比较二次根式大小的巧妙方法
二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。
一、移动因式法
此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。
例1：比较 解：
＞
∴
＞
的大小。
二、运用平方法
两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。
例2：比较 解：∵
∴
＜
＞0，
＞0 ，
与
的大小。
三、分母有理化法
此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。
例3：比较
与的大小。
解：
∴＞
四、分子有理化法
此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。
例4：比较
与的大小
解：∵
＞
∴＞
五、求差或求商法
求差法的基本思路是：设
＜0时，＜；当小。
求商法的基本思路是：设
为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①时，
；当
＞0时，＞”来比较与的大
为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当
同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大
于负数” 来比较与的大小。
例5：比较
的大小。
解：∵
＜
∴
例6：比较
＜
的大小。
解：∵＞1
∴
＞
六、求倒数法
先求两数的倒数，而后再进行比较。 例7：比较
的大小。
解：∵
＞
∴
七、运用媒介法
此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。
例8：已知的大小。 解：设
则
∵
＜
，∴
＜
，即
＜
，
，
，
，试比较
＜
八、设特定值法
如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。
例9：比较
解：设
＝1，
∵
＜1，∴
＞
＝
，则：
与
的大小。
九、局部缩放法
如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。
例10：比较 解：设
∵
∴＜，即
＜
，8＜
＜9，即8＜＜9
，7＜
＜8，即7＜＜8
，
的大小。
例11：比较
与的大小。
解：∵＞
∴
十、“结论”推理法
＞
通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞
例12：比较1与 解：∵ 由
＞
即 又∵ ∴
＞
，即1＞
＞
＞
＞
（
＞， 的大小。
＞（
＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。
＞0）可知：
总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。
附：“
＞
（
＞
＞0）”的证明。
证明：∵
，，
∴
【典题新练】： 1、比较 2、比较 3、比较
与与＞
＞
（
＞＞0）
的大小；
的大小；
与的大小；
4、比较
与的大小；
5、比较 6、比较 7、设 8、比较 9、比较 10、 比较
与
与的大小；
与的大小（其中为正整数）；
，，试比较它们的大小；
的大小；
与的大小；
与的大小；
11、比较 12、比较
的大小； 与
的大小；
13、比较 14、 比较
15、若为正整数，试比较 16、比较 17、比较
【典题新练参考答案】： 1
、提示：
，
与与
与的大小；
的大小；
的大小；
的大小；
的大小。
，∴＜
2、提示：平方后再进行比较。
，
∴
3、提示：可利用
＞
，即
＞
＞
（
＞
＞0）。
＞
，
4、提示：分母有理化后再进行比较。
，，＜，
∴＜
5、提示：分子有理化后再进行比较。
∵
＞，∴＜，
即
＜
6、提示：∵
其中为正整数， ∴ 故
7、提示：设 则：
，
， ＜
＞
，
∵
＜ ∴＜，∴＜
8、平方后再进行比较。
，
∴
＜
，∴
＜
＜5＜
，∴
＜
，又∵
＞
，∴
＞
9、提示：∵2＜＜3，7＜＜8，∴
10、提示：分子有理化后再进行比较。
因为
，
，而
＞
所以＜，故
11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。 ∵
＞
12、提示：∵
＜
，而7＜
，，∴
＜
＜
＜8，∴的整数部分为7
。同样可得
的整数部分为8，∴
13、提示：∵
＞
∴＞
14、提示：平方后再比较大小。
∵ ∴
15、提示：由偶次根式的定义得
∴
16、提示：由
＞16，∴
∴假设不成立，故
17
、提示：可在方格纸或坐标纸上作折线图。，示例如下图：。由图可知：
＞，即，，＞； ＜。 ＞4，这与＜＝4相矛盾， ，设＞，则＞4，两边平方得： ＞0，＜0，∴＞ ，∴＜2009，∴＜0， ＜ ，，
比较二次根式大小的巧妙方法
二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。
一、移动因式法
此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。
例1：比较 解：
＞
∴
＞
的大小。
二、运用平方法
两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。
例2：比较 解：∵
∴
＜
＞0，
＞0 ，
与
的大小。
三、分母有理化法
此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。
例3：比较
与的大小。
解：
∴＞
四、分子有理化法
此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。
例4：比较
与的大小
解：∵
＞
∴＞
五、求差或求商法
求差法的基本思路是：设
＜0时，＜；当小。
求商法的基本思路是：设
为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①时，
；当
＞0时，＞”来比较与的大
为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当
同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大
于负数” 来比较与的大小。
例5：比较
的大小。
解：∵
＜
∴
例6：比较
＜
的大小。
解：∵＞1
∴
＞
六、求倒数法
先求两数的倒数，而后再进行比较。 例7：比较
的大小。
解：∵
＞
∴
七、运用媒介法
此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。
例8：已知的大小。 解：设
则
∵
＜
，∴
＜
，即
＜
，
，
，
，试比较
＜
八、设特定值法
如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。
例9：比较
解：设
＝1，
∵
＜1，∴
＞
＝
，则：
与
的大小。
九、局部缩放法
如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。
例10：比较 解：设
∵
∴＜，即
＜
，8＜
＜9，即8＜＜9
，7＜
＜8，即7＜＜8
，
的大小。
例11：比较
与的大小。
解：∵＞
∴
十、“结论”推理法
＞
通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞
例12：比较1与 解：∵ 由
＞
即 又∵ ∴
＞
，即1＞
＞
＞
＞
（
＞， 的大小。
＞（
＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。
＞0）可知：
总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。
附：“
＞
（
＞
＞0）”的证明。
证明：∵
，，
∴
【典题新练】： 1、比较 2、比较 3、比较
与与＞
＞
（
＞＞0）
的大小；
的大小；
与的大小；
4、比较
与的大小；
5、比较 6、比较 7、设 8、比较 9、比较 10、 比较
与
与的大小；
与的大小（其中为正整数）；
，，试比较它们的大小；
的大小；
与的大小；
与的大小；
11、比较 12、比较
的大小； 与
的大小；
13、比较 14、 比较
15、若为正整数，试比较 16、比较 17、比较
【典题新练参考答案】： 1
、提示：
，
与与
与的大小；
的大小；
的大小；
的大小；
的大小。
，∴＜
2、提示：平方后再进行比较。
，
∴
3、提示：可利用
＞
，即
＞
＞
（
＞
＞0）。
＞
，
4、提示：分母有理化后再进行比较。
，，＜，
∴＜
5、提示：分子有理化后再进行比较。
∵
＞，∴＜，
即
＜
6、提示：∵
其中为正整数， ∴ 故
7、提示：设 则：
，
， ＜
＞
，
∵
＜ ∴＜，∴＜
8、平方后再进行比较。
，
∴
＜
，∴
＜
＜5＜
，∴
＜
，又∵
＞
，∴
＞
9、提示：∵2＜＜3，7＜＜8，∴
10、提示：分子有理化后再进行比较。
因为
，
，而
＞
所以＜，故
11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。 ∵
＞
12、提示：∵
＜
，而7＜
，，∴
＜
＜
＜8，∴的整数部分为7
。同样可得
的整数部分为8，∴
13、提示：∵
＞
∴＞
14、提示：平方后再比较大小。
∵ ∴
15、提示：由偶次根式的定义得
∴
16、提示：由
＞16，∴
∴假设不成立，故
17
、提示：可在方格纸或坐标纸上作折线图。，示例如下图：。由图可知：
＞，即，，＞； ＜。 ＞4，这与＜＝4相矛盾， ，设＞，则＞4，两边平方得： ＞0，＜0，∴＞ ，∴＜2009，∴＜0， ＜ ，，