民营科技
文化教育
凸函数及其相关的一些重要不等式
王磊
（哈尔滨航运学校，黑龙江哈尔滨150000）
摘要：讨论了凸函数的有关内容。凸函数与连续函数、可微函数、可积函数之间有着紧密的联系，具有很强烈的几何背景。直观上看它的图像
是向下鼓鼓的，进一步由数学表达式表示出其图像的特征，从而引出凸函数的定义及严格凸函数的定义。讨论了凸函数的一些性质。定义和性质给出后，又讨论了几种判断函数凸性的方法。在有了严格凸函数的定义及相应的判断函数严格凸的方法后，我们又得到一些严格的不等式。把凸函数定义中的不等式推广为更一般的情况得到了重要的詹森不等式及其改进形式。利用詹森（Jensen ）不等式又得到了一些著名的不等式。
关键词：凸函数；不等式；导数；充分必要条件Abstract ：This article discussed the convex function related content.The convex function theory mainly was establishes by Johnson about 1906. Between the convex function and the continuous function ，the differentiable function ，the integrable function have the close relation ，has the very in －tense geometry background.On direct-viewing looked its image is the downward drum drum ，further expresses its image characteristic by the mathe －matical expression ，thus draws out the convex function the definition and the strict convex function definition.Discussed convex function some na －ture.After the definition and the nature give ，also discussed several judgment function convexity method.After had the strict convex function defini －tion and the corresponding judgment function strict raised method ，we also obtain some strict inequalities.Obtained the important Johnson inequality and the improvement form the convex function definition in inequality promotion for a more common situation.Inequality also obtained some famous inequalities using Johnson the （Jensen ）.
Key words ：Convex function ；inequality, ；derivative, ；necessary and sufficient condition 首先, 我们先将凸函数的定义抄录如下：
定义设函数f 定义在区间I 上，若对I 上的任意两点x 1，x 2和任意实数λ∈[0，1]，总有
f[λx 1+（1-λ）x 2]燮λ（f x 1）+（1-λ）（f x 2）
则称f 在I 上是凸函数。反之，如果总有f[λx 1+（1-λ）x 2]叟λ（f x 1）+（1-λ）（f x 2）则称f 在I 上是凹函数。
（1）（2）
如果（f x ）是区间I 上的严格凸函数，则引理中的不等号是严格的，相应的行列式表示为
x 1（f x 1）1Δ=x 2（f x 2）1>0
x 3（f x 3）1
凸函数虽然不一定处处可导（如（f x ）=|x|），但它确实具有很好的分析性质。
定理1设函数f 在区间（a ，b ）是凸函数，则：
1）f 在区间（a ，b ）连续。
' 2）f 在区间（a ，b ）存在左、右导数，且对任意x ∈（a ，b ），有f -（x ）燮f +'
如果（2），（3）当x 1≠x 2且其为严格不等式时，则相应的函数称为严
格凸函数和严格凹函数。凸函数与凹函数也称为下凸函数与上凸函数。
为了表达式的对称性，我们可设λ1=1-λ，λ2=λ于是λ1叟0，λ2叟0且
（x ）λ1+λ2=1这样，就可以把凸函数改用下式来定义：
' ' 3）f -（x ）与f +（x ）在区间（a ，b ）皆为增函数。设函数f 在区间I 上有定义，如果对于任意的x 1，x 2∈I ，任意λ1叟0，
能够找到判别函数凸凹性的方法是很重要的，在函数f 存在着f' 即λ2叟0且λ1+λ2=1都有
可微的情况下，判断f 的凸性将变得较容易。文献[2]给出非常实用的判（f λ1x 1+λ2x 2）燮λ1（f x 1）+λ2（f x 2）
则称f 在I 上是凸函数。当x 1≠x 2，λ1>0，λ2>0且上式为严格不等式别准则。
定理2设f 为区间（a ，b ）上的可导函数，则下述论断互相等价：1
时，则称f 在区间I 上是严格凸函数。特别地：λ=时，凸函数特征就为
1）f 为区间（a ，b ）上的凸函数；
（f x 1）+f（x 2）x 1+x2
2）f 为区间（a ，b ）上的增函数；f 燮
3）函数f 的图像总不位于它任一条切线的下方，即任意x 0∈（a ，b ），
凸函数的定义当然是判断函数f 是否为区间I 上的凸函数的充要条
对一切x ∈（a ，b ），有
件。那么，我们就来研究一下是否还有其它的方法可以判断一个函数f
（f x ）叟（f x 0）+f'（x 0）（x-x 0）
是区间I 上的凸函数呢? 请看文献[2]中给出的
证明请参照文献[2]。
引理f 是I 上的凸函数的充要条件：对于I 上的任意三点x 1
推论：
总有
设f 在（a ，b ）是可微函数，则f 在（a ，b ）是（可微）严格凸函数的充要
（f x 2）-f （x 1）（f x 3）-f （x 2）0燮（3）条件是下面两条件之一成立1导函数f' 在区间（a ，b ）严格递增。20函数2132
f 的图像总位于它任一条切线的上方，即任取x 0∈（a ，b ），对一切x ∈（a ，此引理的证明请参照文献[2].
），且x ≠x 0，有同理可得：f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点b
（f x ）>f（x 0）+f'（x 0）（x-x 0）x 1
当f 在（a ，b ）内有二阶导数时，文献[2]给出了应用起来更方便的定（f x 2）-f （x 1）（f x ）-f （x 1）（f x ）-f （x 2）
燮3燮3（4）
理。213132
参考文献）式刻画了凸函数图象上顺序三点连接线段斜率的单增性质，即（4
2
把割线斜率看成
两个足码i ，j 的函数，把其中一个足码i （或j ）固定，则斜率m ij
（f x ）（x ）i -f j
是另一个足码（j 或i ）的单增函数，这个性质可推广到多个点
i j
的情形。注：为了便于记忆，我们可以把引理中的（4）式写成
x 1（f x 1）1
Δ=x 2（（可以证明它是凸函数成立的充要条件）f x 2）1叟0
f x 3）1x 3（
[1]邝荣雨. 微积分学讲义（第二册）[M].北京：北京师范大学出版社，2006.
[2]华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M].第三版. 北京：高等教育出
版社，2001. [3]胡克. 解析不等式的若干问题[M].武汉：武汉大学出版社，2003. [4]常庚哲，史济怀. 数学分析教程（上册）[M].北京：高等教育出版社，2003. [5]方企勤. 数学分析[M].北京：高等教育出版社，1986.
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凸函数及其相关的一些重要不等式
王磊
（哈尔滨航运学校，黑龙江哈尔滨150000）
摘要：讨论了凸函数的有关内容。凸函数与连续函数、可微函数、可积函数之间有着紧密的联系，具有很强烈的几何背景。直观上看它的图像
是向下鼓鼓的，进一步由数学表达式表示出其图像的特征，从而引出凸函数的定义及严格凸函数的定义。讨论了凸函数的一些性质。定义和性质给出后，又讨论了几种判断函数凸性的方法。在有了严格凸函数的定义及相应的判断函数严格凸的方法后，我们又得到一些严格的不等式。把凸函数定义中的不等式推广为更一般的情况得到了重要的詹森不等式及其改进形式。利用詹森（Jensen ）不等式又得到了一些著名的不等式。
关键词：凸函数；不等式；导数；充分必要条件Abstract ：This article discussed the convex function related content.The convex function theory mainly was establishes by Johnson about 1906. Between the convex function and the continuous function ，the differentiable function ，the integrable function have the close relation ，has the very in －tense geometry background.On direct-viewing looked its image is the downward drum drum ，further expresses its image characteristic by the mathe －matical expression ，thus draws out the convex function the definition and the strict convex function definition.Discussed convex function some na －ture.After the definition and the nature give ，also discussed several judgment function convexity method.After had the strict convex function defini －tion and the corresponding judgment function strict raised method ，we also obtain some strict inequalities.Obtained the important Johnson inequality and the improvement form the convex function definition in inequality promotion for a more common situation.Inequality also obtained some famous inequalities using Johnson the （Jensen ）.
Key words ：Convex function ；inequality, ；derivative, ；necessary and sufficient condition 首先, 我们先将凸函数的定义抄录如下：
定义设函数f 定义在区间I 上，若对I 上的任意两点x 1，x 2和任意实数λ∈[0，1]，总有
f[λx 1+（1-λ）x 2]燮λ（f x 1）+（1-λ）（f x 2）
则称f 在I 上是凸函数。反之，如果总有f[λx 1+（1-λ）x 2]叟λ（f x 1）+（1-λ）（f x 2）则称f 在I 上是凹函数。
（1）（2）
如果（f x ）是区间I 上的严格凸函数，则引理中的不等号是严格的，相应的行列式表示为
x 1（f x 1）1Δ=x 2（f x 2）1>0
x 3（f x 3）1
凸函数虽然不一定处处可导（如（f x ）=|x|），但它确实具有很好的分析性质。
定理1设函数f 在区间（a ，b ）是凸函数，则：
1）f 在区间（a ，b ）连续。
' 2）f 在区间（a ，b ）存在左、右导数，且对任意x ∈（a ，b ），有f -（x ）燮f +'
如果（2），（3）当x 1≠x 2且其为严格不等式时，则相应的函数称为严
格凸函数和严格凹函数。凸函数与凹函数也称为下凸函数与上凸函数。
为了表达式的对称性，我们可设λ1=1-λ，λ2=λ于是λ1叟0，λ2叟0且
（x ）λ1+λ2=1这样，就可以把凸函数改用下式来定义：
' ' 3）f -（x ）与f +（x ）在区间（a ，b ）皆为增函数。设函数f 在区间I 上有定义，如果对于任意的x 1，x 2∈I ，任意λ1叟0，
能够找到判别函数凸凹性的方法是很重要的，在函数f 存在着f' 即λ2叟0且λ1+λ2=1都有
可微的情况下，判断f 的凸性将变得较容易。文献[2]给出非常实用的判（f λ1x 1+λ2x 2）燮λ1（f x 1）+λ2（f x 2）
则称f 在I 上是凸函数。当x 1≠x 2，λ1>0，λ2>0且上式为严格不等式别准则。
定理2设f 为区间（a ，b ）上的可导函数，则下述论断互相等价：1
时，则称f 在区间I 上是严格凸函数。特别地：λ=时，凸函数特征就为
1）f 为区间（a ，b ）上的凸函数；
（f x 1）+f（x 2）x 1+x2
2）f 为区间（a ，b ）上的增函数；f 燮
3）函数f 的图像总不位于它任一条切线的下方，即任意x 0∈（a ，b ），
凸函数的定义当然是判断函数f 是否为区间I 上的凸函数的充要条
对一切x ∈（a ，b ），有
件。那么，我们就来研究一下是否还有其它的方法可以判断一个函数f
（f x ）叟（f x 0）+f'（x 0）（x-x 0）
是区间I 上的凸函数呢? 请看文献[2]中给出的
证明请参照文献[2]。
引理f 是I 上的凸函数的充要条件：对于I 上的任意三点x 1
推论：
总有
设f 在（a ，b ）是可微函数，则f 在（a ，b ）是（可微）严格凸函数的充要
（f x 2）-f （x 1）（f x 3）-f （x 2）0燮（3）条件是下面两条件之一成立1导函数f' 在区间（a ，b ）严格递增。20函数2132
f 的图像总位于它任一条切线的上方，即任取x 0∈（a ，b ），对一切x ∈（a ，此引理的证明请参照文献[2].
），且x ≠x 0，有同理可得：f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点b
（f x ）>f（x 0）+f'（x 0）（x-x 0）x 1
当f 在（a ，b ）内有二阶导数时，文献[2]给出了应用起来更方便的定（f x 2）-f （x 1）（f x ）-f （x 1）（f x ）-f （x 2）
燮3燮3（4）
理。213132
参考文献）式刻画了凸函数图象上顺序三点连接线段斜率的单增性质，即（4
2
把割线斜率看成
两个足码i ，j 的函数，把其中一个足码i （或j ）固定，则斜率m ij
（f x ）（x ）i -f j
是另一个足码（j 或i ）的单增函数，这个性质可推广到多个点
i j
的情形。注：为了便于记忆，我们可以把引理中的（4）式写成
x 1（f x 1）1
Δ=x 2（（可以证明它是凸函数成立的充要条件）f x 2）1叟0
f x 3）1x 3（
[1]邝荣雨. 微积分学讲义（第二册）[M].北京：北京师范大学出版社，2006.
[2]华东师范大学数学系. 数学分析（上册）[M].第三版. 北京：高等教育出
版社，2001. [3]胡克. 解析不等式的若干问题[M].武汉：武汉大学出版社，2003. [4]常庚哲，史济怀. 数学分析教程（上册）[M].北京：高等教育出版社，2003. [5]方企勤. 数学分析[M].北京：高等教育出版社，1986.
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