《定积分的概念》教学案例设计
1 教学目标及重点、难点 1.1 教学目标
知识目标：
1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；
2.借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分． 3.理解掌握定积分的几何意义和性质； 能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.
情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力. 1.2 教学重点
微元法思想和定积分的基本性质
1.3 教学难点
无限细分和无穷累积的思维方法
2 教学过程简录
2.1 实例铺路，引出课题 教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，
”
师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究． 2.2 演示验证，直观感知
教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想.” （教师动画演示对曲边梯形的分割过程）
这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示.
教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？
学生1：以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。
学生2：还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，
以及“以直代曲”的思想.
教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念. 2.2.1 定积分的概念
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，任意用分点a=x0
∑f(ξ)∆x
i
i=1
1≤i≤n
n
i
.
若当λ=max{∆xi}→0时，上式的极限存在，则称函数f(x)在区间[a,b]极限值为f(x)在[a,b]上的定积分，记作⎰f(x)dx. 即
ab
⎰
b
a
f(x)dx=lim∑f(ξi)∆xi. (1)
λ→0
i=1
n
其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a,b分别称为积分下限和上限.
许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为v(t)，则在时间区间[a,b]上，物体经过的路程为
s=⎰v(t)dt. (2)
ab
同理，图5－1所示的曲边梯形面积可表为
A=⎰f(x)dx (3)
ab
ba
图5－1
变力做功 W=⎰F(r)dr (4) I．f(x)在[a,b]可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点ξi在小区间
[xi-1,xi]上如何选取，只要λ→0，极限值总是唯一确定的.
哪些函数是可积的呢？
定理 在闭区间[a,b]上连续的函数必在[a,b]上可积；在区间[a,b]上有界且只有有限个间断点的函数也必在[a,b]上可积.
II．定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即
⎰
b
a
f(x)dx=⎰f(u)du=⎰f(t)dt．
a
a
bb
III．定义定积分时已假定下限a小于上限b，为便于应用，规定当b≤a时，
⎰
2.2.2 定积分的几何意义
b
a
f(x)dx=-⎰f(x)dx．
b
a
⎰
ba
a
a
f(x)dx=0．
I．若f(x)≥0，则积分⎰f(x)dx表示如图所示的曲边梯形的面积，即
⎰
b
a
f(x)dx=A．
ba
f (x)dx=0。
针对训练：用定积分表示下列图形的面积.
特别地，当a=b时，有⎰
(两名学生上黑板板书) 学生1：⎰2xdx 学生2：⎰sinxdx
随堂检测：利用定积分的几何意义求值:
2
(1)(x+1)dx0
3π401
(2)⎰
2
-
(请两名同学在黑板上板演，并解说自己的想法)
学生3：（略） 学生4：
被积函数x∈[-2,2]
半径为计算下列定积分2练习：
（1）⎰(2x-4)dx
2
5
（
2）
⎰xdx
-1
1
学生5：（略） 学生6：（略）
ba
II．若f(x)≤0，则积分⎰f(x)dx表示如图5－3所示的曲边梯形面积的负值，即
这是显然的，因为此时曲边梯形各点处的高是-f(x)而不是f(x)． 对定积分的几何意义的几点补充说明：
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?
学生7：可以用两部分面积的差表示：
bbb
S=S1-S2=⎰f(x)dx-⎰g(x)dx=⎰(f(x)-g(x))dx
aaa
III．如果在[a,
b]上f(x)的值有正也有负，如图，则积分⎰f
(x)dx表示介于x轴、曲线y=f(x)及
ab
b
直线x=a、x=b之间各部分面积的代数和．即在x
轴上方的图形面积减去x轴下方的图形面积：⎰f(x)dx=A1-A2+A3．
a
b
2.2.3 定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
⎰1dx=b-a
性质2 ⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 ⎰[f(x) ±f(x)d]=x⎰f(x)±d⎰xf( )x dx （定积分的线性性质）
性质1
a
b
b
b
aa
bbb
a
12
a
1
a
2
bcb
性质4
x⎰⎰f(x)d=
a
a
f()x+dx⎰
c
(f)x其中d(x（定积分对积分区间的可加性）
教师：你能将性质4可加性推广到更一般的情况吗？
（学生展开讨论，选取几个油代表性的，师生共同归纳得出）
说明：①推广：⎰[f1(x)±f2(x)± ±fm(x)]dx=⎰f1(x)dx±⎰f2(x)dx± ±⎰fm(x)
a
a
a
a
b
b
b
b
b
c1
c2
b
②推广:⎰f(x)dx=⎰f(x)dx+⎰f(x)dx+ +⎰f(x)dx
a
a
c1
ck
③性质解释：
曲边梯形AMNB曲边梯形AMPC曲边梯形CPNB
1
练习：1、根据定积分的可加性，可将下列定积分 ⎰ (2 x - x 2 )dx 表示为？
学生8： 122
22
=2xdx-x(2x-x)dx ⎰0⎰0⎰0dx
2、计算定积分： 5
（1）(2x-4)dx（2）⎰⎰00
学生9：（2）式表示半圆 2.3 发散思考，深入探索
不计算积分，比较下列各组积分的大小:
S=S+S
(1) ⎰
1
xdx
, ⎰
1
x2dx
;
(2) (3) (4)
⎰
2
11
xdxxdx
, ,
⎰⎰
2
11
x2dx
;
;
.
⎰
00
ln(1+x)dx,
⎰π
-
sinxdx
⎰
π2
sinxdx
（四名同学板演，教师巡视，各小组共同讨论得出）
学生10：在同一区间内，函数值大的，对应的定积分值大。
学生11：同一函数在不同区间内的积分值比较大小，先看函数值的正负，再看区间范
围的大小.
教师： 表述更严谨应该怎么说？ 学生11：应该是区间长度的大小 . 教师：推广到一般情形呢？
:学生12：若在区间[a,b]上，f(x)≥0，则
⎰
b
a
f(x)dx≥0．
学生13： 若在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则
⎰
学生14： 先画图再定值.
b
a
f(x)dx≤⎰g(x)dx．
ab
b
比较积分区间上两函数大小,再由⎰
a
f(x)dx≤⎰g(x)dx即得
a
b
(3)令F(x)=x-ln(1+x),F'(x)=1-
1
2.4 归纳小结，提炼升华
（学生从知识和数学思想两方面总结，教师加以归纳引导） 1、本节课学习了哪些内容？
定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 2、体现了哪些数学思想？
“以直代曲”，“近似代替”，“无限逼近”，“极限的思想” 作业
课本50页 习题A.B组 板书设计
《定积分的概念》教学案例设计
1 教学目标及重点、难点 1.1 教学目标
知识目标：
1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；
2.借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应用定积分的定义求函数的定积分． 3.理解掌握定积分的几何意义和性质； 能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.
情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力. 1.2 教学重点
微元法思想和定积分的基本性质
1.3 教学难点
无限细分和无穷累积的思维方法
2 教学过程简录
2.1 实例铺路，引出课题 教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，
”
师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限. 我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究． 2.2 演示验证，直观感知
教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想.” （教师动画演示对曲边梯形的分割过程）
这是曲边梯形的过剩近似值的拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示.
教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？
学生1：以上对曲边梯形的无限分割体现了“无限逼近”的思想。
学生2：还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，
以及“以直代曲”的思想.
教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念. 2.2.1 定积分的概念
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，任意用分点a=x0
∑f(ξ)∆x
i
i=1
1≤i≤n
n
i
.
若当λ=max{∆xi}→0时，上式的极限存在，则称函数f(x)在区间[a,b]极限值为f(x)在[a,b]上的定积分，记作⎰f(x)dx. 即
ab
⎰
b
a
f(x)dx=lim∑f(ξi)∆xi. (1)
λ→0
i=1
n
其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，a,b分别称为积分下限和上限.
许多实际问题都可用定积分表示. 例如，若变速直线运动的速度为v(t)，则在时间区间[a,b]上，物体经过的路程为
s=⎰v(t)dt. (2)
ab
同理，图5－1所示的曲边梯形面积可表为
A=⎰f(x)dx (3)
ab
ba
图5－1
变力做功 W=⎰F(r)dr (4) I．f(x)在[a,b]可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点ξi在小区间
[xi-1,xi]上如何选取，只要λ→0，极限值总是唯一确定的.
哪些函数是可积的呢？
定理 在闭区间[a,b]上连续的函数必在[a,b]上可积；在区间[a,b]上有界且只有有限个间断点的函数也必在[a,b]上可积.
II．定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即
⎰
b
a
f(x)dx=⎰f(u)du=⎰f(t)dt．
a
a
bb
III．定义定积分时已假定下限a小于上限b，为便于应用，规定当b≤a时，
⎰
2.2.2 定积分的几何意义
b
a
f(x)dx=-⎰f(x)dx．
b
a
⎰
ba
a
a
f(x)dx=0．
I．若f(x)≥0，则积分⎰f(x)dx表示如图所示的曲边梯形的面积，即
⎰
b
a
f(x)dx=A．
ba
f (x)dx=0。
针对训练：用定积分表示下列图形的面积.
特别地，当a=b时，有⎰
(两名学生上黑板板书) 学生1：⎰2xdx 学生2：⎰sinxdx
随堂检测：利用定积分的几何意义求值:
2
(1)(x+1)dx0
3π401
(2)⎰
2
-
(请两名同学在黑板上板演，并解说自己的想法)
学生3：（略） 学生4：
被积函数x∈[-2,2]
半径为计算下列定积分2练习：
（1）⎰(2x-4)dx
2
5
（
2）
⎰xdx
-1
1
学生5：（略） 学生6：（略）
ba
II．若f(x)≤0，则积分⎰f(x)dx表示如图5－3所示的曲边梯形面积的负值，即
这是显然的，因为此时曲边梯形各点处的高是-f(x)而不是f(x)． 对定积分的几何意义的几点补充说明：
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?
学生7：可以用两部分面积的差表示：
bbb
S=S1-S2=⎰f(x)dx-⎰g(x)dx=⎰(f(x)-g(x))dx
aaa
III．如果在[a,
b]上f(x)的值有正也有负，如图，则积分⎰f
(x)dx表示介于x轴、曲线y=f(x)及
ab
b
直线x=a、x=b之间各部分面积的代数和．即在x
轴上方的图形面积减去x轴下方的图形面积：⎰f(x)dx=A1-A2+A3．
a
b
2.2.3 定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
⎰1dx=b-a
性质2 ⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 ⎰[f(x) ±f(x)d]=x⎰f(x)±d⎰xf( )x dx （定积分的线性性质）
性质1
a
b
b
b
aa
bbb
a
12
a
1
a
2
bcb
性质4
x⎰⎰f(x)d=
a
a
f()x+dx⎰
c
(f)x其中d(x（定积分对积分区间的可加性）
教师：你能将性质4可加性推广到更一般的情况吗？
（学生展开讨论，选取几个油代表性的，师生共同归纳得出）
说明：①推广：⎰[f1(x)±f2(x)± ±fm(x)]dx=⎰f1(x)dx±⎰f2(x)dx± ±⎰fm(x)
a
a
a
a
b
b
b
b
b
c1
c2
b
②推广:⎰f(x)dx=⎰f(x)dx+⎰f(x)dx+ +⎰f(x)dx
a
a
c1
ck
③性质解释：
曲边梯形AMNB曲边梯形AMPC曲边梯形CPNB
1
练习：1、根据定积分的可加性，可将下列定积分 ⎰ (2 x - x 2 )dx 表示为？
学生8： 122
22
=2xdx-x(2x-x)dx ⎰0⎰0⎰0dx
2、计算定积分： 5
（1）(2x-4)dx（2）⎰⎰00
学生9：（2）式表示半圆 2.3 发散思考，深入探索
不计算积分，比较下列各组积分的大小:
S=S+S
(1) ⎰
1
xdx
, ⎰
1
x2dx
;
(2) (3) (4)
⎰
2
11
xdxxdx
, ,
⎰⎰
2
11
x2dx
;
;
.
⎰
00
ln(1+x)dx,
⎰π
-
sinxdx
⎰
π2
sinxdx
（四名同学板演，教师巡视，各小组共同讨论得出）
学生10：在同一区间内，函数值大的，对应的定积分值大。
学生11：同一函数在不同区间内的积分值比较大小，先看函数值的正负，再看区间范
围的大小.
教师： 表述更严谨应该怎么说？ 学生11：应该是区间长度的大小 . 教师：推广到一般情形呢？
:学生12：若在区间[a,b]上，f(x)≥0，则
⎰
b
a
f(x)dx≥0．
学生13： 若在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则
⎰
学生14： 先画图再定值.
b
a
f(x)dx≤⎰g(x)dx．
ab
b
比较积分区间上两函数大小,再由⎰
a
f(x)dx≤⎰g(x)dx即得
a
b
(3)令F(x)=x-ln(1+x),F'(x)=1-
1
2.4 归纳小结，提炼升华
（学生从知识和数学思想两方面总结，教师加以归纳引导） 1、本节课学习了哪些内容？
定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 2、体现了哪些数学思想？
“以直代曲”，“近似代替”，“无限逼近”，“极限的思想” 作业
课本50页 习题A.B组 板书设计