圆的相关定理及其几何证明(含答案)

圆的相关定理及其几何证明

典题探究

例1：如图，圆O是ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D

.若

CD，ABAC2，则线段AD的长是；圆O的半径是.

例2：如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A,O之间），EF^BC,垂足为F．若AB=6，CF?CB5，则AE=

AC交PO于B，例3：如图已知PA与圆O相切于A，半径OCOP，若OC1,OP2，

则PA，PB．

CO

BA

P

例4：如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知BPA30，BC11，PB1, 则PA,圆O的半径等于

A P

演练方阵

A档（巩固专练）

1．如图，已知直线PD切⊙O于点D，直线PO交⊙O于点E,F.

若PF2PD1，则⊙O的半径为；EFD.

F

2. 如图，AP与O切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于点C. 若ACB90，BC3,CP4，则弦DB

的长为_______. C

P

3.如图：圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PA＝AC＝是( )

1

AB，则以下结论不正确的．．．2

P

A.CBCP B. PCACPABC C. PC是圆O的切线 D.BCBABP

4．如图，已知AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PC切圆O于点C，CDOP于D．若CD6，CP10，则圆O的半径长为______；BP______．

5．如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E.则

BE

. BC

6．如图，直线AM与圆相切于点M, ABC与ADE是圆的两条割线，且BD⊥AD，连接MD、 EC。则下面结论中，错误的结论是( ) ．．

A．∠ECA = 90o

B．∠CEM=∠DMA+∠DBA C．AM2 = AD·AE D．AD·DE = AB·BC

7．如图，AB切圆O于点A,AC为圆O的直径，BC交圆O于点D，E为CD的中点，且BD5,AC6,则CD__________；AE__________.

B

C

A

nCOP，8．如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC4,PB8，则ta

△OBC的面积是

9．如图，AB为⊙O的直径,AC切⊙O于点A,且过点C的割线,CMN交AB的延长线于点D,若CMMNND

,ACCM，AD

D

O

M

CA

10．如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E.若

BCD110，则DBE( )

A. 75B. 70C. 60D. 55

B档（提升精练）

1．如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为______

2．如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且

DFCF2,AF2BF,若CE与圆相切,且CE

7

,则BE 2

3．如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，ADPD．若PC4，PB2，则CD______.

4．如图，AB是⊙O的直径，直线DE切⊙O于点D，

且与AB延长线交于点C，若CD

CB1，则ADE=

5．如图，AC为⊙O的直径，OBAC，

弦BN交AC于点M．若OC，OM1，则MN_______

6．如图，PA是圆O的切线，切点为A，

PO交圆O于B,C两点，PAPB1，则

B

C

MA

ABC=( )

A70B60 C45D30

7．如图所示，Rt△ABC内接于圆，ABC60，PA是圆的切线，A为切点， PB交AC于E，交圆于

D．若PA=AE，PD

BD=AP=，AC=



A

PDE

B

C

8. 如图，以ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EF^AB于点F，AF=3BF，BE=2EC=2，那么ÐCDE=，CD=. C

D E

AB

F

9．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，CE与圆相切交AB延长线上于点E，

若DFCFAF:FB:BE4:2:1，则线段CE的长为

10.如图，直线PC与O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，

PC4，PB8，则CE

C档（跨越导练）

1.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于



点D．若PAPE，ABC60，PD1，PB9，则PA_____；EC_____

2.如图，O的直径AB与弦CD交于点P，CP=______

7

, PD=5, AP=1，则ÐDCB＝5

B

3.如图，AB是圆O的直径，CDAB于D，且AD2BD，E为AD的中点，连接CE

并延长交圆O于F

．若CDAB_______，EF_________

4.如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，AP交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______

P

AB

5.AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DC=22， BC2，则sin

DCA

6. 如图，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为22，AB3，则切线AD

的长为

A

7.如图，BC是半径为2的圆O的直径，点P在BC的延长线上，PA是圆O的切线，点A

在直径BC上的射影是OC的中点，则ABP=；PBPC

8. 如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线

PBC，已知PAPC4，圆 心O到

BCO的半径为_____

9.如图，AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PD切圆O于点C.已知圆

OB

OP2，则PC______；ACD的大小为______

10.如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B， D是CE与⊙O的交点.若BAC70，则CBE______；若BE2，CE4，则CD.



典题探究

例1：答案：1，2

解析：已

知CD

，ABAC2，由圆幂定理得CD2DA

DB，

DBDAAB，所以CD2DA(DAAB)，可以求出AD1，而CDAD，取AB的中点E，连接OC和OE，则半径R=OC=2.

例2：答案：1

解析：三角形CEF与三角形CBE相似，对应边成比例，所以

CFCE

，即CECB

CE2CB

CF，所以CEOC=

以AE1.

例3

：答案：PAPB1

AB

3，所以OE2，所2

OD1， 解析：延长PO与圆O分别交于点D和点E，则PDOP

PEPDDE3，由圆幂定理得PA2PDPE3，所

以PA，过A点作

131AFOP交OP于点F，则OF=，所以PB=+.

2

22例4

：答案：R=7

解析：由圆幂定理得PA=PBPC=12，

所以设AO与PC交于点D，

2

DDE=BDDC延长AO交圆于E，则ADE=12，R=7. ，所以2DE=24，所以2R=2+12，

演练方阵

A档（巩固专练）

1

：答案：EFD=15

解析：由圆幂定理得PD=PE

PF，1=PE，（

2

。

，所以

OP=2，PD=1，POD=30，所以

1

EFD=POD=15。

2

4

2：答案：

5

解析:由圆幂定理得AP=PBPD=PB(PB+BD)，所以75(5BD)，所以

2

2

BD

24 5

3：答案：D

解析:由圆幂定理得PC2PA(PAAB)PA(PA2PA)3PA2，所

以D选项错误 PCP，所以A4：答案：半径R7.5,BP5

解析:CD6,CP10,.

所以DP8，由三角形相似得所以

CDOC

，DPCP

6OC32，所以ROC107.5，由圆幂定理得PCBPAP，所以8104

100BP(BP15)，所以BP5

5：答案：

1

2

1

BC，所以2

解析：连接CD，AC是圆O的直径，所以CDAB，BC经过半径OC的端点C，而且BCAC，所以BC是圆O的切线，而DE是圆O的切线，所以EC=ED，所以BECE

BE1

 BC2

6：答案：D

解析：因为四边形BDEC是圆的内接四边形，所以BDEBCE180，因为

。

BDE=90。，所以BCE=90，A正确；直线AM与圆相切，由弦切角定理得

。

AMD=MEDBD=CED，而A

2

，所以CEM=MED+CED=DMA+DBA，

所以B正确；由圆幂定理得AMADAE，所以选项C正确

7

：答案：CD4,AE222

解析：设CDx，则根据圆幂定理得ABBDBC，而AB(5CD)36，

2

所以(5CD)365(5CD，所)以CD25CD360，所以CD4，

而

AE

AE E

8：答案：tanCOP

418,SOBC 35

2

解析：由圆幂定理得PCPAPB，所以168PA，所以PA2，所以半径R3,

OC3,OP5，所以正切值tanCOP

4

，所以三角形OBC的面积3

118

SOBCOBOCsinCOP

25

9

：答案：CM=2， 解析：由圆幂定理得AC=CMCN=CM2CM，所以8=2CM，所以CM=2，

而10：答案：B

2

2

CD=110解析:因为ABCD四点共圆，所以A+BCD=180，而B

。

。。

，所以A=70，

。

又因为BE与圆相切于点B，所以DBE=A=70，所以选项B是正确的。

B档（提升精练）

1：答案：CD=2

D 解析：延长CD交圆于点E，由相交弦定理得ADDB=CDE所以，

43=CD(8-CD)，求出CD=2或6，因为CD是小于4的，所以CD=2

2：答案：BE=

1

2

2

解析:由相交弦定理得BFAF=DFFC，所以2BF=2，所以BF=1，所以AF=2，而CE=BEEA，所以3：答案：CD=

2

71

=BE(BE3)，所以BE= 42

12 5

2

解析：设半径为R，连接OC，则由圆幂定理得PC=PBPA，已知PC=4,PB=2，而且OCPD，所以4=2(2+2R)，所以R=3，而4：答案：ADE60

解析

:CB=1由圆幂定理得CD=CBCA，而AC=3，AB=2，所以OC=2，，

2

。

2

PCPO4512

，CD ，所以CDOACD35

DCD连接OD，则OtODC，在ROD=1，CO=2

，中，所以DOC60，。

。

。

而在三角形BOD中，已知OB=OD，所以有OBD60，ADE=ABD=60

5：答案：MN=1

。

解析：延长BO交圆于点D，连接DN，则BND=90，而BM2，由

圆幂定理可得MCMAMB

MN，所以11)2MN，所以MN1

6：答案：B

2

解析：由圆幂定理可得PAPCPB，所以PC3，BC2,R1，连接OA，

所以三角形OPA是直角三角形，B是OP中点，所以ABOBOA，ABC60 7

：答案：AP

解析：由圆幂定理可得APPBPD，所

以AP22

。

，)

12

=6A

，所以B

AB6，

ACABsin60。

8

．答案：CDE60，CD=

。

13

1

R，2

OE=EB，ABE=60。，CDE=ABE=60。，又因为EFAB，所以OEB是等边三角形，

解析：设圆心是O，半径为R，连接OE与AE，所以AF+FB=2R，所以FB=所

以AE=BEt6，0所

=以23，由圆幂定理得

。

CDCA=CE

CB，所以9

．答案： ，所以8=8EB，

2

22

FFC=FBFA解析：由圆幂定理得CE=EBEA=7EB，而D

所以EB=1，所以CE=7

，10．答案：CE=

2

12

5

2

解析：由圆幂定理得PC=PAPB，所以16=8PA，所以PA=2，又因为AB=2R=6，所以R=3，所以CE=PCsinP=4

312

 55

C档（跨越导练）

1：答案：PA=3,EC=4

2

解析：依题意根据圆幂定理得PA=PBPD，所以PA=9，PA=3，PA=PE=3，

2

DE=2，BE=6，所以PAC=ABC=60。，在三角形ADE中，PE=PA，所以三角形

APE是等边三角形，PE=PA=AE=3，所以BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2，而弦AC与BD相交于点E，所以BEDE=AECE，所以CE=4

2：答案：DCB=45

解析:由相交弦定理CPPO=APPB，所以PB=7，2R=AP+PB=8，R=4，所以OP=OA,AP=3,连接OD，则有OP+OD=PD，所以POD=90，然后连接BD

，则

2

2

2

。

。

，由正弦定理得

以DCB45

。

BD=2R，所以sinDCB，DCB是锐角，所

sin

DCB2

。2

解析：已知ACB=90，根据圆幂定理得CD=ADDB，因为AD=2DB，所22

以CD=2DB，所

以BD=1，所以AB=AD+DB，DE=1，所

以

EAEB=EC

EF，所以3

：答案：AB=3，4.答案

：，

AC=1解析：连接CB，在ABC中，AB=2，所以，

CAB60。，过点B和点C的切线交于点P，所以PCB=PBC60。，所

以

，3在RtAPB中

，，3所

以，由圆幂定理得PB2PBPD

PA，所以PD 

PA7

2

5：答案：sinDCA=

解析：连结BD,OD，AB是圆O的直径，ADB90，则CD=CBCA，所

。

2

13

COD以2，所以CA=4，AB2，所以半径R1，在Rt中，

sinDCA

OD1

 OC3

6

：答案：AD解析：已知圆O的半径R3，而圆心O到弦AC

的距离等于

，所以

BC2，又因为AB3，AC5，AD是圆O的切线，所以AD2 ABAC35

15，所以AD

7：答案：ABP30，PBPC=12

解析：点A到BC上的射影E是OC的中点，所以OE

。

AO=OB，tAOP所以ABP=30，在R

2

。

1

OA，AOP=60。，又因为2

。

中，因为AO=2，AOP=60，

所以，

所以AP=PBPC=12 8：答案：半径R=2

解析：已知PA与圆相切，而PBC是圆的割线，所以根据圆幂定理得到AP=PBPC，

又因为PC=4，所以PB=2，BC=2，又因为点O到弦BC

以半径R=2

9：答案：PC=1，ACD=75

。

2

解析：连接OC，AB是圆的直径，点P在AB的延长线上，圆O

的半径OP=2，

2

tOCP所以

，根据圆幂定理得PC=PBPA=1，所以PC=1，在R

。

。

。

。

中，OCP=90，CP=1，OP=2，所以COP=30，OCA=15，所以ACD=75 10：答案：CBE=70，CD=3

。

解析：已知BE是圆的一条切线，CBE是弦切角，而且有BAC与CBE对应同一条弧，所以BAC=CBE70，所以根据圆幂定理有BEEDEC，已知BE=2，

。

2

EC=4，所以ED=1，所以CD=4-1=3

圆的相关定理及其几何证明

典题探究

例1：如图，圆O是ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D

.若

CD，ABAC2，则线段AD的长是；圆O的半径是.

例2：如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A,O之间），EF^BC,垂足为F．若AB=6，CF?CB5，则AE=

AC交PO于B，例3：如图已知PA与圆O相切于A，半径OCOP，若OC1,OP2，

则PA，PB．

CO

BA

P

例4：如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知BPA30，BC11，PB1, 则PA,圆O的半径等于

A P

演练方阵

A档（巩固专练）

1．如图，已知直线PD切⊙O于点D，直线PO交⊙O于点E,F.

若PF2PD1，则⊙O的半径为；EFD.

F

2. 如图，AP与O切于点A，交弦DB的延长线于点P，过点B作圆O的切线交AP于点C. 若ACB90，BC3,CP4，则弦DB

的长为_______. C

P

3.如图：圆O的割线PAB经过圆心O，C是圆上一点，PA＝AC＝是( )

1

AB，则以下结论不正确的．．．2

P

A.CBCP B. PCACPABC C. PC是圆O的切线 D.BCBABP

4．如图，已知AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PC切圆O于点C，CDOP于D．若CD6，CP10，则圆O的半径长为______；BP______．

5．如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E.则

BE

. BC

6．如图，直线AM与圆相切于点M, ABC与ADE是圆的两条割线，且BD⊥AD，连接MD、 EC。则下面结论中，错误的结论是( ) ．．

A．∠ECA = 90o

B．∠CEM=∠DMA+∠DBA C．AM2 = AD·AE D．AD·DE = AB·BC

7．如图，AB切圆O于点A,AC为圆O的直径，BC交圆O于点D，E为CD的中点，且BD5,AC6,则CD__________；AE__________.

B

C

A

nCOP，8．如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC4,PB8，则ta

△OBC的面积是

9．如图，AB为⊙O的直径,AC切⊙O于点A,且过点C的割线,CMN交AB的延长线于点D,若CMMNND

,ACCM，AD

D

O

M

CA

10．如图，A,B,C,D是⊙O上的四个点，过点B的切线与DC的延长线交于点E.若

BCD110，则DBE( )

A. 75B. 70C. 60D. 55

B档（提升精练）

1．如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD的长为______

2．如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且

DFCF2,AF2BF,若CE与圆相切,且CE

7

,则BE 2

3．如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，ADPD．若PC4，PB2，则CD______.

4．如图，AB是⊙O的直径，直线DE切⊙O于点D，

且与AB延长线交于点C，若CD

CB1，则ADE=

5．如图，AC为⊙O的直径，OBAC，

弦BN交AC于点M．若OC，OM1，则MN_______

6．如图，PA是圆O的切线，切点为A，

PO交圆O于B,C两点，PAPB1，则

B

C

MA

ABC=( )

A70B60 C45D30

7．如图所示，Rt△ABC内接于圆，ABC60，PA是圆的切线，A为切点， PB交AC于E，交圆于

D．若PA=AE，PD

BD=AP=，AC=



A

PDE

B

C

8. 如图，以ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EF^AB于点F，AF=3BF，BE=2EC=2，那么ÐCDE=，CD=. C

D E

AB

F

9．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，CE与圆相切交AB延长线上于点E，

若DFCFAF:FB:BE4:2:1，则线段CE的长为

10.如图，直线PC与O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，

PC4，PB8，则CE

C档（跨越导练）

1.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于



点D．若PAPE，ABC60，PD1，PB9，则PA_____；EC_____

2.如图，O的直径AB与弦CD交于点P，CP=______

7

, PD=5, AP=1，则ÐDCB＝5

B

3.如图，AB是圆O的直径，CDAB于D，且AD2BD，E为AD的中点，连接CE

并延长交圆O于F

．若CDAB_______，EF_________

4.如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，AP交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______

P

AB

5.AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DC=22， BC2，则sin

DCA

6. 如图，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为22，AB3，则切线AD

的长为

A

7.如图，BC是半径为2的圆O的直径，点P在BC的延长线上，PA是圆O的切线，点A

在直径BC上的射影是OC的中点，则ABP=；PBPC

8. 如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线

PBC，已知PAPC4，圆 心O到

BCO的半径为_____

9.如图，AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PD切圆O于点C.已知圆

OB

OP2，则PC______；ACD的大小为______

10.如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B， D是CE与⊙O的交点.若BAC70，则CBE______；若BE2，CE4，则CD.



典题探究

例1：答案：1，2

解析：已

知CD

，ABAC2，由圆幂定理得CD2DA

DB，

DBDAAB，所以CD2DA(DAAB)，可以求出AD1，而CDAD，取AB的中点E，连接OC和OE，则半径R=OC=2.

例2：答案：1

解析：三角形CEF与三角形CBE相似，对应边成比例，所以

CFCE

，即CECB

CE2CB

CF，所以CEOC=

以AE1.

例3

：答案：PAPB1

AB

3，所以OE2，所2

OD1， 解析：延长PO与圆O分别交于点D和点E，则PDOP

PEPDDE3，由圆幂定理得PA2PDPE3，所

以PA，过A点作

131AFOP交OP于点F，则OF=，所以PB=+.

2

22例4

：答案：R=7

解析：由圆幂定理得PA=PBPC=12，

所以设AO与PC交于点D，

2

DDE=BDDC延长AO交圆于E，则ADE=12，R=7. ，所以2DE=24，所以2R=2+12，

演练方阵

A档（巩固专练）

1

：答案：EFD=15

解析：由圆幂定理得PD=PE

PF，1=PE，（

2

。

，所以

OP=2，PD=1，POD=30，所以

1

EFD=POD=15。

2

4

2：答案：

5

解析:由圆幂定理得AP=PBPD=PB(PB+BD)，所以75(5BD)，所以

2

2

BD

24 5

3：答案：D

解析:由圆幂定理得PC2PA(PAAB)PA(PA2PA)3PA2，所

以D选项错误 PCP，所以A4：答案：半径R7.5,BP5

解析:CD6,CP10,.

所以DP8，由三角形相似得所以

CDOC

，DPCP

6OC32，所以ROC107.5，由圆幂定理得PCBPAP，所以8104

100BP(BP15)，所以BP5

5：答案：

1

2

1

BC，所以2

解析：连接CD，AC是圆O的直径，所以CDAB，BC经过半径OC的端点C，而且BCAC，所以BC是圆O的切线，而DE是圆O的切线，所以EC=ED，所以BECE

BE1

 BC2

6：答案：D

解析：因为四边形BDEC是圆的内接四边形，所以BDEBCE180，因为

。

BDE=90。，所以BCE=90，A正确；直线AM与圆相切，由弦切角定理得

。

AMD=MEDBD=CED，而A

2

，所以CEM=MED+CED=DMA+DBA，

所以B正确；由圆幂定理得AMADAE，所以选项C正确

7

：答案：CD4,AE222

解析：设CDx，则根据圆幂定理得ABBDBC，而AB(5CD)36，

2

所以(5CD)365(5CD，所)以CD25CD360，所以CD4，

而

AE

AE E

8：答案：tanCOP

418,SOBC 35

2

解析：由圆幂定理得PCPAPB，所以168PA，所以PA2，所以半径R3,

OC3,OP5，所以正切值tanCOP

4

，所以三角形OBC的面积3

118

SOBCOBOCsinCOP

25

9

：答案：CM=2， 解析：由圆幂定理得AC=CMCN=CM2CM，所以8=2CM，所以CM=2，

而10：答案：B

2

2

CD=110解析:因为ABCD四点共圆，所以A+BCD=180，而B

。

。。

，所以A=70，

。

又因为BE与圆相切于点B，所以DBE=A=70，所以选项B是正确的。

B档（提升精练）

1：答案：CD=2

D 解析：延长CD交圆于点E，由相交弦定理得ADDB=CDE所以，

43=CD(8-CD)，求出CD=2或6，因为CD是小于4的，所以CD=2

2：答案：BE=

1

2

2

解析:由相交弦定理得BFAF=DFFC，所以2BF=2，所以BF=1，所以AF=2，而CE=BEEA，所以3：答案：CD=

2

71

=BE(BE3)，所以BE= 42

12 5

2

解析：设半径为R，连接OC，则由圆幂定理得PC=PBPA，已知PC=4,PB=2，而且OCPD，所以4=2(2+2R)，所以R=3，而4：答案：ADE60

解析

:CB=1由圆幂定理得CD=CBCA，而AC=3，AB=2，所以OC=2，，

2

。

2

PCPO4512

，CD ，所以CDOACD35

DCD连接OD，则OtODC，在ROD=1，CO=2

，中，所以DOC60，。

。

。

而在三角形BOD中，已知OB=OD，所以有OBD60，ADE=ABD=60

5：答案：MN=1

。

解析：延长BO交圆于点D，连接DN，则BND=90，而BM2，由

圆幂定理可得MCMAMB

MN，所以11)2MN，所以MN1

6：答案：B

2

解析：由圆幂定理可得PAPCPB，所以PC3，BC2,R1，连接OA，

所以三角形OPA是直角三角形，B是OP中点，所以ABOBOA，ABC60 7

：答案：AP

解析：由圆幂定理可得APPBPD，所

以AP22

。

，)

12

=6A

，所以B

AB6，

ACABsin60。

8

．答案：CDE60，CD=

。

13

1

R，2

OE=EB，ABE=60。，CDE=ABE=60。，又因为EFAB，所以OEB是等边三角形，

解析：设圆心是O，半径为R，连接OE与AE，所以AF+FB=2R，所以FB=所

以AE=BEt6，0所

=以23，由圆幂定理得

。

CDCA=CE

CB，所以9

．答案： ，所以8=8EB，

2

22

FFC=FBFA解析：由圆幂定理得CE=EBEA=7EB，而D

所以EB=1，所以CE=7

，10．答案：CE=

2

12

5

2

解析：由圆幂定理得PC=PAPB，所以16=8PA，所以PA=2，又因为AB=2R=6，所以R=3，所以CE=PCsinP=4

312

 55

C档（跨越导练）

1：答案：PA=3,EC=4

2

解析：依题意根据圆幂定理得PA=PBPD，所以PA=9，PA=3，PA=PE=3，

2

DE=2，BE=6，所以PAC=ABC=60。，在三角形ADE中，PE=PA，所以三角形

APE是等边三角形，PE=PA=AE=3，所以BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2，而弦AC与BD相交于点E，所以BEDE=AECE，所以CE=4

2：答案：DCB=45

解析:由相交弦定理CPPO=APPB，所以PB=7，2R=AP+PB=8，R=4，所以OP=OA,AP=3,连接OD，则有OP+OD=PD，所以POD=90，然后连接BD

，则

2

2

2

。

。

，由正弦定理得

以DCB45

。

BD=2R，所以sinDCB，DCB是锐角，所

sin

DCB2

。2

解析：已知ACB=90，根据圆幂定理得CD=ADDB，因为AD=2DB，所22

以CD=2DB，所

以BD=1，所以AB=AD+DB，DE=1，所

以

EAEB=EC

EF，所以3

：答案：AB=3，4.答案

：，

AC=1解析：连接CB，在ABC中，AB=2，所以，

CAB60。，过点B和点C的切线交于点P，所以PCB=PBC60。，所

以

，3在RtAPB中

，，3所

以，由圆幂定理得PB2PBPD

PA，所以PD 

PA7

2

5：答案：sinDCA=

解析：连结BD,OD，AB是圆O的直径，ADB90，则CD=CBCA，所

。

2

13

COD以2，所以CA=4，AB2，所以半径R1，在Rt中，

sinDCA

OD1

 OC3

6

：答案：AD解析：已知圆O的半径R3，而圆心O到弦AC

的距离等于

，所以

BC2，又因为AB3，AC5，AD是圆O的切线，所以AD2 ABAC35

15，所以AD

7：答案：ABP30，PBPC=12

解析：点A到BC上的射影E是OC的中点，所以OE

。

AO=OB，tAOP所以ABP=30，在R

2

。

1

OA，AOP=60。，又因为2

。

中，因为AO=2，AOP=60，

所以，

所以AP=PBPC=12 8：答案：半径R=2

解析：已知PA与圆相切，而PBC是圆的割线，所以根据圆幂定理得到AP=PBPC，

又因为PC=4，所以PB=2，BC=2，又因为点O到弦BC

以半径R=2

9：答案：PC=1，ACD=75

。

2

解析：连接OC，AB是圆的直径，点P在AB的延长线上，圆O

的半径OP=2，

2

tOCP所以

，根据圆幂定理得PC=PBPA=1，所以PC=1，在R

。

。

。

。

中，OCP=90，CP=1，OP=2，所以COP=30，OCA=15，所以ACD=75 10：答案：CBE=70，CD=3

。

解析：已知BE是圆的一条切线，CBE是弦切角，而且有BAC与CBE对应同一条弧，所以BAC=CBE70，所以根据圆幂定理有BEEDEC，已知BE=2，

。

2

EC=4，所以ED=1，所以CD=4-1=3