵
解的存在状况：
1. 阶梯型矩阵中出现“0=d(d≠0) ”，无解； 2. 阶梯型矩阵中不出现“0=d(d≠0) ”，若其中非零行个数为r, 主元个数为n, 则：r=n, 方程组有唯一解 r
齐次方程组（常数项全为0）的非零解的存在情况：
n元齐次线性方程组有非零解⇔阶梯状矩阵中：非零行个数r
数域：若K⊆C, 且K满足： 1. 0,1∈K
2. 对于任意的a, b∈K, 都有a±b, ab∈K; 并且b≠0时，
二元一次方程组的解法：
ax+a12x2=b1 111 a21x1+a22x2=b2
a
∈K a∆= a11
21a12
a22 ≠0 时，方程有唯一解：
b1 b2
ba12a∆1= 1 ,∆2= 11
b2a22a21∆∆x1=1 ,x2=2
行列式
a11a21 ⋮an1a11a21 ⋮a12a22⋮an2a12a22⋮……………a1na2n
··jn)
= (−1) τ(j1j2·a1j1a2j2···anjn ⋮
j1j2···jn
ann
a1na2n
τ(i1i2···in)
= (−1) ai1ai2···ain ⋮
12nan1
an2
…
anni1i2···in
性质：1. 行与列对称
a…aa…a a11a1221a…a1na112a21an1⋮⋮22⋮n = a12
⋮22…⋮n⋮2
an1an2
…anna1na2n…ann2. 公因子可以提出
a…a1na11aa⋮11a⋮12⋮⋮12…⋮1⋮n ka…kain=kaa…a⋮i1
ka⋮i2⋮ ⋮i1
⋮i2in ⋮ an1an2
…
annan1
an2
…ann
3. a…a1a…aa⋮11a⋮12⋮na11
⋮⋮12
1⋮na11
⋮12⋮ b1
+c…bn+cb…bc⋮1b2+c⋮2⋮n = b⋮1
⋮2⋮n + c⋮1
⋮2an1an2
…
annan1an2
…annan1
an2
4.两行交换，符号相反
a11aa1a…a ⋮12…⋮⋮na⋮
1112⋮1⋮n
aai2…a aak2…akn a⋮i1ka⋮a⋮in k⋮1
=−kna⋮…a⋮ ⋮1k⋮
2…⋮ a
⋮i1⋮i2⋮in
an1an2…annan1an2
…
ann
5.两行相同，值为零
a11a12…a ⋮⋮1⋮nai1a…ain
a⋮a⋮i2…a⋮=0 ⋮i1⋮i2⋮in
an1an2
…
ann
a1⋮ncn ⋮ ann
………
6. 两行成比例，值为零
a11⋮ ai1⋮la i1⋮an1
a12⋮ai2⋮lai2⋮an2
…………
a1n⋮ain
⋮=0 lain
⋮ann
7. 把一行的倍数加到另一行上，值不变
a11a12…a1naa… ⋮⋮⋮11⋮⋮12ai1+lak1
ai2+lak2…ain+lakn ai1ai… a⋮⋮⋮=⋮ka⋮2⋮1ak⋮2…akn⋮ ak⋮1
k2…⋮an1an2…annan1an2
…
综上：一个行列式进行初等变化，不改变值。
按照一行（列）展开
n
A =a1jA1j+a2jA2j+···+anjAnj= aijAij
i=1
其中, Aij= −1 i+jMij Aij:代数余子式；Mij:余子式 推广：
n
a A (l=j) ijAil=i=10 l≠j
范德蒙行列式
111
…
1 aaa…aa12a22a32…an
2 ⋮1⋮2⋮3⋮
n
= ai−aj an1−2an2
−2an3
−2…ann
−2 1≤j≤i≤nan1
−1an2−1an3
−1…
ann
−1
a1⋮nain a⋮ kn
⋮ ann
特殊的n 级行列式 a111 a1······11
⋮⋮⋮⋮ = a+n−1 a−1 n−1 1
1
1
···aa1−ba···a aa2⋮1
2−b···
an
⋮⋮
n
= a1+···+an−b −b n−1 a1
a2
···an−b
a1a2a3···1b210···0
b01···0=a⋮3⋮⋮
1−a⋮ 2b2−···−anbn bn00···1x1−a···x x1x2
···xn
n
⋮
1x2−a⋮
2⋮n = −1 n−1ax1a2···an i
−1 x1x2···xn−an
i=1
i
2−100···000 −01−21
−21−01······00
0000
⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮=n+1 0000···−12−1 0000···0−1
2
2aa200···00
0 12a20···000012···0
⋮⋮⋮a2⋮⋮0⋮0
⋮=an(n+1) 0000···12aa2 00
···0
1
2a
克莱姆法则 n 元方程组
a11x1+a12x2+···+a1nxn=b1ax+a22x2+···+a2nxn=b2 211 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+···+annxn=bn
a11a12…a1na21a22…a2n∆= ⋮
⋮⋮ ≠0时，
an1an2…ann
a11…a1i−1b1a1i+1…a1n
∆i= ⋮⋮⋮⋮⋮
an1…ani−1bnani+1…ann
则：
∆xi=i
拉普拉斯定理：
n 阶行列式A 中，取定k 行（列），则这k 行（列）元素形成的所有k 阶子式与他们自己的代数与子式的乘积之和等于A 。
eg ：五阶
A =
a11⋮ ak1c 11⋮cr1a11⋮ ak10 ⋮00⋮ 0b 11⋮br1
1≤j1≤j2≤5
‘‘‘
i1, i2i1, i, i3(i1+i2)+(j1+j2) A j, j (−1) A ‘2
12j, j‘, j‘
1
2
3
···a1k
⋮···akk···c1r
⋮···crr···a1k
⋮···akk···0
⋮···0···0
⋮···0···b1r
⋮···arr
⋮0b11⋮br1c11⋮cr1b11⋮br1a11⋮ak1c11⋮cr1
…⋯………⋯………⋯……
0⋮a110
= ⋮b1r
ak1 ⋮arrc1r⋮
a11
crr
b1r= ⋮ ak1⋮arr
……
a1kb11⋮ ∙ ⋮akkbr1
……
b1r
⋮ brr
……
a1kb11⋮ ∙ ⋮akkbr1
……
b1r
⋮ brr
a1k⋮a11akk
= −1 rk ⋮c1r
ak1
⋮crr
……
a1kb11⋮ ∙ ⋮akkbr1
……
b1r
⋮ brr
设非空集合V, α, β, γ∈V, k, l∈C 数集 , 定义加法：α+β, 和数乘kα 若V 满足：
（1）α+β=β+α
（2） α+β +γ=α+ β+γ （3）V中存在一个零元素：0, 使得
0+α=α
（4）∀α∈V, ∃β∈V(α的负元素), s. t.
β+α=0
（5）1α=α
（6）(kl) α=k(lα)
（7） k+l α=kα+lα （8）k α+β =kα+kβ
则，这样的集合V 成为线性空间。
性质：
1. 部分组线性相关→整个向量组线性相关； 整个向量组线性无关→部分组相性无关。
2. α1, α2, α3线性无关⇒α1+α2, α2+α3, α1+α3线性无关。
3. 向量组线性无关→延伸组（每个向量都添加m 个分量）线性无关； 向量组线性相关→缩短组（每个向量都减少m 个分量）线性相关。 4. α1, α2,···, αn线性无关，β可由α1, α2,···, αn线性表出 ⟺α1, α2,···, αn, β线性相关。
α1, α2,···, αn线性无关，β不能由α1, α2,···, αn线性表出 ⟺α1, α2,···, αn, β线性无关。
向量组α1, α2,···, αs和向量组β1, β2,···, βr可以互相线性表示，则
α1, α2,···, αs ≅ β1, β2,···, βr
性质：反身性、对称性、传递性
1. 向量组与它的极大线性无关组等价；
2. 向量组的任意两个极大线性无关组等价；
3. 向量组β1, β2,···, βr可由向量组α1, α2,···, αs线性表出，且r>s, 则： 向量组β1, β2,···, βr线性相关。
向量组β1, β2,···, βr可由向量组α1, α2,···, αs线性表出，且向量组β1, β2,··
·, βr线性无关, 则：r≤s
4. 等价的线性无关向量组所含向量个数相等。
5. 向量组任意两个极大线性无关组的向量个数相等。 秩
1. 向量组α1, α2,···, αs线性无关⟺它的秩等于他所含向量个数。 2. 向量组β1, β2,···, βr可由向量组α1, α2,···, αs线性表出，则
rank(β1, β2,···, βr) ≤rank(α1, α2,···, αs) 3. 等价的向量组有相同的秩。 4. 矩阵的秩：
（1）行秩等于列秩；
（2）初等变换不改变矩阵的秩； （3）rank A =rank A′
（4）任一非零矩阵的秩等于它的不为零的的子式的最高阶数，即：
A为n阶矩阵, 若存在不为零的r阶子式Ar, 且对于任一 r+1 阶子式Ar+1, 都有 Ar+1=0, 则rank A =r.
（5）A为n阶矩阵, rank A =n⟺ A =0
线性方程组的解
1. 线性方程组有解判定 线性方程组
x1α1+x2α2+···+xnαn=β
有解的充要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵拥有相同的秩。 = α1, α2,·即：A = α1, α2,···, αn , A··, αn, β n元齐次线性方程组
An×mx=0
若rank A =r
2. 线性方程组解的构造 齐次线性方程组
An×mx=0
若rank(A) =r, 则有n−r个线性无关的基本解组β1, β2,···, βn−r 通解：基本解组的线性组合，即x=c1β1+c2β2+···+cn−rβn−r
非齐次线性方程组
An×mx=b
若其特解为γ0, 导出组An×mx=0的解集为c1β1+c2β2+···+cn−rβn−r，则解为
x=γ0+c1β1+c2β2+···+cn−rβn−r
3. 基和维数
基：V中：α1, α2,···, αr线性无关，且V中的每一个向量都可用它们线性表出，则 其为V 的一个基。
性质：(1)V的任意两个基所含向量个数(维数：dimV) 相等； (2)n元齐次线性方程的解空间W 满足
dimW=n−rank(A)
矩阵的运算
1. 乘积：
A=(aij) s×n ,B=(bij) n×m
n
AB i; j = A(i; j) B(k; j)
k=1
(1)左矩阵列数=右矩阵行数；
(2)乘积矩阵的行数等于左矩阵行数，列数等于右矩阵列数。 (3) AB C=A(BC)
A B+C =AB+AC B+C D=BD+CD k AB = kA B=A(kB)
n级方阵：AkAl=Ak+l; Ak l=Akl
(4)AB≠BA; 但：K=kI 数量矩阵 , 则：KA=AK
AB=0⇏A=0或B=0
AB k≠AkBk, 但若A, B可交换： AB k=AkBkx(5) α, αx
112,···, αn ⋮2 = x1α1+x2α2+···+xnαn
xn
b 11…b αα⋮1⋮m
1, 2,···, αn
bn1…bnm
= b11α·1+b·a21α2+···+bn1α1,···, b1mα1+b2mα2+···+bnmα1 a11· a1nx1a11x1+a12x2+···+a1nxn21⋯a2⋮n x⋮2 = a21x1+a22x⋮2+···+a2nx⋮n as1…asnxnas1x1+as2x2+···+asnxn
2. 转置：
A+B ′=A′+B′ kA ′=kA′ AB ′=A′+B′
3. 对角矩阵： d100···0xd 0d01⋮⋮20⋯⋮⋮ x⋮2 = d1x12x⋮2 000…dnxndnxn
d100···0 α0d1, α2,···, αn ⋮⋮20⋯0
⋮⋮ = d1α1, d2α2,···, dnαn
000…dn
d100···0c100···0c1d100···0 0d⋮⋮20⋯0⋮⋮ 0c⋮⋮20⋯0⋮⋮ = 0c⋮2d⋮20⋯0⋮⋮ 000…dn000…cn000…cndn
4. 初等矩阵
用初等矩阵P(j, i(k)) 左乘一个矩阵，相当于把第i行的k倍加到第j行上； 用初等矩阵P(j, i(k)) 右乘一个矩阵，相当于把第j列的k倍加到第i列上； 5. 对称矩阵:A=A′
斜对称矩阵: A=−A′
6. 矩阵运算的秩
rank(AB) ≤min rank A , rank(B) rank A+B ≤rank A +rank(B) rank AA′ =rank A′A =rank(A) 若A、B都是n级矩阵： AB = A B 7. 可逆矩阵 (1)判断
A是可逆矩阵⟺ A ≠0, rank A =n
且A−1=
1AA∗
AA∗= A11AA21…A…An1⋮12⋮22n⋮2
A1nA2n…Ann
(2)性质
① AB −1=B−1A−1
A1A2···As −1=A−s1···A−21A−11
②若A 可逆，则A ′可逆；
③可逆矩阵经过初等变换化成的简化阶梯形矩阵一定是单位矩阵； ④可逆矩阵可以表示成一些初等矩阵的乘积，即： A=P1P2···Ps
⑤用一个可逆矩阵P 去左（右）乘矩阵A ，不改变A 的秩，即： rank PA =rank AP =rank A (3)初等变化法 A, I 初等行变换
I, A−1
8. 矩阵的分块
AA12BB12A= 11 , B= 11 A21A22B21B22
AB+A12B21A11B12+A12B22AB= 1111 A21B11+A22B21A21B12+A22B22
要求：左矩阵的列组数=右矩阵的行组数；
左矩阵的每个列所含列数等于右矩阵的相应行组所含行数。
若AB=0, B= β1, β2,···, βm
则：β1, β2,···, βm是齐次线性方程AX=0的解。
A1A2′A′A2′ = 1 A3A4A3′A4′
IB n = Is−AB = In−BA AIs
9. 正交矩阵
方阵A：AA′=I
性质：
(1)正交矩阵一定可逆A−1=A′；
(2)若A ，B 是正交矩阵，则AB 也是正交矩阵；
(3)若A 是正交矩阵，A−1=A′也是正交矩阵；
(4)若A 是正交矩阵： A =1或−1
(5)正交矩阵的行（列）向量组组成某空间的一个标准正交基（正交矩阵的充要条件），即：
γ1γ2 A=α1, α2,···, αn= ⋮ γiγ′j=δij; α′iαj=δij
γn
标准内积：
α= a1, a2,···, an ; β=(b1, b2,···, bn)
α, β ≝a1b1+a2b2+···+anbn
性质：
(1) α, β = β, α
(2) α+γ, β = α, β + γ, β
(3) kα, β = k α, β
(4) α, α ≥0, 等号成立当且仅当α=0
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