多裂纹梁的振动分析
张炜*
南昌航空大学 飞行器工程学院，江西 南昌 330063
摘 要：用无质量的等效扭转弹簧来模拟梁的裂纹，研究基于递推方法的多裂纹梁在多种边界条件下的振动情况。先通过梁裂纹处的连续性条件得到相邻两段梁特征方程的待定系数之间的关系，再利用边界条件推导计算得到该梁的无量纲固有频率，然后可以很容易求出振型函数解析表达式。通过与参考文献中的计算结果相比较，证明了本文计算方法的正确性和有效性。文中还给出了具体算例，计算出了悬臂梁的模态振型，并讨论了裂纹数目和裂纹深度对梁固有频率的影响情况。 关键词：多裂纹梁；多种边界条件；递推方法；振型模态；固有频率 中图分类号：TB123; O327 文献标识码：A
近年来，在工程应用中，裂纹的识别与检测成为研究的热点，其对于保证构件的正常使用具有重要的意义。因为裂纹等损伤的存在会对结构的固有频率和模态振形产生影响，所以，通过损伤前后的固有频率、结构模态等结构参数的变化来进行结构的损伤检测受到了广泛的关注。但是目前研究的大多是单裂纹[1-3]或双裂纹[4]结构。对于多条裂纹的损伤结构，其振动分析相对要困难得多，因为裂纹数每增加1，其特征行列式的阶数就要增加4，有大量学者针对这个问题进行了大量研究，并也得了很多的研究成果。例如Zheng 等[5]通过修正傅立叶方法计算多裂纹梁的固有频率。Khiem 等[6]提出通过传递矩阵方法计算多裂纹梁的固有频率，李学平等[7]对传递矩阵方法进行深入分析，研究表明：对于含n 条裂纹的梁，通过传递矩阵方法可以把特征方程的维数降低为(n +2)阶。
本文基于集中柔度模型[4-6]，建立含裂纹欧拉梁的振动微分方程，并在文献[6]和文献[7]的基础上，提出通过递推方法计算多裂纹梁的固有频率和模态，对于含任意数目裂纹梁的特征方程，均可表示为一个2⨯2矩阵，因而使得计算的变得简单。通过与前人的研基金项目：航空科学基金（BA201106350）
*通讯作者.Tel ：[1**********] E-mail：[email protected]
究成果进行比较，验证了本文方法的有效
性。
1 递推方法
等截面含k 条裂纹的欧拉梁模型如图1所示，梁的长度为L ，裂纹位置为x 1, x 2, , x k (x 1
[4]
，任何一段梁的振动微分方程为
EI
∂4y i (x , t ) ∂2y i (x , t )
+ρA =0, x i -1
(i =1, 2, , k +1)
（1）
式中：E 为梁的弹性模量；ρ和I 分别为梁的密度和惯性矩；A 为梁的横断面面积，A = bh ， h 和b 为梁的高度和宽度。
图1 含k 条裂纹的欧拉梁模型
通过分离变量，法向位移y (x , t ) 可以形式表示为
右端面。由梁的第i 条裂纹引起的无量纲柔度[5] 为θi ，θi =5.346h ⋅J (r i ) ，其中r i
=h i h 为相
式中：j =
y (x , t ) =w (x )e
j wt
（2）
w (x ) 和ω分别为梁的振型函数
和梁的固有频率。
将式（2）式代入（1）式，可得
d 4w i (x ) ρA ω2
-w i (x ) =0
EI 对裂纹深度，h i 为第i 条裂纹的深度，函数J (r i )
可以由表示为[5]
2345
J (r i ) =1.8624r i -3.95r i +16.37r i -37.226r i +67891076.81r i -126.9r i +172r i -43.97r i +66.56r i
(10)
d x （3）
将式（3）表示成无量纲形式
d 4W i (X ) d X -λ4
W i (X ) =0 （4） 式中：X =x ；W i (X ) =w (x ) ；λ4=ρA ω
2L 4
L
L EI
；λ为
无量纲固有频率。
由文献[8]可知，式(4)的通解为
W i (X ) =A i sin[λ(X -R i )]+B i cos[λ(X -R i )]+C i sinh[λ(X -R i )]+D i cosh[λ(X -R i )]
（5） 式中：R i
=x i L 为裂纹的相对位置；A i 、B i 、
C i 、D i 为待定系数，由边界条件和裂纹处的
连续条件可求得。
由于将裂纹看成一无质量的扭转弹簧，那么在第i 个裂纹的位置R i ，梁的连续性条件可表示为[5- 6]
W i (R i L =) W i +1R
(i R ) （6） ∂W i (R L ) ∂X =∂W i +1(R R ) ∂X
（7） ∂3W i (R L ) =∂3W i +1(R R )
∂X ∂X （8） ∂W i (R i L ) ∂2∂X
+θW i i (R i L ) =∂W i +1(R i L )
∂X ∂X
（9）
式中：R i L 和R i R 分别为第i 条裂纹的左端面和
由以上分析可知，式（5）中的待定系
数A i 、B i 、C i 、D i 存在传递关系，即
⎡⎢A i +1⎤⎡
⎢B ⎥
⎢A i ⎤
⎢i +1⎥=T i ⎢B ⎥⎢C i +1⎥⎢i ⎥i =1, 2, , k
⎢⎢C i ⎥
⎣
D ⎥i +1⎦⎥⎢⎣
D ⎥i ⎦⎥(11)
式中：T i 为4⨯4阶传递矩阵，由式（6）～式（9）可知
t 11=cos(λl i ) -1
2
θi λcos(λl i )
t 12=-s i n λl (i
-1
2
i λλc l i o s (
)
t 13=1
12
θi λsinh(λl i ) ， t 14=2θi λc o s λ
h l i ( )
t 21=sin(λl i ) ， t 22=cos(λl i ) ，
t 23=0 ， t 24=0，t 31=-1
2
θi λsin(λl i )
t 32=-1
2
i λcos(λl i ) ， t 33=cosh(λl i ) +1
2
i λsinh(λl i )
t 34=sinh(λl i ) +1
2
θi λcosh(λl i )
t 41=0 ， t 42=0 ， t 43=sinh(λl i )
t 44=cosh(λl i ) 由式（11）可知，第k +1段梁的待定系
数A k +1、B k +1、C k +1、D k +1可以通过第1段梁的待定系数A 1、B 1、C 1、D 1表示，即
⎡A k +1⎤⎢⎥
⎢B k +1⎥=T k ⎢C ⎥⎢k +1⎥⎢D k +1⎦⎥⎣⎛A ⎡A k ⎤⎡A k -1⎤1⎫
⎪⎢⎥⎢⎥
⎢B k ⎥=T k T k -1⎢B k -1⎥=T k T k -1 T 1 B 1⎪
C ⎪⎢C ⎥⎢C ⎥
1⎪⎢k ⎥⎢k -1⎥
D ⎪⎢D k ⎦⎥⎢D k -1⎦⎥⎣⎣⎝1⎭
即
k k -11
U =QT T T =
⎡U 11(λ)U 12(λ)U 13(λ)U 14(λ)⎤ ⎢⎥U λU λU λU λ()()()()⎢21⎥222324⎣⎦
(12）
而A 1、B 1、C 1、D 1可以通过边界条件得到。
2 振型函数和固有频率
上述分析适用于任意边界条件的裂纹梁，本文分别以简支梁、悬臂梁、两端固定梁和两端自由梁为例，推导其频率特征方程。 2.1简支梁
对于简支梁，其边界条件为 左端：W 1(0)=∂
2W 0
1()=0 ∂X 将式（15）代入式（20）可得频率方程为
⎡U 11(λ) U 13(λ) ⎤⎡A 1⎤⎢U (λ) U (λ) ⎥⎢C ⎥=0
23⎦⎣1⎦⎣21
（21）
式(21)存在非零解的条件为矩阵的行列
式等于零，即
det
11(λ) U 13(λ)
=0
21(λ) U 23(λ)
（22）
（13） （14）
右端：W k +1(1)=∂
2W
k +1(1)=0 ∂X 把式（5）分别代入式（13）得
B 1=0，D 1=0
通过频率方程得到无量纲频率λ后，把λ代回式（21）可以算出第一段梁的待定系数A 1和C 1。然后通过A 1、B 1 = 0、C 1、D 1 = 0和式（12），可以计算出每段梁的待定系数A i 、B i 、C i 、D i （i = 2, … , k + 1）。最后把这些系数和λ代入式（5）可以求得裂纹梁的振型函数表达式。 2.2悬臂梁
悬臂梁的边界条件为
（15）
把式（5）分别代入式（14）可得
A k +1sin(λl k +1) +B k +1cos(λl k +1) +
左端：W 1(0)=
∂W 1(0)
=0 ∂X
（23）
∂2W k +1(1)∂3W k +1(1) 右端： ==0 （24）C k +1sinh(λl k +1) +D k +1cosh(λl k +1) =0
∂X ∂X （16）
-A k +1sin(λl k +1) -B k +1cos(λl k +1) +C k +1sinh(λl k +1) +D k +1cosh(λl k +1) =0
同上，可推导出特征方程为
⎡U 11(λ) -U 13(λ) U 12(λ) -U 14(λ) ⎤⎡A 1⎤ ⎢U (λ) -U (λ) U (λ) -U (λ) ⎥⎢B ⎥=0 （25）232224⎣21⎦⎣1⎦
式（19）中的Q 矩阵则为
（17）
式（16）和式（17）表示为矩阵形式为
Q ⎡⎣A k +1
B k +1
C +k 1
T
D +k ⎤⎦1=0
⎡-cos(λl k +1) sin(λl k +1) cosh(λl k +1) sinh(λl k +1) ⎤
Q =⎢⎥
⎣-sin(λl k +1) -cos(λl k +1) sinh(λl k +1) cosh(λl k +1) ⎦
（18）
式中：Q 为2⨯4矩阵，即
⎡sin(λl k +1) cos(λl k +1) sinh(λl k +1) cosh(λl k +1) ⎤Q =⎢⎥
⎣-sin(λl k +1) -cos(λl k +1) sinh(λl k +1) cosh(λl k +1) ⎦
（26）
参照2.1节的步骤和方法，可求出悬臂梁的每一阶的固有频率及其对应的振形函数。 2.3 两端固定梁
两端固定梁的边界条件为
∂W 0
左端：W 1(0)=1()=0 （27） （19） ∂X
右端：W k +1(1)=
∂W k +1(1)
=0∂X
将式（12）代入式（18），得，
U ⎡⎣A 1B 1C 1D 1⎤⎦
T =0
（28）
（20）
特征方程和悬臂梁相同。
只是矩阵Q 为
⎡sin(λl k +1) cos(λl k +1) sinh(λl k +1) cosh(λl k +1) ⎤Q =⎢⎥
⎣cos(λl k +1) -sin(λl k +1) cosh(λl k +1) sinh(λl k +1) ⎦
（29）
2.4自由梁
自由梁的边界条件为 左端：∂右端：∂
2W 0∂3W 0
1()=1()=0 ∂X ∂X 可见本文的方法能方便的求出含任意
数目裂纹梁的固有频率。下图表示含N 条相同间距和相等深度裂纹的悬臂梁前3阶频率随裂纹的数目和深度的变化曲线。从图中可看出，固有频率不仅随着裂纹数量的增加而降低，随着裂纹深度的增加也会降低。
（30） （31）
2W 3
k +1(1)=∂W k +1(1)=0 ∂X ∂X 特征方程为
⎡U 11(λ) +U 13(λ) U 12(λ) +U 14(λ) ⎤⎡A 1⎤
⎢U (λ) +U (λ) U (λ) +U (λ) ⎥⎢B ⎥=0
232224⎣21⎦⎣1⎦
（32）
(a) 1阶无量纲固有频率
对应的Q 矩阵和悬臂梁相同。
3 数值模拟
下面的数值模拟用以验证本文的方法，
以文献[4]中的含两条裂纹的悬臂梁为例， x = 0处为悬臂梁的固定端，第1条裂纹位于R 1 = 0.1，相对损伤深度r 1 = 0.3，通过本文方法的计算，1阶无量纲固有频率λ随第2条裂纹的损伤位置R 2和深度r 2的变化曲线如图2。文献[4]中的计算结果在图中用粗实线表示。可以看出本文的计算结果与文献[4]相当吻合。裂纹位置不变时，固有频率随着裂纹深度的增加而减小；而当裂纹位置在固定端附近时，固有频率受裂纹损伤的影响最为强烈。
(b) 2阶无量纲固有频率
（c ）3阶无量纲固有频率
图3 N条等间距相同深度裂纹简支梁无量纲固有
频率随裂纹数量的变化
图2 两裂纹悬臂梁1阶频率随第2条裂纹损
伤位置和深度的变化
图4是含5条裂纹悬臂梁的模态振形，梁的裂纹位置为x 1=0.1, x 2=0.15, x 3=0.2, x 4= 0.5, x 5=0.6, 裂纹深度为：r 1=0.5, r 2=0.3, r 3=
=0.3, r 4=0.5, r5=0.3该悬臂梁的前4阶无量纲固有频率分别为1.77、4.49、7.78和10.66。
图4 悬臂梁前4阶结构模态 4 结 论
运用递推的方法，本文的计算方法相比文献[6]和文献[7]更方便高效，针对任意数目多种边界条件的裂纹梁，运用本文的方法，最后得的是一个2×2的特征矩阵，从而使求解多裂纹梁的模态振形变得更加方便和快捷。通过与前人研究成果的相比较，验证了本文方法的有效性。并以悬臂梁为例进行数值模拟，可得出如下结论：梁的固有频率随着裂纹数量的增加而降低，随着裂纹深度的增加而降低，对于悬臂梁，当裂纹位于固定端附近，其对于频率的影响尤为明显。
参 考 文 献
[1]. 金明凡，赵玫．基于响应的梁损伤识别．振动
与冲击，2006，25(1)：86-89．
[2]. 吴国荣，张晓君．含裂纹梁的自由振动分析．船
舶力学，2007，11(5)：798-803．
[3]. Chaudhari T D, Maiti S K. A study of vibration
of geometrically segmented beams with and with-out crack ．International Journal of Solids and Structures, 2000, 37(5): 761-779． [4]. Ostachowicz W M, Krawczuk M. Analysis of
the effect of cracks on the natural frequencies of a cantilever beam．Journal of Sound and Vib- ration, 1991, 150(2): 191-201.
[5]. Zheng D Y, Fan S C. Natural frequency changes
of a cracked Timoshenko beam by modified Fourier series. Journal of Sound and Vibra- tion , 2001, 246(2): 297-317.
[6]. Khiem N T, Lien T V. A simplified method for
natural frequency analysis of a multiple cracked beam . Journal of Sound and Vibration , 2001, 245(4): 737-751.
[7]. 李学平, 余志武. 含多处裂纹梁的振动分
析．应用力学学报, 2007, 24(1): 66-68． [8]. Hsu M H. Vibration analysis of edge-cracked
beam on elastic foundation with axial loading using the differential quadrature method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 2005, 194(1): 1-17．
作者简介：
张炜 男，硕士研究生。主要研究方向：振动分析与结构损伤检测。 Tel: [1**********]
E-mail: [email protected]
Free vibration analysis of a beam with multipl cracks
ZHANG Wei
School of Aircraft Engineering, Nanchang HangKong University, Nanchang 330063, China Abstract: The crack is modeled as an equivalent massless rotational spring in this paper and the recursive method is employed to investigate the free vibrations of the Euler-Bernoulli beams with an arbitrary number of cracks under different boundary conditions.First,by using the continuity condition equations at crack locations,we can get the relationship of undermined coefficients of the characteristic equation between the adjacent two beams,then the dimensionless natural frequencies can be obtained by boundary conditions,the mode shapes also can be obtained easily.The accurate and effective of the proposed method are verified by this article.Then the effect of the location and depth of the cracks on the natural frequencies of the beam is studied.
Key words: multipl cracks; different boundary conditions; recursive method; mode shape; natural frequency
多裂纹梁的振动分析
张炜*
南昌航空大学 飞行器工程学院，江西 南昌 330063
摘 要：用无质量的等效扭转弹簧来模拟梁的裂纹，研究基于递推方法的多裂纹梁在多种边界条件下的振动情况。先通过梁裂纹处的连续性条件得到相邻两段梁特征方程的待定系数之间的关系，再利用边界条件推导计算得到该梁的无量纲固有频率，然后可以很容易求出振型函数解析表达式。通过与参考文献中的计算结果相比较，证明了本文计算方法的正确性和有效性。文中还给出了具体算例，计算出了悬臂梁的模态振型，并讨论了裂纹数目和裂纹深度对梁固有频率的影响情况。 关键词：多裂纹梁；多种边界条件；递推方法；振型模态；固有频率 中图分类号：TB123; O327 文献标识码：A
近年来，在工程应用中，裂纹的识别与检测成为研究的热点，其对于保证构件的正常使用具有重要的意义。因为裂纹等损伤的存在会对结构的固有频率和模态振形产生影响，所以，通过损伤前后的固有频率、结构模态等结构参数的变化来进行结构的损伤检测受到了广泛的关注。但是目前研究的大多是单裂纹[1-3]或双裂纹[4]结构。对于多条裂纹的损伤结构，其振动分析相对要困难得多，因为裂纹数每增加1，其特征行列式的阶数就要增加4，有大量学者针对这个问题进行了大量研究，并也得了很多的研究成果。例如Zheng 等[5]通过修正傅立叶方法计算多裂纹梁的固有频率。Khiem 等[6]提出通过传递矩阵方法计算多裂纹梁的固有频率，李学平等[7]对传递矩阵方法进行深入分析，研究表明：对于含n 条裂纹的梁，通过传递矩阵方法可以把特征方程的维数降低为(n +2)阶。
本文基于集中柔度模型[4-6]，建立含裂纹欧拉梁的振动微分方程，并在文献[6]和文献[7]的基础上，提出通过递推方法计算多裂纹梁的固有频率和模态，对于含任意数目裂纹梁的特征方程，均可表示为一个2⨯2矩阵，因而使得计算的变得简单。通过与前人的研基金项目：航空科学基金（BA201106350）
*通讯作者.Tel ：[1**********] E-mail：[email protected]
究成果进行比较，验证了本文方法的有效
性。
1 递推方法
等截面含k 条裂纹的欧拉梁模型如图1所示，梁的长度为L ，裂纹位置为x 1, x 2, , x k (x 1
[4]
，任何一段梁的振动微分方程为
EI
∂4y i (x , t ) ∂2y i (x , t )
+ρA =0, x i -1
(i =1, 2, , k +1)
（1）
式中：E 为梁的弹性模量；ρ和I 分别为梁的密度和惯性矩；A 为梁的横断面面积，A = bh ， h 和b 为梁的高度和宽度。
图1 含k 条裂纹的欧拉梁模型
通过分离变量，法向位移y (x , t ) 可以形式表示为
右端面。由梁的第i 条裂纹引起的无量纲柔度[5] 为θi ，θi =5.346h ⋅J (r i ) ，其中r i
=h i h 为相
式中：j =
y (x , t ) =w (x )e
j wt
（2）
w (x ) 和ω分别为梁的振型函数
和梁的固有频率。
将式（2）式代入（1）式，可得
d 4w i (x ) ρA ω2
-w i (x ) =0
EI 对裂纹深度，h i 为第i 条裂纹的深度，函数J (r i )
可以由表示为[5]
2345
J (r i ) =1.8624r i -3.95r i +16.37r i -37.226r i +67891076.81r i -126.9r i +172r i -43.97r i +66.56r i
(10)
d x （3）
将式（3）表示成无量纲形式
d 4W i (X ) d X -λ4
W i (X ) =0 （4） 式中：X =x ；W i (X ) =w (x ) ；λ4=ρA ω
2L 4
L
L EI
；λ为
无量纲固有频率。
由文献[8]可知，式(4)的通解为
W i (X ) =A i sin[λ(X -R i )]+B i cos[λ(X -R i )]+C i sinh[λ(X -R i )]+D i cosh[λ(X -R i )]
（5） 式中：R i
=x i L 为裂纹的相对位置；A i 、B i 、
C i 、D i 为待定系数，由边界条件和裂纹处的
连续条件可求得。
由于将裂纹看成一无质量的扭转弹簧，那么在第i 个裂纹的位置R i ，梁的连续性条件可表示为[5- 6]
W i (R i L =) W i +1R
(i R ) （6） ∂W i (R L ) ∂X =∂W i +1(R R ) ∂X
（7） ∂3W i (R L ) =∂3W i +1(R R )
∂X ∂X （8） ∂W i (R i L ) ∂2∂X
+θW i i (R i L ) =∂W i +1(R i L )
∂X ∂X
（9）
式中：R i L 和R i R 分别为第i 条裂纹的左端面和
由以上分析可知，式（5）中的待定系
数A i 、B i 、C i 、D i 存在传递关系，即
⎡⎢A i +1⎤⎡
⎢B ⎥
⎢A i ⎤
⎢i +1⎥=T i ⎢B ⎥⎢C i +1⎥⎢i ⎥i =1, 2, , k
⎢⎢C i ⎥
⎣
D ⎥i +1⎦⎥⎢⎣
D ⎥i ⎦⎥(11)
式中：T i 为4⨯4阶传递矩阵，由式（6）～式（9）可知
t 11=cos(λl i ) -1
2
θi λcos(λl i )
t 12=-s i n λl (i
-1
2
i λλc l i o s (
)
t 13=1
12
θi λsinh(λl i ) ， t 14=2θi λc o s λ
h l i ( )
t 21=sin(λl i ) ， t 22=cos(λl i ) ，
t 23=0 ， t 24=0，t 31=-1
2
θi λsin(λl i )
t 32=-1
2
i λcos(λl i ) ， t 33=cosh(λl i ) +1
2
i λsinh(λl i )
t 34=sinh(λl i ) +1
2
θi λcosh(λl i )
t 41=0 ， t 42=0 ， t 43=sinh(λl i )
t 44=cosh(λl i ) 由式（11）可知，第k +1段梁的待定系
数A k +1、B k +1、C k +1、D k +1可以通过第1段梁的待定系数A 1、B 1、C 1、D 1表示，即
⎡A k +1⎤⎢⎥
⎢B k +1⎥=T k ⎢C ⎥⎢k +1⎥⎢D k +1⎦⎥⎣⎛A ⎡A k ⎤⎡A k -1⎤1⎫
⎪⎢⎥⎢⎥
⎢B k ⎥=T k T k -1⎢B k -1⎥=T k T k -1 T 1 B 1⎪
C ⎪⎢C ⎥⎢C ⎥
1⎪⎢k ⎥⎢k -1⎥
D ⎪⎢D k ⎦⎥⎢D k -1⎦⎥⎣⎣⎝1⎭
即
k k -11
U =QT T T =
⎡U 11(λ)U 12(λ)U 13(λ)U 14(λ)⎤ ⎢⎥U λU λU λU λ()()()()⎢21⎥222324⎣⎦
(12）
而A 1、B 1、C 1、D 1可以通过边界条件得到。
2 振型函数和固有频率
上述分析适用于任意边界条件的裂纹梁，本文分别以简支梁、悬臂梁、两端固定梁和两端自由梁为例，推导其频率特征方程。 2.1简支梁
对于简支梁，其边界条件为 左端：W 1(0)=∂
2W 0
1()=0 ∂X 将式（15）代入式（20）可得频率方程为
⎡U 11(λ) U 13(λ) ⎤⎡A 1⎤⎢U (λ) U (λ) ⎥⎢C ⎥=0
23⎦⎣1⎦⎣21
（21）
式(21)存在非零解的条件为矩阵的行列
式等于零，即
det
11(λ) U 13(λ)
=0
21(λ) U 23(λ)
（22）
（13） （14）
右端：W k +1(1)=∂
2W
k +1(1)=0 ∂X 把式（5）分别代入式（13）得
B 1=0，D 1=0
通过频率方程得到无量纲频率λ后，把λ代回式（21）可以算出第一段梁的待定系数A 1和C 1。然后通过A 1、B 1 = 0、C 1、D 1 = 0和式（12），可以计算出每段梁的待定系数A i 、B i 、C i 、D i （i = 2, … , k + 1）。最后把这些系数和λ代入式（5）可以求得裂纹梁的振型函数表达式。 2.2悬臂梁
悬臂梁的边界条件为
（15）
把式（5）分别代入式（14）可得
A k +1sin(λl k +1) +B k +1cos(λl k +1) +
左端：W 1(0)=
∂W 1(0)
=0 ∂X
（23）
∂2W k +1(1)∂3W k +1(1) 右端： ==0 （24）C k +1sinh(λl k +1) +D k +1cosh(λl k +1) =0
∂X ∂X （16）
-A k +1sin(λl k +1) -B k +1cos(λl k +1) +C k +1sinh(λl k +1) +D k +1cosh(λl k +1) =0
同上，可推导出特征方程为
⎡U 11(λ) -U 13(λ) U 12(λ) -U 14(λ) ⎤⎡A 1⎤ ⎢U (λ) -U (λ) U (λ) -U (λ) ⎥⎢B ⎥=0 （25）232224⎣21⎦⎣1⎦
式（19）中的Q 矩阵则为
（17）
式（16）和式（17）表示为矩阵形式为
Q ⎡⎣A k +1
B k +1
C +k 1
T
D +k ⎤⎦1=0
⎡-cos(λl k +1) sin(λl k +1) cosh(λl k +1) sinh(λl k +1) ⎤
Q =⎢⎥
⎣-sin(λl k +1) -cos(λl k +1) sinh(λl k +1) cosh(λl k +1) ⎦
（18）
式中：Q 为2⨯4矩阵，即
⎡sin(λl k +1) cos(λl k +1) sinh(λl k +1) cosh(λl k +1) ⎤Q =⎢⎥
⎣-sin(λl k +1) -cos(λl k +1) sinh(λl k +1) cosh(λl k +1) ⎦
（26）
参照2.1节的步骤和方法，可求出悬臂梁的每一阶的固有频率及其对应的振形函数。 2.3 两端固定梁
两端固定梁的边界条件为
∂W 0
左端：W 1(0)=1()=0 （27） （19） ∂X
右端：W k +1(1)=
∂W k +1(1)
=0∂X
将式（12）代入式（18），得，
U ⎡⎣A 1B 1C 1D 1⎤⎦
T =0
（28）
（20）
特征方程和悬臂梁相同。
只是矩阵Q 为
⎡sin(λl k +1) cos(λl k +1) sinh(λl k +1) cosh(λl k +1) ⎤Q =⎢⎥
⎣cos(λl k +1) -sin(λl k +1) cosh(λl k +1) sinh(λl k +1) ⎦
（29）
2.4自由梁
自由梁的边界条件为 左端：∂右端：∂
2W 0∂3W 0
1()=1()=0 ∂X ∂X 可见本文的方法能方便的求出含任意
数目裂纹梁的固有频率。下图表示含N 条相同间距和相等深度裂纹的悬臂梁前3阶频率随裂纹的数目和深度的变化曲线。从图中可看出，固有频率不仅随着裂纹数量的增加而降低，随着裂纹深度的增加也会降低。
（30） （31）
2W 3
k +1(1)=∂W k +1(1)=0 ∂X ∂X 特征方程为
⎡U 11(λ) +U 13(λ) U 12(λ) +U 14(λ) ⎤⎡A 1⎤
⎢U (λ) +U (λ) U (λ) +U (λ) ⎥⎢B ⎥=0
232224⎣21⎦⎣1⎦
（32）
(a) 1阶无量纲固有频率
对应的Q 矩阵和悬臂梁相同。
3 数值模拟
下面的数值模拟用以验证本文的方法，
以文献[4]中的含两条裂纹的悬臂梁为例， x = 0处为悬臂梁的固定端，第1条裂纹位于R 1 = 0.1，相对损伤深度r 1 = 0.3，通过本文方法的计算，1阶无量纲固有频率λ随第2条裂纹的损伤位置R 2和深度r 2的变化曲线如图2。文献[4]中的计算结果在图中用粗实线表示。可以看出本文的计算结果与文献[4]相当吻合。裂纹位置不变时，固有频率随着裂纹深度的增加而减小；而当裂纹位置在固定端附近时，固有频率受裂纹损伤的影响最为强烈。
(b) 2阶无量纲固有频率
（c ）3阶无量纲固有频率
图3 N条等间距相同深度裂纹简支梁无量纲固有
频率随裂纹数量的变化
图2 两裂纹悬臂梁1阶频率随第2条裂纹损
伤位置和深度的变化
图4是含5条裂纹悬臂梁的模态振形，梁的裂纹位置为x 1=0.1, x 2=0.15, x 3=0.2, x 4= 0.5, x 5=0.6, 裂纹深度为：r 1=0.5, r 2=0.3, r 3=
=0.3, r 4=0.5, r5=0.3该悬臂梁的前4阶无量纲固有频率分别为1.77、4.49、7.78和10.66。
图4 悬臂梁前4阶结构模态 4 结 论
运用递推的方法，本文的计算方法相比文献[6]和文献[7]更方便高效，针对任意数目多种边界条件的裂纹梁，运用本文的方法，最后得的是一个2×2的特征矩阵，从而使求解多裂纹梁的模态振形变得更加方便和快捷。通过与前人研究成果的相比较，验证了本文方法的有效性。并以悬臂梁为例进行数值模拟，可得出如下结论：梁的固有频率随着裂纹数量的增加而降低，随着裂纹深度的增加而降低，对于悬臂梁，当裂纹位于固定端附近，其对于频率的影响尤为明显。
参 考 文 献
[1]. 金明凡，赵玫．基于响应的梁损伤识别．振动
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[2]. 吴国荣，张晓君．含裂纹梁的自由振动分析．船
舶力学，2007，11(5)：798-803．
[3]. Chaudhari T D, Maiti S K. A study of vibration
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[5]. Zheng D Y, Fan S C. Natural frequency changes
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natural frequency analysis of a multiple cracked beam . Journal of Sound and Vibration , 2001, 245(4): 737-751.
[7]. 李学平, 余志武. 含多处裂纹梁的振动分
析．应用力学学报, 2007, 24(1): 66-68． [8]. Hsu M H. Vibration analysis of edge-cracked
beam on elastic foundation with axial loading using the differential quadrature method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering , 2005, 194(1): 1-17．
作者简介：
张炜 男，硕士研究生。主要研究方向：振动分析与结构损伤检测。 Tel: [1**********]
E-mail: [email protected]
Free vibration analysis of a beam with multipl cracks
ZHANG Wei
School of Aircraft Engineering, Nanchang HangKong University, Nanchang 330063, China Abstract: The crack is modeled as an equivalent massless rotational spring in this paper and the recursive method is employed to investigate the free vibrations of the Euler-Bernoulli beams with an arbitrary number of cracks under different boundary conditions.First,by using the continuity condition equations at crack locations,we can get the relationship of undermined coefficients of the characteristic equation between the adjacent two beams,then the dimensionless natural frequencies can be obtained by boundary conditions,the mode shapes also can be obtained easily.The accurate and effective of the proposed method are verified by this article.Then the effect of the location and depth of the cracks on the natural frequencies of the beam is studied.
Key words: multipl cracks; different boundary conditions; recursive method; mode shape; natural frequency