Vol 111,No 13 高等数学研究May ,2008STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS
11
关于矩阵秩(不) 等式的分块矩阵构造证明
王廷明 (青岛大学师范学院数学系 山东青岛 266071)
摘
要 利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法, () .
3
关键词 矩阵的秩; 分块矩阵; (不) 等式; 广义初等变换(不) 等式是矩阵秩问题讨论的一个重要方面[1]-[3]. () , 通过分块() .
在本文中, I n 表示n 阶单位矩阵, r (M ) 表示矩阵M 的秩. 首先, 关于分块矩阵的秩, .
定理1 分块矩阵的下列结论成立:
(1) 设A i ∈F m i ×n i , i =1, 2, …, t. 则
t
max {r (A 1) , r (A 2) , …, r (A t ) }Φr (A 1, A 2, …, A t ) Φ
(2) 设A i ∈F m i ×n i , i =1, 2, …, t , t Ε2. 则
A 1r
A 2
i =1
∑r (A )
i
t
ω
A t
=
i =1
∑r (A )
i
定理2 设A i ∈F m i ×n i , i =1, 2, …, t , t Ε2. 则
A 1
t
3
A 2
t
i =1
∑r (A )
i
Φ0
ω
A t
Φr (A i ) +
j =1
j ≠i
m ∑
j
i =1, 2, …, 证明 对t 用数学归纳法证明左侧不等式.
当t =2时, 令r (A 1) =r 1, 则存在可逆矩阵P , Q , 使
PA 1Q =
I r 1 0
0 0
I r 1 0=
故
P 0
A 1 B
Q 0
=
PA 1Q PB
0 I m
0 A 2
0 I n 0 A 2
0 0
PB
0 A 3收稿日期:2003-12-01
12高等数学研究 2008年5月
令PB =
B 1B 2
, 其中B 1, B 2分别为r 1×n 2阶和(m 1-r 1) ×n 2阶矩阵. 从而
I r 1 0
B 1B 2
I r 1 0
0 0
→
0 0
B 2
0 A 2
故
A 1 B
I r 1 0= 0 A 2
0 A 2
00 B 202
=r 1+
r
0 2A A
1(A 2)
归纳假设结论对1r
A 2
3ω
Εr
A t
A 13ω
+r (A t ) ΕA t-1
t
i =1
∑r (A )
i
从而左侧不等式成立.
对右侧不等式, 由
A 1
A 2
I m 1
3ω
=A k
A 13
ω
I n i
ω
A i
ω
I m ω
A t
故
A 1A 2
3ω
ΦA k
I m 1
ω
A i
=r (A i ) +
t
ω
I m j =1
j ≠i
m ∑
j
, i =1, 2, …t
从而结论成立.
A 1
t
A 2
对形如
i =1
∑
r (A i ) Ερr (B j ) 的矩阵秩的不等式, 可以构造分块矩阵M =
J =1
S
ω
A k
,
第11卷第3期 王廷明:关于矩阵秩(不) 等式的分块矩阵构造证明13
B 13
B 2
对M 进行广义初等变换, 化为
ω
B s B 1
, 则由定理2可得
3
B 2
s
i =1
ρr (A i ) =r (M ) =r
t
ω
B j =1
)
j
例1 设矩阵A n , s , Frobenius 不等式:
r (AB C ) Εr (AB ) +r (B C ) -r (B
)
(1)
B
证明 显然(1) 等价于r (B
) +r (AB C ) Εr (AB ) +r (B C ) , 故令M =广义初等变换:
B
AB 0
B
. 对M 进行
AB 0
→
B AB
A B →
B AB
-B C
B AB
→
B C
0AB
故
r (B ) +r (AB C ) =r (M ) =r
B C
Εr (AB ) +r (B C )
移项可得(1) 成立.
例2 设A m ×n . 则
) -r (I n -A ′r (I m -A A ′A ) =m -n
) +n =r (I
n -A ′证明 由于
(2) 等价于r (I m -A A ′A ) +m , 故令M =M 进行广义初等变换:
M =
I m -A A ′0
I m -AA ′0
(2) . 对
0I n
0I n
→
I m -A A ′A
0I n
→
I m A
A ′I n
→
I m o
A ′I n -A ′A
→
I m o I n -A ′A
故
r (M ) =r
I m -A A ′0
0I n
) +n ==r (I m -A A ′
I m o I n -A ′A
) +m =r (I n -A A ′
移项可得(2) 成立.
对某些矩阵秩的不等式, 也可以先将上述矩阵M 通过广义初等变换化为矩阵G , 再构造分块矩阵K 进行过渡, 并对KG 进行广义初等变换, 即
14高等数学研究 2008年5月
B 1
KG →
B 2
3ω
B 1
t
B s
3
B 2
s
则
i =
1
∑r (A )
i
=r
(M ) =r (G ) Εr (
KG ) =ω
B s
Ε
1
(j
n ×n
例3 设A 、B ∈F , 且A 、B . ) r (B ) -r (A +B ) (3)
B B I n -AB
证明() r A +(B ) Εr (AB ) +r (A +B ) , 故由
M =
A
B
00
→
A B B B B
→
A +B B A +B
及AB =BA , 则
I n B
A +B B B B
-(A +B )
A +B B
=
I n -AB
故
r (A ) +r (B ) =r (M ) =ΕA +B
Εr (AB ) +r (A +B )
移项可得(3) 成立.
另外, 还可以通过构造分块矩阵与矩阵秩的基本性质相结合的方法对矩阵秩的某些(不) 等式进行证明.
例4 设A , B , C ∈F n ×n 且r (C ) =n , A (BA +C ) =0. 则
r (BA +C ) =n -r (A )
BA +C
(4)
C -A
B A A
证明 由A (BA +C ) =0及矩阵秩的基本性质得r (A ) +r (BA +C ) Φn. 又由r (C ) =n 及
→
BA +C B A A
C -A
→
故
r (BA +C ) +r (A ) =r
BA +C
A
=r
B A A
Εr (C ) =n
从而等式(4) 成立.
参考文献
[1]王松桂, 贾忠贞. 矩阵论中不等式[M ].安徽:安徽教育出版社. 1994,56-66. [2]倪国熙. 常用的矩阵理论和方法[M ].上海:上海科学技术出版社. 1984. [3]罗雪梅等. 浅析矩阵的秩[J].高等数学研究. 2003,6(2) ,33-35.
Vol 111,No 13 高等数学研究May ,2008STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS
11
关于矩阵秩(不) 等式的分块矩阵构造证明
王廷明 (青岛大学师范学院数学系 山东青岛 266071)
摘
要 利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法, () .
3
关键词 矩阵的秩; 分块矩阵; (不) 等式; 广义初等变换(不) 等式是矩阵秩问题讨论的一个重要方面[1]-[3]. () , 通过分块() .
在本文中, I n 表示n 阶单位矩阵, r (M ) 表示矩阵M 的秩. 首先, 关于分块矩阵的秩, .
定理1 分块矩阵的下列结论成立:
(1) 设A i ∈F m i ×n i , i =1, 2, …, t. 则
t
max {r (A 1) , r (A 2) , …, r (A t ) }Φr (A 1, A 2, …, A t ) Φ
(2) 设A i ∈F m i ×n i , i =1, 2, …, t , t Ε2. 则
A 1r
A 2
i =1
∑r (A )
i
t
ω
A t
=
i =1
∑r (A )
i
定理2 设A i ∈F m i ×n i , i =1, 2, …, t , t Ε2. 则
A 1
t
3
A 2
t
i =1
∑r (A )
i
Φ0
ω
A t
Φr (A i ) +
j =1
j ≠i
m ∑
j
i =1, 2, …, 证明 对t 用数学归纳法证明左侧不等式.
当t =2时, 令r (A 1) =r 1, 则存在可逆矩阵P , Q , 使
PA 1Q =
I r 1 0
0 0
I r 1 0=
故
P 0
A 1 B
Q 0
=
PA 1Q PB
0 I m
0 A 2
0 I n 0 A 2
0 0
PB
0 A 3收稿日期:2003-12-01
12高等数学研究 2008年5月
令PB =
B 1B 2
, 其中B 1, B 2分别为r 1×n 2阶和(m 1-r 1) ×n 2阶矩阵. 从而
I r 1 0
B 1B 2
I r 1 0
0 0
→
0 0
B 2
0 A 2
故
A 1 B
I r 1 0= 0 A 2
0 A 2
00 B 202
=r 1+
r
0 2A A
1(A 2)
归纳假设结论对1r
A 2
3ω
Εr
A t
A 13ω
+r (A t ) ΕA t-1
t
i =1
∑r (A )
i
从而左侧不等式成立.
对右侧不等式, 由
A 1
A 2
I m 1
3ω
=A k
A 13
ω
I n i
ω
A i
ω
I m ω
A t
故
A 1A 2
3ω
ΦA k
I m 1
ω
A i
=r (A i ) +
t
ω
I m j =1
j ≠i
m ∑
j
, i =1, 2, …t
从而结论成立.
A 1
t
A 2
对形如
i =1
∑
r (A i ) Ερr (B j ) 的矩阵秩的不等式, 可以构造分块矩阵M =
J =1
S
ω
A k
,
第11卷第3期 王廷明:关于矩阵秩(不) 等式的分块矩阵构造证明13
B 13
B 2
对M 进行广义初等变换, 化为
ω
B s B 1
, 则由定理2可得
3
B 2
s
i =1
ρr (A i ) =r (M ) =r
t
ω
B j =1
)
j
例1 设矩阵A n , s , Frobenius 不等式:
r (AB C ) Εr (AB ) +r (B C ) -r (B
)
(1)
B
证明 显然(1) 等价于r (B
) +r (AB C ) Εr (AB ) +r (B C ) , 故令M =广义初等变换:
B
AB 0
B
. 对M 进行
AB 0
→
B AB
A B →
B AB
-B C
B AB
→
B C
0AB
故
r (B ) +r (AB C ) =r (M ) =r
B C
Εr (AB ) +r (B C )
移项可得(1) 成立.
例2 设A m ×n . 则
) -r (I n -A ′r (I m -A A ′A ) =m -n
) +n =r (I
n -A ′证明 由于
(2) 等价于r (I m -A A ′A ) +m , 故令M =M 进行广义初等变换:
M =
I m -A A ′0
I m -AA ′0
(2) . 对
0I n
0I n
→
I m -A A ′A
0I n
→
I m A
A ′I n
→
I m o
A ′I n -A ′A
→
I m o I n -A ′A
故
r (M ) =r
I m -A A ′0
0I n
) +n ==r (I m -A A ′
I m o I n -A ′A
) +m =r (I n -A A ′
移项可得(2) 成立.
对某些矩阵秩的不等式, 也可以先将上述矩阵M 通过广义初等变换化为矩阵G , 再构造分块矩阵K 进行过渡, 并对KG 进行广义初等变换, 即
14高等数学研究 2008年5月
B 1
KG →
B 2
3ω
B 1
t
B s
3
B 2
s
则
i =
1
∑r (A )
i
=r
(M ) =r (G ) Εr (
KG ) =ω
B s
Ε
1
(j
n ×n
例3 设A 、B ∈F , 且A 、B . ) r (B ) -r (A +B ) (3)
B B I n -AB
证明() r A +(B ) Εr (AB ) +r (A +B ) , 故由
M =
A
B
00
→
A B B B B
→
A +B B A +B
及AB =BA , 则
I n B
A +B B B B
-(A +B )
A +B B
=
I n -AB
故
r (A ) +r (B ) =r (M ) =ΕA +B
Εr (AB ) +r (A +B )
移项可得(3) 成立.
另外, 还可以通过构造分块矩阵与矩阵秩的基本性质相结合的方法对矩阵秩的某些(不) 等式进行证明.
例4 设A , B , C ∈F n ×n 且r (C ) =n , A (BA +C ) =0. 则
r (BA +C ) =n -r (A )
BA +C
(4)
C -A
B A A
证明 由A (BA +C ) =0及矩阵秩的基本性质得r (A ) +r (BA +C ) Φn. 又由r (C ) =n 及
→
BA +C B A A
C -A
→
故
r (BA +C ) +r (A ) =r
BA +C
A
=r
B A A
Εr (C ) =n
从而等式(4) 成立.
参考文献
[1]王松桂, 贾忠贞. 矩阵论中不等式[M ].安徽:安徽教育出版社. 1994,56-66. [2]倪国熙. 常用的矩阵理论和方法[M ].上海:上海科学技术出版社. 1984. [3]罗雪梅等. 浅析矩阵的秩[J].高等数学研究. 2003,6(2) ,33-35.