几何学基础简介
Lex Li
几何原本简介
古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、
最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。欧几里德把人们公认的一些事实列
成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公
理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，
也就成了欧式几何的奠基之作。
作为基础的五条公理和公设
五条公理
1. 等于同量的量彼此相等；
2. 等量加等量，其和相等；
3. 等量减等量，其差相等；
4. 彼此能重合的物体是全等的；
5. 整体大于部分。
五条公设
1. 过两点能作且只能作一直线；
2. 线段(有限直线) 可以无限地延长；
3. 以任一点为圆心, 任意长为半径, 可作一圆；
4. 凡是直角都相等；
5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线
经无限延长后在这一侧一定相交。
《几何原本》的主要内容
欧几里得的《几何原本》共有十三卷。
目录
第一卷几何基础
第二卷几何与代数
第三卷圆与角
第四卷圆与正多边形
第五卷比例
第六卷相似
第七卷数论（一）
第八卷数论（二）
第九卷数论（三）
第十卷无理量
第十一卷立体几何
第十二卷立体的测量
第十三卷建正多面体
各卷简介
第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形
和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理；
第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。
第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。
第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；
第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论, 被认为是" 最重要的数学杰作之一"
第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。
第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无
理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。
第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容.
从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。
因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。
《几何原本》的意义和影响
在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是
提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼
的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较
严密的理论系统和科学方法的学科。
论证方法上的影响
关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已
经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导
出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的
事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
《几何原本》最初是手抄本，以后译成了世界各种文字，它的发行量仅次于《圣经》而位居第二。19
世纪初，法国数学家勒让德，把欧几里德的原作，用现代语言写成了几何课本，成为现今通用的几何学教
本。
爱因斯坦认为：“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”
由此可见《原本》一书对人类科学思维的影响是何等巨大。
几何学的分支学科
平面几何、立体几何、球面几何、罗氏几何、黎曼几何、 解析几何、射影几何、仿射几何、代数几
何、微分几何、计算几何、拓扑学、分形几何
世界名人对几何的看法
1、坚信代数才是真实的。 ----高斯(Gauss)
2、数学的本质在于它的自由. ---- 康扥尔(Cantor)
3、在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.
---- 康扥尔(Cantor)
4、数学是无穷的科学 ----赫尔曼外尔
5、只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示着独立发展的终止
或衰亡 ----Hilbert
6、 ：A=x+y+z。并解释道：A 代表成功，x 代表艰苦的劳动，y 代表正确的方法，Z 代表少说空话。 －－爱因斯坦
7、一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步.
－－马克思
8、几何无王者之道！ ---- 欧几里得
9、没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。 ---- 牛顿
非欧几里得几何
非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含
义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通
常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。
诞生
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，
显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没
有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题, 用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。
那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
罗巴切夫斯基几何
罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平
行公理的命题，再罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明： 欧式几何
同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗氏几何
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
人们既然承认欧几里德几何是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“ 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？ 黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点) 。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就
是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。
三种几何的关系
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
几何基础
欧几里得的《几何原本》为几何学奠下了基础，但随著数学不断的发展，数学家对《几何原本》再严谨审视下，便发现当中不完备之处，例如：「点是没有部分的」中，甚么叫「部分」？「直线是它上面的点一样的平放著的线」中，甚么叫「平放」？当然还有最受争议的第五公设（平行公设）。这些问题困扰著数学家多年，他们希望可将《几何原本》的定义、公设和公理加以改善，但因为几何学有坚实的基础，且有不少互相关联的分支，如：双曲几何、球面几何、射影几何等等，更便数学家不可只关心个别的公理或定义，而必须提供一整套关于概念和公理、定理的严密的系统，那是一件极艰巨的工作。
虽然如此，但也有不少的数学家作出了贡献，当中希尔伯特所著的《几何基础》（Grundlagen der Geometrie ）便是集大成之作。《几何基础》的第一版於1899年出版，后来经多次的修改，目前一般引用1930年出版的第七版。希尔伯特在这书中对欧几里得几何及有关几何的公理系统进行了深入的研究。他不仅对欧几里得几何提供了完善的公理体系，还给出证明一个公理对别的公理的独立性以及一个公理体系确实为完备的普遍原则。
他把几何进一步公理化，首先他叙述一些不加定义基本概念，设想有三组不同的东西，分别叫点、直线和平面，统称为「几何元素」，而它们之间的关系须满足一定的公理要求，则称这些几何元素的集合为「几何空间」。这样，不同的几何便是满足不同公理要求的几何元素的集合，亦因此把几何里那些与感性的感觉有关的东西去掉，只保留抽象的逻辑骨架，不但不会丧失现实的基础，反而扩大了几何命题的范围。 他把欧几里得几何化为下列的五组共二十条公理的体系：
第一组 接合公理 共八条，说明三组几何对象点、直线和平面之间的一种接合的关系。
第二组 顺序公理 共四条，说明直线上的点的相互关系。
第三组 合同公理 共五条，主要为处理图形的移动而引进的。
第四组 连续公理 共两条，说明直线的连续关系。
第五组 平行公理 只有一条，说明两直线间的平行关系。
而这五组的公理也满足了公理体系的三个基本要求，即相容性、独立性和完备性。如果把这五组的公理稍作增减，便得出其他不同的几何空间，例如把平行公理中的欧几里得平行公理换为罗巴切夫斯基平行公理，那便把「欧几里得空间」换为「罗巴切夫斯基空间」。另外，满足前四组公理的几何，我们称之为「绝对几何」（Absolute Geometry）。
希尔伯特的《几何基础》把几何学引进了一个更抽象的公理化系统，把几何重新定义，不但把传统的欧几里得的《几何原本》改良，更把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论
现代几何公理体系
人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几何学不断向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他1899年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系。这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。
希尔伯特不仅提出了—个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的问题：
第一、相容性，就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。 第二、独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。
第三、完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。
这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。
公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理法理论中，由于基本对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，只专门研究抽象的对象之间的关系、性质。从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何学。
因此，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学，每一个几何学的直观形象不止只有—个，而是可能有无穷多个，每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释，或者叫做某种几何学的模型。平常我们所熟悉的几何图形，在研究几何学的时候，并不是必须的，它不过是一种直观形象而已。
就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。这些，都对近代几何学的发展带来了深远的影响。
几何学基础简介
Lex Li
几何原本简介
古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、
最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。欧几里德把人们公认的一些事实列
成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公
理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，
也就成了欧式几何的奠基之作。
作为基础的五条公理和公设
五条公理
1. 等于同量的量彼此相等；
2. 等量加等量，其和相等；
3. 等量减等量，其差相等；
4. 彼此能重合的物体是全等的；
5. 整体大于部分。
五条公设
1. 过两点能作且只能作一直线；
2. 线段(有限直线) 可以无限地延长；
3. 以任一点为圆心, 任意长为半径, 可作一圆；
4. 凡是直角都相等；
5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线
经无限延长后在这一侧一定相交。
《几何原本》的主要内容
欧几里得的《几何原本》共有十三卷。
目录
第一卷几何基础
第二卷几何与代数
第三卷圆与角
第四卷圆与正多边形
第五卷比例
第六卷相似
第七卷数论（一）
第八卷数论（二）
第九卷数论（三）
第十卷无理量
第十一卷立体几何
第十二卷立体的测量
第十三卷建正多面体
各卷简介
第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形
和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理；
第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。
第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。
第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；
第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论, 被认为是" 最重要的数学杰作之一"
第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。
第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无
理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。
第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容.
从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。
因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。
《几何原本》的意义和影响
在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是
提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼
的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较
严密的理论系统和科学方法的学科。
论证方法上的影响
关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已
经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导
出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的
事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
《几何原本》最初是手抄本，以后译成了世界各种文字，它的发行量仅次于《圣经》而位居第二。19
世纪初，法国数学家勒让德，把欧几里德的原作，用现代语言写成了几何课本，成为现今通用的几何学教
本。
爱因斯坦认为：“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”
由此可见《原本》一书对人类科学思维的影响是何等巨大。
几何学的分支学科
平面几何、立体几何、球面几何、罗氏几何、黎曼几何、 解析几何、射影几何、仿射几何、代数几
何、微分几何、计算几何、拓扑学、分形几何
世界名人对几何的看法
1、坚信代数才是真实的。 ----高斯(Gauss)
2、数学的本质在于它的自由. ---- 康扥尔(Cantor)
3、在数学的领域中, 提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.
---- 康扥尔(Cantor)
4、数学是无穷的科学 ----赫尔曼外尔
5、只要一门科学分支能提出大量的问题, 它就充满着生命力, 而问题缺乏则预示着独立发展的终止
或衰亡 ----Hilbert
6、 ：A=x+y+z。并解释道：A 代表成功，x 代表艰苦的劳动，y 代表正确的方法，Z 代表少说空话。 －－爱因斯坦
7、一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步.
－－马克思
8、几何无王者之道！ ---- 欧几里得
9、没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。 ---- 牛顿
非欧几里得几何
非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含
义。所谓广义式泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通
常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。
诞生
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，
显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没
有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题, 用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。
那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
罗巴切夫斯基几何
罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平
行公理的命题，再罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明： 欧式几何
同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗氏几何
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
人们既然承认欧几里德几何是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“ 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？ 黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点) 。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就
是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。
三种几何的关系
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
几何基础
欧几里得的《几何原本》为几何学奠下了基础，但随著数学不断的发展，数学家对《几何原本》再严谨审视下，便发现当中不完备之处，例如：「点是没有部分的」中，甚么叫「部分」？「直线是它上面的点一样的平放著的线」中，甚么叫「平放」？当然还有最受争议的第五公设（平行公设）。这些问题困扰著数学家多年，他们希望可将《几何原本》的定义、公设和公理加以改善，但因为几何学有坚实的基础，且有不少互相关联的分支，如：双曲几何、球面几何、射影几何等等，更便数学家不可只关心个别的公理或定义，而必须提供一整套关于概念和公理、定理的严密的系统，那是一件极艰巨的工作。
虽然如此，但也有不少的数学家作出了贡献，当中希尔伯特所著的《几何基础》（Grundlagen der Geometrie ）便是集大成之作。《几何基础》的第一版於1899年出版，后来经多次的修改，目前一般引用1930年出版的第七版。希尔伯特在这书中对欧几里得几何及有关几何的公理系统进行了深入的研究。他不仅对欧几里得几何提供了完善的公理体系，还给出证明一个公理对别的公理的独立性以及一个公理体系确实为完备的普遍原则。
他把几何进一步公理化，首先他叙述一些不加定义基本概念，设想有三组不同的东西，分别叫点、直线和平面，统称为「几何元素」，而它们之间的关系须满足一定的公理要求，则称这些几何元素的集合为「几何空间」。这样，不同的几何便是满足不同公理要求的几何元素的集合，亦因此把几何里那些与感性的感觉有关的东西去掉，只保留抽象的逻辑骨架，不但不会丧失现实的基础，反而扩大了几何命题的范围。 他把欧几里得几何化为下列的五组共二十条公理的体系：
第一组 接合公理 共八条，说明三组几何对象点、直线和平面之间的一种接合的关系。
第二组 顺序公理 共四条，说明直线上的点的相互关系。
第三组 合同公理 共五条，主要为处理图形的移动而引进的。
第四组 连续公理 共两条，说明直线的连续关系。
第五组 平行公理 只有一条，说明两直线间的平行关系。
而这五组的公理也满足了公理体系的三个基本要求，即相容性、独立性和完备性。如果把这五组的公理稍作增减，便得出其他不同的几何空间，例如把平行公理中的欧几里得平行公理换为罗巴切夫斯基平行公理，那便把「欧几里得空间」换为「罗巴切夫斯基空间」。另外，满足前四组公理的几何，我们称之为「绝对几何」（Absolute Geometry）。
希尔伯特的《几何基础》把几何学引进了一个更抽象的公理化系统，把几何重新定义，不但把传统的欧几里得的《几何原本》改良，更把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论
现代几何公理体系
人们对《几何原本》中在逻辑结果方面存在的一些漏洞、破绽的发现，正是推动几何学不断向前发展的契机。最后德国数学家希尔伯特在总结前人工作的基础上，在他1899年发表的《几何基础》一书中提出了一个比较完善的几何学的公理体系。这个公理体系就被叫做希尔伯特公理体。
希尔伯特不仅提出了—个完善的几何体系，并且还提出了建立一个公理系统的原则。就是在一个几何公理系统中，采取哪些公理，应该包含多少条公理，应当考虑如下三个方面的问题：
第一、相容性，就是在一个公理系统中，各条公理应该是不矛盾的，它们和谐而共存在同一系统中。 第二、独立性，公理体系中的每条公理应该是各自独立而互不依附的，没有一条公理是可以从其它公理引伸出来的。
第三、完备性，公理体系中所包含的公理应该是足够能证明本学科的任何新命题。
这种用公理系统来定义几何学中的基本对象和它的关系的研究方法，成了数学中所谓的“公理化方法”，而把欧几里得在《几何原本》提出的体系叫做古典公理法。
公理化的方法给几何学的研究带来了一个新颖的观点，在公理法理论中，由于基本对象不予定义，因此就不必探究对象的直观形象是什么，只专门研究抽象的对象之间的关系、性质。从公理法的角度看，我们可以任意地用点、线、面代表具体的事物，只要这些具体事物之间满足公理中的结合关系、顺序关系、合同关系等，使这些关系满足公理系统中所规定的要求，这就构成了几何学。
因此，凡是符合公理系统的元素都能构成几何学，每一个几何学的直观形象不止只有—个，而是可能有无穷多个，每一种直观形象我们把它叫做几何学的解释，或者叫做某种几何学的模型。平常我们所熟悉的几何图形，在研究几何学的时候，并不是必须的，它不过是一种直观形象而已。
就此，几何学研究的对象更加广泛了，几何学的含义比欧几里得时代更为抽象。这些，都对近代几何学的发展带来了深远的影响。