数列与函数专题
纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题. 这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.
●难点磁场
t 2t 2(★★★★★) 已知二次函数y =f (x ) 在x =处取得最小值－ (t ＞0), f (1)=0. 42
(1)求y =f (x ) 的表达式；
(2)若任意实数x 都满足等式f (x ) ·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x ) ］为多项式，n ∈N *), 试用t 表示a n 和b n ；
(3)设圆C n 的方程为(x －a n ) 2+(y －b n ) 2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,„);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n .
●案例探究
［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，
1，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对5
1旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. 4本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
(1)设n 年内(本年度为第一年) 总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n , b n 的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
111++„+,(n ∈N *) 设f (n )=S 2n +1－S n +1, 试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于123n
11的自然数n ，不等式：f (n ) ＞［log m (m －1) ］2－［log (m －1) m ］2恒成立. 20［例2］已知S n =1+
●锦囊妙计
1. 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识, 又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比) 数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.
2. 纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：
(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.
(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.
(3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化. 构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★) 已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1，当a =1，2，„，n ，„时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1, d 2，„, d n , „, 则lim (d 1+d 2+„+d n ) 的值是( )
n →∞
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
2.(★★★★★) 在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1) 、P 2(x 2，y 2) 是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是_________.
3.(★★★★) 从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n
次，则容器中有纯酒精_________升.
4.(★★★★★) 据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年) 每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.
三、解答题
5.(★★★★★) 已知数列{a n }满足条件：a 1=1,a 2=r (r ＞0), 且{a n a n +1}是公比为q (q ＞0) 的等比数列，设b n =a 2n －1+a 2n (n =1,2,„).
(1)求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +3(n ∈N *) 成立的q 的取值范围；
(2)求b n 和lim 1，其中S n =b 1+b 2+„+b n ；
n →∞S n
(3)设r =219.2－1，q =log 2b n +11，求数列{}的最大项和最小项的值. log 2b n 2
6.(★★★★★) 某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同) 从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金b 元，然后再将余额除以n 发给n
第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设a k (1≤k ≤n ) 为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2, a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明) ；
(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,„, n －1), 并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ), 对常数b ，当n 变化时，求lim P n (b ).
n →∞
7.(★★★★) 据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：
(1)2001年回收废旧物资多少吨？
(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨) ？
(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？
8.(★★★★★) 已知点的序列A n (x n ，0), n ∈N , 其中x 1=0,x 2=a (a ＞0), A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，„，A n 是线段A n －2A n －1的中点，„.
(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间关系式(n ≥3);
(2)设a n =x n +1－x n ，计算a 1, a 2, a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明；
(3)求lim x n .
n →∞
数列与函数专题
纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题. 这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.
●难点磁场
t 2t 2(★★★★★) 已知二次函数y =f (x ) 在x =处取得最小值－ (t ＞0), f (1)=0. 42
(1)求y =f (x ) 的表达式；
(2)若任意实数x 都满足等式f (x ) ·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x ) ］为多项式，n ∈N *), 试用t 表示a n 和b n ；
(3)设圆C n 的方程为(x －a n ) 2+(y －b n ) 2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,„);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n .
●案例探究
［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，
1，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对5
1旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. 4本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
(1)设n 年内(本年度为第一年) 总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n , b n 的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
111++„+,(n ∈N *) 设f (n )=S 2n +1－S n +1, 试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于123n
11的自然数n ，不等式：f (n ) ＞［log m (m －1) ］2－［log (m －1) m ］2恒成立. 20［例2］已知S n =1+
●锦囊妙计
1. 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识, 又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比) 数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题.
2. 纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：
(1)事理关：需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力.
(2)文理关：需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系.
(3)事理关：在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化. 构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★) 已知二次函数y =a (a +1)x 2－(2a +1)x +1，当a =1，2，„，n ，„时，其抛物线在x 轴上截得的线段长依次为d 1, d 2，„, d n , „, 则lim (d 1+d 2+„+d n ) 的值是( )
n →∞
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
2.(★★★★★) 在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1) 、P 2(x 2，y 2) 是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是_________.
3.(★★★★) 从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n
次，则容器中有纯酒精_________升.
4.(★★★★★) 据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年) 每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.
三、解答题
5.(★★★★★) 已知数列{a n }满足条件：a 1=1,a 2=r (r ＞0), 且{a n a n +1}是公比为q (q ＞0) 的等比数列，设b n =a 2n －1+a 2n (n =1,2,„).
(1)求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +3(n ∈N *) 成立的q 的取值范围；
(2)求b n 和lim 1，其中S n =b 1+b 2+„+b n ；
n →∞S n
(3)设r =219.2－1，q =log 2b n +11，求数列{}的最大项和最小项的值. log 2b n 2
6.(★★★★★) 某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同) 从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金b 元，然后再将余额除以n 发给n
第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设a k (1≤k ≤n ) 为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2, a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明) ；
(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,„, n －1), 并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ), 对常数b ，当n 变化时，求lim P n (b ).
n →∞
7.(★★★★) 据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：
(1)2001年回收废旧物资多少吨？
(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨) ？
(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？
8.(★★★★★) 已知点的序列A n (x n ，0), n ∈N , 其中x 1=0,x 2=a (a ＞0), A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，„，A n 是线段A n －2A n －1的中点，„.
(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间关系式(n ≥3);
(2)设a n =x n +1－x n ，计算a 1, a 2, a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明；
(3)求lim x n .
n →∞