５２
高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣ（）ＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＶ０１．１２．Ｎｏ．４Ｊｕｌ．，２００９
卷积公式的推广。
姜红燕
摘要
高峰
（淮阴工学院信息与计算科学系江苏淮安
２２３００３）
从教材中的习题出发，利用含参变量二重积分的求导方法，把卷积公式推广列三个独立
随机变量和的情形。得到其概率密度函数计算公式，并且说明该方法同样适用于随机变量不相互独立的情形．
关键词
独立；随机变量和；卷积公式．中图分类号０２１２
教材［１］中有一道如下的习题：
例ｉｔｌ３
已知三个独立的随机变量Ｘ，ｙ，Ｚ都服从下列分布，
．Ｍ：ｒ‘，‘＞ｏ’１０，ｆ≤０，
。
。
．厂（￡）＝｛
求Ｗ—Ｘ＋ｙ＋Ｚ的概率分布．
（１）
由于教材中仅仅介绍了计算两个独立随机变量和的概率密度函数的卷积公式，因此上题的一
般做法都是先求Ｓ＝Ｘ＋Ｙ的概率密度函数，再求Ｗ一’Ｓ＋Ｚ的概率密度函数．文［２］介绍了一种
立体几何法来求解三个服从同一均匀分布的独立随机变量和的概率密度函数，文［３］则通过列举一些特例，用数学归纳法得到了服从均匀分布的多个独立随机变量和的概率密度函数公式．但对于服从一般分布的三个随机变量，求它们和的概率密度函数则比较困难．
本文从计算两个随机变量和的概率密度函数的做法出发，利用文［４］中介绍的二维含参量积分的求导方法，得到了三个随机变量和的概率密度函数的计算公式．
定理
若三个随机变量Ｘ，ｙ，Ｚ的联合概率密度函数为ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ），则Ｗ＝Ｘ＋ｙ＋Ｚ的概率
密度函数为＾（叫）一Ｉ
证明
ｌ
ｆ（ｘ，Ｙ，Ｗ—ｚ—ｙ）ｄｙｄｘ．
Ｗ的分布函数及其概率密度函数分别为
Ｆｗ（叫）一Ｐ｛Ｗ≤硼｝＝Ｐ｛Ｘ＋Ｙ＋Ｚ≤７，０）一
ｍｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚｄｙｄｚ＝ｅ。（毯ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙｄ幻虮
＾（叫）一Ｆ７Ⅳ（叫）一ｆ”剑！罟型ｄｚ，
其中，
ｆＣ
ｌ（ｗ，ｚ）一
ｅ”ｆｒｒ。’
根据文［４］相关结论可得，
一慧．ｚ
｜Ｉ
ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｚｄｙ．ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ—ＩＩ卜刚”
驾字一Ｅ化，，，叫一ｚ—ｙ）ｄｙ．
因此，Ｗ＝Ｘ＋ｙ＋Ｚ的概率密度函数为
・收稿日期：２００７—０８—０２．
基金项目ｔ淮阴工学院青年教师科研基金项目ＨＧＱ０６３７．
第１２卷第４期姜红燕．高峰：卷积公式的推广
５３
ｆｗ（叫）＝ＩＩｆ（ｘ，ｙ，硼一ｚ—ｙ）ｄｙｄｘ．Ｊ一∞Ｊ一∞
推论
当随机变量Ｘ，ｙ，Ｚ相互独立时，有
ｒ∞ｒ”
ｆｗ（硼）＝ｌＪ一∞Ｊ一∞Ｉｆｘ（ｚ）ｆＹ（ｙ）ｆｚ（叫一Ｘ—ｙ）ｄｙｄｘ，
其中＾（ｚ），ｆＹ（ｙ），ｆｚ（ｚ）分别为Ｘ，Ｙ，Ｚ的边缘概率密度函数．
注
推广中的公式即为计算三个独立随机变量和的概率密度函数的卷积公式．
以下给出例１的解：
解
随机变量Ｘ，ｙ，Ｚ相互独立，由推论，知
ｒ∞ｒｏ
＾（叫）：ＩＪ—”Ｊ一”Ｉ＾（ｚ）ｆＹ（ｙ）＾（硼一ｚ—ｙ）ｄｙｄｘ，
而Ｘ，ｙ，Ｚ的边缘概率密度函数均为（１）式，易知仅当工＞０，Ｙ＞０，ｚ＋ｙ＜Ｗ时，上述二重积分的被积函数不等于零．参照图１，当且仅当叫＞０时，ｚ＋ｙ＜叫所示的区域才与｛ｏ，ｙ）ｌｚ＞Ｏ，ｙ＞０｝所示的区域有交集．因而
图ｌ
例１二重积分区域示图
＾（训）：ＪＪ。ｊ。ｚｒ。。Ｙｅｌ・（ｗ－－ｘ－－ｙ）ｅ。‘一’ｐｄｙｄｘ，硼＞０’
【０，
化简，即得
ｒ…５
硼＜０．
＾（训）一ｊ靠ｅ－”’
【０，
硼＞ｏ’硼＜０．
此结果与按前文所言一般做法计算得出的结果是一致的．
注从上述例子可以看出，本公式确实快捷地计算出了三个随机变量和的概率密度函数．在
讨论硼的范围时，只要先确定ｚ，Ｙ本身的取值区域，再看ｚ＋Ｙ落入的区域在硼取什么值时与ｚ，
Ｙ本身的取值区域有交集，结果发现当且仅当硼＞０时上述两个区域方有交集．
例２ｔ２３解
已知三个独立的随机变量Ｘ，ｙ，Ｚ，都服从［口，６］上的均匀分布，求其和的概率密度．同例１，设Ｗ—Ｘ＋Ｙ＋Ｚ，则有
／－ｏｏ／－”
＾（ｚ）＾（ｙ）ｆｚ（硼一ｚ—ｙ）ｄｙｄｘ．知（叫）一ｌＩＪ一”Ｊ一”
易知仅当ａ≤ｘ≤ｂ，ａ≤Ｙ≤ｂ，叫一ｂ≤ｚ＋Ｙ≤叫一ａ时上
，
＼
、
ｂ
‘＼
ｊ
７
１、３
１，不等于零．参考图２，此时有两条述积分的被积函数为（ｆ一．Ｉｔ、ｃ，一“，
直线ｚ＋Ｙ＝叫一（￡，Ｘ＋Ｙ一叫一６，要看７．１．３落在什么范围内时，这两条直线所夹的区域与｛（ｚ，ｙ）Ｉａ≤ｚ≤６，ａ≤Ｙ≤ｂ｝所示的区域有公共的交集．讨论可得：
＼７＼ａ。＼
＼
工十ｙ２ｗ－ｂ、
＼
ｂ
＼
ｘ＋ｙ。ｗ，・口
＼
图２例２二重积分区域示图
ｆｗ（硼）一
ｒｒ。（士）３圳ｚ，
Ｌ。厂７（击）３圳ｚ＋ｒ４ｆｂ一（士）３州ｚ忍ｑ－ｂ≤ｗ＜２ｂ－ｑ－ｎ；ＬＬ。（士）州ｚ，
３口≤叫＜２口＋６；２６＋ａ≤硼＜３ｂ；叫＜３ａ，叫≥３ｂ．
（下转第７３页）
０，
整理即得：
第１２卷第４期
王喜斌：一类二元函数方程的常微分方程解法
７３
将其代入函数方程（８），比较可得ｆ。一０．若令ａ＝妻≠ｏ，就得到函数方程（８）的严格单调的可微解：
化，刊ｎｌ当Ｉ．
例４
解函数方程
ｆ（ｘ＋ｙ）一『＝ｆ（ｘ瓦）＂４研－ｆ（丽ｙ）．
（９）
解
不难发现：
Ｗ（ｘ，ｙ）一ｘ＋ｙ，Ｒ（“，口）一『＝ｕ＋丽ｖ．
分别在Ｒ×Ｒ和｛（乱，ｕ）ＩＵ＞０，铆＜０或Ｕ＜０，刀＞０）内存在偏导数；另外一Ｗ（ｚ）一ｌ在Ｒ内连
续，Ｒ（“）＝＿毛≠０在（ｏ，＋ｏｏ）或（一ｏｏ，ｏ）内连续．依上述的方法，解关于“一，（ｚ）的可分
Ｊ
ｌ“
离变量方程：
ｎ≥ｄ摊＝ｃｄｚ（ｃ≠ｏ），
得函数方程（９）的逐段严格单调的可微的形式解为
Ｕ一厂（ｚ）一ｔａｎ（ｃｘ十Ｃ１）（ｃ１为任意常数）．
将此代入方程（９）有：
ｔａｎ瞰ｚ＋ｙ，ｈ］一芒篆昔葛等割与．
当令ｚ＝Ｙ一０，就有ｔａｎｃｌ＝ｔａｎ（２ｃ１），从而有２ｃｌ—Ｃ１＋ｎｎ（为，ｌ整数），当取，ｌ＝０时，得ｆＩ一０．这样函数方程（９）的可微解为：
厂（ｚ）一ｔａｎｃｘ．
参考文献
［１］孙本旺，汪浩．数学分析中的典型例题和解题方法ＥＭ］．长沙：湖南科学技术出版社。１９８１；３８３—３８４．［ｚｌ
ＴｏｍＭ．Ａｐｏｓｔｏｌ，Ｃａｌｃｕｌｕｓ（Ｖ０１．ＩＩ）［－ＭＩ，２ｅｄ．ＪｏｈｎＷｉｌｅｙ＆ＳｏｎｓＩｎｃ．，１９６９：５３３—５３５．
・＜＞●ｏ●。争●－ｏ．ｅ．ｏ．ｅｏ●ｏ●ｏ●ｏ●‘ｏ＇●‘ｏＰ●ｏ●・夸●。≯●１＝Ｈ・ｏ●＜＞●＜＞●ｏ●ｏ●ｏ●‘ｏ・●ｏ●ｏ●ｏ●‘Ｃ＇●ｏ●●ｏ■
（上接第５３页）
３ｎ≤锄＜２ａ＋６；
Ｅ＾（叫）一
志（６ｕｂ＋６ｕｕ一１２曲一３ａ２志（３６一训）２，
３６２—２ｗ２），２口＋６≤叫＜２６＋‘Ｉ；
２６＋口≤伽＜３６；０，
叫＜３ａ≥３ｂ．
综上，我们得到了三个随机变量和的概率密度函数的计算公式，此公式应用起来比较简便，有
一定的实际利用价值．另外，本文所举的例子均是三个独立随机变量的情形，其实对于三个不独立也不同分布的随机变量和的概率密度函数，定理同样适用，就不再一一举例赘述了．
参考文献
Ｆ１］盛骤．谢式千．潘承毅．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１：１０６．
［２］李国玉．三个服从于同一均匀分布的独立随机变量和的分布的一种简单求法Ｄ］．伊犁教育学院学刊．９９６．５：２２一丛［３］李瑞阁．黄尧．服从均匀分布的多个独立随机变量和的密度函数公式［Ｊ］．南阳师范学院学报，２００７．６：１８—２０．［４］王泽晖．含参变量积分求导的推广［Ｊ］．大学数学．２００５．２１：１０４—１０５．
这与文［２］的结果也是完全一致的．
卷积公式的推广
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
姜红燕， 高峰
淮阴工学院信息与计算科学系,江苏淮安,223003高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2009，12(4)0次
参考文献(4条)
1. 盛骤. 谢式千. 潘承毅 概率论与数理统计 2001
2. 李国玉 三个服从于同一均匀分布的独立随机变量和的分布的一种简单求法 1996(05)
3. 李瑞阁. 黄尧 服从均匀分布的多个独立随机变量和的密度函数公式[期刊论文]-南阳师范学院学报 2007(06)4. 王泽晖 含参变量积分求导的推广[期刊论文]-大学数学 2005
相似文献(10条)
1.期刊论文 陈光曙 独立随机变量偶次幂之和的极限定理 -安徽师范大学学报(自然科学版)2003,26(4)
设{Xi}为相互独立的随机变量序列,研究了更一般的Sn(k)=n∑i=1 Xki,(k≥2的偶数)的极限定理,并且推广了文[1]的结论.
2.期刊论文 郑发美. ZHENG Fa-mei 离散型随机变量的条件独立及其性质 -齐齐哈尔大学学报（自然科学版）2009,25(5)
应用条件概率引入条件独立的概念,给出了离散型随机变量条件独立的含义及其性质.
3.期刊论文 董晴. DONG Qing 独立随机变量的中心极限定理 -重庆工学院学报（自然科学版）2007,21(7)
中心极限定理表明,某些原来并不服从正态分布的独立随机变量,其总和却渐近地服从正态分布.运用3个引理证明了独立随机变量序列的中心极限定理.
4.期刊论文 刘徽. LIU Hui 关于独立随机变量列部分和乘积的一个极限定理 -苏州科技学院学报(自然科学版)2006,23(4)
讨论了一类独立非负随机变量列部分和乘积的渐进结构,在一定条件下给出了一个中心极限定理.假设X1,X2,…,Xn,…为二阶矩存在的非负独立随机变量列,证明收敛性[n∏k=1(Sk/μk)1/γk]1/√Tnd→e√2N成立,其中N是标准正态随机变量,Sk=k∑i=1Xi,μk=E(Sk),σk=Var(Sk),γk=σk/μk,且Tn=n∑k=1k/σk.
5.期刊论文 金秀岩. JIN Xiu-yan 一类二元正态分布随机变量的线性函数相互独立的充要条件 -河北北方学院学报（自然科学版）2007,23(2)
根据随机变量相互独立的条件,推导了二元正态分布随机变量的线性函数η1=pξ1+qξ2与η2=mξ1+nξ2相互独立的充要条件是
nqσ22+rσ1σ2(np+mq)+mpσ21=O(其中m、n、P、q为非零实数,且np-mq≠O),并做了详细证明.在此基础上说明了随机变量ξ1+ξ2与ξ1-ξ2以及ξ1cosα+ξ2sinα与-ξ1sinα+ξ2cosα相互独立的充要条件是本文的特例.
6.期刊论文 来向荣. 程维虎. Lai Xiangrong. Cheng Weihu 复值独立同分布随机变量序列部分和的完全收敛性 -北京工业大学学报2000,26(3)
利用概率不等式，研究了复值独立同分布随机变量序列部分和的完全收敛性，得到复值独立同分布随机变量序列部分和同完全收敛性有关的几个定理．
7.期刊论文 朱永刚. 于林. Zhu Yonggang. Yu Lin Banach空间值独立随机变量序列的Hàjek-Rènyi不等式 -三峡大学学报（自然科学版）2007,29(3)
证明了Banach空间值独立随机变量序列的Hàjek-Rènyi型不等式,并利用该不等式证明了Banach空间值独立随机变量序列的强大数定律,所得结果刻画了Banach空间的p型性质.
8.期刊论文 王苏明. 赵人可. WANG Sum-ming. ZHAO Ren-ke 一类条件独立的随机变量和的密度函数与分布函数 -长沙理工大学学报（自然科学版）2005,2(1)
给出了一类随机变量函数列i.i.d.的条件,并就一类满足某种条件独立的连续型随机变量序列,给出了其和的密度函数和分布函数.
9.期刊论文 丛玉华. 殷烁. 袁志琦 离散型随机变量相互独立的判别方法 -通化师范学院学报2006,27(2)
以二维离散型随机变量为例,给出了离散型随机变量相互独立的几个判别方法,并对其进行了比较.
10.期刊论文 幺志梅. 钱能生. YAO Zhi-mei. QIAN Neng-sheng 两参数两两独立的随机变量序列加权和的强大数定律
-湖州师范学院学报2008,30(1)
用概率论中常用的极限理论方法研究了两参数两两独立的随机变量序列加权和的强大数定律,并且在文中给出的条件下得到了强大数定律的结果,这些结论可以推广到r维参数的情形.
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gdsxyj200904015.aspx授权使用：湖北大学(hbdx)，授权号：71e667fc-02a5-403d-86a4-9e3200d11edf
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高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣ（）ＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＶ０１．１２．Ｎｏ．４Ｊｕｌ．，２００９
卷积公式的推广。
姜红燕
摘要
高峰
（淮阴工学院信息与计算科学系江苏淮安
２２３００３）
从教材中的习题出发，利用含参变量二重积分的求导方法，把卷积公式推广列三个独立
随机变量和的情形。得到其概率密度函数计算公式，并且说明该方法同样适用于随机变量不相互独立的情形．
关键词
独立；随机变量和；卷积公式．中图分类号０２１２
教材［１］中有一道如下的习题：
例ｉｔｌ３
已知三个独立的随机变量Ｘ，ｙ，Ｚ都服从下列分布，
．Ｍ：ｒ‘，‘＞ｏ’１０，ｆ≤０，
。
。
．厂（￡）＝｛
求Ｗ—Ｘ＋ｙ＋Ｚ的概率分布．
（１）
由于教材中仅仅介绍了计算两个独立随机变量和的概率密度函数的卷积公式，因此上题的一
般做法都是先求Ｓ＝Ｘ＋Ｙ的概率密度函数，再求Ｗ一’Ｓ＋Ｚ的概率密度函数．文［２］介绍了一种
立体几何法来求解三个服从同一均匀分布的独立随机变量和的概率密度函数，文［３］则通过列举一些特例，用数学归纳法得到了服从均匀分布的多个独立随机变量和的概率密度函数公式．但对于服从一般分布的三个随机变量，求它们和的概率密度函数则比较困难．
本文从计算两个随机变量和的概率密度函数的做法出发，利用文［４］中介绍的二维含参量积分的求导方法，得到了三个随机变量和的概率密度函数的计算公式．
定理
若三个随机变量Ｘ，ｙ，Ｚ的联合概率密度函数为ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ），则Ｗ＝Ｘ＋ｙ＋Ｚ的概率
密度函数为＾（叫）一Ｉ
证明
ｌ
ｆ（ｘ，Ｙ，Ｗ—ｚ—ｙ）ｄｙｄｘ．
Ｗ的分布函数及其概率密度函数分别为
Ｆｗ（叫）一Ｐ｛Ｗ≤硼｝＝Ｐ｛Ｘ＋Ｙ＋Ｚ≤７，０）一
ｍｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｚｄｙｄｚ＝ｅ。（毯ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｙｄ幻虮
＾（叫）一Ｆ７Ⅳ（叫）一ｆ”剑！罟型ｄｚ，
其中，
ｆＣ
ｌ（ｗ，ｚ）一
ｅ”ｆｒｒ。’
根据文［４］相关结论可得，
一慧．ｚ
｜Ｉ
ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｚｄｙ．ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）ｄｙｄｚ—ＩＩ卜刚”
驾字一Ｅ化，，，叫一ｚ—ｙ）ｄｙ．
因此，Ｗ＝Ｘ＋ｙ＋Ｚ的概率密度函数为
・收稿日期：２００７—０８—０２．
基金项目ｔ淮阴工学院青年教师科研基金项目ＨＧＱ０６３７．
第１２卷第４期姜红燕．高峰：卷积公式的推广
５３
ｆｗ（叫）＝ＩＩｆ（ｘ，ｙ，硼一ｚ—ｙ）ｄｙｄｘ．Ｊ一∞Ｊ一∞
推论
当随机变量Ｘ，ｙ，Ｚ相互独立时，有
ｒ∞ｒ”
ｆｗ（硼）＝ｌＪ一∞Ｊ一∞Ｉｆｘ（ｚ）ｆＹ（ｙ）ｆｚ（叫一Ｘ—ｙ）ｄｙｄｘ，
其中＾（ｚ），ｆＹ（ｙ），ｆｚ（ｚ）分别为Ｘ，Ｙ，Ｚ的边缘概率密度函数．
注
推广中的公式即为计算三个独立随机变量和的概率密度函数的卷积公式．
以下给出例１的解：
解
随机变量Ｘ，ｙ，Ｚ相互独立，由推论，知
ｒ∞ｒｏ
＾（叫）：ＩＪ—”Ｊ一”Ｉ＾（ｚ）ｆＹ（ｙ）＾（硼一ｚ—ｙ）ｄｙｄｘ，
而Ｘ，ｙ，Ｚ的边缘概率密度函数均为（１）式，易知仅当工＞０，Ｙ＞０，ｚ＋ｙ＜Ｗ时，上述二重积分的被积函数不等于零．参照图１，当且仅当叫＞０时，ｚ＋ｙ＜叫所示的区域才与｛ｏ，ｙ）ｌｚ＞Ｏ，ｙ＞０｝所示的区域有交集．因而
图ｌ
例１二重积分区域示图
＾（训）：ＪＪ。ｊ。ｚｒ。。Ｙｅｌ・（ｗ－－ｘ－－ｙ）ｅ。‘一’ｐｄｙｄｘ，硼＞０’
【０，
化简，即得
ｒ…５
硼＜０．
＾（训）一ｊ靠ｅ－”’
【０，
硼＞ｏ’硼＜０．
此结果与按前文所言一般做法计算得出的结果是一致的．
注从上述例子可以看出，本公式确实快捷地计算出了三个随机变量和的概率密度函数．在
讨论硼的范围时，只要先确定ｚ，Ｙ本身的取值区域，再看ｚ＋Ｙ落入的区域在硼取什么值时与ｚ，
Ｙ本身的取值区域有交集，结果发现当且仅当硼＞０时上述两个区域方有交集．
例２ｔ２３解
已知三个独立的随机变量Ｘ，ｙ，Ｚ，都服从［口，６］上的均匀分布，求其和的概率密度．同例１，设Ｗ—Ｘ＋Ｙ＋Ｚ，则有
／－ｏｏ／－”
＾（ｚ）＾（ｙ）ｆｚ（硼一ｚ—ｙ）ｄｙｄｘ．知（叫）一ｌＩＪ一”Ｊ一”
易知仅当ａ≤ｘ≤ｂ，ａ≤Ｙ≤ｂ，叫一ｂ≤ｚ＋Ｙ≤叫一ａ时上
，
＼
、
ｂ
‘＼
ｊ
７
１、３
１，不等于零．参考图２，此时有两条述积分的被积函数为（ｆ一．Ｉｔ、ｃ，一“，
直线ｚ＋Ｙ＝叫一（￡，Ｘ＋Ｙ一叫一６，要看７．１．３落在什么范围内时，这两条直线所夹的区域与｛（ｚ，ｙ）Ｉａ≤ｚ≤６，ａ≤Ｙ≤ｂ｝所示的区域有公共的交集．讨论可得：
＼７＼ａ。＼
＼
工十ｙ２ｗ－ｂ、
＼
ｂ
＼
ｘ＋ｙ。ｗ，・口
＼
图２例２二重积分区域示图
ｆｗ（硼）一
ｒｒ。（士）３圳ｚ，
Ｌ。厂７（击）３圳ｚ＋ｒ４ｆｂ一（士）３州ｚ忍ｑ－ｂ≤ｗ＜２ｂ－ｑ－ｎ；ＬＬ。（士）州ｚ，
３口≤叫＜２口＋６；２６＋ａ≤硼＜３ｂ；叫＜３ａ，叫≥３ｂ．
（下转第７３页）
０，
整理即得：
第１２卷第４期
王喜斌：一类二元函数方程的常微分方程解法
７３
将其代入函数方程（８），比较可得ｆ。一０．若令ａ＝妻≠ｏ，就得到函数方程（８）的严格单调的可微解：
化，刊ｎｌ当Ｉ．
例４
解函数方程
ｆ（ｘ＋ｙ）一『＝ｆ（ｘ瓦）＂４研－ｆ（丽ｙ）．
（９）
解
不难发现：
Ｗ（ｘ，ｙ）一ｘ＋ｙ，Ｒ（“，口）一『＝ｕ＋丽ｖ．
分别在Ｒ×Ｒ和｛（乱，ｕ）ＩＵ＞０，铆＜０或Ｕ＜０，刀＞０）内存在偏导数；另外一Ｗ（ｚ）一ｌ在Ｒ内连
续，Ｒ（“）＝＿毛≠０在（ｏ，＋ｏｏ）或（一ｏｏ，ｏ）内连续．依上述的方法，解关于“一，（ｚ）的可分
Ｊ
ｌ“
离变量方程：
ｎ≥ｄ摊＝ｃｄｚ（ｃ≠ｏ），
得函数方程（９）的逐段严格单调的可微的形式解为
Ｕ一厂（ｚ）一ｔａｎ（ｃｘ十Ｃ１）（ｃ１为任意常数）．
将此代入方程（９）有：
ｔａｎ瞰ｚ＋ｙ，ｈ］一芒篆昔葛等割与．
当令ｚ＝Ｙ一０，就有ｔａｎｃｌ＝ｔａｎ（２ｃ１），从而有２ｃｌ—Ｃ１＋ｎｎ（为，ｌ整数），当取，ｌ＝０时，得ｆＩ一０．这样函数方程（９）的可微解为：
厂（ｚ）一ｔａｎｃｘ．
参考文献
［１］孙本旺，汪浩．数学分析中的典型例题和解题方法ＥＭ］．长沙：湖南科学技术出版社。１９８１；３８３—３８４．［ｚｌ
ＴｏｍＭ．Ａｐｏｓｔｏｌ，Ｃａｌｃｕｌｕｓ（Ｖ０１．ＩＩ）［－ＭＩ，２ｅｄ．ＪｏｈｎＷｉｌｅｙ＆ＳｏｎｓＩｎｃ．，１９６９：５３３—５３５．
・＜＞●ｏ●。争●－ｏ．ｅ．ｏ．ｅｏ●ｏ●ｏ●ｏ●‘ｏ＇●‘ｏＰ●ｏ●・夸●。≯●１＝Ｈ・ｏ●＜＞●＜＞●ｏ●ｏ●ｏ●‘ｏ・●ｏ●ｏ●ｏ●‘Ｃ＇●ｏ●●ｏ■
（上接第５３页）
３ｎ≤锄＜２ａ＋６；
Ｅ＾（叫）一
志（６ｕｂ＋６ｕｕ一１２曲一３ａ２志（３６一训）２，
３６２—２ｗ２），２口＋６≤叫＜２６＋‘Ｉ；
２６＋口≤伽＜３６；０，
叫＜３ａ≥３ｂ．
综上，我们得到了三个随机变量和的概率密度函数的计算公式，此公式应用起来比较简便，有
一定的实际利用价值．另外，本文所举的例子均是三个独立随机变量的情形，其实对于三个不独立也不同分布的随机变量和的概率密度函数，定理同样适用，就不再一一举例赘述了．
参考文献
Ｆ１］盛骤．谢式千．潘承毅．概率论与数理统计［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１：１０６．
［２］李国玉．三个服从于同一均匀分布的独立随机变量和的分布的一种简单求法Ｄ］．伊犁教育学院学刊．９９６．５：２２一丛［３］李瑞阁．黄尧．服从均匀分布的多个独立随机变量和的密度函数公式［Ｊ］．南阳师范学院学报，２００７．６：１８—２０．［４］王泽晖．含参变量积分求导的推广［Ｊ］．大学数学．２００５．２１：１０４—１０５．
这与文［２］的结果也是完全一致的．
卷积公式的推广
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
姜红燕， 高峰
淮阴工学院信息与计算科学系,江苏淮安,223003高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2009，12(4)0次
参考文献(4条)
1. 盛骤. 谢式千. 潘承毅 概率论与数理统计 2001
2. 李国玉 三个服从于同一均匀分布的独立随机变量和的分布的一种简单求法 1996(05)
3. 李瑞阁. 黄尧 服从均匀分布的多个独立随机变量和的密度函数公式[期刊论文]-南阳师范学院学报 2007(06)4. 王泽晖 含参变量积分求导的推广[期刊论文]-大学数学 2005
相似文献(10条)
1.期刊论文 陈光曙 独立随机变量偶次幂之和的极限定理 -安徽师范大学学报(自然科学版)2003,26(4)
设{Xi}为相互独立的随机变量序列,研究了更一般的Sn(k)=n∑i=1 Xki,(k≥2的偶数)的极限定理,并且推广了文[1]的结论.
2.期刊论文 郑发美. ZHENG Fa-mei 离散型随机变量的条件独立及其性质 -齐齐哈尔大学学报（自然科学版）2009,25(5)
应用条件概率引入条件独立的概念,给出了离散型随机变量条件独立的含义及其性质.
3.期刊论文 董晴. DONG Qing 独立随机变量的中心极限定理 -重庆工学院学报（自然科学版）2007,21(7)
中心极限定理表明,某些原来并不服从正态分布的独立随机变量,其总和却渐近地服从正态分布.运用3个引理证明了独立随机变量序列的中心极限定理.
4.期刊论文 刘徽. LIU Hui 关于独立随机变量列部分和乘积的一个极限定理 -苏州科技学院学报(自然科学版)2006,23(4)
讨论了一类独立非负随机变量列部分和乘积的渐进结构,在一定条件下给出了一个中心极限定理.假设X1,X2,…,Xn,…为二阶矩存在的非负独立随机变量列,证明收敛性[n∏k=1(Sk/μk)1/γk]1/√Tnd→e√2N成立,其中N是标准正态随机变量,Sk=k∑i=1Xi,μk=E(Sk),σk=Var(Sk),γk=σk/μk,且Tn=n∑k=1k/σk.
5.期刊论文 金秀岩. JIN Xiu-yan 一类二元正态分布随机变量的线性函数相互独立的充要条件 -河北北方学院学报（自然科学版）2007,23(2)
根据随机变量相互独立的条件,推导了二元正态分布随机变量的线性函数η1=pξ1+qξ2与η2=mξ1+nξ2相互独立的充要条件是
nqσ22+rσ1σ2(np+mq)+mpσ21=O(其中m、n、P、q为非零实数,且np-mq≠O),并做了详细证明.在此基础上说明了随机变量ξ1+ξ2与ξ1-ξ2以及ξ1cosα+ξ2sinα与-ξ1sinα+ξ2cosα相互独立的充要条件是本文的特例.
6.期刊论文 来向荣. 程维虎. Lai Xiangrong. Cheng Weihu 复值独立同分布随机变量序列部分和的完全收敛性 -北京工业大学学报2000,26(3)
利用概率不等式，研究了复值独立同分布随机变量序列部分和的完全收敛性，得到复值独立同分布随机变量序列部分和同完全收敛性有关的几个定理．
7.期刊论文 朱永刚. 于林. Zhu Yonggang. Yu Lin Banach空间值独立随机变量序列的Hàjek-Rènyi不等式 -三峡大学学报（自然科学版）2007,29(3)
证明了Banach空间值独立随机变量序列的Hàjek-Rènyi型不等式,并利用该不等式证明了Banach空间值独立随机变量序列的强大数定律,所得结果刻画了Banach空间的p型性质.
8.期刊论文 王苏明. 赵人可. WANG Sum-ming. ZHAO Ren-ke 一类条件独立的随机变量和的密度函数与分布函数 -长沙理工大学学报（自然科学版）2005,2(1)
给出了一类随机变量函数列i.i.d.的条件,并就一类满足某种条件独立的连续型随机变量序列,给出了其和的密度函数和分布函数.
9.期刊论文 丛玉华. 殷烁. 袁志琦 离散型随机变量相互独立的判别方法 -通化师范学院学报2006,27(2)
以二维离散型随机变量为例,给出了离散型随机变量相互独立的几个判别方法,并对其进行了比较.
10.期刊论文 幺志梅. 钱能生. YAO Zhi-mei. QIAN Neng-sheng 两参数两两独立的随机变量序列加权和的强大数定律
-湖州师范学院学报2008,30(1)
用概率论中常用的极限理论方法研究了两参数两两独立的随机变量序列加权和的强大数定律,并且在文中给出的条件下得到了强大数定律的结果,这些结论可以推广到r维参数的情形.
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