第二章 参数估计
一、填空题
1、总体X 的分布函数为F (x ; θ) ，其中θ为未知参数，则对θ常用的点估计方法有 ， 。
2、设总体X 的概率密度为
⎧e -(x -θ) , x ≥θ
f (x ; θ) =⎨
0, x
而X 1, X 2, , X n 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为
_______
3、设X 1, X 2, X 3是来自总体X 的简单随机样本，且E (X ) =μ，记
μ1=
111111
X 1+X 2+X 3，μ2=X 1+X 2+X 3 [1**********]μ3=X 1+X 2， μ4=X 1+X 2+X 3
22444
则哪个是μ的有偏估计 ，哪个是μ的较有效估计 。
4、随机变量X 的分布函数F (x ; θ) 中未知参数θ的有效估计量和极大似然估计量的关系为 。
5、随机变量X 的分布函数F (x ; θ) 中未知参数θ的有效估计量和最优无偏估计量的关系为 。
6、称统计量T =T (X 1, X 2, , X n ) 为可估函数g (θ) 的（弱）一致估计量是指 。
7、判断对错：设总体X ~N (μ, σ2) ，且μ与σ2都未知，设X 1, X 2,..., X n 是来自
ˆ1、用极大似然法求得μ的该总体的一个样本，设用矩法求得μ的估计量为μˆ2，则μˆ1=μˆ2。 _________________ 估计量为μ
ˆ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是8、θn
ˆ) =θ, lim Var(θˆ) =0． 解：lim E (θn n
n →∞
n →∞
9、已知x 1, x 2, x 10是来自总体X 的简单随机样本，EX =μ。令
10
16
ˆ为总体均值μ的无偏估计。 ˆ=∑x i +A ∑x i ，则当A =时，μμ
8i =1i =7
10、 设总体X ~U (0, θ)，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为
0.5， 1.3， 0.6， 1.7， 2.2， 1.2， 0.8， 1.5， 2.0， 1.6
则参数θ的矩估计为 。
ˆ都是总体未知参数θ的估计，且θˆ比θˆ有效，则θˆ与θˆ的期望与11、 设θˆ1与θ21212方差满足_______ .
ˆ) =E (θˆ), D (θˆ)
ˆ2) >E (θˆ2) ，则其中的统计ˆ均是未知参数θ的无偏估计量，且E (θ12、设θˆ1和θ122
量 更有效。
13、在参数的区间估计(θ1, θ2) 中，当样本容量n 固定时，精度θ2-θ1提高时，置信度1-α 。
14、设X 1, X 2, , X n 是来自总体X ~N (μ, 1) 的样本，则μ的置信度为0.95的置信区间为 。
15、设X 1, X 2, , X n 是来自总体X ~N (μ, σ2) 的样本，其中σ2未知，则μ的置
信度为0.95的置信区间为 。
16、设X 1, X 2, , X n 是来自总体X ~N (μ, σ2) 的样本，其中μ未知，则σ2的置信度为0.95的置信区间为 。
17、设X 服从参数为λ的指数分布，X 1, X 2, , X n , (n >2) 是来自总体X 的样本，
为其样本均值，则2n λ服从
18、设总体服从正态分布N (μ, 1) ，且μ未知，设X 1, X 2,..., X n 为来自该总体的一
1n
个样本，记=∑X i ，则μ的置信水平为1-α的置信区间公式是
n i =1
___________________________________；若已知1-α=0. 95，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取多大_______。
18、为估计大学生近视眼所占的百分比，用重复抽样方式抽取200名同学进行调查，结果发现有68个同学是近视眼。则大学生近视眼所占的百分比的95%的置信区间为 。
19、设总体X 未知参数为λ，为样本均值,
N(0,1)，
则λ的一个双侧近似1-α置信区间为 。
20、设总体X ~U (θ, θ+1), X 1, X 2,..., X n 为样本，则θ的矩估计量为，极大似然估计量为 。
21、设总体X ~N (μ, σ2), X 1, X 2,..., X n 为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 。
ˆ=；22、设总体X 在区间[θ, θ+1]上服从均匀分布，则θ的矩估计θ
ˆ) =。 D (θ
23、设总体X ~N (μ, σ2) ，若μ和σ2均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为1-α的置信区间为(X -λ, X +λ) ，则λ的值为________；
24、在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。
二、简述题
1、描述矩估计法的原理。 2、描述极大似然估计法的原理。 3、极大似然估计法的一般步骤是什么？ 4、评价估计量好坏的标准有哪几个？ 5、什么是无偏估计？ 6、什么是较有效？ 7、什么叫有效估计量？
8、判断可估函数g (θ) 是有效估计量的充要条件是什么？ 9、什么是最优无偏估计量？
10、什么是一致最小方差无偏估计量？
11、有效估计量和最优无偏估计量的关系是什么？ 12、什么叫均方误差最小估计量？ 13、叙述一致估计量的概念。
14、试述评价一个置信区间好坏的标准。
15、描述区间估计中样本容量、精度、置信度的关系。
三、单选题
1、设总体未知参数θ的估计量θ满足E (θ) =θ, 则θ一定是θ的( )
A 极大似然估计 B 矩估计 C 无偏估计 D 有效估计
2、设总体未知参数θ的估计量θ满足E (θ) ≠θ, 则θ一定是θ的( )
A 极大似然估计 B 矩估计 C 有偏估计 D 有效估计
3、设X 1, X 2, , X n 为来自均值为μ的总体的简单随机样本，则X i (i =1, 2, , n ) （ ）
A ．是μ的有效估计量 B ．是μ的一致估计量 C ．是μ的无偏估计量 D ．不是μ的估计量
4、估计量的有效性是指( ) A. 估计量的抽样方差比较小 C. 估计量的置信区间比较宽
5、若置信水平保持不变，当增大样本容量时，置信区间（ ） A ．将变宽 B ．将变窄 C ．保持不变 D ．宽窄无法确定
6、一个95%的置信区间是指（ ） A ．总体参数有95%的概率落在这一区间内 B ．总体参数有5%的概率未落在这一区间内
C ．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数 D ．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数
7、置信度1-α表示区间估计的（ ） A ．精确性
8、抽取一个容量为100的随机样本，其均值为=81，标准差s =12。总体均值μ的99%的置信区间为（ ）其中：U 0. 995=2. 58。
B ．显著性 C ．可靠性
D ．准确性
B. 估计量的抽样方差比较大 D. 估计量的置信区间比较窄
A 81±1.97 B 81±2.35 C 81±3.09 D 81±3.52
四、计算题
1、设X 1, , X n 是来自总体X 的样本X 的密度函数为
⎧λe -λx , x >0
f (x ) =⎨, λ>0
⎩0, x ≤0
试求λ的极大似然估计量。
2、设总体X 服从参数为λ的泊松分布，求未知参数λ的矩估计量。
3、 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，求未知参数λ的有效估计量。
4、设总体X 的概率密度为
⎧e -(x -θ) , x ≥θ,
f (x ) =⎨
其它. ⎩0,
θ是未知参数, X 1, X 2, , X n 是来自X 的样本，求θ的矩估计量θ1 5、设X 1, X 2,..., X n 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为
⎧2x
⎪2, 0
其中 未知， ＞0。 f (x ) =⎨θ
⎪⎩0, else
∧
试求 的矩估计和极大似然估计。
6、设X 1, X 2,..., X n 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为
⎧6x
⎪(θ-x ), 0
其中θ 未知，θ>0 f (x ) =⎨θ3
⎪else ⎩0,
试求θ的矩估计θˆ。 7、设总体X 的概率密度为
⎧e -(x -θ) , x ≥θ,
f (x ) =⎨
⎩0, 其它.
θ是未知参数, X 1, X 2, , X n 是来自X 的样本，
（1）求θ的矩估计量θ1；（2）求θ的最大似然估计量θ2；（3）θ1和θ2是不是θ的无偏估计量（说明原因）？
8、设总体X ~N (μ, σ2) ，且μ与σ2都未知，设X 1, X 2, , X n 为来自总体的一个
1n 1n 2
样本，设=∑X i ，S =∑(X i -) 2。求μ与σ2的极大似然估计量
n i =1n i =1
∧
∧
∧
∧
9、设总体X 的概率分布为
其中θ(0
3
0，1，1，0，2，0，2，1，1，2
（1）求θ的矩估计值；（2）求θ的最大似然估计值。
10、设随机变量X 的分布函数为
⎧⎛α⎫β
⎪⎪, x >α， F (x , α, β) =⎨1- ⎝x ⎭⎪0，x ≤α，⎩
其中参数α>0, β>1. 设X 1, X 2, , X n 为来自总体X 的简单随机样本,
(1) 当α=1时, 求未知参数β的矩估计量; (2) 当α=1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (3) 当β=2时, 求未知参数α的最大似然估计量.
11、 设X 1, X 2, , X n (n >2) 为来自总体N (0,σ2) 的简单随机样本，为样本均值，记Y i =X i -, i =1, 2, , n .
求：（1） Y i 的方差D (Y i ), i =1,2, , n ； （2）Y 1与Y n 的协方差Cov (Y 1, Y n ).
（3）若c (Y 1+Y n ) 2是σ2的无偏估计量，求常数c.
12、设总体X 的概率密度为
0
⎪
f (x ; θ)=⎨1-θ,1≤x
⎪0, 其他, ⎩
其中θ是未知参数(0
（1） 求θ的矩估计；（2）求θ的最大似然估计
13、设总体X 的概率密度为
⎧1
0
⎪⎪1f (x ) =⎨, θ≤x
2(1-θ) ⎪
⎪0, 其他⎪⎩
X 1, X 2, , X n 为来自总体X 的简单随机样本，是样本均值.
（1）求参数θ的矩估计量θ；（2）判断42是否为θ2的无偏估计量，并说明理由.
解：（1）
E (X ) =⎰
+∞-∞
1x x 1θ
dx +⎰dx =+
θ2(1-θ) 2θ42，
xf (x , θ) dx =⎰
θ0
令=E (X ) ，代入上式得到θ的矩估计量为（2）
ˆ=2-θ
1
2．
111⎡1⎤4
E (42) =42=4[+() 2]=4⎢DX +(+θ) 2⎥=DX ++θ+θ
424⎣n ⎦n ，
2222D (X ) ≥0，θ>0 E (4) >θ因为，所以．故4不是θ的无偏估计量．
14、设总体X 服从[0, θ](θ>0) 上的均匀分布，X 1, X 2,..., X n 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为
1
, 0≤x ≤θ; ⎧f (x , θ) =⎨
其他, ⎩0,
似然函数为
1
⎧⎪θn , 0
其它⎪⎩0,
θ≥max {x 1, x 2, , x n }显然θ>0时，L (θ) 是单调减函数，而，所以
ˆ=max {X , X , , X }θ12n
15、 设总体X 的概率密度为
θ
⎧⎪(θ+1) x , 0
⎪其它⎩0, θ>-1.
是θ的极大似然估计．
X 1, X 2,..., X n 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.
L (x 1, , x n ; θ) =∏(θ+1) x i θ=(θ+1) n (x 1, , x n ) θ
i =1n n
解:似然函数为
l n L =n l n θ(++1θ) ∑
i =1
i
x l n
n
d ln L n
=+∑ln x i 0d θθ+1i =1
解似然方程得θ的极大似然估计为
=θ
11
ln x i ∑n i =1
n
-1
.
16、设总体的概率密度为
⎧θx θ-1, 0
f (x ; θ) =⎨
其它. ⎩0, (θ>0)
试用来自总体的样本X 1, X 2,..., X n ，求未知参数θ的矩估计和极大似然估计. 解：先求矩估计
μ1=E X =⎰θθx d =x
1
θθ+1
∴
θ=
μ1
=θ
1-μ1 故θ的矩估计为1-
再求极大似然估计
L (x 1, , x n ; θ) =∏θx i θ-1=θn (x 1 x n ) θ-1
i =1n
l n L =n l θn +θ(-
1) ∑
i =1
n
i
x l n
d ln L n n
=+∑ln x i 0d θθi =1
所以θ的极大似然估计为
=-θ
11n
∑ln x i n i =1
.
17、已知分子运动的速度X 具有概率密度
x 2) ⎧2-(, x >0, α>0, f (x ) =0, x ≤0. ⎩
X 1, X 2,..., X n 为X 的简单随机样本
（1）求未知参数α的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计。
解：（1）先求矩估计
μ1=EX =⎰
=2
+∞0
3
α
x
-() 2
α
dx
+∞0
x -() 2
+∞x
-() 2
+
⎰
xe
α
dx = =∴α
2
再求极大似然估计
L (X 1, , X n ; α) =i =1n
2
n
-2
-(
x i
) 2
n
2
-1
=α
-3n
π4(x 1 x n ) ⋅e
2
α∑x i 2
i =1
n
ln L =-3n ln α+ln(π
-
n 2
4) +ln(x 1 x n ) -
n
1
α
2
∑x
i =1
n
2i
αl n L n 32n 2
=-+3∑x i 0d αααi =1
=α
得α的极大似然估计
（2）对矩估计
=E α
2
=
=α2
所以矩估计
α=
是α的无偏估计.
18、假设0.50、1.25、0.80、2.00是来自总体X 的简单随机样本值. 已知Y =ln X 服从正态分布N (μ,1)
（1） 求X 的数学期望值E (X )（记E (X )为b ）； （2） 求μ的置信度为0.95的置信区间；
（3） 利用上述结果求b 的置信度为0.95的置信区间.
19、设X 1, X 2, , X n 是来自正态总体N (μ, σ2) 的样本, 方差σ2未知，总体均值μ
的置信度为1-α的置信区间的长度记为L ，求E (L 4) 。
20、某出租车公司欲了解从财大南校到火车站乘租车的时间，随机地抽查了9辆出租车，记录其从财大南校到火车站的时间，算得=20（分钟），修正样本
s =3。若假设此样本来自正态总体N (μ, σ2) ，其中μ与σ2均s 2的标准差~方差~
未知，试求σ的置信水平为0.95的置信下限。
2221、已知两个总体X 与Y 独立，X ~N (μ1, σ12) , Y ~N (μ2, σ2未) ，μ1, μ2, σ12, σ22知，X 1, X 2,..., X n 1和Y 1, Y 2,..., Y n 2分别是来自X 与Y 的样本，求σ12/σ2的置信度为
1-α的置信区间.
22
S , S 分别表示总体X ，Y 的样本方差，由抽样分布定理知 12解：设
P [F (n 1-1, n -
-α1
F
/2
(-n 11, -n ]-α12=1) ，
22
⎛⎫S 12/S 2σ12S 12/S 2P
所求
σ12
σ22
22
⎛⎫S 12/S 2S 12/S 2
, ⎪
F (n -1, n -1) F α/2(n 1-1, n 2-1) ⎭1-α1-α/212⎝的置信度为的置信区间为 ．
22、一批糖袋的重量（单位：千克）服从正态分布。现在从该批糖袋中随机抽取12袋，测得这12糖袋的平均重量为3. 057，方差为0.1291
求这批糖袋的平均重量μ的置信度为95%的置信区间，并计算估计的精度。 求这批糖袋的重量方差σ的置信度为95%的置信区间。
23、设总体X ~N (μ, σ2) （方差已知），问需抽取容量n 多大时，才能使得总体均值μ的置信度为1-α的置信区间的长度不大于L ？
2
五、证明题
1、设X 1, X 2, , X n 是从总体X 抽取的一个样本，X 的密度函数为
x
⎧1-
⎪e θ, x >0f (x ) =⎨θ
⎪0, x ≤0⎩
, θ>0
证明样本均值X 是未知参数θ的无偏、有效、一致估计量；
1n
2、设X 1, X 2, , X n 是总体为N (μ, σ) 的简单随机样本. 记=∑X i ，
n i =1
2
1~21n ~222
T =-S ，S =(X -) ∑i
n n -1i =1
（Ⅰ）证 T 是μ2的无偏估计量.
（Ⅱ）当μ=0, σ=1时 ，求D (T ) .
3、设从均值为μ，方差为σ2>0的总体中分别抽查容量为n 1, n 21和2分别是两样本的均值。试证明：
对于任意常数a , b (a +b =1), Y =a 1+b 2都是μ的无偏估计，并确定常数a , b 使
D (Y ) 达到最小。
4、设总体X 服从B (1, p ) 分布，X 1, X 2,..., X n 为总体的样本，证明是参数p 的一个UMVUE ． 证明：X 的分布律为
f (x ; p ) =p x (1-p ) 1-x , x =0,1． 容易验证f (x ; p ) 满足正则条件，于是
⎡∂⎤1
I (p ) =E ⎢ln f (x ; p ) ⎥=
p (1-p ) ⎣∂p ⎦．
2
另一方面
Var() =
1p (1-p ) 1Var(X ) ==n n nI (p ) ，
即得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故是p 的一个UMVUE ．
ˆ(X , X ,..., X ) 是θ的一个5、设X 1, X 2,..., X n 是来自总体F (x , θ) 的一个样本，θn 12n
2ˆ) =θ+k , D (θˆ) =σ2且lim k n =lim σn =0. 估计量，若E (θn n n n
n →∞
n →∞
ˆ是θ的相合（一致）估计量。 试证θn
证 由契贝晓夫不等式，对任意的ε>0有
n
D θ P (|θn -θ-k n ≥|ε≤) 2
ε
----
n →∞
于是
2
σn 0≤l i m P θ(n |-θ-k n ≥ε|≤) =m n →∞
ε
即 θn 依概率收敛于θ，故θn 是θ的相合估计。
第二章 参数估计
一、填空题
1、总体X 的分布函数为F (x ; θ) ，其中θ为未知参数，则对θ常用的点估计方法有 ， 。
2、设总体X 的概率密度为
⎧e -(x -θ) , x ≥θ
f (x ; θ) =⎨
0, x
而X 1, X 2, , X n 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为
_______
3、设X 1, X 2, X 3是来自总体X 的简单随机样本，且E (X ) =μ，记
μ1=
111111
X 1+X 2+X 3，μ2=X 1+X 2+X 3 [1**********]μ3=X 1+X 2， μ4=X 1+X 2+X 3
22444
则哪个是μ的有偏估计 ，哪个是μ的较有效估计 。
4、随机变量X 的分布函数F (x ; θ) 中未知参数θ的有效估计量和极大似然估计量的关系为 。
5、随机变量X 的分布函数F (x ; θ) 中未知参数θ的有效估计量和最优无偏估计量的关系为 。
6、称统计量T =T (X 1, X 2, , X n ) 为可估函数g (θ) 的（弱）一致估计量是指 。
7、判断对错：设总体X ~N (μ, σ2) ，且μ与σ2都未知，设X 1, X 2,..., X n 是来自
ˆ1、用极大似然法求得μ的该总体的一个样本，设用矩法求得μ的估计量为μˆ2，则μˆ1=μˆ2。 _________________ 估计量为μ
ˆ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是8、θn
ˆ) =θ, lim Var(θˆ) =0． 解：lim E (θn n
n →∞
n →∞
9、已知x 1, x 2, x 10是来自总体X 的简单随机样本，EX =μ。令
10
16
ˆ为总体均值μ的无偏估计。 ˆ=∑x i +A ∑x i ，则当A =时，μμ
8i =1i =7
10、 设总体X ~U (0, θ)，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为
0.5， 1.3， 0.6， 1.7， 2.2， 1.2， 0.8， 1.5， 2.0， 1.6
则参数θ的矩估计为 。
ˆ都是总体未知参数θ的估计，且θˆ比θˆ有效，则θˆ与θˆ的期望与11、 设θˆ1与θ21212方差满足_______ .
ˆ) =E (θˆ), D (θˆ)
ˆ2) >E (θˆ2) ，则其中的统计ˆ均是未知参数θ的无偏估计量，且E (θ12、设θˆ1和θ122
量 更有效。
13、在参数的区间估计(θ1, θ2) 中，当样本容量n 固定时，精度θ2-θ1提高时，置信度1-α 。
14、设X 1, X 2, , X n 是来自总体X ~N (μ, 1) 的样本，则μ的置信度为0.95的置信区间为 。
15、设X 1, X 2, , X n 是来自总体X ~N (μ, σ2) 的样本，其中σ2未知，则μ的置
信度为0.95的置信区间为 。
16、设X 1, X 2, , X n 是来自总体X ~N (μ, σ2) 的样本，其中μ未知，则σ2的置信度为0.95的置信区间为 。
17、设X 服从参数为λ的指数分布，X 1, X 2, , X n , (n >2) 是来自总体X 的样本，
为其样本均值，则2n λ服从
18、设总体服从正态分布N (μ, 1) ，且μ未知，设X 1, X 2,..., X n 为来自该总体的一
1n
个样本，记=∑X i ，则μ的置信水平为1-α的置信区间公式是
n i =1
___________________________________；若已知1-α=0. 95，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取多大_______。
18、为估计大学生近视眼所占的百分比，用重复抽样方式抽取200名同学进行调查，结果发现有68个同学是近视眼。则大学生近视眼所占的百分比的95%的置信区间为 。
19、设总体X 未知参数为λ，为样本均值,
N(0,1)，
则λ的一个双侧近似1-α置信区间为 。
20、设总体X ~U (θ, θ+1), X 1, X 2,..., X n 为样本，则θ的矩估计量为，极大似然估计量为 。
21、设总体X ~N (μ, σ2), X 1, X 2,..., X n 为样本，μ、σ2 未知，则σ2的置信度为1－α的置信区间为 。
ˆ=；22、设总体X 在区间[θ, θ+1]上服从均匀分布，则θ的矩估计θ
ˆ) =。 D (θ
23、设总体X ~N (μ, σ2) ，若μ和σ2均未知，n 为样本容量，总体均值μ的置信水平为1-α的置信区间为(X -λ, X +λ) ，则λ的值为________；
24、在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。
二、简述题
1、描述矩估计法的原理。 2、描述极大似然估计法的原理。 3、极大似然估计法的一般步骤是什么？ 4、评价估计量好坏的标准有哪几个？ 5、什么是无偏估计？ 6、什么是较有效？ 7、什么叫有效估计量？
8、判断可估函数g (θ) 是有效估计量的充要条件是什么？ 9、什么是最优无偏估计量？
10、什么是一致最小方差无偏估计量？
11、有效估计量和最优无偏估计量的关系是什么？ 12、什么叫均方误差最小估计量？ 13、叙述一致估计量的概念。
14、试述评价一个置信区间好坏的标准。
15、描述区间估计中样本容量、精度、置信度的关系。
三、单选题
1、设总体未知参数θ的估计量θ满足E (θ) =θ, 则θ一定是θ的( )
A 极大似然估计 B 矩估计 C 无偏估计 D 有效估计
2、设总体未知参数θ的估计量θ满足E (θ) ≠θ, 则θ一定是θ的( )
A 极大似然估计 B 矩估计 C 有偏估计 D 有效估计
3、设X 1, X 2, , X n 为来自均值为μ的总体的简单随机样本，则X i (i =1, 2, , n ) （ ）
A ．是μ的有效估计量 B ．是μ的一致估计量 C ．是μ的无偏估计量 D ．不是μ的估计量
4、估计量的有效性是指( ) A. 估计量的抽样方差比较小 C. 估计量的置信区间比较宽
5、若置信水平保持不变，当增大样本容量时，置信区间（ ） A ．将变宽 B ．将变窄 C ．保持不变 D ．宽窄无法确定
6、一个95%的置信区间是指（ ） A ．总体参数有95%的概率落在这一区间内 B ．总体参数有5%的概率未落在这一区间内
C ．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数 D ．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数
7、置信度1-α表示区间估计的（ ） A ．精确性
8、抽取一个容量为100的随机样本，其均值为=81，标准差s =12。总体均值μ的99%的置信区间为（ ）其中：U 0. 995=2. 58。
B ．显著性 C ．可靠性
D ．准确性
B. 估计量的抽样方差比较大 D. 估计量的置信区间比较窄
A 81±1.97 B 81±2.35 C 81±3.09 D 81±3.52
四、计算题
1、设X 1, , X n 是来自总体X 的样本X 的密度函数为
⎧λe -λx , x >0
f (x ) =⎨, λ>0
⎩0, x ≤0
试求λ的极大似然估计量。
2、设总体X 服从参数为λ的泊松分布，求未知参数λ的矩估计量。
3、 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，求未知参数λ的有效估计量。
4、设总体X 的概率密度为
⎧e -(x -θ) , x ≥θ,
f (x ) =⎨
其它. ⎩0,
θ是未知参数, X 1, X 2, , X n 是来自X 的样本，求θ的矩估计量θ1 5、设X 1, X 2,..., X n 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为
⎧2x
⎪2, 0
其中 未知， ＞0。 f (x ) =⎨θ
⎪⎩0, else
∧
试求 的矩估计和极大似然估计。
6、设X 1, X 2,..., X n 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为
⎧6x
⎪(θ-x ), 0
其中θ 未知，θ>0 f (x ) =⎨θ3
⎪else ⎩0,
试求θ的矩估计θˆ。 7、设总体X 的概率密度为
⎧e -(x -θ) , x ≥θ,
f (x ) =⎨
⎩0, 其它.
θ是未知参数, X 1, X 2, , X n 是来自X 的样本，
（1）求θ的矩估计量θ1；（2）求θ的最大似然估计量θ2；（3）θ1和θ2是不是θ的无偏估计量（说明原因）？
8、设总体X ~N (μ, σ2) ，且μ与σ2都未知，设X 1, X 2, , X n 为来自总体的一个
1n 1n 2
样本，设=∑X i ，S =∑(X i -) 2。求μ与σ2的极大似然估计量
n i =1n i =1
∧
∧
∧
∧
9、设总体X 的概率分布为
其中θ(0
3
0，1，1，0，2，0，2，1，1，2
（1）求θ的矩估计值；（2）求θ的最大似然估计值。
10、设随机变量X 的分布函数为
⎧⎛α⎫β
⎪⎪, x >α， F (x , α, β) =⎨1- ⎝x ⎭⎪0，x ≤α，⎩
其中参数α>0, β>1. 设X 1, X 2, , X n 为来自总体X 的简单随机样本,
(1) 当α=1时, 求未知参数β的矩估计量; (2) 当α=1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (3) 当β=2时, 求未知参数α的最大似然估计量.
11、 设X 1, X 2, , X n (n >2) 为来自总体N (0,σ2) 的简单随机样本，为样本均值，记Y i =X i -, i =1, 2, , n .
求：（1） Y i 的方差D (Y i ), i =1,2, , n ； （2）Y 1与Y n 的协方差Cov (Y 1, Y n ).
（3）若c (Y 1+Y n ) 2是σ2的无偏估计量，求常数c.
12、设总体X 的概率密度为
0
⎪
f (x ; θ)=⎨1-θ,1≤x
⎪0, 其他, ⎩
其中θ是未知参数(0
（1） 求θ的矩估计；（2）求θ的最大似然估计
13、设总体X 的概率密度为
⎧1
0
⎪⎪1f (x ) =⎨, θ≤x
2(1-θ) ⎪
⎪0, 其他⎪⎩
X 1, X 2, , X n 为来自总体X 的简单随机样本，是样本均值.
（1）求参数θ的矩估计量θ；（2）判断42是否为θ2的无偏估计量，并说明理由.
解：（1）
E (X ) =⎰
+∞-∞
1x x 1θ
dx +⎰dx =+
θ2(1-θ) 2θ42，
xf (x , θ) dx =⎰
θ0
令=E (X ) ，代入上式得到θ的矩估计量为（2）
ˆ=2-θ
1
2．
111⎡1⎤4
E (42) =42=4[+() 2]=4⎢DX +(+θ) 2⎥=DX ++θ+θ
424⎣n ⎦n ，
2222D (X ) ≥0，θ>0 E (4) >θ因为，所以．故4不是θ的无偏估计量．
14、设总体X 服从[0, θ](θ>0) 上的均匀分布，X 1, X 2,..., X n 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计． 解：X 的密度函数为
1
, 0≤x ≤θ; ⎧f (x , θ) =⎨
其他, ⎩0,
似然函数为
1
⎧⎪θn , 0
其它⎪⎩0,
θ≥max {x 1, x 2, , x n }显然θ>0时，L (θ) 是单调减函数，而，所以
ˆ=max {X , X , , X }θ12n
15、 设总体X 的概率密度为
θ
⎧⎪(θ+1) x , 0
⎪其它⎩0, θ>-1.
是θ的极大似然估计．
X 1, X 2,..., X n 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.
L (x 1, , x n ; θ) =∏(θ+1) x i θ=(θ+1) n (x 1, , x n ) θ
i =1n n
解:似然函数为
l n L =n l n θ(++1θ) ∑
i =1
i
x l n
n
d ln L n
=+∑ln x i 0d θθ+1i =1
解似然方程得θ的极大似然估计为
=θ
11
ln x i ∑n i =1
n
-1
.
16、设总体的概率密度为
⎧θx θ-1, 0
f (x ; θ) =⎨
其它. ⎩0, (θ>0)
试用来自总体的样本X 1, X 2,..., X n ，求未知参数θ的矩估计和极大似然估计. 解：先求矩估计
μ1=E X =⎰θθx d =x
1
θθ+1
∴
θ=
μ1
=θ
1-μ1 故θ的矩估计为1-
再求极大似然估计
L (x 1, , x n ; θ) =∏θx i θ-1=θn (x 1 x n ) θ-1
i =1n
l n L =n l θn +θ(-
1) ∑
i =1
n
i
x l n
d ln L n n
=+∑ln x i 0d θθi =1
所以θ的极大似然估计为
=-θ
11n
∑ln x i n i =1
.
17、已知分子运动的速度X 具有概率密度
x 2) ⎧2-(, x >0, α>0, f (x ) =0, x ≤0. ⎩
X 1, X 2,..., X n 为X 的简单随机样本
（1）求未知参数α的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计。
解：（1）先求矩估计
μ1=EX =⎰
=2
+∞0
3
α
x
-() 2
α
dx
+∞0
x -() 2
+∞x
-() 2
+
⎰
xe
α
dx = =∴α
2
再求极大似然估计
L (X 1, , X n ; α) =i =1n
2
n
-2
-(
x i
) 2
n
2
-1
=α
-3n
π4(x 1 x n ) ⋅e
2
α∑x i 2
i =1
n
ln L =-3n ln α+ln(π
-
n 2
4) +ln(x 1 x n ) -
n
1
α
2
∑x
i =1
n
2i
αl n L n 32n 2
=-+3∑x i 0d αααi =1
=α
得α的极大似然估计
（2）对矩估计
=E α
2
=
=α2
所以矩估计
α=
是α的无偏估计.
18、假设0.50、1.25、0.80、2.00是来自总体X 的简单随机样本值. 已知Y =ln X 服从正态分布N (μ,1)
（1） 求X 的数学期望值E (X )（记E (X )为b ）； （2） 求μ的置信度为0.95的置信区间；
（3） 利用上述结果求b 的置信度为0.95的置信区间.
19、设X 1, X 2, , X n 是来自正态总体N (μ, σ2) 的样本, 方差σ2未知，总体均值μ
的置信度为1-α的置信区间的长度记为L ，求E (L 4) 。
20、某出租车公司欲了解从财大南校到火车站乘租车的时间，随机地抽查了9辆出租车，记录其从财大南校到火车站的时间，算得=20（分钟），修正样本
s =3。若假设此样本来自正态总体N (μ, σ2) ，其中μ与σ2均s 2的标准差~方差~
未知，试求σ的置信水平为0.95的置信下限。
2221、已知两个总体X 与Y 独立，X ~N (μ1, σ12) , Y ~N (μ2, σ2未) ，μ1, μ2, σ12, σ22知，X 1, X 2,..., X n 1和Y 1, Y 2,..., Y n 2分别是来自X 与Y 的样本，求σ12/σ2的置信度为
1-α的置信区间.
22
S , S 分别表示总体X ，Y 的样本方差，由抽样分布定理知 12解：设
P [F (n 1-1, n -
-α1
F
/2
(-n 11, -n ]-α12=1) ，
22
⎛⎫S 12/S 2σ12S 12/S 2P
所求
σ12
σ22
22
⎛⎫S 12/S 2S 12/S 2
, ⎪
F (n -1, n -1) F α/2(n 1-1, n 2-1) ⎭1-α1-α/212⎝的置信度为的置信区间为 ．
22、一批糖袋的重量（单位：千克）服从正态分布。现在从该批糖袋中随机抽取12袋，测得这12糖袋的平均重量为3. 057，方差为0.1291
求这批糖袋的平均重量μ的置信度为95%的置信区间，并计算估计的精度。 求这批糖袋的重量方差σ的置信度为95%的置信区间。
23、设总体X ~N (μ, σ2) （方差已知），问需抽取容量n 多大时，才能使得总体均值μ的置信度为1-α的置信区间的长度不大于L ？
2
五、证明题
1、设X 1, X 2, , X n 是从总体X 抽取的一个样本，X 的密度函数为
x
⎧1-
⎪e θ, x >0f (x ) =⎨θ
⎪0, x ≤0⎩
, θ>0
证明样本均值X 是未知参数θ的无偏、有效、一致估计量；
1n
2、设X 1, X 2, , X n 是总体为N (μ, σ) 的简单随机样本. 记=∑X i ，
n i =1
2
1~21n ~222
T =-S ，S =(X -) ∑i
n n -1i =1
（Ⅰ）证 T 是μ2的无偏估计量.
（Ⅱ）当μ=0, σ=1时 ，求D (T ) .
3、设从均值为μ，方差为σ2>0的总体中分别抽查容量为n 1, n 21和2分别是两样本的均值。试证明：
对于任意常数a , b (a +b =1), Y =a 1+b 2都是μ的无偏估计，并确定常数a , b 使
D (Y ) 达到最小。
4、设总体X 服从B (1, p ) 分布，X 1, X 2,..., X n 为总体的样本，证明是参数p 的一个UMVUE ． 证明：X 的分布律为
f (x ; p ) =p x (1-p ) 1-x , x =0,1． 容易验证f (x ; p ) 满足正则条件，于是
⎡∂⎤1
I (p ) =E ⎢ln f (x ; p ) ⎥=
p (1-p ) ⎣∂p ⎦．
2
另一方面
Var() =
1p (1-p ) 1Var(X ) ==n n nI (p ) ，
即得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故是p 的一个UMVUE ．
ˆ(X , X ,..., X ) 是θ的一个5、设X 1, X 2,..., X n 是来自总体F (x , θ) 的一个样本，θn 12n
2ˆ) =θ+k , D (θˆ) =σ2且lim k n =lim σn =0. 估计量，若E (θn n n n
n →∞
n →∞
ˆ是θ的相合（一致）估计量。 试证θn
证 由契贝晓夫不等式，对任意的ε>0有
n
D θ P (|θn -θ-k n ≥|ε≤) 2
ε
----
n →∞
于是
2
σn 0≤l i m P θ(n |-θ-k n ≥ε|≤) =m n →∞
ε
即 θn 依概率收敛于θ，故θn 是θ的相合估计。