高等数学公式
·平方关系： ·积的关系： · 倒数关系： 直角三角形ABC 中,
sin^2(α)+cos^2(α)=1 sinα=tanα*cosα tanα·cotα=1 角A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边, tan^2(α)+1=sec^2(α) tanα=sinα*secα sinα·cscα=1 余弦等于角A 的邻边比斜边 cot^2(α)+1=csc^2(α) cotα=cosα*cscα cosα·secα=1 正切等于对边比邻边,
secα=tanα*cscα
·三角函数恒等变形公式 ·三角和的三角函数：
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·辅助角公式： 倍角公式： ·三倍角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t) ，tant=A/B
·半角公式： 降幂公式 万能公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 cosα=[1-t an^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式： ·和差化积公式： 推导公式
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] tanα+cotα=2/sin2α cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 1+cos2α=2cos^2α cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 1-cos2α=2sin^2α sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 tanα-cotα=-2cot2α ·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
三角函数的角度换算 [编辑本段]
公式一： 公式二：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （2kπ＋α）＝sinα sin （π＋α）＝－sinα cos （2kπ＋α）＝cosα cos （π＋α）＝－cosα tan （2kπ＋α）＝tanα tan （π＋α）＝tanα cot （2kπ＋α）＝cotα cot （π＋α）＝cotα
公式三： 公式四：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sinα sin （π－α）＝sinα cos （－α）＝cosα cos （π－α）＝－cosα tan （－α）＝－tanα tan （π－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα cot （π－α）＝－cotα
公式五： 公式六： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos （2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα cot （2π－α）＝－cotα
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin （π/2＋α）＝cosα cos （π/2＋α）＝－sinα tan （π/2＋α）＝－cotα cot （π/2＋α）＝－tanα sin （π/2－α）＝cosα cos （π/2－α）＝sinα tan （π/2－α）＝cotα cot （π/2－α）＝tanα sin （3π/2＋α）＝－cosα cos （3π/2＋α）＝sinα tan （3π/2＋α）＝－cotα cot （3π/2＋α）＝－tanα sin （3π/2－α）＝－cosα cos （3π/2－α）＝－sinα tan （3π/2－α）＝cotα cot （3π/2－α）＝tanα (以上k ∈Z) 部分高等内容 [编辑本段]
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得) ：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q, 可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0
导数公式：
2
(tgx ) '=sec x
2
(arcsinx ) '=
11-x
2
(ctgx ) '=-csc x
(arccosx ) '=-
11+x
2
1-x
2
(secx ) '=sec x ⋅tgx (cscx ) '=-csc x ⋅ctgx (a ) '=a ln a 1
(loga x ) '=
ln a x +C ⎰tgxdx =-ln cos
x
x
(arctgx ) '=
1
'(arcctgx ) =-dx 2
1+2x xdx =tgx +C =sec ⎰cos 2x ⎰
⎰ctgxdx ⎰sec ⎰
=ln sin x +C
xdx =ln sec x +tgx +C
⎰sin
dx
2
x
=
⎰csc
2
xdx =-ctgx +C
csc xdx =ln csc x -ctgx +C dx
2
⎰sec ⎰csc ⎰a
x
x ⋅tgx dx =sec x +C x ⋅ctgxdx
a
x
⎰a ⎰
+x dx
2
=
1a 1
arctg
x a
=-csc x +C +C
+C
x -a dx
2
22
=
2a 12a
ln
x -a x +a a +x a -x x a
dx =
+C
ln a
⎰shxdx
+C
=chx +C =shx +C
=ln(x +
2
⎰a ⎰
-x dx
2
=ln
⎰chxdx ⎰
dx x
2
a -x
22
=arcsin +C
x
2
±a ) +C
2
±a
π
2
π
2
I n =
⎰
02
sin
n
xdx =⎰cos
n
xdx =
n -1n a
2
I n -2
⎰x +a dx =
2
x x +a
22
+
ln(x +x +a ) +C
22
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
sin x =
2u 1+u
2
， cos x =
1-u 1+u
22
， u =tg
x 2
， dx =
2du 1+u
2
一些初等函数： 两个重要极限：
e
x
双曲正弦:shx =
-e 2
-x
lim
x →0
-x
sin x x 1x
=1
x
双曲余弦:chx =
e
x
+e 2
lim (1+
x →∞
) =e =2. [**************]...
双曲正切arshx archx
:thx =
shx chx x
2
=
e e
x x
-e +e
-x -x
=ln(x +=±ln(x +12ln 1+x 1-x
+1）
2
x -1)
arthx =
三角函数公式： ·诱导公式：
·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin βtg (α±β) =
tg α±tg β1 tg α⋅tg βctg α⋅ctg β 1ctg β±ctg α
cos α+cos β=2cos cos α-cos β=2sin sin α-sin β=2cos sin α+sin β=2sin
α+β
2
cos sin
α-β
2
α+β
2
α-β
2
α+β
2
cos sin
α-β
2
ctg (α±β) =
α+β
α-β
·倍角公式：
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=2cos α-1=1-2sin ctg 2α=
ctg α-12ctg α2tg α1-tg α
22
2
2
α=cos α-sin
22
α
sin 3α=3sin α-4sin
3
3
α
cos 3α=4cos α-3cos αtg 3α=
3tg α-tg α1-3tg α
23
tg 2α=
·半角公式：
sin
α
2
=±
-cos α
21-cos α1+cos α
1-cos αsin α
sin α1+cos α
cos
α
2
=±
1+cos α
21+cos α1-cos α
2
=
1+cos αsin α
2
tg
α
2
=±== ctg
α
2
=±=
sin α1-cos α
·正弦定理：
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
=2R ·余弦定理：c
=a
2
+b
-2ab cos C
·反三角函数性质：arcsin x =
π
2
-arccos x arctgx =
π
2
-arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
n
(uv )
(n )
=
∑
k =0
C n u
(n -1)
k (n -k )
v
(k )
v '+
n (n -1)
2!
u
(n -2)
=u
(n )
v +nu v ''+ +
n (n -1) (n -k +1)
k !
u
(n -k )
v
(k )
+ +uv
(n )
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：柯西中值定理：
f (b ) -f (a ) =f '(ξ)(b -a )
=f '(ξ) F '(ξ)
拉格朗日中值定理。
f (b ) -f (a ) F (b ) -F (a )
当F (x ) =x 时，柯西中值定理就是
曲率：
弧微分公式：平均曲率：K =
ds =∆α∆s
+y 'dx , 其中y '=tg α
∆α:从M 点到M '点，切线斜率的倾角变
∆α∆s
d αds
y ''(1+y ')
2
3
2
化量；∆s ：M M '弧长。
M 点的曲率：直线：K =0;
K =lim
∆s →0
==.
半径为a 的圆：K =
1a
.
定积分的近似计算：
b
矩形法：
⎰
a b
f (x ) ≈
b -a n
(y 0+y 1+ +y n -1)
梯形法：
⎰
a
f (x ) ≈
b
b -a 1
[(y 0+y n ) +y 1+ +y n -1]n 2b -a 3n
[(y 0+y n ) +2(y 2+y 4+ +y n -2) +4(y 1+y 3+ +y n -1)]
抛物线法：
⎰
a
f (x ) ≈
定积分应用相关公式：
功：W =F ⋅s 水压力：
F =p ⋅A
m 1m 2r
2
引力：F =k , k 为引力系数1b -a (t ) dt
b
函数的平均值：y =
b
⎰
a
f (x ) dx
均方根：
1b -a
⎰
a
f
2
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：向量在轴上的投影：
Pr j u (a 1+ a ⋅b =a ⋅
d =M 1M
2
=
(x 2-x 1) +(y 2-y 1) +(z 2-z 1)
222
Pr j u AB =cos ϕ, ϕ是AB 与u 轴的夹角。
a 2) =Pr j a 1+Pr j a 2
b cos θ=a x b x +a y b y +a z b z , 是一个数量
cos θ=
,
两向量之间的夹角：
a x b x +a y b y +a z b z
a x +a y +a z
2
2
2
⋅
b x +b y +b z
222
i
c =a ⨯b =a x
b x
j a y b y
a z , c =a ⋅b sin θ. 例：线速度：b z
a y b y c y
a z b z c z
k
v =w ⨯r .
向量的混合积：
a x
[a b c ]=(a ⨯b ) ⋅c =b x
c x
=a ⨯b ⋅c cos α, α为锐角时，
代表平行六面体的体积。
平面的方程：1、点法式：2、一般方程：3、截距世方程：
A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0，其中n ={A , B , C },M 0(x 0, y 0, z 0)
Ax +By +Cz +D =0x a +y b +z c =1
Ax
平面外任意一点到该平面的距离：d =
+By A
2
+Cz
2
+D
2
+B +C
空间直线的方程：
x -x 0
m
=
y -y 0
n
=
z -z 0
p
⎧x =x 0+mt
⎪
=t , 其中s ={m , n , p };参数方程：⎨y =y 0+nt
⎪z =z +pt
0⎩
二次曲面：1、椭球面：
x a
222
+
y b
222
+
z c
22
=1
2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：
x
2p
+
y
2q
=z （, p , q 同号）
x a
2222
+
y b y b
2222
-
z c z c
2222
=1
双叶双曲面：
x a
-+=（马鞍面）1
多元函数微分法及应用
全微分：
dz =
∂z ∂x
dx +
∂z ∂y
dy du =
∂u ∂x
dx +
∂u ∂y
dy +
∂u ∂z
dz
全微分的近似计算：多元复合函数的求导法
∆z ≈dz =f x (x , y ) ∆x +f y (x , y ) ∆y ：
dz ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (t ), v (t )]=⋅+⋅
dt ∂u ∂t ∂v ∂t ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (x , y ), v (x , y )]=⋅+⋅
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 当u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) 时，du =
∂u ∂x
dx +
∂u ∂y
dy dv =
∂v ∂x
dx +
∂v ∂y
dy
隐函数的求导公式：
F x F x F x dy d y ∂∂dy
隐函数F (x , y ) =0=-2=(-) ＋(-) ⋅
dx F y ∂x F y ∂y F y dx dx F y F x ∂z ∂z
隐函数F (x , y , z ) =0=-=-
∂x F z ∂y F z
∂F
隐函数方程组：
⎧F (x , y , u , v ) =0∂(F , G )
J ==∂u ⎨
∂G ∂(u , v ) ⎩G (x , y , u , v ) =0
∂u
∂v ∂x
∂v ∂y
=-
1J 1J ⋅
∂(F , G ) ∂(u , x ) ∂(F , G ) ∂(u , y )
∂F F
∂v =u ∂G G u ∂v
F v G v
2
∂u ∂x ∂u ∂y
=-
1J 1J
⋅
∂(F , G ) ∂(x , v ) ∂(F , G ) ∂(y , v )
=-⋅=-⋅
微分法在几何上的应用：
⎧x =ϕ(t )
⎪
⎨y =ψ(t ) 在点M (x 0, y 0, z 0) 处的切线方程：⎪z =ω(t ) ⎩
x -x 0
y -y 0
z -z 0
空间曲线
ϕ'(t 0)
=
ψ'(t 0)
=
ω'(t 0)
在点M 处的法平面方程：若空间曲线方程为：
ϕ'(t 0)(x -x 0) +ψ'(t 0)(y -y 0) +ω'(t 0)(z -z 0) =0
F y T ={
G y
F z G
z
⎧⎪F (x , y , z ) =0
, 则切向量⎨
G (x , y , z ) =0⎪⎩
,
F z G z
F x G
x
,
F x G x
F y G
y
曲面F (x , y , z ) =0上一点M (x 0, y 0, z 0) ，则：
1、过此点的法向量：n ={F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：
：F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0x -x 0
F x (x 0, y 0, z 0)
=
y -y 0
F y (x 0, y 0, z 0)
=
z -z 0
F z (x 0, y 0, z 0)
方向导数与梯度：
函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 沿任一方向其中ϕ为x 轴到方向
l 的转角。
∂f ∂f
grad f (x , y ) =i +j
∂x ∂y l 的方向导数为：
∂f ∂l
=∂f ∂x
cos ϕ+
∂f ∂y
sin ϕ
函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 的梯度：
它与方向导数的关系是单位向量。∴∂f ∂l
∂f
=grad f (x , y ) ⋅e ，其中e =cos ϕ⋅i +sin ϕ⋅j ，为l 方向上的∂l
是grad f (x , y ) 在l 上的投影。
多元函数的极值及其求法：
设f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0，令：f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B , f yy (x 0, y 0) =C ⎧⎧A 0时，⎨⎪
⎩A >0, (x 0, y 0) 为极小值⎪
⎪2
则：值⎨AC -B
⎪AC -B
⎪⎪⎩
2
=0时, 不确定
重积分及其应用：
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =
⎰⎰
D '
f (r cos θ, r sin θ) rdrd θ
2
2
曲面z =f (x , y ) 的面积A =
⎰⎰
D x
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪dxdy 1+ ⎪+ ⎪
∂x ∂y ⎝⎭⎝⎭
平面薄片的重心：=
M M
⎰⎰
=
D
x ρ(x , y ) d σ
, =
M M
y
⎰⎰
=
D
y ρ(x , y ) d σ
⎰⎰
D
ρ(x , y ) d σ
⎰⎰
D
ρ(x , y ) d σ
y 轴I
=
x ρ(x , y ) d σ
2
平面薄片的转动惯量：平面薄片（位于F x =f
对于x 轴I x =
⎰⎰
D
y ρ(x , y ) d σ, 对于
2
y
⎰⎰
D
xoy 平面）对z 轴上质点M (0, 0, a ), (a >0) 的引力：
F ={F x , F y , F z }，其中：
⎰⎰
D
ρ(x , y ) xd σ
(x
2
F y =f 3
2
⎰⎰
D
ρ(x , y ) yd σ
(x
2
F z =-fa ⎰⎰3
2
D
ρ(x , y ) xd σ
3
+y
2
+a )
2
+y
2
+a )
2
(x
2
+y
2
+a ) 2
2
柱面坐标和球面坐标：
⎧x =r cos θ⎪
柱面坐标：⎨y =r sin θ, ⎰⎰⎰f (x , y , z ) dxdydz
⎪
⎩
z =z
Ω
=
⎰⎰⎰
Ω
F (r , θ, z ) rdrd θdz ,
其中：F (r , θ, z ) =f (r cos θ, r sin θ, z )
⎧x =r sin ϕcos θ⎪2
球面坐标：⎨y =r sin ϕsin θ， dv =rd ϕ⋅r sin ϕ⋅d θ⋅dr =r sin ϕdrd ϕd θ
⎪⎩
z =r cos ϕ
2π
π
r (ϕ, θ)
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) dxdydz
1M
=
⎰⎰⎰
Ω
F (r , ϕ, θ) r sin ϕdrd ϕd θ=
1M
2
⎰
d θ1M
2
⎰
d ϕ
⎰
F (r , ϕ, θ) r sin ϕdr
2
重心：=转动惯量：
⎰⎰⎰
Ω
x ρdv , =
⎰⎰⎰
Ω
y ρdv , =
⎰⎰⎰
Ω
z ρdv ， 其中M ==(x
2
2
⎰⎰⎰
Ω
ρdv
I x =
⎰⎰⎰
Ω
(y
2
+z ) ρdv ， I y =
2
⎰⎰⎰
Ω
(x
2
+z ) ρdv ， I z =
⎰⎰⎰
Ω
+y ) ρdv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧设f (x , y ) 在L 上连续，
β
长的曲线积分）：L 的参数方程为：
⎧x =ϕ(t )
, (α≤t ≤β), 则：⎨
y =ψ(t ) ⎩
2
⎰
L
f (x , y ) ds =
⎰
α
f [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) +ψ'(t ) dt (α
2
⎧x =t
⎨
⎩y =ϕ(t )
第二类曲线积分（对坐设L 的参数方程为
标的曲线积分）：
⎧x =ϕ(t )
，则：⎨
y =ψ(t ) ⎩
β
⎰P (x , y ) dx
L
+Q (x , y ) dy =
⎰{P [ϕ(t ), ψ
α
L
(t )]ϕ'(t ) +Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t )}dt
两类曲线积分之间的关L 上积分起止点处切向量格林公式：
系：⎰Pdx +Qdy =的方向角。) dxdy =
∂P ∂y
⎰(P cos α
L
+Q cos β) ds ，其中α和β分别为
⎰⎰
D
(
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
L
Pdx +Qdy 格林公式：
⎰⎰
D
(
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
) dxdy =
12
Pdx
L
+Qdy
当P =-y , Q =x ，即：·平面上曲线积分与路径
∂Q ∂x
-=2时，得到D 的面积：A =
⎰⎰
D
dxdy =
xdy
L
-ydx
无关的条件：
1、G 是一个单连通区域；
2、P (x , y ) ，Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在
∂Q ∂x u (x , y ) =
＝∂P ∂y
注意方向相反！：
，且
∂Q ∂x
＝∂P ∂y
。注意奇点，如
(0, 0) ，应
时，Pdx +Qdy 才是二元函数
u (x , y ) 的全微分，其中：
(x , y )
⎰P (x , y ) dx
(x 0, y 0)
+Q (x , y ) dy ，通常设
x 0=y 0=0。
曲面积分：
对面积的曲面积分：
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) ds =
⎰⎰
D xy
f [x , y , z (x , y )]+z x (x , y ) +z y (x , y ) dxdy
22
对坐标的曲面积分：
⎰⎰
∑
P (x , y , z ) dydz +Q (x , y , z ) dzdx +R (x , y , z ) dxdy ，其中：R [x , y , z (x , y )]dxdy ，取曲面的上侧时取正
号；
⎰⎰
∑
R (x , y , z ) dxdy =±
⎰⎰
D xy
P [x (y , z ), y , z ]dydz ，取曲面的前侧时取正
号；
⎰⎰
∑
P (x , y , z ) dydz =±
⎰⎰
D yz
⎰⎰Q (x , y , z ) dzdx
∑
=±⎰⎰Q [x , y (z , x ), z ]dzdx ，取曲面的右侧时取正
D zx
号。
两类曲面积分之间的关
系：⎰⎰Pdydz +Qdzdx
∑
+Rdxdy =
⎰⎰(P cos α
∑
+Q cos β+R cos γ) ds
高斯公式：
∂P ∂x
∂Q ∂y
∂R ∂z
⎰⎰⎰
Ω
(++) dv =
∑
Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =
∑
(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds
高斯公式的物理意义散度：
——通量与散度：
div ν
...
∂P ∂Q ∂R
div ν=++, 即：单位体积内所产生的流体质量，若
∂x ∂y ∂z
通量：⎰⎰A ⋅n ds =⎰⎰A n ds =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds ，
∑
∑
∑
因此，高斯公式又可写
成：⎰⎰⎰
Ω
div A dv =
∑
A n ds
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
⎰⎰
∑
(
∂R ∂y
-
∂Q ∂z
) dydz +(
∂P ∂z
-
∂R ∂x
) dzdx +(dzdx ∂∂y Q
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
) dxdy =cos α
Pdx
Γ
+Qdy +Rdz cos γ∂∂z R
dydz
上式左端又可写成：
dxdy ∂∂z R ∂R ∂y
=∂Q =
cos β∂∂y Q
⎰⎰
∑
∂∂x P
⎰⎰
∑
∂∂x P
空间曲线积分与路径无
i
旋度：rot A =
∂∂x P
j ∂∂y Q
关的条件：k ∂∂z R
Γ的环流量：
∂P ∂R ∂Q ∂P ==∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
向量场A 沿有向闭曲线
Pdx
Γ
+Qdy +Rdz =
Γ
A ⋅t ds
常数项级数：
等比数列：1+q +q
2
+ +q
n -1
=
1-q
n
1-q
等差数列：1+2+3+ +n =调和级数：1+
12+13+ +
1n
(n +1) n
2
是发散的
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法
——根植审敛法（柯西判
别法）：
设：ρ=lim
n →∞
n
⎧ρ
u n ，则⎨ρ>1时，级数发散
⎪ρ=1时，不确定⎩
2、比值审敛法：
U U
⎧ρ
，则⎨ρ>1时，级数发散
⎪ρ=1时，不确定⎩
设：ρ=lim
n →∞
n +1n
3、定义法：
s n =u 1+u 2+ +u n ; lim s n 存在，则收敛；否则发
n →∞
散。
交错级数
u 1-u 2+u 3-u 4+ (或-u 1+u 2-u 3+ , u n >0) 的审敛法
⎧⎪u n ≥u n +1
，那么级数收敛且其和⎨
lim u =0⎪⎩n →∞n
——莱布尼兹定理：
r n ≤u n +1。
如果交错级数满足
s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值
绝对收敛与条件收敛：
(1) u 1+u 2+ +u n + ，其中u n 为任意实数；(2) u 1+u 2+u 3+ +u n + 如果(2) 收敛，则如果(2) 发散，而调和级数：
(1) 肯定收敛，且称为绝对(1) 收敛，则称发散，而
收敛级数；
(1) 为条件收敛级数。
n
∑∑
1n
∑
(-1) n
级数：
1n
2
收敛；
≤１时发散p >1时收敛
p 级数：∑
1n
p
幂级数：
1+x +x
2
+x + +x
3n
+ x
11-x
对于级数
(3) a 0+a 1x +a 2x
2
+ +a n x
n
+ ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x
数轴上都收敛，则必存
在R ，使
x >R 时发散，其中R 称为收敛半径。x =R 时不定
1
ρ≠0时，R =
求收敛半径的方法：设
lim
n →∞
ρ
a n +1a n
=ρ，其中a n ，a n +1是(3) 的系数，则
ρ=0时，R =+∞ρ=+∞时，R =0
函数展开成幂级数：
函数展开成泰勒级数：
f
(n +1)
f (x ) =f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0)
n +1
f ''(x 0) 2!
(x -x 0) + +
2
f
(n )
(x 0)
n !
(x -x 0) +
n
余项：R n =
(ξ)
(n +1)!
, f (x ) 可以展开成泰勒级数的
f ''(0) 2!
充要条件是：
f
(n )
lim R n =0
n →∞
n
x 0=0时即为麦克劳林公式：
f (x ) =f (0) +f '(0) x +x
2
+ +
(0)
n !
x +
一些函数展开成幂级数：
(1+x )
m
=1+mx +x
3
m (m -1)
2!
x
2
+ +
x
m (m -1) (m -n +1)
n !
x
n
+ (-1
sin x =x -
3!
+
x
52n -1
5!
- +(-1)
n -1
(2n -1)!
+ (-∞
欧拉公式：
⎧e +e
cos x =⎪⎪2
⎨ix -ix
e -e ⎪
sin x =⎪2⎩
ix
-ix
e
ix
=cos x +i sin x 或
三角级数：
∞
f (t ) =A 0+
∑
n =1
A n sin(n ωt +ϕn ) =
a 02
∞
+
∑
n =1
(a n cos nx +b n sin nx )
其中，a 0=aA 0，a n =A n sin ϕn ，b n =A n cos ϕn ，ωt =x 。
正交性：1, sin x , cos x , sin 2x , cos 2x sin nx , cos nx 任意两个不同项的乘积上的积分＝
0。
在[-π, π]
傅立叶级数：
f (x ) =
a 02
∞
+
∑
n =1
(a n cos nx +b n sin nx ) ，周期
=2π
⎧1⎪a n =
π⎪
其中⎨
1⎪
b n =⎪π⎩1+ 12
2
π
⎰
-π
f (x ) cos nxdx (n =0, 1, 2 )
π
⎰
-π
f (x ) sin nxdx (n =1, 2, 3 )
13+
2
+14
2
15+
2
+ =16
2
π
8
2
1+
12
2
+
13
2
+
14
2
+ =
π
6
2
2
+ =
π
2
24
1-2
π
12
2
+
13
2
-
14
2
+ =
π
12
正弦级数：
a n =0，b n =
π
2
⎰
f (x ) sin n xdx n =1, 2, 3 f (x ) =
∑
a 02
b n sin nx 是奇函数
π
余弦级数：
b n =0，a n =
π
⎰
f (x ) cos nxdx n =0, 1, 2 f (x ) =+
∑
a n cos nx 是偶函数
周期为2l 的周期函数的傅立叶级数：
f (x ) =
a 02
∞
+
∑
n =1l
(a n cos
n πx l
+b n sin
n πx l
) ，周期=2l
⎧1n πx a =f (x ) cos dx (n =0, 1, 2 ) ⎪n ⎰l -l l ⎪
其中⎨
l 1n πx ⎪
b n =⎰f (x ) sin dx (n =1, 2, 3 ) ⎪l l -l ⎩
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：
y '=f (x , y ) 或 P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0
：一阶微分方程可以化
为g (y ) dy =f (x ) dx 的形式，解法：
可分离变量的微分方程
⎰g (y ) dy =⎰
f (x ) dx 得：G (y ) =F (x ) +C 称为隐式通解。
dy dx
=f (x , y ) =ϕ(x , y ) ，即写成
dx x =
du
y x
y x
代替u ，
的函数，解法：
齐次方程：一阶微分方
y x
dy dx
程可以写成du dx
du dx
设u =，则=u +x ，u +=ϕ(u ) ，∴
ϕ(u ) -u
分离变量，积分后将
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
1、一阶线性微分方程：
dy dx
+P (x ) y =Q (x )
-
当Q (x ) =0时, 为齐次方程，当Q (x ) ≠0时，为非齐次方程，2、贝努力方程：
dy dx
y =Ce
⎰P (x ) dx
⎰P (x ) dx
dx +C ) e
-
y =(⎰Q (x ) e
n
⎰P (x ) dx
+P (x ) y =Q (x ) y ，(n ≠0, 1)
全微分方程：
如果P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中左端是某函数的全微du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0，其中：∴u (x , y ) =C 应该是该全微分方程的
通解。
∂u
分方程，即：
∂u
=P (x , y ) =Q (x , y ) ∂x ∂y
二阶微分方程：
d y dx
22
+P (x )
dy dx
+Q (x ) y =f (x ) f (x ) ≡0时为齐次f (x ) ≠0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y ''+p y '+qy =0，其中p , q 为常数；求解步骤：1、写出特征方程：
(∆) r
2
+pr +q =0，其中r ，r 的系数及常数项恰好是r 1, r 2
2
(*)式中y '', y ', y 的系数；
2、求出(∆) 式的两个根
3、根据
r 1, r 2的不同情况，按下表写
出(*)式的通解：
y ''+p y '+qy =f (x ) ，p , q 为常数f (x ) =e f (x ) =e
λx
P m (x ) 型，λ为常数；
[P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型
λx
高等数学公式
·平方关系： ·积的关系： · 倒数关系： 直角三角形ABC 中,
sin^2(α)+cos^2(α)=1 sinα=tanα*cosα tanα·cotα=1 角A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边, tan^2(α)+1=sec^2(α) tanα=sinα*secα sinα·cscα=1 余弦等于角A 的邻边比斜边 cot^2(α)+1=csc^2(α) cotα=cosα*cscα cosα·secα=1 正切等于对边比邻边,
secα=tanα*cscα
·三角函数恒等变形公式 ·三角和的三角函数：
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
·辅助角公式： 倍角公式： ·三倍角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t) ，tant=A/B
·半角公式： 降幂公式 万能公式：
sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 cosα=[1-t an^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
·积化和差公式： ·和差化积公式： 推导公式
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] tanα+cotα=2/sin2α cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 1+cos2α=2cos^2α cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 1-cos2α=2sin^2α sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 tanα-cotα=-2cot2α ·其他：
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
三角函数的角度换算 [编辑本段]
公式一： 公式二：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （2kπ＋α）＝sinα sin （π＋α）＝－sinα cos （2kπ＋α）＝cosα cos （π＋α）＝－cosα tan （2kπ＋α）＝tanα tan （π＋α）＝tanα cot （2kπ＋α）＝cotα cot （π＋α）＝cotα
公式三： 公式四：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （－α）＝－sinα sin （π－α）＝sinα cos （－α）＝cosα cos （π－α）＝－cosα tan （－α）＝－tanα tan （π－α）＝－tanα cot （－α）＝－cotα cot （π－α）＝－cotα
公式五： 公式六： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos （2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα cot （2π－α）＝－cotα
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin （π/2＋α）＝cosα cos （π/2＋α）＝－sinα tan （π/2＋α）＝－cotα cot （π/2＋α）＝－tanα sin （π/2－α）＝cosα cos （π/2－α）＝sinα tan （π/2－α）＝cotα cot （π/2－α）＝tanα sin （3π/2＋α）＝－cosα cos （3π/2＋α）＝sinα tan （3π/2＋α）＝－cotα cot （3π/2＋α）＝－tanα sin （3π/2－α）＝－cosα cos （3π/2－α）＝－sinα tan （3π/2－α）＝cotα cot （3π/2－α）＝tanα (以上k ∈Z) 部分高等内容 [编辑本段]
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得) ：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q, 可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。 特殊三角函数值 a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota None √3 1 √3/3 0
导数公式：
2
(tgx ) '=sec x
2
(arcsinx ) '=
11-x
2
(ctgx ) '=-csc x
(arccosx ) '=-
11+x
2
1-x
2
(secx ) '=sec x ⋅tgx (cscx ) '=-csc x ⋅ctgx (a ) '=a ln a 1
(loga x ) '=
ln a x +C ⎰tgxdx =-ln cos
x
x
(arctgx ) '=
1
'(arcctgx ) =-dx 2
1+2x xdx =tgx +C =sec ⎰cos 2x ⎰
⎰ctgxdx ⎰sec ⎰
=ln sin x +C
xdx =ln sec x +tgx +C
⎰sin
dx
2
x
=
⎰csc
2
xdx =-ctgx +C
csc xdx =ln csc x -ctgx +C dx
2
⎰sec ⎰csc ⎰a
x
x ⋅tgx dx =sec x +C x ⋅ctgxdx
a
x
⎰a ⎰
+x dx
2
=
1a 1
arctg
x a
=-csc x +C +C
+C
x -a dx
2
22
=
2a 12a
ln
x -a x +a a +x a -x x a
dx =
+C
ln a
⎰shxdx
+C
=chx +C =shx +C
=ln(x +
2
⎰a ⎰
-x dx
2
=ln
⎰chxdx ⎰
dx x
2
a -x
22
=arcsin +C
x
2
±a ) +C
2
±a
π
2
π
2
I n =
⎰
02
sin
n
xdx =⎰cos
n
xdx =
n -1n a
2
I n -2
⎰x +a dx =
2
x x +a
22
+
ln(x +x +a ) +C
22
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
sin x =
2u 1+u
2
， cos x =
1-u 1+u
22
， u =tg
x 2
， dx =
2du 1+u
2
一些初等函数： 两个重要极限：
e
x
双曲正弦:shx =
-e 2
-x
lim
x →0
-x
sin x x 1x
=1
x
双曲余弦:chx =
e
x
+e 2
lim (1+
x →∞
) =e =2. [**************]...
双曲正切arshx archx
:thx =
shx chx x
2
=
e e
x x
-e +e
-x -x
=ln(x +=±ln(x +12ln 1+x 1-x
+1）
2
x -1)
arthx =
三角函数公式： ·诱导公式：
·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin βtg (α±β) =
tg α±tg β1 tg α⋅tg βctg α⋅ctg β 1ctg β±ctg α
cos α+cos β=2cos cos α-cos β=2sin sin α-sin β=2cos sin α+sin β=2sin
α+β
2
cos sin
α-β
2
α+β
2
α-β
2
α+β
2
cos sin
α-β
2
ctg (α±β) =
α+β
α-β
·倍角公式：
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=2cos α-1=1-2sin ctg 2α=
ctg α-12ctg α2tg α1-tg α
22
2
2
α=cos α-sin
22
α
sin 3α=3sin α-4sin
3
3
α
cos 3α=4cos α-3cos αtg 3α=
3tg α-tg α1-3tg α
23
tg 2α=
·半角公式：
sin
α
2
=±
-cos α
21-cos α1+cos α
1-cos αsin α
sin α1+cos α
cos
α
2
=±
1+cos α
21+cos α1-cos α
2
=
1+cos αsin α
2
tg
α
2
=±== ctg
α
2
=±=
sin α1-cos α
·正弦定理：
a sin A
=
b sin B
=
c sin C
=2R ·余弦定理：c
=a
2
+b
-2ab cos C
·反三角函数性质：arcsin x =
π
2
-arccos x arctgx =
π
2
-arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
n
(uv )
(n )
=
∑
k =0
C n u
(n -1)
k (n -k )
v
(k )
v '+
n (n -1)
2!
u
(n -2)
=u
(n )
v +nu v ''+ +
n (n -1) (n -k +1)
k !
u
(n -k )
v
(k )
+ +uv
(n )
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：柯西中值定理：
f (b ) -f (a ) =f '(ξ)(b -a )
=f '(ξ) F '(ξ)
拉格朗日中值定理。
f (b ) -f (a ) F (b ) -F (a )
当F (x ) =x 时，柯西中值定理就是
曲率：
弧微分公式：平均曲率：K =
ds =∆α∆s
+y 'dx , 其中y '=tg α
∆α:从M 点到M '点，切线斜率的倾角变
∆α∆s
d αds
y ''(1+y ')
2
3
2
化量；∆s ：M M '弧长。
M 点的曲率：直线：K =0;
K =lim
∆s →0
==.
半径为a 的圆：K =
1a
.
定积分的近似计算：
b
矩形法：
⎰
a b
f (x ) ≈
b -a n
(y 0+y 1+ +y n -1)
梯形法：
⎰
a
f (x ) ≈
b
b -a 1
[(y 0+y n ) +y 1+ +y n -1]n 2b -a 3n
[(y 0+y n ) +2(y 2+y 4+ +y n -2) +4(y 1+y 3+ +y n -1)]
抛物线法：
⎰
a
f (x ) ≈
定积分应用相关公式：
功：W =F ⋅s 水压力：
F =p ⋅A
m 1m 2r
2
引力：F =k , k 为引力系数1b -a (t ) dt
b
函数的平均值：y =
b
⎰
a
f (x ) dx
均方根：
1b -a
⎰
a
f
2
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：向量在轴上的投影：
Pr j u (a 1+ a ⋅b =a ⋅
d =M 1M
2
=
(x 2-x 1) +(y 2-y 1) +(z 2-z 1)
222
Pr j u AB =cos ϕ, ϕ是AB 与u 轴的夹角。
a 2) =Pr j a 1+Pr j a 2
b cos θ=a x b x +a y b y +a z b z , 是一个数量
cos θ=
,
两向量之间的夹角：
a x b x +a y b y +a z b z
a x +a y +a z
2
2
2
⋅
b x +b y +b z
222
i
c =a ⨯b =a x
b x
j a y b y
a z , c =a ⋅b sin θ. 例：线速度：b z
a y b y c y
a z b z c z
k
v =w ⨯r .
向量的混合积：
a x
[a b c ]=(a ⨯b ) ⋅c =b x
c x
=a ⨯b ⋅c cos α, α为锐角时，
代表平行六面体的体积。
平面的方程：1、点法式：2、一般方程：3、截距世方程：
A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0，其中n ={A , B , C },M 0(x 0, y 0, z 0)
Ax +By +Cz +D =0x a +y b +z c =1
Ax
平面外任意一点到该平面的距离：d =
+By A
2
+Cz
2
+D
2
+B +C
空间直线的方程：
x -x 0
m
=
y -y 0
n
=
z -z 0
p
⎧x =x 0+mt
⎪
=t , 其中s ={m , n , p };参数方程：⎨y =y 0+nt
⎪z =z +pt
0⎩
二次曲面：1、椭球面：
x a
222
+
y b
222
+
z c
22
=1
2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：
x
2p
+
y
2q
=z （, p , q 同号）
x a
2222
+
y b y b
2222
-
z c z c
2222
=1
双叶双曲面：
x a
-+=（马鞍面）1
多元函数微分法及应用
全微分：
dz =
∂z ∂x
dx +
∂z ∂y
dy du =
∂u ∂x
dx +
∂u ∂y
dy +
∂u ∂z
dz
全微分的近似计算：多元复合函数的求导法
∆z ≈dz =f x (x , y ) ∆x +f y (x , y ) ∆y ：
dz ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (t ), v (t )]=⋅+⋅
dt ∂u ∂t ∂v ∂t ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v
z =f [u (x , y ), v (x , y )]=⋅+⋅
∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 当u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) 时，du =
∂u ∂x
dx +
∂u ∂y
dy dv =
∂v ∂x
dx +
∂v ∂y
dy
隐函数的求导公式：
F x F x F x dy d y ∂∂dy
隐函数F (x , y ) =0=-2=(-) ＋(-) ⋅
dx F y ∂x F y ∂y F y dx dx F y F x ∂z ∂z
隐函数F (x , y , z ) =0=-=-
∂x F z ∂y F z
∂F
隐函数方程组：
⎧F (x , y , u , v ) =0∂(F , G )
J ==∂u ⎨
∂G ∂(u , v ) ⎩G (x , y , u , v ) =0
∂u
∂v ∂x
∂v ∂y
=-
1J 1J ⋅
∂(F , G ) ∂(u , x ) ∂(F , G ) ∂(u , y )
∂F F
∂v =u ∂G G u ∂v
F v G v
2
∂u ∂x ∂u ∂y
=-
1J 1J
⋅
∂(F , G ) ∂(x , v ) ∂(F , G ) ∂(y , v )
=-⋅=-⋅
微分法在几何上的应用：
⎧x =ϕ(t )
⎪
⎨y =ψ(t ) 在点M (x 0, y 0, z 0) 处的切线方程：⎪z =ω(t ) ⎩
x -x 0
y -y 0
z -z 0
空间曲线
ϕ'(t 0)
=
ψ'(t 0)
=
ω'(t 0)
在点M 处的法平面方程：若空间曲线方程为：
ϕ'(t 0)(x -x 0) +ψ'(t 0)(y -y 0) +ω'(t 0)(z -z 0) =0
F y T ={
G y
F z G
z
⎧⎪F (x , y , z ) =0
, 则切向量⎨
G (x , y , z ) =0⎪⎩
,
F z G z
F x G
x
,
F x G x
F y G
y
曲面F (x , y , z ) =0上一点M (x 0, y 0, z 0) ，则：
1、过此点的法向量：n ={F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)}2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：
：F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0x -x 0
F x (x 0, y 0, z 0)
=
y -y 0
F y (x 0, y 0, z 0)
=
z -z 0
F z (x 0, y 0, z 0)
方向导数与梯度：
函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 沿任一方向其中ϕ为x 轴到方向
l 的转角。
∂f ∂f
grad f (x , y ) =i +j
∂x ∂y l 的方向导数为：
∂f ∂l
=∂f ∂x
cos ϕ+
∂f ∂y
sin ϕ
函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 的梯度：
它与方向导数的关系是单位向量。∴∂f ∂l
∂f
=grad f (x , y ) ⋅e ，其中e =cos ϕ⋅i +sin ϕ⋅j ，为l 方向上的∂l
是grad f (x , y ) 在l 上的投影。
多元函数的极值及其求法：
设f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0，令：f xx (x 0, y 0) =A , f xy (x 0, y 0) =B , f yy (x 0, y 0) =C ⎧⎧A 0时，⎨⎪
⎩A >0, (x 0, y 0) 为极小值⎪
⎪2
则：值⎨AC -B
⎪AC -B
⎪⎪⎩
2
=0时, 不确定
重积分及其应用：
⎰⎰
D
f (x , y ) dxdy =
⎰⎰
D '
f (r cos θ, r sin θ) rdrd θ
2
2
曲面z =f (x , y ) 的面积A =
⎰⎰
D x
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪dxdy 1+ ⎪+ ⎪
∂x ∂y ⎝⎭⎝⎭
平面薄片的重心：=
M M
⎰⎰
=
D
x ρ(x , y ) d σ
, =
M M
y
⎰⎰
=
D
y ρ(x , y ) d σ
⎰⎰
D
ρ(x , y ) d σ
⎰⎰
D
ρ(x , y ) d σ
y 轴I
=
x ρ(x , y ) d σ
2
平面薄片的转动惯量：平面薄片（位于F x =f
对于x 轴I x =
⎰⎰
D
y ρ(x , y ) d σ, 对于
2
y
⎰⎰
D
xoy 平面）对z 轴上质点M (0, 0, a ), (a >0) 的引力：
F ={F x , F y , F z }，其中：
⎰⎰
D
ρ(x , y ) xd σ
(x
2
F y =f 3
2
⎰⎰
D
ρ(x , y ) yd σ
(x
2
F z =-fa ⎰⎰3
2
D
ρ(x , y ) xd σ
3
+y
2
+a )
2
+y
2
+a )
2
(x
2
+y
2
+a ) 2
2
柱面坐标和球面坐标：
⎧x =r cos θ⎪
柱面坐标：⎨y =r sin θ, ⎰⎰⎰f (x , y , z ) dxdydz
⎪
⎩
z =z
Ω
=
⎰⎰⎰
Ω
F (r , θ, z ) rdrd θdz ,
其中：F (r , θ, z ) =f (r cos θ, r sin θ, z )
⎧x =r sin ϕcos θ⎪2
球面坐标：⎨y =r sin ϕsin θ， dv =rd ϕ⋅r sin ϕ⋅d θ⋅dr =r sin ϕdrd ϕd θ
⎪⎩
z =r cos ϕ
2π
π
r (ϕ, θ)
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) dxdydz
1M
=
⎰⎰⎰
Ω
F (r , ϕ, θ) r sin ϕdrd ϕd θ=
1M
2
⎰
d θ1M
2
⎰
d ϕ
⎰
F (r , ϕ, θ) r sin ϕdr
2
重心：=转动惯量：
⎰⎰⎰
Ω
x ρdv , =
⎰⎰⎰
Ω
y ρdv , =
⎰⎰⎰
Ω
z ρdv ， 其中M ==(x
2
2
⎰⎰⎰
Ω
ρdv
I x =
⎰⎰⎰
Ω
(y
2
+z ) ρdv ， I y =
2
⎰⎰⎰
Ω
(x
2
+z ) ρdv ， I z =
⎰⎰⎰
Ω
+y ) ρdv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧设f (x , y ) 在L 上连续，
β
长的曲线积分）：L 的参数方程为：
⎧x =ϕ(t )
, (α≤t ≤β), 则：⎨
y =ψ(t ) ⎩
2
⎰
L
f (x , y ) ds =
⎰
α
f [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) +ψ'(t ) dt (α
2
⎧x =t
⎨
⎩y =ϕ(t )
第二类曲线积分（对坐设L 的参数方程为
标的曲线积分）：
⎧x =ϕ(t )
，则：⎨
y =ψ(t ) ⎩
β
⎰P (x , y ) dx
L
+Q (x , y ) dy =
⎰{P [ϕ(t ), ψ
α
L
(t )]ϕ'(t ) +Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t )}dt
两类曲线积分之间的关L 上积分起止点处切向量格林公式：
系：⎰Pdx +Qdy =的方向角。) dxdy =
∂P ∂y
⎰(P cos α
L
+Q cos β) ds ，其中α和β分别为
⎰⎰
D
(
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
L
Pdx +Qdy 格林公式：
⎰⎰
D
(
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
) dxdy =
12
Pdx
L
+Qdy
当P =-y , Q =x ，即：·平面上曲线积分与路径
∂Q ∂x
-=2时，得到D 的面积：A =
⎰⎰
D
dxdy =
xdy
L
-ydx
无关的条件：
1、G 是一个单连通区域；
2、P (x , y ) ，Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，·二元函数的全微分求积在
∂Q ∂x u (x , y ) =
＝∂P ∂y
注意方向相反！：
，且
∂Q ∂x
＝∂P ∂y
。注意奇点，如
(0, 0) ，应
时，Pdx +Qdy 才是二元函数
u (x , y ) 的全微分，其中：
(x , y )
⎰P (x , y ) dx
(x 0, y 0)
+Q (x , y ) dy ，通常设
x 0=y 0=0。
曲面积分：
对面积的曲面积分：
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) ds =
⎰⎰
D xy
f [x , y , z (x , y )]+z x (x , y ) +z y (x , y ) dxdy
22
对坐标的曲面积分：
⎰⎰
∑
P (x , y , z ) dydz +Q (x , y , z ) dzdx +R (x , y , z ) dxdy ，其中：R [x , y , z (x , y )]dxdy ，取曲面的上侧时取正
号；
⎰⎰
∑
R (x , y , z ) dxdy =±
⎰⎰
D xy
P [x (y , z ), y , z ]dydz ，取曲面的前侧时取正
号；
⎰⎰
∑
P (x , y , z ) dydz =±
⎰⎰
D yz
⎰⎰Q (x , y , z ) dzdx
∑
=±⎰⎰Q [x , y (z , x ), z ]dzdx ，取曲面的右侧时取正
D zx
号。
两类曲面积分之间的关
系：⎰⎰Pdydz +Qdzdx
∑
+Rdxdy =
⎰⎰(P cos α
∑
+Q cos β+R cos γ) ds
高斯公式：
∂P ∂x
∂Q ∂y
∂R ∂z
⎰⎰⎰
Ω
(++) dv =
∑
Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =
∑
(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds
高斯公式的物理意义散度：
——通量与散度：
div ν
...
∂P ∂Q ∂R
div ν=++, 即：单位体积内所产生的流体质量，若
∂x ∂y ∂z
通量：⎰⎰A ⋅n ds =⎰⎰A n ds =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds ，
∑
∑
∑
因此，高斯公式又可写
成：⎰⎰⎰
Ω
div A dv =
∑
A n ds
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
⎰⎰
∑
(
∂R ∂y
-
∂Q ∂z
) dydz +(
∂P ∂z
-
∂R ∂x
) dzdx +(dzdx ∂∂y Q
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
) dxdy =cos α
Pdx
Γ
+Qdy +Rdz cos γ∂∂z R
dydz
上式左端又可写成：
dxdy ∂∂z R ∂R ∂y
=∂Q =
cos β∂∂y Q
⎰⎰
∑
∂∂x P
⎰⎰
∑
∂∂x P
空间曲线积分与路径无
i
旋度：rot A =
∂∂x P
j ∂∂y Q
关的条件：k ∂∂z R
Γ的环流量：
∂P ∂R ∂Q ∂P ==∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
向量场A 沿有向闭曲线
Pdx
Γ
+Qdy +Rdz =
Γ
A ⋅t ds
常数项级数：
等比数列：1+q +q
2
+ +q
n -1
=
1-q
n
1-q
等差数列：1+2+3+ +n =调和级数：1+
12+13+ +
1n
(n +1) n
2
是发散的
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法
——根植审敛法（柯西判
别法）：
设：ρ=lim
n →∞
n
⎧ρ
u n ，则⎨ρ>1时，级数发散
⎪ρ=1时，不确定⎩
2、比值审敛法：
U U
⎧ρ
，则⎨ρ>1时，级数发散
⎪ρ=1时，不确定⎩
设：ρ=lim
n →∞
n +1n
3、定义法：
s n =u 1+u 2+ +u n ; lim s n 存在，则收敛；否则发
n →∞
散。
交错级数
u 1-u 2+u 3-u 4+ (或-u 1+u 2-u 3+ , u n >0) 的审敛法
⎧⎪u n ≥u n +1
，那么级数收敛且其和⎨
lim u =0⎪⎩n →∞n
——莱布尼兹定理：
r n ≤u n +1。
如果交错级数满足
s ≤u 1, 其余项r n 的绝对值
绝对收敛与条件收敛：
(1) u 1+u 2+ +u n + ，其中u n 为任意实数；(2) u 1+u 2+u 3+ +u n + 如果(2) 收敛，则如果(2) 发散，而调和级数：
(1) 肯定收敛，且称为绝对(1) 收敛，则称发散，而
收敛级数；
(1) 为条件收敛级数。
n
∑∑
1n
∑
(-1) n
级数：
1n
2
收敛；
≤１时发散p >1时收敛
p 级数：∑
1n
p
幂级数：
1+x +x
2
+x + +x
3n
+ x
11-x
对于级数
(3) a 0+a 1x +a 2x
2
+ +a n x
n
+ ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x
数轴上都收敛，则必存
在R ，使
x >R 时发散，其中R 称为收敛半径。x =R 时不定
1
ρ≠0时，R =
求收敛半径的方法：设
lim
n →∞
ρ
a n +1a n
=ρ，其中a n ，a n +1是(3) 的系数，则
ρ=0时，R =+∞ρ=+∞时，R =0
函数展开成幂级数：
函数展开成泰勒级数：
f
(n +1)
f (x ) =f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0)
n +1
f ''(x 0) 2!
(x -x 0) + +
2
f
(n )
(x 0)
n !
(x -x 0) +
n
余项：R n =
(ξ)
(n +1)!
, f (x ) 可以展开成泰勒级数的
f ''(0) 2!
充要条件是：
f
(n )
lim R n =0
n →∞
n
x 0=0时即为麦克劳林公式：
f (x ) =f (0) +f '(0) x +x
2
+ +
(0)
n !
x +
一些函数展开成幂级数：
(1+x )
m
=1+mx +x
3
m (m -1)
2!
x
2
+ +
x
m (m -1) (m -n +1)
n !
x
n
+ (-1
sin x =x -
3!
+
x
52n -1
5!
- +(-1)
n -1
(2n -1)!
+ (-∞
欧拉公式：
⎧e +e
cos x =⎪⎪2
⎨ix -ix
e -e ⎪
sin x =⎪2⎩
ix
-ix
e
ix
=cos x +i sin x 或
三角级数：
∞
f (t ) =A 0+
∑
n =1
A n sin(n ωt +ϕn ) =
a 02
∞
+
∑
n =1
(a n cos nx +b n sin nx )
其中，a 0=aA 0，a n =A n sin ϕn ，b n =A n cos ϕn ，ωt =x 。
正交性：1, sin x , cos x , sin 2x , cos 2x sin nx , cos nx 任意两个不同项的乘积上的积分＝
0。
在[-π, π]
傅立叶级数：
f (x ) =
a 02
∞
+
∑
n =1
(a n cos nx +b n sin nx ) ，周期
=2π
⎧1⎪a n =
π⎪
其中⎨
1⎪
b n =⎪π⎩1+ 12
2
π
⎰
-π
f (x ) cos nxdx (n =0, 1, 2 )
π
⎰
-π
f (x ) sin nxdx (n =1, 2, 3 )
13+
2
+14
2
15+
2
+ =16
2
π
8
2
1+
12
2
+
13
2
+
14
2
+ =
π
6
2
2
+ =
π
2
24
1-2
π
12
2
+
13
2
-
14
2
+ =
π
12
正弦级数：
a n =0，b n =
π
2
⎰
f (x ) sin n xdx n =1, 2, 3 f (x ) =
∑
a 02
b n sin nx 是奇函数
π
余弦级数：
b n =0，a n =
π
⎰
f (x ) cos nxdx n =0, 1, 2 f (x ) =+
∑
a n cos nx 是偶函数
周期为2l 的周期函数的傅立叶级数：
f (x ) =
a 02
∞
+
∑
n =1l
(a n cos
n πx l
+b n sin
n πx l
) ，周期=2l
⎧1n πx a =f (x ) cos dx (n =0, 1, 2 ) ⎪n ⎰l -l l ⎪
其中⎨
l 1n πx ⎪
b n =⎰f (x ) sin dx (n =1, 2, 3 ) ⎪l l -l ⎩
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：
y '=f (x , y ) 或 P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0
：一阶微分方程可以化
为g (y ) dy =f (x ) dx 的形式，解法：
可分离变量的微分方程
⎰g (y ) dy =⎰
f (x ) dx 得：G (y ) =F (x ) +C 称为隐式通解。
dy dx
=f (x , y ) =ϕ(x , y ) ，即写成
dx x =
du
y x
y x
代替u ，
的函数，解法：
齐次方程：一阶微分方
y x
dy dx
程可以写成du dx
du dx
设u =，则=u +x ，u +=ϕ(u ) ，∴
ϕ(u ) -u
分离变量，积分后将
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
1、一阶线性微分方程：
dy dx
+P (x ) y =Q (x )
-
当Q (x ) =0时, 为齐次方程，当Q (x ) ≠0时，为非齐次方程，2、贝努力方程：
dy dx
y =Ce
⎰P (x ) dx
⎰P (x ) dx
dx +C ) e
-
y =(⎰Q (x ) e
n
⎰P (x ) dx
+P (x ) y =Q (x ) y ，(n ≠0, 1)
全微分方程：
如果P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中左端是某函数的全微du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0，其中：∴u (x , y ) =C 应该是该全微分方程的
通解。
∂u
分方程，即：
∂u
=P (x , y ) =Q (x , y ) ∂x ∂y
二阶微分方程：
d y dx
22
+P (x )
dy dx
+Q (x ) y =f (x ) f (x ) ≡0时为齐次f (x ) ≠0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y ''+p y '+qy =0，其中p , q 为常数；求解步骤：1、写出特征方程：
(∆) r
2
+pr +q =0，其中r ，r 的系数及常数项恰好是r 1, r 2
2
(*)式中y '', y ', y 的系数；
2、求出(∆) 式的两个根
3、根据
r 1, r 2的不同情况，按下表写
出(*)式的通解：
y ''+p y '+qy =f (x ) ，p , q 为常数f (x ) =e f (x ) =e
λx
P m (x ) 型，λ为常数；
[P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型
λx