第七卷第置期
Ｖｄ．７．Ｎｏ
３
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＡＮＨＵｌＥＬＥＣＴＲＩＣ
安傲蟪力职一太学学报
ＰＯＷＥＲＵＮＩＶＥＲＳＩｑｌＦＯＲＳＴＡＦＦ
２００２年９兄
Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ２００２
排课问题及其数学模型
洪文。朱广斌’
（安徽大学含琵２３００３９）；（安徽电力职工大学合肥２３００２２）
［捷要】
通过对瓣谭麓题的霹竞，利用ＬＩＮＧＯ
ｆｏｒＷｉｎｄｏｗｓ，络出＇瓣攮２；；ｌ题的数学摸型。模
型的数据与公式完全分离。模型的囊型属非线性蟪划井用ＬＩＮＧＯ语言编写。该模型
具有较强的实用性和通用性。
ｆ筵键调］约束；数疆库；非蠛性规划
Ａ【文章编号ｊ
１００９一１２３８ｆ２０６２；０３—００７４一０４
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０
所谓撵课阉题就是将若干卡鬓缀恢邃、台瑾缝安摊在若予个教室垂上谦。在理蜜生滔中，尤其疑在高校这是一个营遗存在的问题。从表霹上豢，这个阉题似乎艰麓尊，其赛也虿尽然。教室鸯大蠢小，班级也有大有小。当班级总数和教室总数很大时，鞭想快速、合理、高散地排渫并不容易。另外，如果学校实行学分制，则班级人数经常发生变化，原先的排课方案未必可行，往往需要重新排课。针对这一问题，
本文撬出了排谦麓剜．利用最优纯软件ＬＩＮＧＯ给出了排课问题的数学模型。和甩它，我们就可以快
速、合疆、嵩效遗完箴辩课任务。
ｌ
｛｛｝谖避则
对于一般的排课问题，我们绘出下蕊三个排课规则：排课规则１：班级人数小于等于教赛容摄。
排课规刚２：如粜教堂总数大子班级总数，要尽可能空出大教室。
§＃课瓣弱３：在离差（离差＝教室容量一班级人数）和相同的情况下，选择离燕平方和最小的排课方
嶷。
我妇认为满足上面兰个靓则的排课方寨就是可行、合理、舞效憋瓣课方寨。为了说明搂谭规则３，请看下面两个排课方案：
方案ｌ：班级Ｂ１一教室Ａ１，班级Ｂ２一教室Ａ２。方案２：班级Ｂｌ一教窘Ａ２，班级Ｂ２一教室Ａ１。
－佟喾簿赍：洪主（１９５８一）＋筹，安推台犯凡，瓣最较。土景磺竞方向：运筹学、ＬＩＮＧＯ藐其蛊趣。
束广斌（１９６０一），男．蒋撤每肥人，黉鞭电力职工文学教师，副教授。
・７４－
洪文朱广斌：排课问题及其散学模型
Ｂｌ的人数为ｓｏ，Ｂ２的人数为６０；ＡＩ的容量为６０，Ａ２的容量为７０。这两个方案的离差和（容量一人数）都是２０。由于方案１使得每个教室都留有一定的空间，增加少量学生听课不会有问题。而方案２中教室Ａ１是满员的，不能增加任何人。所以，我们认为方案１比较合理。两个方案的离差平方和分别是２００和４００。按照排课规则３，我们就会选择方案１。
在实际排课问题中．常常会出现班级总数不等于教室总数的情况，这时候要分别处理。如果班级总数大于等于教室总数，我们可以要求一个教室安排一门课；如果班级总数小于教室总数，我们可以要求一门课安排一个教室。
２
排课模型
下面给出排课问韪的基本模型：
ｓｅｔｓ：
！输入集合元素；
ｋｅｃｈｅｎｇ／＠ｏｄｂｃ（’排课数据库７，’课程数据’，７课程代码’）／：ｒ’ｚｈｏ，ｚｈｕ．Ｌ；ｊｉａｏｓｈｉ／＠ｏｄｂｃ（’排课数据库’，７教室数据’，’教室代码，）／：ＲＯＮＧ；ｋｊ（ｋｅｃｈｅｎｇ，ｊｉａｏｓｈｉ）：ｘ；
ｅｎｄｓｅｔｓｄａｔａ：
！输入属性值；
ｒ，ｚｈｏ，ｚｈｕ＝＠ｏｄｂｃ（’排课数据库’，７课程’，’人数Ｒ７，’周学时ＺＨＯ’，’状态学时ＺＨＵ’）；ＲＯＮＧ；＠ｏｄｂｃ（’排课数据库’，’教室数据’，７容量ＲＯＮＧ，）．＠ｏｄｂｃ（７排课数据库’，’课程数据’，’状态学时ＺＨＵ７）＝ｌ；
ｅｎｄｄａｔａ
！目标函数；
ｒａｉｎ＝＠ｓｕｍ（ｋｊ（ｉ，Ｊ）：ｘ（ｉ，ｊ）＊（ｒ（ｉ）一ｒｏｎｇ（ｊ））‘２）；
！约束；
＠ｆｏｒ（ｋｊ（ｉ，ｊ）ｌｉ＃ｇｅ＃０：＠ｂｉｎ（ｘ））；
＠ｆｏｒ（ｋｅｃｈｅｎｇ（ｉ）Ｉｚｈｕ（ｉ）＃ｎｅ＃２：＠ｓｕｍ（ｊｉａｏｓｈｉ（ｊ）：ｘ（ｉ，ｊ））＝０）；
＠ｆｏｒ（ｋｅｅｈｅｎｇ（ｉ）Ｉｚｈｕ（ｉ）＃ｅｑ＃２：＠ｓｕｍ（ｊｉａｏｓｈｉ（ｊ）：ｘ（ｉ，ｊ））＜１）；
＠ｆｏｒ（ｊｉａｏｓｈｉ（ｉ）：＠ｓｕｍ（ｋｅｃｈｅｎｇ（ｉ）Ｉｚｈｕ（ｉ）＃ｇｔ＃０：Ｘ（ｉ，ｊ））＝１）；＠ｆｏｒ（ｋｊ（ｉ，ｊ）ｌｒｏｎｇ（ｊ）＃Ｉｔ＃ｒ（ｉ）：Ｘ（ｉ，ｊ）＝０）；
＠ｆｏｒ（ｋｅｅｈｅｎｇ（ｉ）ｌｚｈｕ（ｉ）＃ｇｔ＃１：Ｌ（ｉ）＝ｚｈｕ（ｉ）一２＊＠ｓｕｍ（ｊｉａｏｓｈｉ（ｊ）：ｘ（ｉ，ｊ）））；
３
模型注释
上面的规划模型是用ＬＩＮＧＯ
ｆｏｒ
Ｗｉｎｄｏｗｓ编写的。下面就模型及相关的内容解释如下：
３．１集合与变量
本模型定义了课程代码和教室代码两个基本集合。分别记为ｋｅｃｈｅｎｇ和ｊｉａｏｓｈｉ。用它们产生了一个派生集合ｋｊ并定义了属性ｘ。属性ｘ是０１１决策变量。如果ｘ（ｉ，ｊ）＝１，则第ｉ个班级被指派到第ｊ个教室上课；如果Ｘ（ｉ，ｊ）＝０，则第ｉ个班级不被指派到第ｊ个教室上课。
３
２数据
模型的数据是来自“排课数据库ｍｄｂ”中的表“课程数据”和“教室数据”。详见表１和表２。
・７５
囊徽电力职王大学学摄
第七卷辇三粒
袭１课程敞据
ＩＤ
漾瑷代码
Ａ１１Ａ１９Ａ２８Ａ３７Ａ４６Ａ５５ＡｌＡ７２Ａ８３Ａ９０Ａ２
谍稳名称班级
镶太数
序
｝
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拔态
教耀祷蔷王强张宏兵李伟张进
畿兵夏澈梅张雯蕊
掌时
ＺＨＵ２２０２２
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霹学瓣
ＺＨ０２２Ｏ２２２２２２２２
Ｒ９５
ＩＤ
敦室代码
ｌ２３
４
教室生他３０２教西１２２
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窖量
ＲＯＮＧ１２３ｉ２０１０４１０４
２６６
２酊
２６８２６９２７０２７１２７２２７３２７４２７５２７６
汪券与证撵基础知测９８经信
邓小平理论９９行营大学体育００行譬毛泽东思想概论（１）呻杜保
英语０１社傈军事理艳ｅｌ嚣警知识产权（１）９８图书数据库系统原理９９图书毛泽东思想概论００霉书
概率统计０ｌ蚕书社会学９８工商
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ｌ
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２．２２
７８９
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８９
３．３耳撩与约束
横登的目标荫数是：
ｍｉｎ＝＠ｓｕｍ（ｋｊ（ｉ，ｊ）：ｘ（ｉ，ｊ）＊（ｒ（ｉ）一ｔｏｎｇ（ｊ））＇２）；它壤褥辨潺方案瀵是ｌ｛｝谋巍爨２程辩课巍戴３。模型的第一个约束是限制决策变量ｘ为０／１变量。
模型的第二个约束限制模型只安排周学时海２的课程。如果耍安排周学时为３、４或６的课程，可
将“ｚｈｕ（ｉ）＝薛ｎｅ辖２”中豹…２疑戚３、４凌６邵可。
模型的第三、潮个约束魁当周学时为２的课程总数大于等于教室总数时，为每一个教室安排一门课程。丽当周学时为２的课秣总数小予等于教塞葸数时，戟应该使耀下嚣的终衷：
＠ｆｏｒ（ｋｅｃｈｅｎｇ（ｉ）ｌｚｈｕ（ｉ）＃ｅｑ＃２；＠ｓｕｍ（ｊｉａｏｓｈｉ（ｊ）：ｘ（ｉ，ｊ））＝１）；＠ｆｏｒ（ｊｉａｏｓｈｉ（ｊ）：＠ｓｕｍ（ｋｅｃｈｅｎｇ（ｉ）Ｉｚｈｕ（ｉ）＃ｇｔ＃０：Ｘ（ｉ，ｊ））＜１）；它为每一门谖程安排一令教室。
模缎的第五个妁束是限制教室容量大于等于班级人数，使得排课方粜满足排课规则１。模型的最后一个约束魁用于重新计算状态学时的慎，表明逐有哪些课程没有被安排。３．４解答
运行上面的模璎（周学时为２的课程总数大于等于激室总数），可得下面的结果（满足ｘ（Ｉ，Ｊ）＝１）：
Ｘ（Ａ１１，４）Ｘ（Ａ１９，１）Ｘ（Ａ４６，９）Ｘ（Ａ５５，６）Ｘ（Ａ１，７）Ｘ（Ａ７２。２）Ｘ（Ａ８３，３）Ｘ（Ａ９０，８）Ｘ（Ａ２，５）
１．００００００１．００００００１．００００００１。Ｏ０００００１．００００００１．００００００１．００００００１．００００００１．００００００
０，００００００００００００００００．００００００００．００００００００．００００００００００００００００．００００００００００００００００．０００００００
它袭明课程Ａｌｌ安排在教室４（生化５０１）教室５（生化５０２）。
４
课程Ａ４６安排在教室９（文西１１１）…，，课程Ａ２安排在
撵漾进程中要注意弱Ａ个要采
上封只是给出了排课问题的基率模型。柱具体实施排课方案时，还要注意满足下面几个鼹求：要求１：同一个班级在镁何时闻段（如星期一（１２））最多只嚣｛±｜现～次。
为了满足上面豹要求，筏们要对阔一个班级的课程进行排净。下面的表３就怒一个班级在某学期
的课程。
・７６・
洪文朱广斌：排课问艇及其数学模型
表３某班级某学期的课程
ＩＤ１６ｉ７１８１９２１２２
２３
课程代码
Ａ１０Ａ１１Ａ１２Ａ１３Ａ１４Ａ１５Ａ１６Ａ１７Ａ１８
课程名称商务谈判
证券与证券基础知识
经济活动分析计算机信息网络国贸与金融运筹学企业管理财政与税收组织行为学
课序
７１２３８９４５６
人数Ｒ
５３５５５９５８５９５６５５５５５７
教师吴元其杨爱元李莉李茂胜孙群洪文杨爱元
王中
状态学时
６２２２４４３３３
周学时
６２２２４４３３３
２４２５
丁敏
我们将课程按序号分为９类。对于一个排课问题，如果将所有的班级按上述方法处理后再按序号进行排课，就能满足要求１。
要求２：同一个教师在任何时间段（如星期一（１２））最多只能出现一次。
对于担任同一个班级的多门课程的教师来说（例如上表中的杨爱元老师），如果按照课序排课，要求２自然会得到满足。但对于担任不同班级多门课程的教师来说，如按课序进行排课，则要求２就未必满足（概率并不是很大）。所以，在建立排课方案之前要查看按序分类的结果。如果发现一个教师在一类中出现两次或两次以上，就要更改相应课程在班级中的排序，使之满足要求２。
要求３：合班上课要保证教室足够大；分班上课要保证不同时进行。
对于合班上课的课程，可以将班级人数规定为合班人数之和（例如表１中的Ａ８３对应的人数就是两个班级人数之和）．这样一来就能保证教室足够大；而对于分班上课的课程，由于是一个教师上课，可将该课程视为两门课，确保不会同时进行（例如表１中的Ａ１）。
另外，在排课过程的后期，如果所有的时间段都已安排了课程，还未安排的课程只能插入某个时间段安排，这时候要注意要求１和要求２。只有在要求ｌ和要求２都得到满足的前提下才可进行插入排课。在插入排课过程中，可能会出现不同课程同教室的情况。由于教室代码是按容量大小由大到小进行排列的．如果有较小的教室代码空着。可安排同教室课程中人数较多的班级到那个教室上课；如果没有较小的教室代码．则说明这两门课程不能同时安排在这个时间段上课。
５
结束语
通过对排课问题的研究及给出的基本模型，我们可以利用数据库建立相应的排课系统。但在具体
的实施过程中，还会出现很多问题，还有很多地方需要注意。例如，ＬＩＮＧＯｆｏｒＷｉｎｄｏｗｓ对变蚩，尤其是对整数变量有限制。当数据过多时就可能导致模型无法运行，这时候就要使用更高版本的ＬＩＮＧＯＷｉｎｄｏｗｓ。
参考文献：［１］ＬＩＮＧＯ
ＵｓｅｒｓＧｕｉｄｅ．ＬＩＮＤＯ
ｆｏｒ
Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］．Ｉｎｃ，１９９９．
Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］．Ｉｎｃ，２０００．
［２］ＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＭｏｄｅｌｉｎｇ
ｗｉｔｈＬＩＮＧｏ．ＬＩＮＤＯ
［３］胡运权．运筹学教程［Ｍ］北京：清华大学出版社，１９９８．
［４］卢开澄．单目标、多目标与整数规划［Ｍ］．北京：清华大学出版社，１９９９［５］郭耀煌运筹学原理与方法［Ｍ］．重庆：西南交通大学出版社，１９９４［６］郭耀煌运筹学与工程系统分析［Ｍ］．中国建筑工业出版社，１９８６．［７］李宗元．运筹学ＡＢｃ［Ｍ］．经济管理出版社，２０００．［８］张建中．线性规划［Ｍ］．科学出版社，１９９９．
［责任编辑：程蓓］
７７・
排课问题及其数学模型
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
洪文， 朱广斌
洪文(安徽大学,合肥,230039)， 朱广斌(安徽电力职工大学,合肥,230022)安徽电力职工大学学报
JOURNAL OF ANHUI ELECTRIC POWER COLLEGE FOR STAFF2002,7(3)2次
参考文献(8条)
1. 张建中 线性规划 19992. 李宗元 运筹学ABC 2000
3. 郭耀煌 运筹学与工作系统分析 19864. 郭耀煌 运筹学原理与方法 19945. 卢开澄 单目标、多目标与整数规划 19996. 胡运权 运筹学教程 1998
7. Optimization Modeling with LINGO LINDO Systems.Inc 20008. LINGO Users Guide LINDO Systems.Inc 1999
本文读者也读过(10条)
1. 郭俊柏. 邢永丽 高校排课中的合班问题[期刊论文]-湘潭师范学院学报（自然科学版）2008,30(4)2. 于标 一个NP问题的近似算法[期刊论文]-东北电力学院学报2002,22(1)
3. 彭涛. 李建国. 白峰杉. PENG Tao. LI Jian-guo. BAI Feng-shan 排课问题分组优化决策中的CourseRank[期刊论文]-高校应用数学学报A辑2006,21(1)
4. 林志雄. LIN Zhi-xiong 排课数学模型及其算法[期刊论文]-龙岩学院学报2006,24(6)5. 陈兆斗. CHEN Zhao-dou 优化的合班问题[期刊论文]-数学的实践与认识2007,37(7)
6. 李端明. 李宇翔. LI Duan-ming. LI Yu-xiang 学分制下排课的数据组织与算法[期刊论文]-计算机工程与设计2006,27(19)
7. 张虹涛 计算机排课中的内核算法[期刊论文]-电脑知识与技术2008,4(z2)8. 韩晶 排课问题的数学表示[期刊论文]-长治学院学报2008,25(2)
9. 王鹏飞. WANG Peng-fei 排课模型中的算法分析与设计[期刊论文]-计算机时代2009(11)
10. 苟正伟. 李传东. GOU Zheng-wei. LI Chuan-dong 基于分类优化和优先级算法的自动排课探讨[期刊论文]-电脑知识与技术2008,4(34)
引证文献(2条)
1. 梁平 基于数学模型的计算机排课系统算法研究与分析[学位论文]硕士 20052. 邹晨 自动排课的研究与实现[学位论文]硕士 2005
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_ahdlzgdxxb200203021.aspx
第七卷第置期
Ｖｄ．７．Ｎｏ
３
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＡＮＨＵｌＥＬＥＣＴＲＩＣ
安傲蟪力职一太学学报
ＰＯＷＥＲＵＮＩＶＥＲＳＩｑｌＦＯＲＳＴＡＦＦ
２００２年９兄
Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ２００２
排课问题及其数学模型
洪文。朱广斌’
（安徽大学含琵２３００３９）；（安徽电力职工大学合肥２３００２２）
［捷要】
通过对瓣谭麓题的霹竞，利用ＬＩＮＧＯ
ｆｏｒＷｉｎｄｏｗｓ，络出＇瓣攮２；；ｌ题的数学摸型。模
型的数据与公式完全分离。模型的囊型属非线性蟪划井用ＬＩＮＧＯ语言编写。该模型
具有较强的实用性和通用性。
ｆ筵键调］约束；数疆库；非蠛性规划
Ａ【文章编号ｊ
１００９一１２３８ｆ２０６２；０３—００７４一０４
ｆ串密寺｝类芍】０２１１．６【文献檬谖礴ｊ
Ｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆａｒｒａｎｇｉｎｇｃｏｕｒｓｅｓａｎｄｍａｔｈｍｏｄｅｌ
ＨＯＮＧ
Ｗｅｎ，ＺＨＵ
Ｇｕａｎｇ—ｂｉｎ
（１、ＡｎｈｕｉＵｎｉｖ．，Ｈｅｆｅｉ２３００３９，Ｃｈｉｎａ；２、ＡｎｈｕｉＥｌｅｃｔｒｉｃＰｏｗｅｒＵｎｉｖ．ｆｏｒＳｔａｆｆ，Ｈｅｆｅｉ２３００２２，Ｃｈｉｎａ）
【ＡｂｓｔｒａｃｔｊＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｍａｔｈｍｏｄｅｌａｂｏｕｔｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆａｒｒａｎｇｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒ
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ｃｏｕｒｓｅｓ
ｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｉｔｉｓ
ｐｒｏｇｒ∽ｍｉｎｇ
ｍｏｄｄａｎｄｃｏｍｐｉｌｅｄｂｙＬＩＮＧＯｌａｎｇｕａｇｅ．Ｔｈｅｄａｔａｏ｛ｔｈｉｓｍｏｄｅｌ．
ｓｅｐａｒａｔｅｄｆｒｏｍｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｉｎｄｅｅｄ．Ｔｈｅｒｅｉ８ｖｅｒｙｇｏｏｄｐｒａｃｔｉｃａｂｉｌｉｔｙａｂｏｕｔｔｈｉｓｍｏｄｅｌｔｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ；ｄａｔａｂａ∞；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ—ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ
［Ｋｅｙｗｏｒｄｓｊ背景
０
所谓撵课阉题就是将若干卡鬓缀恢邃、台瑾缝安摊在若予个教室垂上谦。在理蜜生滔中，尤其疑在高校这是一个营遗存在的问题。从表霹上豢，这个阉题似乎艰麓尊，其赛也虿尽然。教室鸯大蠢小，班级也有大有小。当班级总数和教室总数很大时，鞭想快速、合理、高散地排渫并不容易。另外，如果学校实行学分制，则班级人数经常发生变化，原先的排课方案未必可行，往往需要重新排课。针对这一问题，
本文撬出了排谦麓剜．利用最优纯软件ＬＩＮＧＯ给出了排课问题的数学模型。和甩它，我们就可以快
速、合疆、嵩效遗完箴辩课任务。
ｌ
｛｛｝谖避则
对于一般的排课问题，我们绘出下蕊三个排课规则：排课规则１：班级人数小于等于教赛容摄。
排课规刚２：如粜教堂总数大子班级总数，要尽可能空出大教室。
§＃课瓣弱３：在离差（离差＝教室容量一班级人数）和相同的情况下，选择离燕平方和最小的排课方
嶷。
我妇认为满足上面兰个靓则的排课方寨就是可行、合理、舞效憋瓣课方寨。为了说明搂谭规则３，请看下面两个排课方案：
方案ｌ：班级Ｂ１一教室Ａ１，班级Ｂ２一教室Ａ２。方案２：班级Ｂｌ一教窘Ａ２，班级Ｂ２一教室Ａ１。
－佟喾簿赍：洪主（１９５８一）＋筹，安推台犯凡，瓣最较。土景磺竞方向：运筹学、ＬＩＮＧＯ藐其蛊趣。
束广斌（１９６０一），男．蒋撤每肥人，黉鞭电力职工文学教师，副教授。
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洪文朱广斌：排课问题及其散学模型
Ｂｌ的人数为ｓｏ，Ｂ２的人数为６０；ＡＩ的容量为６０，Ａ２的容量为７０。这两个方案的离差和（容量一人数）都是２０。由于方案１使得每个教室都留有一定的空间，增加少量学生听课不会有问题。而方案２中教室Ａ１是满员的，不能增加任何人。所以，我们认为方案１比较合理。两个方案的离差平方和分别是２００和４００。按照排课规则３，我们就会选择方案１。
在实际排课问题中．常常会出现班级总数不等于教室总数的情况，这时候要分别处理。如果班级总数大于等于教室总数，我们可以要求一个教室安排一门课；如果班级总数小于教室总数，我们可以要求一门课安排一个教室。
２
排课模型
下面给出排课问韪的基本模型：
ｓｅｔｓ：
！输入集合元素；
ｋｅｃｈｅｎｇ／＠ｏｄｂｃ（’排课数据库７，’课程数据’，７课程代码’）／：ｒ’ｚｈｏ，ｚｈｕ．Ｌ；ｊｉａｏｓｈｉ／＠ｏｄｂｃ（’排课数据库’，７教室数据’，’教室代码，）／：ＲＯＮＧ；ｋｊ（ｋｅｃｈｅｎｇ，ｊｉａｏｓｈｉ）：ｘ；
ｅｎｄｓｅｔｓｄａｔａ：
！输入属性值；
ｒ，ｚｈｏ，ｚｈｕ＝＠ｏｄｂｃ（’排课数据库’，７课程’，’人数Ｒ７，’周学时ＺＨＯ’，’状态学时ＺＨＵ’）；ＲＯＮＧ；＠ｏｄｂｃ（’排课数据库’，’教室数据’，７容量ＲＯＮＧ，）．＠ｏｄｂｃ（７排课数据库’，’课程数据’，’状态学时ＺＨＵ７）＝ｌ；
ｅｎｄｄａｔａ
！目标函数；
ｒａｉｎ＝＠ｓｕｍ（ｋｊ（ｉ，Ｊ）：ｘ（ｉ，ｊ）＊（ｒ（ｉ）一ｒｏｎｇ（ｊ））‘２）；
！约束；
＠ｆｏｒ（ｋｊ（ｉ，ｊ）ｌｉ＃ｇｅ＃０：＠ｂｉｎ（ｘ））；
＠ｆｏｒ（ｋｅｃｈｅｎｇ（ｉ）Ｉｚｈｕ（ｉ）＃ｎｅ＃２：＠ｓｕｍ（ｊｉａｏｓｈｉ（ｊ）：ｘ（ｉ，ｊ））＝０）；
＠ｆｏｒ（ｋｅｅｈｅｎｇ（ｉ）Ｉｚｈｕ（ｉ）＃ｅｑ＃２：＠ｓｕｍ（ｊｉａｏｓｈｉ（ｊ）：ｘ（ｉ，ｊ））＜１）；
＠ｆｏｒ（ｊｉａｏｓｈｉ（ｉ）：＠ｓｕｍ（ｋｅｃｈｅｎｇ（ｉ）Ｉｚｈｕ（ｉ）＃ｇｔ＃０：Ｘ（ｉ，ｊ））＝１）；＠ｆｏｒ（ｋｊ（ｉ，ｊ）ｌｒｏｎｇ（ｊ）＃Ｉｔ＃ｒ（ｉ）：Ｘ（ｉ，ｊ）＝０）；
＠ｆｏｒ（ｋｅｅｈｅｎｇ（ｉ）ｌｚｈｕ（ｉ）＃ｇｔ＃１：Ｌ（ｉ）＝ｚｈｕ（ｉ）一２＊＠ｓｕｍ（ｊｉａｏｓｈｉ（ｊ）：ｘ（ｉ，ｊ）））；
３
模型注释
上面的规划模型是用ＬＩＮＧＯ
ｆｏｒ
Ｗｉｎｄｏｗｓ编写的。下面就模型及相关的内容解释如下：
３．１集合与变量
本模型定义了课程代码和教室代码两个基本集合。分别记为ｋｅｃｈｅｎｇ和ｊｉａｏｓｈｉ。用它们产生了一个派生集合ｋｊ并定义了属性ｘ。属性ｘ是０１１决策变量。如果ｘ（ｉ，ｊ）＝１，则第ｉ个班级被指派到第ｊ个教室上课；如果Ｘ（ｉ，ｊ）＝０，则第ｉ个班级不被指派到第ｊ个教室上课。
３
２数据
模型的数据是来自“排课数据库ｍｄｂ”中的表“课程数据”和“教室数据”。详见表１和表２。
・７５
囊徽电力职王大学学摄
第七卷辇三粒
袭１课程敞据
ＩＤ
漾瑷代码
Ａ１１Ａ１９Ａ２８Ａ３７Ａ４６Ａ５５ＡｌＡ７２Ａ８３Ａ９０Ａ２
谍稳名称班级
镶太数
序
｝
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拔态
教耀祷蔷王强张宏兵李伟张进
畿兵夏澈梅张雯蕊
掌时
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霹学瓣
ＺＨ０２２Ｏ２２２２２２２２
Ｒ９５
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敦室代码
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教室生他３０２教西１２２
生化４０４
窖量
ＲＯＮＧ１２３ｉ２０１０４１０４
２６６
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２６８２６９２７０２７１２７２２７３２７４２７５２７６
汪券与证撵基础知测９８经信
邓小平理论９９行营大学体育００行譬毛泽东思想概论（１）呻杜保
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３．３耳撩与约束
横登的目标荫数是：
ｍｉｎ＝＠ｓｕｍ（ｋｊ（ｉ，ｊ）：ｘ（ｉ，ｊ）＊（ｒ（ｉ）一ｔｏｎｇ（ｊ））＇２）；它壤褥辨潺方案瀵是ｌ｛｝谋巍爨２程辩课巍戴３。模型的第一个约束是限制决策变量ｘ为０／１变量。
模型的第二个约束限制模型只安排周学时海２的课程。如果耍安排周学时为３、４或６的课程，可
将“ｚｈｕ（ｉ）＝薛ｎｅ辖２”中豹…２疑戚３、４凌６邵可。
模型的第三、潮个约束魁当周学时为２的课程总数大于等于教室总数时，为每一个教室安排一门课程。丽当周学时为２的课秣总数小予等于教塞葸数时，戟应该使耀下嚣的终衷：
＠ｆｏｒ（ｋｅｃｈｅｎｇ（ｉ）ｌｚｈｕ（ｉ）＃ｅｑ＃２；＠ｓｕｍ（ｊｉａｏｓｈｉ（ｊ）：ｘ（ｉ，ｊ））＝１）；＠ｆｏｒ（ｊｉａｏｓｈｉ（ｊ）：＠ｓｕｍ（ｋｅｃｈｅｎｇ（ｉ）Ｉｚｈｕ（ｉ）＃ｇｔ＃０：Ｘ（ｉ，ｊ））＜１）；它为每一门谖程安排一令教室。
模缎的第五个妁束是限制教室容量大于等于班级人数，使得排课方粜满足排课规则１。模型的最后一个约束魁用于重新计算状态学时的慎，表明逐有哪些课程没有被安排。３．４解答
运行上面的模璎（周学时为２的课程总数大于等于激室总数），可得下面的结果（满足ｘ（Ｉ，Ｊ）＝１）：
Ｘ（Ａ１１，４）Ｘ（Ａ１９，１）Ｘ（Ａ４６，９）Ｘ（Ａ５５，６）Ｘ（Ａ１，７）Ｘ（Ａ７２。２）Ｘ（Ａ８３，３）Ｘ（Ａ９０，８）Ｘ（Ａ２，５）
１．００００００１．００００００１．００００００１。Ｏ０００００１．００００００１．００００００１．００００００１．００００００１．００００００
０，００００００００００００００００．００００００００．００００００００．００００００００００００００００．００００００００００００００００．０００００００
它袭明课程Ａｌｌ安排在教室４（生化５０１）教室５（生化５０２）。
４
课程Ａ４６安排在教室９（文西１１１）…，，课程Ａ２安排在
撵漾进程中要注意弱Ａ个要采
上封只是给出了排课问题的基率模型。柱具体实施排课方案时，还要注意满足下面几个鼹求：要求１：同一个班级在镁何时闻段（如星期一（１２））最多只嚣｛±｜现～次。
为了满足上面豹要求，筏们要对阔一个班级的课程进行排净。下面的表３就怒一个班级在某学期
的课程。
・７６・
洪文朱广斌：排课问艇及其数学模型
表３某班级某学期的课程
ＩＤ１６ｉ７１８１９２１２２
２３
课程代码
Ａ１０Ａ１１Ａ１２Ａ１３Ａ１４Ａ１５Ａ１６Ａ１７Ａ１８
课程名称商务谈判
证券与证券基础知识
经济活动分析计算机信息网络国贸与金融运筹学企业管理财政与税收组织行为学
课序
７１２３８９４５６
人数Ｒ
５３５５５９５８５９５６５５５５５７
教师吴元其杨爱元李莉李茂胜孙群洪文杨爱元
王中
状态学时
６２２２４４３３３
周学时
６２２２４４３３３
２４２５
丁敏
我们将课程按序号分为９类。对于一个排课问题，如果将所有的班级按上述方法处理后再按序号进行排课，就能满足要求１。
要求２：同一个教师在任何时间段（如星期一（１２））最多只能出现一次。
对于担任同一个班级的多门课程的教师来说（例如上表中的杨爱元老师），如果按照课序排课，要求２自然会得到满足。但对于担任不同班级多门课程的教师来说，如按课序进行排课，则要求２就未必满足（概率并不是很大）。所以，在建立排课方案之前要查看按序分类的结果。如果发现一个教师在一类中出现两次或两次以上，就要更改相应课程在班级中的排序，使之满足要求２。
要求３：合班上课要保证教室足够大；分班上课要保证不同时进行。
对于合班上课的课程，可以将班级人数规定为合班人数之和（例如表１中的Ａ８３对应的人数就是两个班级人数之和）．这样一来就能保证教室足够大；而对于分班上课的课程，由于是一个教师上课，可将该课程视为两门课，确保不会同时进行（例如表１中的Ａ１）。
另外，在排课过程的后期，如果所有的时间段都已安排了课程，还未安排的课程只能插入某个时间段安排，这时候要注意要求１和要求２。只有在要求ｌ和要求２都得到满足的前提下才可进行插入排课。在插入排课过程中，可能会出现不同课程同教室的情况。由于教室代码是按容量大小由大到小进行排列的．如果有较小的教室代码空着。可安排同教室课程中人数较多的班级到那个教室上课；如果没有较小的教室代码．则说明这两门课程不能同时安排在这个时间段上课。
５
结束语
通过对排课问题的研究及给出的基本模型，我们可以利用数据库建立相应的排课系统。但在具体
的实施过程中，还会出现很多问题，还有很多地方需要注意。例如，ＬＩＮＧＯｆｏｒＷｉｎｄｏｗｓ对变蚩，尤其是对整数变量有限制。当数据过多时就可能导致模型无法运行，这时候就要使用更高版本的ＬＩＮＧＯＷｉｎｄｏｗｓ。
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ＵｓｅｒｓＧｕｉｄｅ．ＬＩＮＤＯ
ｆｏｒ
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［责任编辑：程蓓］
７７・
排课问题及其数学模型
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
洪文， 朱广斌
洪文(安徽大学,合肥,230039)， 朱广斌(安徽电力职工大学,合肥,230022)安徽电力职工大学学报
JOURNAL OF ANHUI ELECTRIC POWER COLLEGE FOR STAFF2002,7(3)2次
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引证文献(2条)
1. 梁平 基于数学模型的计算机排课系统算法研究与分析[学位论文]硕士 20052. 邹晨 自动排课的研究与实现[学位论文]硕士 2005
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