“华尔街最有名的数学家”
2010
年11月24日出版的纽约时报刊登了如下的一则新闻：伊藤清，描述随机运动的数学家，于93岁逝世。这则消息在下述两个方面不同寻常：首先，一则数学家的讣告并非出现在科技版面而是出现在商业版面上；其次，伊藤清的逝世
时间被刊登为11月17日（实为11月10日），对纽约时报这样的大报而言，这是很愚蠢的错误（幸好是推后而非提前了讣告的发布）。
伊藤清并不是任何意义上的商人而是地地道道的一流数学家。他的名字出现在商业版的原因是他的工作极大的影响了人们对一切随机现象的理解，这其中也包括了金融现象。美国经济学家Robert Merton 和Myron Scholes在伊藤的工作的基础上提出了计算金融衍生工具的Black-Scholes 模型，从而获得了1997年的诺贝尔经济学奖。因为这个原因，伊藤清曾经被戏称为“华尔街最有名的数学家”。
伊藤清1915年生于日本。他是日本（以及亚洲）在二十世纪贡献出的最重要的几位数学家之一。他的工作的主要研究对象是随机过程。确切来说，这门学问可以说根本就是他建立起来的——他在二十世纪中叶的工作让他得到了“现代随机分析之父”的称呼。
也许我们应该把这件事情放在更大的历史背景中来看。按照普遍的看法，数学一向被看作是“确定性”的科学，这就是说，数学研究的对象是精确的数和形，传统的数学分支，例如代数和几何，也基本遵循了这种精确性的要求。另一方面，尽管数学家们很早就注意到了现实生活中的随机事件也可以用数学来刻画（概率论的建立可以追溯到十七世纪的数学家帕斯卡和费马对赌博的研究），但是这样的数学始终被视为" 不严肃" 的数学。但是另一方面，物理学家对大自然的深入了解已经对数学家提出了要求和挑战。自从二十世纪初开始，以爱因斯坦为代表的物理学家们就开始试图讨论包括布朗运动（就是我们在中学物理课程中学到的导致水中的花粉无规则运动的分子运动）在内的随机物理过程，而传统的数学工具——微分方程——里面的每个系数和初值都是确定的（至多有微小的误差），所以结果也是确定的。既然在物理现实中，一个系数可能根本就是随机的变量，那么这样的方程该怎样理解和分析，就构成了数学家面临的严峻任务。 在数学这一方面，也是直到二十世纪初，伟大的俄国数学家柯尔莫格洛夫等人才开始试图从公理化的角度重新建立概率论和随机数学。这就是说，把随机事件中的数学变量像几何和代数对象一样对待，为它们建立基本的公理和逻辑体系，让“随机”这件事情可以得到“严格”的定义和计算。在此基础上，对随机物理过程的数学刻画才变得可能。
1
也许我们应当看看伊藤清自己对这段历史的描述，下面的文字摘译自他的《我研究概率论的六十年》一文：
从我的学生时代开始，我就被看起来完全随机的现象中存在客观的统计规律这一事实所吸引。尽管我知道概率论可以用来描述随机现象，但是我并不满意当时的概率论，因为就连最基本的元素——随机变量——也没有得到很好的定义。那个时候，数学家们很少像看待微积分一样把概率论看成真正的数学领域。通过十九世纪末人们对“实数”这一概念的精确定义，微积分已经成为完全严格意义上的数学。那个时候只有很少几位数学家在研究概率论，其中包括俄国的柯尔莫格洛夫和法国的列维……。在那个时代人们一般都觉得列维的工作极其晦涩难懂，因为作为一个新的数学领域的先锋人物，他的工作基本上是基于数学直觉的。于是我开始试图用柯尔莫格洛夫的办法来试图严格描述列维的想法。最终，经过了艰难而孤独的努力，我终于成功建立了随机微分方程的理论。那是我的第一篇论文。
我们可以从多个方面来理解伊藤清的这段回忆。首先，他的这篇划时代的论文发表在1942年，这时他甚至还没有拿到博士学位。注意这个日期，1942年，我们并不难想象那时一个日本的年轻数学家处于什么样的工作环境。（无独有偶，也是在这个时期，与伊藤清差不多同龄的中国数学大师陈省身也在战争的另一侧更加艰苦的环境里开始了自己最重要的研究工作。）
其次，伊藤清的这段回忆概括了一个数学发展史的一般规律，那就是数学虽然追求严谨，但是任何数学思想在一开始几乎总是完全基于粗糙和模糊的直觉，然后才会在发展过程中逐渐被得到精确化。微积分的发展过程是如此，概率论的发展过程也是如此。而伊藤清有幸成为随机数学的严格化过程中奠基性的人物，从而名垂青史。
伊藤清后来在美国居住并任教过一段时间，但是他的晚年也和陈省身先生一样，几乎完全在他的祖国度过。他于1987年获得数学家的终身奖沃尔夫奖。他也在2006年的国际数学家大会上获得了首届高斯奖，这个新设立的奖项的宗旨在于表彰“工作在数学外领域影响深远的数学家”，这个称号伊藤清当之无愧。
吊诡的是，正是因为伊藤清的贡献直接启发了人们对于期权定价等一系列金融问题的研究，才使得后来种种复杂的金融衍生工具的开发成为可能。随着人们对于金融模型掌握得日渐得心应手，这些
衍生工具在数学上越来越复杂精巧，也为金融大鳄们越来越隐蔽的贪婪和野心打开了方便之门，最终成为去年席卷全球的金融危机的罪魁祸首之一。因此有人认为，要不是伊藤清开启了这个潘多拉的盒子，也许这一切本来都不会发生。
对于一个一生以纯粹理论研究为志业的数学家来说，这当然是过于严苛的批评。复杂的现代数学工具在金融领域的大规模应用也许永远都会是一个有争议性的话题，但是从纷繁复杂的现实中提炼出抽象的理论规律，这本来就是科学家的庄严使命。也许人类在可预见的未来都不可能用数学完美的解释和控制金融运作，特别是在其间掺杂了如此复杂的人性因素的情况下。但是伊藤清毕竟走出了历史性的一步。在得知他的讣告之后，今年的诺贝尔经济学奖得主Paul Krugman（克鲁格曼）在自己的博客上这样写道：“伊藤的成就在金融理论中——也在我自己的某些工作中——扮演了举足轻重的角色。我不是一个数学家，我也曾经一边写下那些刻画金融活动的数学公式一边半开玩笑的说，管它有什么实际意义呢。但是事实上，它们管用，真的。”
还是用伊藤清自己的话来结束这篇文章好了，下面的文字还是摘译自他的《我研究概率论的六十年》一文，在这段文字里他优美的描述了自己心目中的数学：
在精确的建立数学结构的过程中，数学家会发现某种美的存在，这种美也存在于迷人的音乐和庄严的建筑之中。然而，伟大的数学和伟大的艺术毕竟不同。莫扎特的音乐可以让不懂得音乐理论的人着迷，科隆大教堂可以让不了解基督教的人赞叹，然而数学结构之美很难被不理解数学公式背后的逻辑的人们所欣赏。只有数学家才能读懂数学公式的乐谱，然后在心里演奏出音乐来。因此我一度觉得，没有数学公式的帮助，我很难传递出我心里的数学的旋律之美。随机微分方程，或者说，“伊藤公式”，今天被广泛的应用于描述各种随机现象。但是当我刚写出这些论文的时候，它们完全没有引起人们的注意。直到十年之后，别的数学家们才开始阅读我的数学乐谱，然后用他们自己的乐器演奏出音乐来。在将我的原始乐谱发展为更精致的音乐的过程中，这些研究者们也为伊藤公式做出了自己的贡献。近年来，我发现这些音乐也在数学之外的许多不同的领域中演奏着。我从来没有预料到我的音乐能为真实的世界做出贡献，而它同时也增添了纯粹数学之美。我想在此感谢我的前辈们，是他们不断的鼓励，才让我能够听到我的“未完成交响曲”中，那些神秘而微妙的音符。
（Leibniz ）办的，很牛，欧洲的牛人们都来做这个东西。到最后，约翰收到了5 份答案，有他自己的，莱布尼兹的, 还有一个洛比塔（L.Hospital ）侯爵的（我们比较喜欢的那个洛比塔法则好像是他雇人做的， 是个有钱人）, 然后是他哥哥加可比的， 最后一份是盖着英国邮戳的，必然是牛顿（Newton ）的。约翰自己说“我从它的利爪上认出了这头狮子。”据说当年牛顿从造币厂回去，看到了贝努利的题，感觉浑身不爽，熬夜到凌晨4 点，就搞定了。这么多解答当中， 约翰的应该是最漂亮的，类比了费马（Fermat ）原理，用光学一下做了出来。但是从影响来说，加可比的做法真正体现了变分思想。
贝努利一家在欧洲享有盛誉。有一个传说，
讲的是丹尼尔• 贝努利（Daniel Bernoulli ，他是约翰• 贝努利的儿子）有一次正在做穿越欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，很谦虚地自我介绍：“我是丹尼尔• 贝努利。”那个人当时就怒了，说：“那我还是艾萨克 • 牛顿呢。”丹尼尔此后在很多场合深情地回忆起这一次经历，把它当作他曾经听过的最衷心的赞扬。
约翰和加可比这两个贝努利家族的人，都算不出自然数倒数的平方和这个级数，欧拉（Euler ）从他老师约翰那里知道了这个问题，并且给出了6/ 2 π 这个正确的答案。欧拉是他那个时代最伟大的数学家。法国有一个很著名的哲学家，叫做狄德罗（Denis Diderot ），是个无神论者，这个让叶卡捷琳娜女皇不爽， 于是她请欧拉来教育一下狄德罗。其实欧拉本来是弄神学的，他老爸就是， 后来是好几个叫贝努利的来劝他父亲， 他父亲才让欧拉做数学了。欧拉邀请狄德罗来了皇宫，他这次的工作是证明上帝的存在性，为此，他在众人面前说：“先生，（a-bn)/n=x，因此上帝存在；请回答! ”狄德罗自然不懂代数， 于是被羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的数学家。他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎„„
聊聊数学家的故事
故事一：贝努利家族
故事二：四色定理
一次拓扑课上，哥廷根大学数学教授闵可夫斯基（Minkowski ） 向学生们自负地宣称：“这个定理没有证明的主要原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它。” 于是闵可夫斯基开始拿起粉笔。这节课结束的时候，没有证完， 到下一次课的时候，闵可夫斯基继续2
约翰• 贝努利 (John Bernoulli) 于1696 年在一个
叫做《教师学报》的杂志上公开提出了最速降线问题，挑战的矛头主要针对他的哥哥加可比· 贝努利(Jacobi Bernoulli)。这两个人在学术上一直相互不忿，据说当年约翰求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了， 加可比做了一年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。那个杂志好像是莱布尼兹
证明，一直几个星期过去了„„。一个阴霾的早上，闵可夫斯基跨入教室， 那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，闵可夫斯基很严肃地说：“上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完全的。”
1942 年的时候， 数学家莱夫谢茨（Lefschetz ）去哈佛大学做了个报告，伯克霍夫（Birkhoff ）是他的好朋友，讲座结束之后，就问他最近在普林斯顿大学有没有什么有意思的东西。莱夫谢茨说有一个人刚刚证明了四色猜想。伯克霍夫严重地不相信，说要是这是真的，就用手和膝盖，直接爬到普林斯顿大学的Fine Hall 去。Fine Hall 是普林斯顿大学的数学楼。
希尔伯特（Hilbert ）曾有一个学生， 给了他
费尔马（？ -1665），法国数学家、法学家
一篇论文来证明黎曼（Riemann ） 猜想，尽管其中有个无法挽回的错误， 希尔伯特还是被深深地吸引了。第二年，这个学生不知道怎么回事就死了， 希尔伯特要求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不自胜。希尔伯特开始致词，首先指出，这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀，众人同感，哭得越来越凶。接下来，希尔伯特说，尽管这个人的证明有错，但是如果按照这
闵可夫斯基(1864-1909), 德国数学家
条路走，应该有可能证明黎曼猜想，再接下来，希尔伯特继续热烈地冒雨讲道： “事实上，让我们考虑一个单变量的复函数„„”众人皆倒。
有一个人叫做沃尔夫凯勒（Paul Wolfskehl), 大学读过数学，痴狂地迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧的是他无数次被拒绝，感到无所依靠，于是定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起的时候，告
没
别这个世界，再也不理会尘世间的事。沃尔夫凯勒在剩下的日子里依然努力地工作，当然不是数学，而是一些商业的东西，最后一天，他写了遗嘱，并且给他所有的朋友亲戚写了信。由于他的效率比较
没
高的缘故，在午夜之前，他就搞定了所有的事情，剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书。很快，他被Kummer 的一篇解释哥西（Cauchy ）等前辈做费尔马大定理为什么不行的论文吸引住了。那是一篇伟大的论文，适合要自杀的数学家最后的时刻阅读。沃尔夫凯勒竟然发现了Kummer 的一个错，一直到黎明的时候，他做出了这个证明。他自己狂骄傲不止，于是一切皆成烟云„„，这样他重新立了遗嘱，把他财产的一大部分设为一个奖，奖给第一个证明费尔马大定理的人10 万马克„„，这就是沃尔夫凯勒奖的来历。
故事三：做数论的人
由于费尔马（Fermat ）大定理的名声，在纽约的地铁车站出现了乱涂在墙上的话：x
n
+y =z
n n
有解, 对此我已经发现了一种真正美妙的证明，可惜我现在没时间写出来，因我的火车正在开来。（费马大定理：n>2是整数，则方程x
n
+y =z
n n
有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由英国数学家怀尔斯证明了(1995年) ，证明的过程是相当艰深的！费尔马1637年在钻研了被誉为代数学的鼻祖丢番图的《算术》（共13卷）第二卷第八命题： “ x+y=z的一般解答是：
x=2mn,y=m-n ,z=m+n, 其中m,n(m>n)是任意正整数”，的旁边写道：“对于x +y=z, x+y=z，x +y=z(n>2) 都不可能有正整数解。我对此命题给了一个真正的非常美妙的证明，只是此处的空白太小了写不下。 ”）
n
n
n
3
3
3
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
3
千万别碰它：最折磨人的数学未解之谜
3x + 1 问题
从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以 2 ；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的 3 倍后再加 1 。序列是否最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, „ 的循环？
这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从 3x + 1 问题的各种别名看出来： 3x + 1 问题又叫 Collatz 猜想、 Syracuse 问题、 Kakutani 问题、 Hasse 算法、 Ulam 问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做 3x + 1 问题算了。
3x + 1 问题不是一般的困难。这里举一个例子来说明数列收敛有多么没规律。从 26 开始算起， 10 步就掉入了“421 陷阱”：
26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, „
但是，从 27 开始算起，数字会一路飙升到几千多，你很可能会一度认为它脱离了“421 陷阱”；但是，经过上百步运算后，它还是跌了回来： 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, „
排序问题加强版
有 n 个盒子，从左至右依次编号为 1, 2, „, n 。第 1 个盒子里放两个编号为 n 的小球，第 2 个盒子里放两个编号为 n - 1的小球，以此类推，第 n 个盒子里放两个编号为 1 的小球。每一次，你可以在相邻两个盒子中各取一个小球，交换它们的位置。为了把所有小球放进正确的盒子里，最少需要几次交换？
为了说明这个问题背后的陷阱，我们不妨先拿 n = 5 的情况做个例子。首先，如果每个盒子里只有一个球，问题就变成了经典的排序问题了：只能交换相邻元素，如何最快地把 5, 4, 3, 2, 1 变成 1, 2, 3, 4, 5 ？如果一个数列中前面的某个数反而比后面的某个数大，我们就说这两个数是一个“逆序对”。显然，初始情况下所有数对都是逆序对，n = 5 时逆序对共有 10 个。我们的目的就是要把这个数目减少到 0 。而交换两个相邻的数只能消除一个逆序对，因此 10 次交换是必需的。
不过，题目里面每个盒子里有两个球，那么是不是必须要交换 20 次才行呢？错！下面这种做法可以奇迹般地在 15 步之内完成排序：
4
55, 44, 33, 22, 11 54, 54, 33, 22, 11 54, 43, 53, 22, 11 54, 43, 32, 52, 11 54, 43, 32, 21, 51 54, 43, 21, 32, 51 54, 31, 42, 32, 51 41, 53, 42, 32, 51 41, 32, 54, 32, 51 41, 32, 42, 53, 51 41, 32, 42, 31, 55 41, 32, 21, 43, 55 41, 21, 32, 43, 55 11, 42, 32, 43, 55 11, 22, 43, 43, 55 11, 22, 33, 44, 55
第一次看上去似乎很不可思议，但细想一下还是能想明白的：同一个盒子里能够放两个数，确实多了很多新的可能。如果左边盒子里的某个数比右边某个盒子里的数大，我们就说这两个数构成一个逆序对；但如果两个不同的数在同一个盒子里，我们就把它们视作半个逆序对。现在让我们来看看，一次交换最多能消除多少个逆序对。假设某一步交换把 ab, cd 变成了 ac, bd ，最好的情况就是 bc 这个逆序对彻底消除了，同时 ac 、 bd 两个逆序对消除了一半， ab 、 cd 两个（已经消除了一半的）逆序对也消除了一半，因此一次交换最多可以消除 3 个逆序对。由于一开始每个盒子里的两个相同的数都会在中间的某个时刻分开来，最后又会合并在一起，因此我们可以把初始时两个相同的数也当作一个逆序对。这样的话，初始时每两个数都是逆序对， n 个盒子里将产生 C(2n, 2) 个逆序对。自然，我们至少需要 C(2n, 2) / 3 步才能完成排序。当 n = 5 时， C(2n, 2) / 3 = 15 ，这就说明了上面给出的 n = 5 的排序方案是最优的。 这个分析太巧妙了，实在是让人拍案叫绝。就只可惜，这个下界并不是总能达到的。当 n = 6 时，上述分析得出的下界是 22 步，但计算机穷举发现没有 23 步交换是不行的。于是，这个问题又变成了一个诱人的坑，至今仍未被填上。 196 问题
一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。例如，所选的数是 67，两步就可以得到一个回文数 484： 67 + 76 = 143 143 + 341 = 484
把 69 变成一个回文数则需要四步： 69 + 96 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884
89 的“回文数之路”则特别长，要到第 24 步才会得到第一个回文数，[1**********]88。 大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样——对于几乎所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。不过，196 却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算
机算到了 3 亿多位数，都没有产生过一次回文数。从 196 出发，究竟能否加出回文数来？196 究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜。 Gilbreath 猜想
从小到大依次列出所有的质数：
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... 求出相邻两项之差：
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...
现在，再次求出所得序列中相邻两项之差，又会得到一个新的序列：
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...
重复对所得序列进行这样的操作，我们还可以依次得到
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ... 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ... 1, 2, 0, 0, 0, 2, ... 1, 2, 0, 0, 2, ...
大家会发现一个有趣的规律：每行序列的第一个数都是 1。
某日，数学家 Norman L. Gilbreath 闲得无聊，在餐巾上不断对质数序列求差，于是发现了上面这个规律。Gilbreath 的两个学生对前 64419 行序列进行了检验，发现这个规律始终成立。1958 年，Gilbreath 在一个数学交流会上提出了他的发现，Gilbreath 猜想由此诞生。
这个规律如此之强，很少有人认为猜想不成立。1993 年，Andrew Odlyzko对 10 000 000 000 000 以内的质数（也就是 346 065 536 839 行）进行了检验，也没有发现反例。
不过，这一看似简单的问题，几十年来硬是没人解决。
驻。
不论我们前面是怎样的随机变量，不论未来有多大的方差，
相信波谷过了，波峰还会远吗？
你的生活就是我的定义域，你的思想就是我的对应法则，
你的微笑肯定，就是我存在于此的充要条件。 如果你的心是x 轴，那我就是个正弦函数，围你转动，有收有放。
如果我的心是x 轴，那你就是开口向上、Δ 为负的抛物线，永远都在我的心上。 我每天带给你的惊喜和希望，
就像一个无穷集合里的每个元素，虽然取之不尽，却又各不一样。
如果我们有一天身处地球的两侧，海角天涯， 那我一定顺着通过地心的大圆来到你的身边，哪怕是用爬。
如果有一天我们分居异面直线的两头，
那我一定穿越时空的阻隔，划条公垂线向你冲来，一刻也不愿逗留。
但如果有一天，我们不幸被上帝扔到数轴的两端，正负无穷，生死相断，
没有关系，只要求个倒数，我们就能心心相依，永远相伴。
情人是多么的神秘，却又如此的美妙， 就像数学，可以这么通俗，却又那般深奥。 只有把握真题的规律，考试的纲要， 才能叩启象牙的神塔，迎接情人的怀抱！
写在数学情人节
李委明
我们的心就是一个圆形， 因为它们的离心率永远为零。 我对你的思念就是一个循环小数， 一遍一遍，执迷不悟。
我们就是抛物线，你是焦点，我是准线， 你想我有多深，我念你便有多真。 零向量可以有很多方向，却只有一个长度， 就像我，可以有很多朋友，却只有一个你，值得我来守护。
生活，可以是甜的，也可以是苦的，但却不能没有你，枯燥平平，
就像分母，可以是正的，也可以是负的，却不能没有意义，取值为零。
有了你，我的世界才有无穷大，
因为任何实数，都无法表达，我对你深深的love 。 我对你的感情，就像以自然常数e 为底的指数函数，
不论经过多少求导的风雨，依然不改本色，真情永
5
“华尔街最有名的数学家”
2010
年11月24日出版的纽约时报刊登了如下的一则新闻：伊藤清，描述随机运动的数学家，于93岁逝世。这则消息在下述两个方面不同寻常：首先，一则数学家的讣告并非出现在科技版面而是出现在商业版面上；其次，伊藤清的逝世
时间被刊登为11月17日（实为11月10日），对纽约时报这样的大报而言，这是很愚蠢的错误（幸好是推后而非提前了讣告的发布）。
伊藤清并不是任何意义上的商人而是地地道道的一流数学家。他的名字出现在商业版的原因是他的工作极大的影响了人们对一切随机现象的理解，这其中也包括了金融现象。美国经济学家Robert Merton 和Myron Scholes在伊藤的工作的基础上提出了计算金融衍生工具的Black-Scholes 模型，从而获得了1997年的诺贝尔经济学奖。因为这个原因，伊藤清曾经被戏称为“华尔街最有名的数学家”。
伊藤清1915年生于日本。他是日本（以及亚洲）在二十世纪贡献出的最重要的几位数学家之一。他的工作的主要研究对象是随机过程。确切来说，这门学问可以说根本就是他建立起来的——他在二十世纪中叶的工作让他得到了“现代随机分析之父”的称呼。
也许我们应该把这件事情放在更大的历史背景中来看。按照普遍的看法，数学一向被看作是“确定性”的科学，这就是说，数学研究的对象是精确的数和形，传统的数学分支，例如代数和几何，也基本遵循了这种精确性的要求。另一方面，尽管数学家们很早就注意到了现实生活中的随机事件也可以用数学来刻画（概率论的建立可以追溯到十七世纪的数学家帕斯卡和费马对赌博的研究），但是这样的数学始终被视为" 不严肃" 的数学。但是另一方面，物理学家对大自然的深入了解已经对数学家提出了要求和挑战。自从二十世纪初开始，以爱因斯坦为代表的物理学家们就开始试图讨论包括布朗运动（就是我们在中学物理课程中学到的导致水中的花粉无规则运动的分子运动）在内的随机物理过程，而传统的数学工具——微分方程——里面的每个系数和初值都是确定的（至多有微小的误差），所以结果也是确定的。既然在物理现实中，一个系数可能根本就是随机的变量，那么这样的方程该怎样理解和分析，就构成了数学家面临的严峻任务。 在数学这一方面，也是直到二十世纪初，伟大的俄国数学家柯尔莫格洛夫等人才开始试图从公理化的角度重新建立概率论和随机数学。这就是说，把随机事件中的数学变量像几何和代数对象一样对待，为它们建立基本的公理和逻辑体系，让“随机”这件事情可以得到“严格”的定义和计算。在此基础上，对随机物理过程的数学刻画才变得可能。
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也许我们应当看看伊藤清自己对这段历史的描述，下面的文字摘译自他的《我研究概率论的六十年》一文：
从我的学生时代开始，我就被看起来完全随机的现象中存在客观的统计规律这一事实所吸引。尽管我知道概率论可以用来描述随机现象，但是我并不满意当时的概率论，因为就连最基本的元素——随机变量——也没有得到很好的定义。那个时候，数学家们很少像看待微积分一样把概率论看成真正的数学领域。通过十九世纪末人们对“实数”这一概念的精确定义，微积分已经成为完全严格意义上的数学。那个时候只有很少几位数学家在研究概率论，其中包括俄国的柯尔莫格洛夫和法国的列维……。在那个时代人们一般都觉得列维的工作极其晦涩难懂，因为作为一个新的数学领域的先锋人物，他的工作基本上是基于数学直觉的。于是我开始试图用柯尔莫格洛夫的办法来试图严格描述列维的想法。最终，经过了艰难而孤独的努力，我终于成功建立了随机微分方程的理论。那是我的第一篇论文。
我们可以从多个方面来理解伊藤清的这段回忆。首先，他的这篇划时代的论文发表在1942年，这时他甚至还没有拿到博士学位。注意这个日期，1942年，我们并不难想象那时一个日本的年轻数学家处于什么样的工作环境。（无独有偶，也是在这个时期，与伊藤清差不多同龄的中国数学大师陈省身也在战争的另一侧更加艰苦的环境里开始了自己最重要的研究工作。）
其次，伊藤清的这段回忆概括了一个数学发展史的一般规律，那就是数学虽然追求严谨，但是任何数学思想在一开始几乎总是完全基于粗糙和模糊的直觉，然后才会在发展过程中逐渐被得到精确化。微积分的发展过程是如此，概率论的发展过程也是如此。而伊藤清有幸成为随机数学的严格化过程中奠基性的人物，从而名垂青史。
伊藤清后来在美国居住并任教过一段时间，但是他的晚年也和陈省身先生一样，几乎完全在他的祖国度过。他于1987年获得数学家的终身奖沃尔夫奖。他也在2006年的国际数学家大会上获得了首届高斯奖，这个新设立的奖项的宗旨在于表彰“工作在数学外领域影响深远的数学家”，这个称号伊藤清当之无愧。
吊诡的是，正是因为伊藤清的贡献直接启发了人们对于期权定价等一系列金融问题的研究，才使得后来种种复杂的金融衍生工具的开发成为可能。随着人们对于金融模型掌握得日渐得心应手，这些
衍生工具在数学上越来越复杂精巧，也为金融大鳄们越来越隐蔽的贪婪和野心打开了方便之门，最终成为去年席卷全球的金融危机的罪魁祸首之一。因此有人认为，要不是伊藤清开启了这个潘多拉的盒子，也许这一切本来都不会发生。
对于一个一生以纯粹理论研究为志业的数学家来说，这当然是过于严苛的批评。复杂的现代数学工具在金融领域的大规模应用也许永远都会是一个有争议性的话题，但是从纷繁复杂的现实中提炼出抽象的理论规律，这本来就是科学家的庄严使命。也许人类在可预见的未来都不可能用数学完美的解释和控制金融运作，特别是在其间掺杂了如此复杂的人性因素的情况下。但是伊藤清毕竟走出了历史性的一步。在得知他的讣告之后，今年的诺贝尔经济学奖得主Paul Krugman（克鲁格曼）在自己的博客上这样写道：“伊藤的成就在金融理论中——也在我自己的某些工作中——扮演了举足轻重的角色。我不是一个数学家，我也曾经一边写下那些刻画金融活动的数学公式一边半开玩笑的说，管它有什么实际意义呢。但是事实上，它们管用，真的。”
还是用伊藤清自己的话来结束这篇文章好了，下面的文字还是摘译自他的《我研究概率论的六十年》一文，在这段文字里他优美的描述了自己心目中的数学：
在精确的建立数学结构的过程中，数学家会发现某种美的存在，这种美也存在于迷人的音乐和庄严的建筑之中。然而，伟大的数学和伟大的艺术毕竟不同。莫扎特的音乐可以让不懂得音乐理论的人着迷，科隆大教堂可以让不了解基督教的人赞叹，然而数学结构之美很难被不理解数学公式背后的逻辑的人们所欣赏。只有数学家才能读懂数学公式的乐谱，然后在心里演奏出音乐来。因此我一度觉得，没有数学公式的帮助，我很难传递出我心里的数学的旋律之美。随机微分方程，或者说，“伊藤公式”，今天被广泛的应用于描述各种随机现象。但是当我刚写出这些论文的时候，它们完全没有引起人们的注意。直到十年之后，别的数学家们才开始阅读我的数学乐谱，然后用他们自己的乐器演奏出音乐来。在将我的原始乐谱发展为更精致的音乐的过程中，这些研究者们也为伊藤公式做出了自己的贡献。近年来，我发现这些音乐也在数学之外的许多不同的领域中演奏着。我从来没有预料到我的音乐能为真实的世界做出贡献，而它同时也增添了纯粹数学之美。我想在此感谢我的前辈们，是他们不断的鼓励，才让我能够听到我的“未完成交响曲”中，那些神秘而微妙的音符。
（Leibniz ）办的，很牛，欧洲的牛人们都来做这个东西。到最后，约翰收到了5 份答案，有他自己的，莱布尼兹的, 还有一个洛比塔（L.Hospital ）侯爵的（我们比较喜欢的那个洛比塔法则好像是他雇人做的， 是个有钱人）, 然后是他哥哥加可比的， 最后一份是盖着英国邮戳的，必然是牛顿（Newton ）的。约翰自己说“我从它的利爪上认出了这头狮子。”据说当年牛顿从造币厂回去，看到了贝努利的题，感觉浑身不爽，熬夜到凌晨4 点，就搞定了。这么多解答当中， 约翰的应该是最漂亮的，类比了费马（Fermat ）原理，用光学一下做了出来。但是从影响来说，加可比的做法真正体现了变分思想。
贝努利一家在欧洲享有盛誉。有一个传说，
讲的是丹尼尔• 贝努利（Daniel Bernoulli ，他是约翰• 贝努利的儿子）有一次正在做穿越欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，很谦虚地自我介绍：“我是丹尼尔• 贝努利。”那个人当时就怒了，说：“那我还是艾萨克 • 牛顿呢。”丹尼尔此后在很多场合深情地回忆起这一次经历，把它当作他曾经听过的最衷心的赞扬。
约翰和加可比这两个贝努利家族的人，都算不出自然数倒数的平方和这个级数，欧拉（Euler ）从他老师约翰那里知道了这个问题，并且给出了6/ 2 π 这个正确的答案。欧拉是他那个时代最伟大的数学家。法国有一个很著名的哲学家，叫做狄德罗（Denis Diderot ），是个无神论者，这个让叶卡捷琳娜女皇不爽， 于是她请欧拉来教育一下狄德罗。其实欧拉本来是弄神学的，他老爸就是， 后来是好几个叫贝努利的来劝他父亲， 他父亲才让欧拉做数学了。欧拉邀请狄德罗来了皇宫，他这次的工作是证明上帝的存在性，为此，他在众人面前说：“先生，（a-bn)/n=x，因此上帝存在；请回答! ”狄德罗自然不懂代数， 于是被羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的数学家。他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎„„
聊聊数学家的故事
故事一：贝努利家族
故事二：四色定理
一次拓扑课上，哥廷根大学数学教授闵可夫斯基（Minkowski ） 向学生们自负地宣称：“这个定理没有证明的主要原因是至今只有一些三流的数学家在这上面花过时间。下面我就来证明它。” 于是闵可夫斯基开始拿起粉笔。这节课结束的时候，没有证完， 到下一次课的时候，闵可夫斯基继续2
约翰• 贝努利 (John Bernoulli) 于1696 年在一个
叫做《教师学报》的杂志上公开提出了最速降线问题，挑战的矛头主要针对他的哥哥加可比· 贝努利(Jacobi Bernoulli)。这两个人在学术上一直相互不忿，据说当年约翰求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了， 加可比做了一年还认为悬链线应该是抛物线，实在是很没面子。那个杂志好像是莱布尼兹
证明，一直几个星期过去了„„。一个阴霾的早上，闵可夫斯基跨入教室， 那时候，恰好一道闪电划过长空，雷声震耳，闵可夫斯基很严肃地说：“上天被我的骄傲激怒了，我的证明是不完全的。”
1942 年的时候， 数学家莱夫谢茨（Lefschetz ）去哈佛大学做了个报告，伯克霍夫（Birkhoff ）是他的好朋友，讲座结束之后，就问他最近在普林斯顿大学有没有什么有意思的东西。莱夫谢茨说有一个人刚刚证明了四色猜想。伯克霍夫严重地不相信，说要是这是真的，就用手和膝盖，直接爬到普林斯顿大学的Fine Hall 去。Fine Hall 是普林斯顿大学的数学楼。
希尔伯特（Hilbert ）曾有一个学生， 给了他
费尔马（？ -1665），法国数学家、法学家
一篇论文来证明黎曼（Riemann ） 猜想，尽管其中有个无法挽回的错误， 希尔伯特还是被深深地吸引了。第二年，这个学生不知道怎么回事就死了， 希尔伯特要求在葬礼上做一个演说。那天，风雨瑟瑟，这个学生的家属们哀不自胜。希尔伯特开始致词，首先指出，这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀，众人同感，哭得越来越凶。接下来，希尔伯特说，尽管这个人的证明有错，但是如果按照这
闵可夫斯基(1864-1909), 德国数学家
条路走，应该有可能证明黎曼猜想，再接下来，希尔伯特继续热烈地冒雨讲道： “事实上，让我们考虑一个单变量的复函数„„”众人皆倒。
有一个人叫做沃尔夫凯勒（Paul Wolfskehl), 大学读过数学，痴狂地迷恋一个漂亮的女孩子，令他沮丧的是他无数次被拒绝，感到无所依靠，于是定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起的时候，告
没
别这个世界，再也不理会尘世间的事。沃尔夫凯勒在剩下的日子里依然努力地工作，当然不是数学，而是一些商业的东西，最后一天，他写了遗嘱，并且给他所有的朋友亲戚写了信。由于他的效率比较
没
高的缘故，在午夜之前，他就搞定了所有的事情，剩下的几个小时，他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书。很快，他被Kummer 的一篇解释哥西（Cauchy ）等前辈做费尔马大定理为什么不行的论文吸引住了。那是一篇伟大的论文，适合要自杀的数学家最后的时刻阅读。沃尔夫凯勒竟然发现了Kummer 的一个错，一直到黎明的时候，他做出了这个证明。他自己狂骄傲不止，于是一切皆成烟云„„，这样他重新立了遗嘱，把他财产的一大部分设为一个奖，奖给第一个证明费尔马大定理的人10 万马克„„，这就是沃尔夫凯勒奖的来历。
故事三：做数论的人
由于费尔马（Fermat ）大定理的名声，在纽约的地铁车站出现了乱涂在墙上的话：x
n
+y =z
n n
有解, 对此我已经发现了一种真正美妙的证明，可惜我现在没时间写出来，因我的火车正在开来。（费马大定理：n>2是整数，则方程x
n
+y =z
n n
有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由英国数学家怀尔斯证明了(1995年) ，证明的过程是相当艰深的！费尔马1637年在钻研了被誉为代数学的鼻祖丢番图的《算术》（共13卷）第二卷第八命题： “ x+y=z的一般解答是：
x=2mn,y=m-n ,z=m+n, 其中m,n(m>n)是任意正整数”，的旁边写道：“对于x +y=z, x+y=z，x +y=z(n>2) 都不可能有正整数解。我对此命题给了一个真正的非常美妙的证明，只是此处的空白太小了写不下。 ”）
n
n
n
3
3
3
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
3
千万别碰它：最折磨人的数学未解之谜
3x + 1 问题
从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以 2 ；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的 3 倍后再加 1 。序列是否最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, „ 的循环？
这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从 3x + 1 问题的各种别名看出来： 3x + 1 问题又叫 Collatz 猜想、 Syracuse 问题、 Kakutani 问题、 Hasse 算法、 Ulam 问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做 3x + 1 问题算了。
3x + 1 问题不是一般的困难。这里举一个例子来说明数列收敛有多么没规律。从 26 开始算起， 10 步就掉入了“421 陷阱”：
26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, „
但是，从 27 开始算起，数字会一路飙升到几千多，你很可能会一度认为它脱离了“421 陷阱”；但是，经过上百步运算后，它还是跌了回来： 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, „
排序问题加强版
有 n 个盒子，从左至右依次编号为 1, 2, „, n 。第 1 个盒子里放两个编号为 n 的小球，第 2 个盒子里放两个编号为 n - 1的小球，以此类推，第 n 个盒子里放两个编号为 1 的小球。每一次，你可以在相邻两个盒子中各取一个小球，交换它们的位置。为了把所有小球放进正确的盒子里，最少需要几次交换？
为了说明这个问题背后的陷阱，我们不妨先拿 n = 5 的情况做个例子。首先，如果每个盒子里只有一个球，问题就变成了经典的排序问题了：只能交换相邻元素，如何最快地把 5, 4, 3, 2, 1 变成 1, 2, 3, 4, 5 ？如果一个数列中前面的某个数反而比后面的某个数大，我们就说这两个数是一个“逆序对”。显然，初始情况下所有数对都是逆序对，n = 5 时逆序对共有 10 个。我们的目的就是要把这个数目减少到 0 。而交换两个相邻的数只能消除一个逆序对，因此 10 次交换是必需的。
不过，题目里面每个盒子里有两个球，那么是不是必须要交换 20 次才行呢？错！下面这种做法可以奇迹般地在 15 步之内完成排序：
4
55, 44, 33, 22, 11 54, 54, 33, 22, 11 54, 43, 53, 22, 11 54, 43, 32, 52, 11 54, 43, 32, 21, 51 54, 43, 21, 32, 51 54, 31, 42, 32, 51 41, 53, 42, 32, 51 41, 32, 54, 32, 51 41, 32, 42, 53, 51 41, 32, 42, 31, 55 41, 32, 21, 43, 55 41, 21, 32, 43, 55 11, 42, 32, 43, 55 11, 22, 43, 43, 55 11, 22, 33, 44, 55
第一次看上去似乎很不可思议，但细想一下还是能想明白的：同一个盒子里能够放两个数，确实多了很多新的可能。如果左边盒子里的某个数比右边某个盒子里的数大，我们就说这两个数构成一个逆序对；但如果两个不同的数在同一个盒子里，我们就把它们视作半个逆序对。现在让我们来看看，一次交换最多能消除多少个逆序对。假设某一步交换把 ab, cd 变成了 ac, bd ，最好的情况就是 bc 这个逆序对彻底消除了，同时 ac 、 bd 两个逆序对消除了一半， ab 、 cd 两个（已经消除了一半的）逆序对也消除了一半，因此一次交换最多可以消除 3 个逆序对。由于一开始每个盒子里的两个相同的数都会在中间的某个时刻分开来，最后又会合并在一起，因此我们可以把初始时两个相同的数也当作一个逆序对。这样的话，初始时每两个数都是逆序对， n 个盒子里将产生 C(2n, 2) 个逆序对。自然，我们至少需要 C(2n, 2) / 3 步才能完成排序。当 n = 5 时， C(2n, 2) / 3 = 15 ，这就说明了上面给出的 n = 5 的排序方案是最优的。 这个分析太巧妙了，实在是让人拍案叫绝。就只可惜，这个下界并不是总能达到的。当 n = 6 时，上述分析得出的下界是 22 步，但计算机穷举发现没有 23 步交换是不行的。于是，这个问题又变成了一个诱人的坑，至今仍未被填上。 196 问题
一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“回文数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个回文数为止。例如，所选的数是 67，两步就可以得到一个回文数 484： 67 + 76 = 143 143 + 341 = 484
把 69 变成一个回文数则需要四步： 69 + 96 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884
89 的“回文数之路”则特别长，要到第 24 步才会得到第一个回文数，[1**********]88。 大家或许会想，不断地“一正一反相加”，最后总能得到一个回文数，这当然不足为奇了。事实情况也确实是这样——对于几乎所有的数，按照规则不断加下去，迟早会出现回文数。不过，196 却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算
机算到了 3 亿多位数，都没有产生过一次回文数。从 196 出发，究竟能否加出回文数来？196 究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜。 Gilbreath 猜想
从小到大依次列出所有的质数：
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... 求出相邻两项之差：
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, ...
现在，再次求出所得序列中相邻两项之差，又会得到一个新的序列：
1, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, ...
重复对所得序列进行这样的操作，我们还可以依次得到
1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, ... 1, 2, 0, 0, 0, 0, 2, ... 1, 2, 0, 0, 0, 2, ... 1, 2, 0, 0, 2, ...
大家会发现一个有趣的规律：每行序列的第一个数都是 1。
某日，数学家 Norman L. Gilbreath 闲得无聊，在餐巾上不断对质数序列求差，于是发现了上面这个规律。Gilbreath 的两个学生对前 64419 行序列进行了检验，发现这个规律始终成立。1958 年，Gilbreath 在一个数学交流会上提出了他的发现，Gilbreath 猜想由此诞生。
这个规律如此之强，很少有人认为猜想不成立。1993 年，Andrew Odlyzko对 10 000 000 000 000 以内的质数（也就是 346 065 536 839 行）进行了检验，也没有发现反例。
不过，这一看似简单的问题，几十年来硬是没人解决。
驻。
不论我们前面是怎样的随机变量，不论未来有多大的方差，
相信波谷过了，波峰还会远吗？
你的生活就是我的定义域，你的思想就是我的对应法则，
你的微笑肯定，就是我存在于此的充要条件。 如果你的心是x 轴，那我就是个正弦函数，围你转动，有收有放。
如果我的心是x 轴，那你就是开口向上、Δ 为负的抛物线，永远都在我的心上。 我每天带给你的惊喜和希望，
就像一个无穷集合里的每个元素，虽然取之不尽，却又各不一样。
如果我们有一天身处地球的两侧，海角天涯， 那我一定顺着通过地心的大圆来到你的身边，哪怕是用爬。
如果有一天我们分居异面直线的两头，
那我一定穿越时空的阻隔，划条公垂线向你冲来，一刻也不愿逗留。
但如果有一天，我们不幸被上帝扔到数轴的两端，正负无穷，生死相断，
没有关系，只要求个倒数，我们就能心心相依，永远相伴。
情人是多么的神秘，却又如此的美妙， 就像数学，可以这么通俗，却又那般深奥。 只有把握真题的规律，考试的纲要， 才能叩启象牙的神塔，迎接情人的怀抱！
写在数学情人节
李委明
我们的心就是一个圆形， 因为它们的离心率永远为零。 我对你的思念就是一个循环小数， 一遍一遍，执迷不悟。
我们就是抛物线，你是焦点，我是准线， 你想我有多深，我念你便有多真。 零向量可以有很多方向，却只有一个长度， 就像我，可以有很多朋友，却只有一个你，值得我来守护。
生活，可以是甜的，也可以是苦的，但却不能没有你，枯燥平平，
就像分母，可以是正的，也可以是负的，却不能没有意义，取值为零。
有了你，我的世界才有无穷大，
因为任何实数，都无法表达，我对你深深的love 。 我对你的感情，就像以自然常数e 为底的指数函数，
不论经过多少求导的风雨，依然不改本色，真情永
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