圆锥曲线专题复习
2012设抛物线C :x 2=2py (p >0) 的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，
FA 为半径的圆F 交l 于B , D 两点；
（1）若∠BFD =90，∆ABD 的面积为42；求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A , B , F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到m , n 距离的比值。
【解析】（1）由对称性知：∆BFD 是等腰直角∆，斜边BD =2p
点A 到准线l
的距离d =FA =FB =
1
S ∆ABD =⇔⨯BD ⨯d =⇔p =2
2
圆F 的方程为x 2+(y -1) 2=8
2
p x 0
（2）由对称性设A (x 0, )(x 0>0) ，则F (0,)
22p
22
x 0x 0p 2
点A , B 关于点F 对称得：B (-x 0, p -) ⇒p -=-⇔x 0=3p 2
2p 2p 2
3p p -
p 3p
=0
) ，直线m :y =x +⇔x -
得：A
,
22p x 2x x =2py ⇔y =) ⇒y '==⇒x =p ⇒
切点P 62p p 2
直线n :y -
p =x -) ⇔x --p =0 6336
:=3。 26
坐标原点到m , n
距离的比值为
201321、(本小题满分12分)
，设动点M 的轨
如图，动点M 到两定点A (-1,0) 、B (2,0)构
B A 成∆MAB ，且∠M
=∠2M A B
迹为C 。
（Ⅰ）求轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线y =-2x +m 与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且|PR |
|PQ |
的取值范围。
|PQ |
2014已知点A （0，﹣2），椭圆E ：
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，F 是椭圆E 的右
焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．
x 2
2015在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=与直线y =kx +a （a ＞0）交与M,N
两点，
4
（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.
试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N. （Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y =kx +
a 代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0, 即可求出a , b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.
试题解析：（Ⅰ）由题设可得M
a
) ，N (-
a ) ，或M (-a )
，N a ) .
x 21
∵y '=x ，故y =在x =
C 在
, a ) 处的切线方程为
24
y
-a x --
y -a =0.
x 2
故y =在x
=-处的到数值为
C 在(-, a ) 处的切线方程为
4
y -a =x ++y +a =0.
-y -a =0+y +a =0. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P （0，b ）为复合题意得点，M (x 1, y 1) ，N (x 2, y 2) ，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1, k 2.
将y =kx +a 代入C 得方程整理得x 2-4kx -4a =0. ∴x 1+x 2=4k , x 1x 2=-4a . ∴k 1+k 2=
y 1-b y 2-b 2kx 1x 2+(a -b )(x 1+x 2) k (a +b )
==. +
a x 1x 2x 1x 2
当b =-a 时，有k 1+k 2=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以P (0,-a ) 符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
l 交圆A 于2016设圆x 2+y 2+2x -15=0的圆心为A ，直线l 过点B (1, 0)且与x 轴不重合，C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
（I ）证明EA +EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M , N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P , Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
解析：(1)(x +1) 2+y 2=16, 因为AC =AD ，AC ∥CD ，所以BE =ED ，
EA +EB =EA +ED =AD =4（定值），所以2a =4, a =2, c =1, b =，故所求轨迹方
x 2y 2
+=1(y ≠0) 程为E ：43
(2)当m =0时，直线l ：x =1，显然M (1, ) ，N (1, -) MN =3, PQ =4，
3
232
S MPNQ =
1
⋅MN ⋅PQ =6 2
⎧x 2y 2
1=1⎪+
当m ≠0时, 设l :x =my +1, 则l PQ :x =-y +1，联立l 与E :⎨4 3
m ⎪x =my +1
⎩
6m ⎧
y +y =-N ⎪⎪M 3m 2+422
得(3m +4) y +6my -9=0，韦达定理知⎨、
⎪y y =-9M N ⎪3m 2+4⎩
+m 2
所以MN =+m y M -y N =+m ， 2
3m +4
2
2
同理知PQ =+
11y -y =+P Q m 2m 2
+
1
m 2 3+4m 2
所以S MPNQ
112
) 72(2+m +) 221 =⋅MN ⋅PQ =72=312(3m 2+4)(2+4) 25+12(m 2+2) m m
(m 2+1)(1+
172(2+t ) 6⎡288⎫
≥2，则S ===6-∈，6⎪ MPNQ ⎢m 225+12t 12t +25⎣49⎭
2
令t =m +
综上所述：四边形MNPQ 面积的取值范围为⎢
⎡288⎤
，6⎥ ⎣49⎦
圆锥曲线专题复习
2012设抛物线C :x 2=2py (p >0) 的焦点为F ，准线为l ，A ∈C ，已知以F 为圆心，
FA 为半径的圆F 交l 于B , D 两点；
（1）若∠BFD =90，∆ABD 的面积为42；求p 的值及圆F 的方程；
（2）若A , B , F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到m , n 距离的比值。
【解析】（1）由对称性知：∆BFD 是等腰直角∆，斜边BD =2p
点A 到准线l
的距离d =FA =FB =
1
S ∆ABD =⇔⨯BD ⨯d =⇔p =2
2
圆F 的方程为x 2+(y -1) 2=8
2
p x 0
（2）由对称性设A (x 0, )(x 0>0) ，则F (0,)
22p
22
x 0x 0p 2
点A , B 关于点F 对称得：B (-x 0, p -) ⇒p -=-⇔x 0=3p 2
2p 2p 2
3p p -
p 3p
=0
) ，直线m :y =x +⇔x -
得：A
,
22p x 2x x =2py ⇔y =) ⇒y '==⇒x =p ⇒
切点P 62p p 2
直线n :y -
p =x -) ⇔x --p =0 6336
:=3。 26
坐标原点到m , n
距离的比值为
201321、(本小题满分12分)
，设动点M 的轨
如图，动点M 到两定点A (-1,0) 、B (2,0)构
B A 成∆MAB ，且∠M
=∠2M A B
迹为C 。
（Ⅰ）求轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线y =-2x +m 与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且|PR |
|PQ |
的取值范围。
|PQ |
2014已知点A （0，﹣2），椭圆E ：
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率为
，F 是椭圆E 的右
焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点．
（Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．
x 2
2015在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=与直线y =kx +a （a ＞0）交与M,N
两点，
4
（Ⅰ）当k=0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM=∠OPN ？说明理由.
试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N. （Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y =kx +
a 代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0, 即可求出a , b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.
试题解析：（Ⅰ）由题设可得M
a
) ，N (-
a ) ，或M (-a )
，N a ) .
x 21
∵y '=x ，故y =在x =
C 在
, a ) 处的切线方程为
24
y
-a x --
y -a =0.
x 2
故y =在x
=-处的到数值为
C 在(-, a ) 处的切线方程为
4
y -a =x ++y +a =0.
-y -a =0+y +a =0. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P （0，b ）为复合题意得点，M (x 1, y 1) ，N (x 2, y 2) ，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1, k 2.
将y =kx +a 代入C 得方程整理得x 2-4kx -4a =0. ∴x 1+x 2=4k , x 1x 2=-4a . ∴k 1+k 2=
y 1-b y 2-b 2kx 1x 2+(a -b )(x 1+x 2) k (a +b )
==. +
a x 1x 2x 1x 2
当b =-a 时，有k 1+k 2=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以P (0,-a ) 符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
l 交圆A 于2016设圆x 2+y 2+2x -15=0的圆心为A ，直线l 过点B (1, 0)且与x 轴不重合，C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
（I ）证明EA +EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；
（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M , N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P , Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.
解析：(1)(x +1) 2+y 2=16, 因为AC =AD ，AC ∥CD ，所以BE =ED ，
EA +EB =EA +ED =AD =4（定值），所以2a =4, a =2, c =1, b =，故所求轨迹方
x 2y 2
+=1(y ≠0) 程为E ：43
(2)当m =0时，直线l ：x =1，显然M (1, ) ，N (1, -) MN =3, PQ =4，
3
232
S MPNQ =
1
⋅MN ⋅PQ =6 2
⎧x 2y 2
1=1⎪+
当m ≠0时, 设l :x =my +1, 则l PQ :x =-y +1，联立l 与E :⎨4 3
m ⎪x =my +1
⎩
6m ⎧
y +y =-N ⎪⎪M 3m 2+422
得(3m +4) y +6my -9=0，韦达定理知⎨、
⎪y y =-9M N ⎪3m 2+4⎩
+m 2
所以MN =+m y M -y N =+m ， 2
3m +4
2
2
同理知PQ =+
11y -y =+P Q m 2m 2
+
1
m 2 3+4m 2
所以S MPNQ
112
) 72(2+m +) 221 =⋅MN ⋅PQ =72=312(3m 2+4)(2+4) 25+12(m 2+2) m m
(m 2+1)(1+
172(2+t ) 6⎡288⎫
≥2，则S ===6-∈，6⎪ MPNQ ⎢m 225+12t 12t +25⎣49⎭
2
令t =m +
综上所述：四边形MNPQ 面积的取值范围为⎢
⎡288⎤
，6⎥ ⎣49⎦