2.4 内积空间中的正交性
Inner Product Spaces and Orthogonality
在三维空间中，如右图1所示任取一平面M ，空间中的每一个矢量x 必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量x 0在平面M 上，另一个向量z 与平面M 垂直，即x =x 0+z ，
x 0⊥z ．这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？
图2.4.1 三维空间向量的分解，向量x =x 0+z ，其中x 0⊥z
2.4.1 正交分解
定义2.4.1 正交
设X 是内积空间，x , y ∈X ，如果(x , y ) =0，则称x 与y 正交或垂直，记为x ⊥y ．如果X 的子集A 中的每一个向量都与子集B 中的每一个向量正交，则称A 与B 正交，记为A ⊥B ．特别记x ⊥A ，即向量x 与A 中的每一个向量垂直．
定理2.4.1 勾股定理
设X 是内积空间，x , y ∈X ，若x ⊥y ，则x +y =x +y ． 证明 x +y =(x +y , x +y )
=(x , x ) +(x , y ) +(y , x ) +(y , y )
2
2
2
2
=(x , x ) +(y , y )
=x +y ．□
22
注1: 在内积空间中，是否存在x +y =x +y ⇒x ⊥y ？显然由
x +y
2
222
=(x , x ) +(x , y ) +(x , y ) +(y , y ) =x +y +2Re(x , y ) ，
2
2
2
22
可知在实内积空间中x +y =x +y ⇒x ⊥y 成立．
定义2.4.2 正交补Orthogonal complement
设X 是内积空间，M ⊂X ，记M ⊥={x |x ⊥M , x ∈X }，则称M ⊥为子集M 的正交补．显然有X ⊥={0}，{0}⊥=X 以及M ⊥ M ={0}．
性质2.4.1 设X 是内积空间，M ⊂X ，则M ⊥是X 的闭线性子空间． 证明 (1) M ⊥是X 的线性子空间
∀x , y ∈M ⊥，α, β∈K ，∀z ∈M ，有
(αx +βy , z ) =(αx , z ) +(βy , z ) =α(x , z ) +β(y , z ) =0，
于是αx +βy ∈M ⊥，因此M ⊥是X 的线性子空间．
(2) M ⊥是X 的闭子空间
设{x n }⊂M ⊥，且依范数x n →x 0(n →∞) ，于是∀z ∈M ，有
(x 0, z ) =(limx n , z ) =lim(x n , z ) =0．
n →∞
n →∞
因此x 0∈M ⊥，即M ⊥是X 的闭子空间．□
注2: 由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在Hilbert 空间中(完备的内积空间) ，任意子集M 的正交补M ⊥是完备的子空间，即Hilbert 空间的正交补M ⊥也是Hilbert 空间．
定义2.4.3 正交分解
设M 是内积空间X 的子空间，x ∈X ，如果存在x 0∈M , z ∈M ⊥，使得x =x 0+z ，则称x 0
为x 在M 上的正交投影或正交分解．
引理2.4.1 设X 是内积空间，M 是X 的线性子空间，x ∈X ，若存在y ∈M ，使得x -y =d (x , M ) ，那么x -y ⊥M ．
证明 令z =x -y ，若z 不垂直于M ，则存在y 1∈M ，使得(z , y 1) ≠0，显然y 1≠0． 因为∀α∈K ，有
z -αy 1
2
=(z -αy 1, z -αy 1)
=z -α(y 1, z ) -(z , y 1) +(y 1, y 1) =z -(z , y 1) -α[(y 1, z ) -(y 1, y 1)]
22
特别取=
(y 1, z )
，则可得 (y 1, y 1)
2
z -αy 1
2
=z -(z , y 1) =z -
22
(y 1, z )
(y 1, y 1)
≤z
2
=x -y
2
=d 2(x , M ) ，
即知z -αy 1
z -αy 1=x -y -αy 1=x -(y +αy 1) ≥d (x , M ) ．
产生矛盾，故x -y ⊥M ．□
定理2.4.1 投影定理
设M 是Hilbert 空间H 的闭线性子空间，则H 中的元素x 在M 中存在唯一的正交投影，即∀x ∈H ，x =x 0+z ，其中x 0∈M , z ∈M ⊥．(或表示为H =M ⊕M ⊥)
证明 (1) 寻找x 0进行分解．
∀x ∈H ，设d (x , M ) =inf{x -y =a >0，则存在{y n }⊂M ，使得
y ∈M
y n -x →a (n →∞) ，
首先证{y n }是M 中的基本列，因为∀m , n ∈N 有
y m -y n
2
=(y m -x ) +(x -y n ) =2y m -x +2x -y n
=2y m -x +2x -y n
2
2
22
-(y m -x ) -(x -y n )
1
-4(y m +y n ) -x
2
2
2
2
11
因为y m , y n ∈M 及M 是子空间，知(y m +y n ) ∈M ，所以(y m +y n ) -x ≥a ，于是
22
y m -y n
2
≤2y m -x +2x -y n
22
-4a 2→0(m , n →∞)
故{y n }是M 中的基本列，又因M 是闭子空间，即为完备空间，所以{y n }是M 中的收敛列．不妨设y n →x 0(n →∞) ，则有
a =x -x 0=d (x , M ) ．
令z =x -x 0，因此有x =x 0+z ，其中x 0∈M ，且根据前面引理知z ∈M ⊥．
(2) 分解的唯一性．假设还存在x 1∈M ，z 1∈M ⊥使得x =x 1+z 1，那么有
0=(x 0-x 1) +(z -z 1) ，z -z 1∈M ⊥，
于是只需0的分解具有唯一性．若0=y' +z' ，y' ∈M ，z' ∈M ⊥，则
2
0=(0,y' ) =(y' +z' , y' ) =(y' , y' ) +(z' , y' ) =y'
可见y' =0及z' =0，即0的分解具有唯一性．□
例2.4.1 证明在内积空间上，x ⊥y 的充要条件是∀α∈K 有x +αy ≥x ．
证明 必要性⇒ 若x ⊥y ，则有(x , y ) =0，∀α∈K 有(x , αy ) =(x , y ) =0，于是由勾股定理得：x +αy =x +y ≥x ．
充分性⇐若∀α∈K 有x +αy ≥x ，且y ≠0时，
0≤x +αy -x
=(x +αy , x +αy ) -(x , x )
=(x , x ) +α(y , x ) +(x , y ) +(y , y ) -(x , x ) =α(y , x ) +x , y ) +α(y , y )]
2
2
2
2
2
2
特别取α=-
(x , y )
，于是， (y , y )
(x , y ) (x , y )
(y , x ) =-≤0 0≤x +αy -x =-2
(y , y ) y
2
2
2
故(x , y ) =0，即x ⊥y ．□
2.4.2 标准正交系
在三维空间中，任何一向量α可写成α=a 1e 1+a 2e 2+a 3e 3，其中
e 1=(1,0,0)，e 2=(0,1,0)，e 3=(0,0,1)，a 1=(α, e 1) ，a 2=(α, e 2) ，a 3=(α, e 3) ，
1．可见α=(α, e 1) e 1+(α, e 2) e 2+(α, e 3) e 3，那么在有限维内积显然当i ≠j 时，e i ⊥e j ，而(e i , e i ) =
空间中是否具有同样的结论呢？
定义2.4.4 标准正交系
设X 是内积空间，{e n }是X 中的点列，若满足
⎧1i =j
(e i , e j ) =⎨．
⎩0i ≠j
则称{e n }为X 中的标准正交系．
例2.4.2 在n 维内积空间R n 中，向量组
e 1=(1,0, ,0) ，e 2=(0,1,0, ,0) ， ，e n =(0, ,0,1) ，
是R n 的一个标准正交系．□
n =1, 2, ) ，则{e n }是l 2的一个标准正交例2.4.3 在l 2中，向量e n =(0, ,0,1,0, ,0, ) (
n
系．□
例2.4.4 在L 2[-π, π]中，对于f , g ∈L 2[-π, π]，定义内积为
(f , g ) =
1
π
⎰πf (t ) ⋅g (t ) dt
-
π
则下列三组向量均是L 2[-π, π]的标准正交系，
{e n }={e n e n =cos nx , n =1,2, }；
{e ' n }={e ' n e ' n =sin nx , n =1,2, }；
*
{e n }={e 0, e n , e ' n e 0=
e n =cos nx , e ' n =sin nx , n =1, 2, }．□
注3: 如果线性空间上中的点列{e n }的任意有限个元素线性独立，则称{e n }为线性独立系．可验证标准正交系是线性独立系．设{e n , e n , , e n }是标准正交系{e n }的一个有限子集，如
1
2
k
果存在α1, α2, , αk ∈K 使得
α1e n +α2e n + +αk e n =0，
1
2
k
那么对于任意的αj (1≤j ≤k )
αj =αj (e n , e n ) =(αj e n , e n ) =∑(αt e n , e n ) =(∑αt e n , e n ) =(0,e n ) =0.
j
j
j
j
k k
t =1
t j
t =1
t j j
反过来，任何一个线性独立系经过正交化后为标准正交系．
定理2.4.2 设{e n }为内积空间X 的标准正交系，{e n , e n , , e n }⊂{e n }，记
1
2
k
M =span {e n 1, e n 2, , e n k }，
那么∀x ∈X ，x 0=∑(x , e n i ) e n i 是x 在M 上的正交投影．即x 0∈M ，x =x 0+z ，(x -x 0) ⊥M ．
i =1
k
证明 显然x 0∈M ，∀y ∈M ，由于存在α1, α2, , αk ∈K ，使得y =∑αi e n i , 于是
i =1
k
(x -x 0, y ) =(x -∑(x , e n i ) e n i , ∑αi e n i )
i =1k
i =1
k k
=(x , ∑αi e n i ) -(∑(x , e n i ) e n i , ∑αi e n i )
i =1
i =1
i =1
k k
=∑i (x , e n i ) -∑i (x , e n i )(e n i , e n i ) =0．□
i =1
i =1
k k
注4: 上述定理中的M 为k 维闭子空间，作为内积空间M 与R k 同构，M 也是完备的子
空间，根据投影定理，x 在M 上的正交投影x 0唯一存在．
定理2.4.3 设{x n }为内积空间X 中任意的一组线性独立系，则可将{x n }用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法化为标准正交系{e n }，且对任何自然数n ，有αk (n ) , βk (n ) ∈K
x n =∑αe ，e n =∑βk (n ) x k ，
(n ) k k k =1
k =1
n
n
同时span {e 1, e 2, , e n }=span {x 1, x 2, , x n }．
证明 令e 1=
x 1
，则有e 1=1．记M 1=span {e 1}，根据上述定理可将x 2在M 1上做正交分x 1
解x 2=(x 2, e 1) e 1+v 2，即v 2⊥e 1，v 2∈M 1⊥，得v 2=x 2-(x 2, e 1) e 1．
令e 2=
v 2
，则有e 2=1，e 2⊥e 1，且有 v 2
e 2=
(x , e ) 1
x 2-21x 1，x 2=(x 2, e 1) e 1+v 2e 2． v 2v 2x 1
v 3
，从而治x 3是e 1, e 2, e 3的线性组合，e 3是v 3
v n
，显然e n =1，v n
记M 2=span {e 1, e 2}，将x 3在M 2上做正交分解x 3=(x 3, e 1) e 1+(x 3, e 2) e 2+v 3，则v 3≠0及
v 3∈M 2⊥，得v 3=x 3-(x 3, e 1) e 1-(x 3, e 2) e 2，可令e 3=x 1, x 2, x 3的线性组合．
以此类推，可令v n =x n -∑(x n , e i ) e i ，且有e 1, e 2, , e n -1正交，进而令e n =
i =1
n -1
于是
x n =v n +∑(x n , e i ) e i =v n e n +∑(x n , e i ) e i =∑αi (n ) e i ．
i =1
i =1
i =1
n -1
n -1
n
同时可得e n 是x 1, x 2, , x n 的线性组合．□
线性与非线性泛函◇
2.4 内积空间中的正交性
Inner Product Spaces and Orthogonality
在三维空间中，如右图1所示任取一平面M ，空间中的每一个矢量x 必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量x 0在平面M 上，另一个向量z 与平面M 垂直，即x =x 0+z ，
x 0⊥z ．这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？
图2.4.1 三维空间向量的分解，向量x =x 0+z ，其中x 0⊥z
2.4.1 正交分解
定义2.4.1 正交
设X 是内积空间，x , y ∈X ，如果(x , y ) =0，则称x 与y 正交或垂直，记为x ⊥y ．如果X 的子集A 中的每一个向量都与子集B 中的每一个向量正交，则称A 与B 正交，记为A ⊥B ．特别记x ⊥A ，即向量x 与A 中的每一个向量垂直．
定理2.4.1 勾股定理
设X 是内积空间，x , y ∈X ，若x ⊥y ，则x +y =x +y ． 证明 x +y =(x +y , x +y )
=(x , x ) +(x , y ) +(y , x ) +(y , y )
2
2
2
2
=(x , x ) +(y , y )
=x +y ．□
22
注1: 在内积空间中，是否存在x +y =x +y ⇒x ⊥y ？显然由
x +y
2
222
=(x , x ) +(x , y ) +(x , y ) +(y , y ) =x +y +2Re(x , y ) ，
2
2
2
22
可知在实内积空间中x +y =x +y ⇒x ⊥y 成立．
定义2.4.2 正交补Orthogonal complement
设X 是内积空间，M ⊂X ，记M ⊥={x |x ⊥M , x ∈X }，则称M ⊥为子集M 的正交补．显然有X ⊥={0}，{0}⊥=X 以及M ⊥ M ={0}．
性质2.4.1 设X 是内积空间，M ⊂X ，则M ⊥是X 的闭线性子空间． 证明 (1) M ⊥是X 的线性子空间
∀x , y ∈M ⊥，α, β∈K ，∀z ∈M ，有
(αx +βy , z ) =(αx , z ) +(βy , z ) =α(x , z ) +β(y , z ) =0，
于是αx +βy ∈M ⊥，因此M ⊥是X 的线性子空间．
(2) M ⊥是X 的闭子空间
设{x n }⊂M ⊥，且依范数x n →x 0(n →∞) ，于是∀z ∈M ，有
(x 0, z ) =(limx n , z ) =lim(x n , z ) =0．
n →∞
n →∞
因此x 0∈M ⊥，即M ⊥是X 的闭子空间．□
注2: 由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在Hilbert 空间中(完备的内积空间) ，任意子集M 的正交补M ⊥是完备的子空间，即Hilbert 空间的正交补M ⊥也是Hilbert 空间．
定义2.4.3 正交分解
设M 是内积空间X 的子空间，x ∈X ，如果存在x 0∈M , z ∈M ⊥，使得x =x 0+z ，则称x 0
为x 在M 上的正交投影或正交分解．
引理2.4.1 设X 是内积空间，M 是X 的线性子空间，x ∈X ，若存在y ∈M ，使得x -y =d (x , M ) ，那么x -y ⊥M ．
证明 令z =x -y ，若z 不垂直于M ，则存在y 1∈M ，使得(z , y 1) ≠0，显然y 1≠0． 因为∀α∈K ，有
z -αy 1
2
=(z -αy 1, z -αy 1)
=z -α(y 1, z ) -(z , y 1) +(y 1, y 1) =z -(z , y 1) -α[(y 1, z ) -(y 1, y 1)]
22
特别取=
(y 1, z )
，则可得 (y 1, y 1)
2
z -αy 1
2
=z -(z , y 1) =z -
22
(y 1, z )
(y 1, y 1)
≤z
2
=x -y
2
=d 2(x , M ) ，
即知z -αy 1
z -αy 1=x -y -αy 1=x -(y +αy 1) ≥d (x , M ) ．
产生矛盾，故x -y ⊥M ．□
定理2.4.1 投影定理
设M 是Hilbert 空间H 的闭线性子空间，则H 中的元素x 在M 中存在唯一的正交投影，即∀x ∈H ，x =x 0+z ，其中x 0∈M , z ∈M ⊥．(或表示为H =M ⊕M ⊥)
证明 (1) 寻找x 0进行分解．
∀x ∈H ，设d (x , M ) =inf{x -y =a >0，则存在{y n }⊂M ，使得
y ∈M
y n -x →a (n →∞) ，
首先证{y n }是M 中的基本列，因为∀m , n ∈N 有
y m -y n
2
=(y m -x ) +(x -y n ) =2y m -x +2x -y n
=2y m -x +2x -y n
2
2
22
-(y m -x ) -(x -y n )
1
-4(y m +y n ) -x
2
2
2
2
11
因为y m , y n ∈M 及M 是子空间，知(y m +y n ) ∈M ，所以(y m +y n ) -x ≥a ，于是
22
y m -y n
2
≤2y m -x +2x -y n
22
-4a 2→0(m , n →∞)
故{y n }是M 中的基本列，又因M 是闭子空间，即为完备空间，所以{y n }是M 中的收敛列．不妨设y n →x 0(n →∞) ，则有
a =x -x 0=d (x , M ) ．
令z =x -x 0，因此有x =x 0+z ，其中x 0∈M ，且根据前面引理知z ∈M ⊥．
(2) 分解的唯一性．假设还存在x 1∈M ，z 1∈M ⊥使得x =x 1+z 1，那么有
0=(x 0-x 1) +(z -z 1) ，z -z 1∈M ⊥，
于是只需0的分解具有唯一性．若0=y' +z' ，y' ∈M ，z' ∈M ⊥，则
2
0=(0,y' ) =(y' +z' , y' ) =(y' , y' ) +(z' , y' ) =y'
可见y' =0及z' =0，即0的分解具有唯一性．□
例2.4.1 证明在内积空间上，x ⊥y 的充要条件是∀α∈K 有x +αy ≥x ．
证明 必要性⇒ 若x ⊥y ，则有(x , y ) =0，∀α∈K 有(x , αy ) =(x , y ) =0，于是由勾股定理得：x +αy =x +y ≥x ．
充分性⇐若∀α∈K 有x +αy ≥x ，且y ≠0时，
0≤x +αy -x
=(x +αy , x +αy ) -(x , x )
=(x , x ) +α(y , x ) +(x , y ) +(y , y ) -(x , x ) =α(y , x ) +x , y ) +α(y , y )]
2
2
2
2
2
2
特别取α=-
(x , y )
，于是， (y , y )
(x , y ) (x , y )
(y , x ) =-≤0 0≤x +αy -x =-2
(y , y ) y
2
2
2
故(x , y ) =0，即x ⊥y ．□
2.4.2 标准正交系
在三维空间中，任何一向量α可写成α=a 1e 1+a 2e 2+a 3e 3，其中
e 1=(1,0,0)，e 2=(0,1,0)，e 3=(0,0,1)，a 1=(α, e 1) ，a 2=(α, e 2) ，a 3=(α, e 3) ，
1．可见α=(α, e 1) e 1+(α, e 2) e 2+(α, e 3) e 3，那么在有限维内积显然当i ≠j 时，e i ⊥e j ，而(e i , e i ) =
空间中是否具有同样的结论呢？
定义2.4.4 标准正交系
设X 是内积空间，{e n }是X 中的点列，若满足
⎧1i =j
(e i , e j ) =⎨．
⎩0i ≠j
则称{e n }为X 中的标准正交系．
例2.4.2 在n 维内积空间R n 中，向量组
e 1=(1,0, ,0) ，e 2=(0,1,0, ,0) ， ，e n =(0, ,0,1) ，
是R n 的一个标准正交系．□
n =1, 2, ) ，则{e n }是l 2的一个标准正交例2.4.3 在l 2中，向量e n =(0, ,0,1,0, ,0, ) (
n
系．□
例2.4.4 在L 2[-π, π]中，对于f , g ∈L 2[-π, π]，定义内积为
(f , g ) =
1
π
⎰πf (t ) ⋅g (t ) dt
-
π
则下列三组向量均是L 2[-π, π]的标准正交系，
{e n }={e n e n =cos nx , n =1,2, }；
{e ' n }={e ' n e ' n =sin nx , n =1,2, }；
*
{e n }={e 0, e n , e ' n e 0=
e n =cos nx , e ' n =sin nx , n =1, 2, }．□
注3: 如果线性空间上中的点列{e n }的任意有限个元素线性独立，则称{e n }为线性独立系．可验证标准正交系是线性独立系．设{e n , e n , , e n }是标准正交系{e n }的一个有限子集，如
1
2
k
果存在α1, α2, , αk ∈K 使得
α1e n +α2e n + +αk e n =0，
1
2
k
那么对于任意的αj (1≤j ≤k )
αj =αj (e n , e n ) =(αj e n , e n ) =∑(αt e n , e n ) =(∑αt e n , e n ) =(0,e n ) =0.
j
j
j
j
k k
t =1
t j
t =1
t j j
反过来，任何一个线性独立系经过正交化后为标准正交系．
定理2.4.2 设{e n }为内积空间X 的标准正交系，{e n , e n , , e n }⊂{e n }，记
1
2
k
M =span {e n 1, e n 2, , e n k }，
那么∀x ∈X ，x 0=∑(x , e n i ) e n i 是x 在M 上的正交投影．即x 0∈M ，x =x 0+z ，(x -x 0) ⊥M ．
i =1
k
证明 显然x 0∈M ，∀y ∈M ，由于存在α1, α2, , αk ∈K ，使得y =∑αi e n i , 于是
i =1
k
(x -x 0, y ) =(x -∑(x , e n i ) e n i , ∑αi e n i )
i =1k
i =1
k k
=(x , ∑αi e n i ) -(∑(x , e n i ) e n i , ∑αi e n i )
i =1
i =1
i =1
k k
=∑i (x , e n i ) -∑i (x , e n i )(e n i , e n i ) =0．□
i =1
i =1
k k
注4: 上述定理中的M 为k 维闭子空间，作为内积空间M 与R k 同构，M 也是完备的子
空间，根据投影定理，x 在M 上的正交投影x 0唯一存在．
定理2.4.3 设{x n }为内积空间X 中任意的一组线性独立系，则可将{x n }用格拉姆-施密特(Gram-Schmidt)方法化为标准正交系{e n }，且对任何自然数n ，有αk (n ) , βk (n ) ∈K
x n =∑αe ，e n =∑βk (n ) x k ，
(n ) k k k =1
k =1
n
n
同时span {e 1, e 2, , e n }=span {x 1, x 2, , x n }．
证明 令e 1=
x 1
，则有e 1=1．记M 1=span {e 1}，根据上述定理可将x 2在M 1上做正交分x 1
解x 2=(x 2, e 1) e 1+v 2，即v 2⊥e 1，v 2∈M 1⊥，得v 2=x 2-(x 2, e 1) e 1．
令e 2=
v 2
，则有e 2=1，e 2⊥e 1，且有 v 2
e 2=
(x , e ) 1
x 2-21x 1，x 2=(x 2, e 1) e 1+v 2e 2． v 2v 2x 1
v 3
，从而治x 3是e 1, e 2, e 3的线性组合，e 3是v 3
v n
，显然e n =1，v n
记M 2=span {e 1, e 2}，将x 3在M 2上做正交分解x 3=(x 3, e 1) e 1+(x 3, e 2) e 2+v 3，则v 3≠0及
v 3∈M 2⊥，得v 3=x 3-(x 3, e 1) e 1-(x 3, e 2) e 2，可令e 3=x 1, x 2, x 3的线性组合．
以此类推，可令v n =x n -∑(x n , e i ) e i ，且有e 1, e 2, , e n -1正交，进而令e n =
i =1
n -1
于是
x n =v n +∑(x n , e i ) e i =v n e n +∑(x n , e i ) e i =∑αi (n ) e i ．
i =1
i =1
i =1
n -1
n -1
n
同时可得e n 是x 1, x 2, , x n 的线性组合．□
线性与非线性泛函◇