（一）直线与平面垂直的判定
1．直线与平面垂直
2．判定定理
3．直线和平面所成的角
(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°_；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°. 因此，直线与平面所成的角的范围是 ．
【例1】如图，P 为△ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F . 求证：(1)BC ⊥平面PAB ；(2)AE ⊥平面PBC ；(3)PC ⊥平面AEF .
【方法技巧】线面垂直的判定定理的应用
(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤： ①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线； ③根据判定定理得出结论．
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．
【题型二、】
【例2】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求直线A 1C 与平面ABCD 所成的角的正切值． (2)求直线A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角．
【方法技巧】求线面角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
【题型三、线面垂直的综合应用】
【例3】
如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD ＝PD ，E ，F 分别为CD ，PB 的中点．
(1)求证：EF ⊥平面PAB ；
(2)设AB ＝ BC ，求AC 与平面AEF 所成角的正弦值．
【方法技巧】 (1)中还可取AB 中点Q ，连结EQ ，FQ ，证明AB ⊥平面EFQ ，则AB ⊥EF ，加上EF ⊥PB ，
则EF ⊥平面PAB.(2)中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角．
1．若直线a 与平面α内的两条直线垂直，则直线a 与平面α的位置关系是( ) A ．垂直
B．平行 C．斜交或在平面内 D．以上均有可能
2．如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 则能保证该直线与平面垂直( ) A ．①③
B ．①② C．②④
D ．①④
3．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B．1 C．2
D ．3
4．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( )
A ．(0°，90°) B ．[0°，90°] C．(0°，90°] D．[0°，180°] 5．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角的余弦值大小为________．
6．如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，
BC ＝CD ，∠ACB ＝∠ACD . 求证：BD ⊥平面
PAC .
（二）平面与平面垂直的判定
1．二面角
2．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作 α⊥β .
(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示．
(3)判定定理
【题型一、求二面角的大小】
【例1】在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中：
(1)求二面角D ′－AB －D 的大小；(2)求二面角A ′－AB －
D 的大小．
【方法技巧】： 1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
2．作二面角的平面角的方法
方法一：(定义法) 在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线． 如图所示，∠AOB 为二面角α－a －β的平面角．
方法二：(垂线法) 过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE 为二面角A －BC －D 的平面角．
方法三：(垂面法) 过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB 为二面角α－a －β的平面角．
【题型一、面面垂直的判定 】
【例2】如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．
证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M
.
【方法技巧】证明平面与平面垂直的方法
根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法 ，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
【题型三、线面、面面垂直的综合问题】
【例3】如图所示，已知三棱锥P －ABC ，∠ACB ＝90°，CB ＝4，AB ＝20，D 为AB 的中点，且△PDB 是正三角形，PA ⊥PC . (1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ； (2)求二面角D －AP －C 的正弦值；
(3)若M 为PB 的中点，求三棱锥M －BCD 的体积．
【变式】如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点． (1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C －PB －A 的余弦值．
1．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有( )
A ．0个 B
．
1
个 C．2个
D ．3个
2．二面角是指( )
A ．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形 B ．一个半平面与另一个半平面组成的图形 C ．从一条直线出发的两个半平面组成的图形 D ．两个相交的平行四边形组成的图形
3．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，则图中互相垂直的平面有( ) A ．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．自二面角α－l －β的棱l 上任选一点O ，若∠AOB 是二面角α－l －β的平面角，必须具有条件( )
A ．AO ⊥BO ，AO ⊂α，BO ⊂β B．AO ⊥l ，BO ⊥l
C ．AB ⊥l ，AO ⊂α，BO ⊂β D．AO ⊥l ，BO ⊥l 且AO ⊂α，BO ⊂β
5．如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，则二面角B －PA －C 的大小等于________．
6．如右图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD . 求证：平面PDC ⊥平面PAD
.
（三）直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质定理
【题型一、线面垂直的性质】
【例1】如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C
的中点，MN ⊥平面A 1DC .
求证：MN ∥AD 1.
【方法技巧】证明线线平行常有如下方法： (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线； (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
特别提醒：“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的．
【题型二、线面垂直的性质的综合应用 】
【例2】如右图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC .
(1)求证：D 1C ⊥AC 1；
(2)设E 是
DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由．
【方法技巧】线面垂直与平行的相互转化：
(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的．
1．下列说法中不正确的是( )
A ．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边
B ．同一个平面的两条垂线一定共面
C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
2．已知直线a ，b ，平面α，且a ⊥α，下列条件中，能推出a ∥b 的是( )
A ．b ∥α B ．b ⊂α C．b ⊥α D ．b ∩α＝A 3．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列四个说法中正确的是( ) ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.
A ．②④ B ．①② C．③④ D ．①③
4．如右图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是侧面PBC 上的一点，过D 作平面ABC 的垂线
DE ，其中
D ∉PC ，则DE 与平面PAC 的位置关系是________．
5．已知AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，如图所示，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.
6．如图，△ABC 是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 是BE
的中点．
求证：(1)DF ∥平面ABC ；(2)AF ⊥BD .
（四）平面与平面垂直的性质
【题型一、平面垂直性质定理的应用 】
【例1】已知：α⊥γ，
β⊥γ，α∩β＝l . 求证：l ⊥γ.
【方法技巧】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．
证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l ′这条辅助线，这是证法三的关键．
【题型二、与面面垂直有关的计算 】
【例2】如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l 上取线段AB ＝4 cm ，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，AC ＝3 cm，BD ＝12 cm，求线段CD 的长．
【方法技巧】1. 与面面垂直有关的计算问题的类型：
(1)求角的大小(或角的某个三角函数值) ：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等．
(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等．
(3)求几何体的体积或平面图形的面积．
2．计算问题的解决方法：
(1)上述计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．
(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积) 法．
【题型三、线线、线面、面面垂直的综合应用】
【例3】如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA ＝AB ，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点．
求证：(1)EF ⊥CD ；
(2)平面SCD ⊥平面SCE .
【方法技巧】： (1)空间垂直关系的判定方法.
(2)在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
(3)在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等．这些条件一方面有很强的约束性；另一方面又为证明指出了方向．在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性．
1．设两个平面互相垂直，则( )
A ．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面
B ．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上
C ．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面
D ．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
2．点P 到平面四边形ABCD 四条边的距离相等，则四边形ABCD 是( )
A ．某圆的内接四边形 B ．某圆的外切四边形 C．正方形 D．任意四边形
3．在空间中，用x 、y 、z 表示不同的直线或平面，若命题“x ⊥y ，x ⊥z ，则y ∥z ”成立，则x 、y 、z 分别表示的元素是( )
A ．x 、y 、z 都是直线 B．x 、y 、z 都是平面
C ．x 、y 是平面，z 是直线 D．x 是直线，y 、z 是平面
4．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中真命题的序号是( )
A ．①② B ．②③ C．①④ D ．③④ 5．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，直线m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是________． 6．如图所示，已知：α⊥β，α∩β＝l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，BC ⊂β，BC ⊥DE . 求证：AC ⊥DE
.
（一）直线与平面垂直的判定
1．直线与平面垂直
2．判定定理
3．直线和平面所成的角
(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°_；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于0°. 因此，直线与平面所成的角的范围是 ．
【例1】如图，P 为△ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F . 求证：(1)BC ⊥平面PAB ；(2)AE ⊥平面PBC ；(3)PC ⊥平面AEF .
【方法技巧】线面垂直的判定定理的应用
(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤： ①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； ②确定这个平面内的两条直线是相交的直线； ③根据判定定理得出结论．
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．
【题型二、】
【例2】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求直线A 1C 与平面ABCD 所成的角的正切值． (2)求直线A 1B 与平面BDD 1B 1所成的角．
【方法技巧】求线面角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
【题型三、线面垂直的综合应用】
【例3】
如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD ＝PD ，E ，F 分别为CD ，PB 的中点．
(1)求证：EF ⊥平面PAB ；
(2)设AB ＝ BC ，求AC 与平面AEF 所成角的正弦值．
【方法技巧】 (1)中还可取AB 中点Q ，连结EQ ，FQ ，证明AB ⊥平面EFQ ，则AB ⊥EF ，加上EF ⊥PB ，
则EF ⊥平面PAB.(2)中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角．
1．若直线a 与平面α内的两条直线垂直，则直线a 与平面α的位置关系是( ) A ．垂直
B．平行 C．斜交或在平面内 D．以上均有可能
2．如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 则能保证该直线与平面垂直( ) A ．①③
B ．①② C．②④
D ．①④
3．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l ⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B．1 C．2
D ．3
4．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( )
A ．(0°，90°) B ．[0°，90°] C．(0°，90°] D．[0°，180°] 5．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角的余弦值大小为________．
6．如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，
BC ＝CD ，∠ACB ＝∠ACD . 求证：BD ⊥平面
PAC .
（二）平面与平面垂直的判定
1．二面角
2．平面与平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作 α⊥β .
(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示．
(3)判定定理
【题型一、求二面角的大小】
【例1】在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中：
(1)求二面角D ′－AB －D 的大小；(2)求二面角A ′－AB －
D 的大小．
【方法技巧】： 1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
2．作二面角的平面角的方法
方法一：(定义法) 在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线． 如图所示，∠AOB 为二面角α－a －β的平面角．
方法二：(垂线法) 过二面的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图所示，∠AFE 为二面角A －BC －D 的平面角．
方法三：(垂面法) 过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图所示，∠AOB 为二面角α－a －β的平面角．
【题型一、面面垂直的判定 】
【例2】如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．
证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M
.
【方法技巧】证明平面与平面垂直的方法
根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法 ，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．
【题型三、线面、面面垂直的综合问题】
【例3】如图所示，已知三棱锥P －ABC ，∠ACB ＝90°，CB ＝4，AB ＝20，D 为AB 的中点，且△PDB 是正三角形，PA ⊥PC . (1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ； (2)求二面角D －AP －C 的正弦值；
(3)若M 为PB 的中点，求三棱锥M －BCD 的体积．
【变式】如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点． (1)求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C －PB －A 的余弦值．
1．以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有( )
A ．0个 B
．
1
个 C．2个
D ．3个
2．二面角是指( )
A ．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形 B ．一个半平面与另一个半平面组成的图形 C ．从一条直线出发的两个半平面组成的图形 D ．两个相交的平行四边形组成的图形
3．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，则图中互相垂直的平面有( ) A ．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．自二面角α－l －β的棱l 上任选一点O ，若∠AOB 是二面角α－l －β的平面角，必须具有条件( )
A ．AO ⊥BO ，AO ⊂α，BO ⊂β B．AO ⊥l ，BO ⊥l
C ．AB ⊥l ，AO ⊂α，BO ⊂β D．AO ⊥l ，BO ⊥l 且AO ⊂α，BO ⊂β
5．如图，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，则二面角B －PA －C 的大小等于________．
6．如右图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD . 求证：平面PDC ⊥平面PAD
.
（三）直线与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质定理
【题型一、线面垂直的性质】
【例1】如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C
的中点，MN ⊥平面A 1DC .
求证：MN ∥AD 1.
【方法技巧】证明线线平行常有如下方法： (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线； (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
特别提醒：“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的．
【题型二、线面垂直的性质的综合应用 】
【例2】如右图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC .
(1)求证：D 1C ⊥AC 1；
(2)设E 是
DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由．
【方法技巧】线面垂直与平行的相互转化：
(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的．
1．下列说法中不正确的是( )
A ．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边
B ．同一个平面的两条垂线一定共面
C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
2．已知直线a ，b ，平面α，且a ⊥α，下列条件中，能推出a ∥b 的是( )
A ．b ∥α B ．b ⊂α C．b ⊥α D ．b ∩α＝A 3．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则下列四个说法中正确的是( ) ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.
A ．②④ B ．①② C．③④ D ．①③
4．如右图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是侧面PBC 上的一点，过D 作平面ABC 的垂线
DE ，其中
D ∉PC ，则DE 与平面PAC 的位置关系是________．
5．已知AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，如图所示，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.
6．如图，△ABC 是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 是BE
的中点．
求证：(1)DF ∥平面ABC ；(2)AF ⊥BD .
（四）平面与平面垂直的性质
【题型一、平面垂直性质定理的应用 】
【例1】已知：α⊥γ，
β⊥γ，α∩β＝l . 求证：l ⊥γ.
【方法技巧】证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这是证法一、证法二的关键．
证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了l ′这条辅助线，这是证法三的关键．
【题型二、与面面垂直有关的计算 】
【例2】如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l 上取线段AB ＝4 cm ，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，AC ＝3 cm，BD ＝12 cm，求线段CD 的长．
【方法技巧】1. 与面面垂直有关的计算问题的类型：
(1)求角的大小(或角的某个三角函数值) ：如两异面直线所成的角、线面角、二面角等．
(2)求线段的长度或点到直线、平面的距离等．
(3)求几何体的体积或平面图形的面积．
2．计算问题的解决方法：
(1)上述计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．
(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积) 法．
【题型三、线线、线面、面面垂直的综合应用】
【例3】如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，且SA ＝AB ，点E 为AB 的中点，点F 为SC 的中点．
求证：(1)EF ⊥CD ；
(2)平面SCD ⊥平面SCE .
【方法技巧】： (1)空间垂直关系的判定方法.
(2)在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
(3)在垂直的判定定理和性质定理中，有很多限制条件，如“相交直线”“线在面内”“平面经过一直线”等．这些条件一方面有很强的约束性；另一方面又为证明指出了方向．在利用定理时，既要注意定理的严谨性，又要注意推理的规律性．
1．设两个平面互相垂直，则( )
A ．一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面
B ．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面上
C ．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面
D ．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
2．点P 到平面四边形ABCD 四条边的距离相等，则四边形ABCD 是( )
A ．某圆的内接四边形 B ．某圆的外切四边形 C．正方形 D．任意四边形
3．在空间中，用x 、y 、z 表示不同的直线或平面，若命题“x ⊥y ，x ⊥z ，则y ∥z ”成立，则x 、y 、z 分别表示的元素是( )
A ．x 、y 、z 都是直线 B．x 、y 、z 都是平面
C ．x 、y 是平面，z 是直线 D．x 是直线，y 、z 是平面
4．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中真命题的序号是( )
A ．①② B ．②③ C．①④ D ．③④ 5．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，直线m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是________． 6．如图所示，已知：α⊥β，α∩β＝l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，BC ⊂β，BC ⊥DE . 求证：AC ⊥DE
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