论“高观点”下的初等数学及其在新课标中的
体现
（许昌市第三初级中学 赵永）
1 引言
19世纪末20世纪初, 英国爆发了一场数学改革的运动, 人们称之为“克莱茵---贝利”运动. 在这次运动中, 克莱茵写了《高观点下的初等数学》, 主张加强函数和微积分的教学, 并借此改革充实代数内容, 另一方面把解析几何纳入中学数学教学的内容, 并用几何变换的观点改造传统的几何. 我国自恢复高考以来, 进行多次的课程改革, 并且取得了很大的成就. 微积分初步曾几度作为高中数学的教学内容, 特别是近几年, 概率论与算法的初步知识也进入中学数学, 中学数学里高等数学的含量在进一步扩大.2003 年4 月, 教育部又颁发了《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《新课标》）. 《新课标》融科学性与实用性于一体, 充分体现了教育改革的精神, 为未来我国高中数学教育改革和发展提供了比较权威和全面的指导性文献. 从历史的角度看这是继承和发扬. 然而, 在中学教学过程中有许多人孤立的看待高初等数学, 没有发挥他们高等数学对初等数学参考和指导作用. 结合克莱茵的思想和我国数学教育的现状, 本文尝试对“高观点下的初等数学以及在新课标中的体现”作一下简略的探讨.
2 新课标的教育与教学理念
2.1 《新课标》的内容框架以及教学新机制
高中《新课标》数学教学内容包括10个模块和16个专题, 分别包含在必修的5个模块和选修的4个系列中. 其中必修的5个模块是基础知识, 选修系列1是为文科学生开设的, 选修系列2是为理科学生开设的, 选修系列3和选修系列4是为那些对数学有兴趣, 希望进一步提高的学生开设的.
在高中阶段首次采取学分制, 《新课标》 规定在高中阶段, 每个学生修完一个模块获得2学分, 修完一个专题获得1学分. 达到高中毕业的标准必修完必修的基础知识的5个模块, 获得10学分. 可以报考人文社会科学专业的高中毕业生的标准: 最低要求修满16学分如: 修完必修5个模块和选修系列1的2个模块, 再选修系列3中的2个专题. 较高要求: 修满20学分如: 修完最低要求的上述内容, 再选修系列4中的4个专题. 可以报考理工科专业的高中毕业生的标准: 最低要求修满20学分如: 修完必修5个模块和选修系列2的3个模块, 再选修系列3中的2个专题, 系列4中的2个专题. 较高要求: 修满24学分如: 修完最低要求的上述内容, 再选修系列4中的另4个专题目.
2.2 《新课标》的教育教学理念
当代教育倡导构建共同基础, 提供发展平台, 提供多样课程, 适应个性选择, 建立合理、科学的评价体系, 调整课程结构, 压缩必修课时, 提高课程的多样性和选择性. 《新课标》通过模块式的课程结构, 为不同基础、不同需要的学生提供了多层次, 多种类的选择. 既面向全体学生设置了必修课数学（ 必修1 ～ 5）, 又面向希望在人文、社会科学方面发展的学生设置了选修1, 面向希望在理工（包括部分经济类）等方面发展的学生设置了选修2. 另外, 还设置了选修3 和4, 使学生有了更多的选择.
数学课堂教学倡导积极主动、勇于探索的学习方式, 发展学生的数学应用意识, 改进数学学习方式, 培养数学应用及创新意识. 《新课标》特别强调要丰富学生的学习方式, 积极倡导课程教学的自主探索、独立思考、动手实践、合作交流、阅读自学等. 为此, 《新课标》专门设立了“数学探究”“ 数学建模”等活动, 并且贯穿于整个高中课程.
我国当前数学教育注重提高学生的数学思维能力, 强调本质, 注意适度形式化, 强调对数学本质的认识, 淡化数学的形式化表达. 《新课标》合理地吸纳了我国数学教育中“ 淡化形式、注重实质”的理念, 强调对数学本质的认识, 淡化形式化的表达.
素质教育强调与时俱进地认识“双基”, 同时注重信息技术与数学课程的整合, 更注重体现数学的文化价值, 认为数学教学应体现数学的文化价值. 《新课标》把数学文化作为与必修和选修课并列的一项课程内容, 并要求非形式化地贯穿于整个高中课程中. 这就使得数学课程具有更全面的育人功能, 能够在促进学生知识和能力发展的同时, 使得学生的情感、意志、价值观得到健康的发展.
2.3 《新课标》的理解
《新课标》是顺应教学改革和时代发展的结果, 是在继承和发扬的以前教育教学成果的基础上产生的.
首先, 《新课标》注重高中数学的基础性. 在《新课标》课程框架中, 所设5个模块的必修内容是一个高中毕业生所应具备的最基础的数学知识. 选修系列1和选修系列2又是选修系列课程中的基础内容. 不难看出 《新课标》仍然十分重视高中数学基础知识的教学以及基本技能和能力的培养. 此外, 对“双基”的认识要重新审视原高中数学对基本知识和基本技能的要求. 新课标删减了原高中数学中繁琐的计算, 人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容, 克服了“双基异化”的倾向. 在必修模块中增加了《算法》的内容, 把最基本的数据处理, 统计概率, 作为新的高中数学的基础知识和基本技能.
其次, 体现数学的文化价值是数学研究现实世界数量关系和空间形式的一门学科, 它是人类文化的重要组成部分之一. 数学不仅是研究其它学科, 人们参加社会生产和生活的必不可少的工具, 还具有极高的美学价值. 通过学习数学使学生在追寻数学发展的历史足迹的过程中, 能够看到数学知识形成的过程和发展的趋势, 能够触摸到数学知识的来龙去脉, 使逐步形成正确的数学观, 不断提高学生的美学素养.
再次, 提供多样课程, 适应学生的个性选择“以学生为本”是数学课堂教学的根本原则, 也应该成为高中数学教学内容安排的指导思想. 学生学习数学的心理过程, 既具有一般的共同的规律, 又总是带有每个学生的个性特点, 必然导致对同一知识不同的学习效果. 原高中数学教学对所有的学生完全相同, 学生在校期间必须修完相同的知识, 用同一个标准去衡量. 这样的教学模式忽视了学
生的个性特点, 挫伤了部分学生学习数学的积极性, 不利于每个学生的成才. 高中数学新课标, 不但为全体学生的发展构建了共同的基础---必修的5个模块的数学基础知识, 还提供了多层次多种类的课程内容安排, 为不同的学生提供了自主选择和个性发展的空间.
此外, 为教师的教学方法的改革和自身专业水平的提高构建了平台. 高中数学新课标规定:高中数学课程必须把数学探究, 数学建模的思想渗透到必修选修的各个模块和选修的各个专题中去. 数学探究是指:提出问题, 探索解决问题的途径, 研究解决问题的方法, 并进一步思考相关问题的解决和此类问题的拓展的过程. 数学建模是指:建立一个最佳的数学模型(如函数, 数列„„), 去解决生产和生活中的实际问题. 这样的教学内容决定了传统的只由教师单纯讲授的教学方法不再适用, 教师必须在教学中贯彻“以学生为本”的原则, 采取在教师的引导下, 学生合作交流的新的教学方法. 高中数学《新课标》教学内容更加充实, 并具有多样性, 为教师根据不同的教学内容, 采用不同的更加先进的教学方法, 构建了一个大平台, 使教师在教学方法的改革上能够大显身手.
3 “高观点”的内涵
【7】“高观点”是指用高等数学（包括经典高等数学和现代数学）的知识、思想和方法分析和解决初等数学的问题. 这里的知
识应该是策略性知识, 即能够借助实例和直观为中学生所接受, 突出思想与方法, 强调理解与应用, 不求最严格的证明和逻辑推理. 这里的初等数学指的是现代初等数学【4】, 与现阶段的初等数学是同意语, 既包括传统初等数学的大部分内容, 精简一些烦琐的计算和证明, 也应该包括经典高等数学的一些初步知识, 同时渗透现代数学思想, 如集合、对应等. 因此“高观点”包括三方面的内容：（1）现代数学思想和方法在中学数学中的渗透；（2）高等数学对初等数学的具体指导；（3）中学数学里难以处理的问题在高等数学的
【10】背景下分析. 同时它也隐含了三个特性：①联结性. 高等数学和初等数学的划分一方面是由于数学的发展, 另一方面是由于数学
教学的需要, 但这两个领域联系紧密而且交叉和融合. 这就意味着“高观点”的实施的可能性. ②高层次. 初等数学的很多知识实际上是高等数学的特例. 按照归纳科学的思想, 将这些特殊上升到一般, 再从一般的角度来看待问题, 常常是行之有效的. “高观点”正是这种层次拔高的体现. ③特殊性. 这是指高观点的局限性, 并不是所有的高等数学知识都可以拿来解决初等数学问题, 另外, 有些初等数学问题不能也没有必要用高等数学知识来解决. 这关系到“高观点”研究的工具和对象的选择.
4 “高观点”的理论基础
4.1 认识的辨证运动
【1】马克思认为认识规律过程是“实践、认识、再实践、再认识, 这种形式, 循环往复以至无穷”, 这人类认识的规律, 是人们的
认识不断的由特殊走向一般, 又由一般走向特殊辨证运动过程. 初等数学知识和高等数学知识体现了特殊和一般的关系. “高观点”就是由具有直接性、简单性和特殊性的初等数学知识经由推广和一般化深入发展为高等数学知识, 又反过来经由特殊化来指导初等数学的教学和研究. 这样的教学符合认识的规律, 所以在“高观点”下的初等数学教学是可行的.
4.2下位学习
“认识结构中原有的有关概念在内容和概括水平上高于新学习的知识, 因而新知识与旧知识所构成的这种隶属关系又称下位
【2】关系, 这种学习便称为下位学习. ”掌握高等数学知识的人学习初等数学属于下位学习. 按照建构主义的观点, 学习就是将新知识
纳入到原有认识结构中, 因而原有认知结构的状况对于学习的成效致关重要. 下位学习正说明高级优越（相对于新知识而言）的认知结构有利于新知识的学习, 学习主体头脑中的高等数学知识储备, 对于初等数学的学习大有益处.
4.3 螺旋式课程
“同一原理在不同年龄阶段的教材中, 应随年级的升高在抽象程度更高的水平上反复出现, 从而呈现出一种螺旋式上升的趋势. ”“高观点”与其说是高等数学指导下的初等数学, 不如说是初等数学知识在高观点下的重现. 这种反复和螺旋式的上升并没有超出课程体系的范围, 相反由原来的单纯递进发展为相互促进的优化了的课程立体结构.
4.4 高等数学和初等数学的密切关系
高等数学和初等数学都是数学内容和组成部分, 就数学知识而言是一个密不可分的整体, 但是在实际的数学教学中, 为了教学的需要和方便, 我们把数学划分为高等数学和初等数学. 它们的划分一方面是由于数学的发展, 另一方面是由于数学教学的需要, 但这两个领域联系紧密而且交叉和融合. 这就意味着“高观点”的实施的可能性.
5 “高观点”的定位
5.1 初等数学的一种研究方法
“高观点”启示人们突破初等数学知识的局限性, 跳出用初等数学研究初等数学的狭窄圈子, 而着眼于寻找新的研究方法. 以“它山之石, 可以攻玉”, 高等数学相对于初等数学而言, 无论是理论上、观点上和方法上都上升到了高一级的境界, 初等数学中的一些问题利用高等数学知识, 可以豁然开朗贯通, 迎刃而解. 有人认为, 初等数学研究是科学研究中的一大课题, 它有两个主要方面, 其中之一就是阐述现代数学与初等数学的关系及初等数学的广泛应用, 为现代数学的发展提供深刻的背景. “高观点”下的初等数学探析是这一大课题中的一个小课题. 由此可见“高观点”在初等数学研究领域中的地位和作用.
5.2 初等数学教育教学改革的一种手段和目标
“高观点”主要是针对高师数学专业毕业而从事初等数学教育的教师而言. 高师院校数学教育专业的课程所讲的高等数学, 与中学数学的研究对象、研究方法都有本质的不同. 有人认为, 中学数学到大学数学是直线上升, 大部分高等数学课程与中学数学课程严重脱节, 学生所学的高等数学与所教的中学数学联系不上, “居高”而不能“临下”, 以至数学专业的毕业生到中学, 往往需要重新学习相当长一段时间, 才能熟悉和掌握中学教材, 胜任教学工作. 因此, 高师数学专业教学改革的一个迫切的任务, 就是要解决如何在现代数学观点指导下, 加强高等数学和初等数学的联系. 这同时也是改革的一个重要的手段. 由高等数学和初数学的长期割裂所导致的两种情形可以说明这一点：一方面大学的新生常常难以适应高等数学的学习, 在学习方法特别是思维方式上难以脱离中学格局；另一方面中学数学教师常常不能在中学数学知识范围内回答学生提出的一些问题, 而用高等数学的知识作答又难以使学生理解. 这不由得人们提出这样的疑问：高师院校数学专业到底交给了学生什么？高等数学知识对于中学数学教学有没有作用？有何作用？这样一来就牵扯到数学教师专业化和数学教学改革的问题.2002年10月底在武汉召开的第九届全国高师数学教育年会以此为
主题, 会议期间许多人馔写指出：数学专业知识是高水平数学教师的必备素质, 高等数学与初等数学要与中学数学实现连接等等. 这种形势下, “高观点”自然引起人们的重视. 因为这些都决定了高师毕业生能否尽快地适应中学数学教学. 所以从某种意义上说“高观点”是初等数学教学改革的手段和目标.
5.3 一种新的教学思想方法
传统的数学思想方法包括化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等等. 现阶段, 数学探究、数学模型、算法思想也常被提及. “高观点”意味着用现代的数学观点作指导、用高等数学的知识作工具来解决初等数学的问题, 突出体现了知识水平的高度跨越, 强调深化、简化和统一, 使问题解决呈现一种高屋建瓴的态势. 应该说, “高观点”的新意主要表现在思想性和方法论意义上, 而不是其使用的新观点、新知识本身. 正如有人说的那样, 现代数学对中学数学的影响, 不等于在中学里教现代数学, 更不能用布尔巴基那一套来处理中学数学教材.20世纪60年代“新数”运动失败的深刻教训证明了这一点. 除了数学知识的习得和数学能力的培养, 中学数学教学也应关注数学思想的传承, 不能认为它只是大学数学教学的任务. “高观点”是一个良好的思想素材, 正如斯托利压尔所说, “把教学建立在现代数学的思想的基础上, 使中学数学课程的风格和语言接近于现代数学的风格和语言, 使学生的思维向现代数学思维发展”.
6 高等数学对初等数学的指导
高等师范院校数学专业4年大学课程的学习是走向社会的能量储备阶段, 这既是知识的储备更是能力的储备. 学生在学习高等数学的同时, 吸收了许多含在数学知识中的数学思想、数学方法. 从知识储备方面看, 学生之所以感到困惑, 是因为他们看不到高等数学对中等数学有何具体的指导意义. 如何加强高等数学和中等数学之间的衔接, 如何运用数学思想和数学方法在高等数学和初等数学之间架起桥梁, 真正发挥高等数学对初等数学的指导作用. 以下就高等数学对初等数学的指导做一些探讨.
6.1 用高等数学思想剖析初等数学
数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的认识, 是数学的精华, 它是贯穿于数学学科的不同分支、不同层次的数学知识之中的. 在中学数学教材中, 蕴涵着丰富的数学思想, 如计划思想、化归思想、符号与变换思想、极限思想、数形结合思想、公理化与结构思想, 函数与方程思想、抽样统计思想、对应思想等. 因此在初等数学的教学中, 应抓住数学思想这条主线把中学的数学内容加以分类和整理. 首先, 对于每一块内容, 着重引导学生分析其贯穿于中学数学教学过程中的数学思想. 研究数学思想形成和发展与数学思想史以及中学数学教学内容安排的层次三者之间的关系, 形成一个纵向网；其次, 研究块与块之间、不同分支之间的教学衔接以及内在本质之间的联系, 形成一个横向网, 使学生能透过古典、近代到现代数学思想史的发展以及中学数学中数学思想的形成与发展, 对初等数学的总体结构、初等数学的各个分支以及每个分支中各个块的数学知识的关系做重新的理解和认识. 这样就可以在更广阔的背景里去体会中学数学内容、层次的安排, 从而对“居高”该如何“临下”有着具体的认识.
例如数系【5】的教学：数系是贯穿于小学、中学十二年的数学教育当中, 它和初等数学的任何一个分支, 任何一块的内容都有联系, 蕴涵有集合思想、公理化思想、结构思想、极限思想等许多重要的数学思想, 在教学中可以有以下的几个过程：
（填正分数）（填零）（填负有理数）
1）按历史发展中数系的形成过程是：自然数集 → 正有理数集→ 算术数集→ 有理数集（填无理数）（填虚数）
→ 实数集→ 复数集.
（填零）（填正分数）（填负有理数）
2）按中小学数学的教学过程是：自然数集→ 扩大自然数集→ 算术数集→ 有理数集（填无理数）（填虚数）
→ 实数集→ 复数集 .
3）按理论体系和公理化结构的过程是：自然数集 → 整数集 → 有理数集 → 实数集 →复数集 .
可以看出第一条线是着眼与历史上数的形成过程, 它与中小学生认识数的思维过程是相吻合的；第二条线建立的数的概念的顺序, 主要从中小学数学教学的角度, 更多的依据人们的认识规律；第三条是从数学代数结构的理论出发, 主要考虑数的逻辑要求, 形成代数系统. 我们在教学过程中应用高等数学的思想去剖析初等数学思想. 正确引导学生从不同角度了解其形成的合理性, 重点进行分析、研究, 用近世代数的群、环、域这些重要的代数体系的观点来对数学再认识, 使学生对数的发展、内部结构、性质有一个系统和完整的认识, 充分认识到数系是数学中的一个典型的模型, 又是一切数学的基础.
6.2 从高等数学角度去看待初等数学问题
站在高等数学的角度, 运用高等数学的知识、思想和方法, 从不同的角度重新去审视、分析和解决初等数学中的问题. 在中学数学教学中如果只局限于用初等数学的眼光来看初等数学的问题, 很多问题是无法看清的. 如数学归纳法的可靠性、多项式因式分解概念等, 仅用初等数学眼光来看都是模糊的.
教学中要想使学生抓住事物的本质, 才能更加有效的学习. 为了达到此目的可用高等数学与初等数学之间存在着的必然联系, 去解决初等数学无法解答而用高等数学得以解决的问题. 从更多角度、更多方位研究初等数学的问题.
例如中学数学多项式的教学：中学代数对多项式的定义, 如同小学算术对自然数的定义, 都是指事性的定义. 把代数式子 a 0 + a1x + a2x 2 + „ + an x n 叫做多项式, 这是就事论事“形而下”的定义方法. 不仅数学的学习枯燥无味, 而且使学生难以理解. 所以对于具体的事物, 应该把它放在所处环境当中, 通过它和环境之间的关系, 抽象出本质的属性刻画事物独具的特性, 从而界定事物, 就像数系的概念这一章自然数说成是等价集共性的抽象, 多项式也是一类事物共性的抽象. 讲解多项式时候我们可以通过以下这些式子
① 1+532+332+232, 这是一个关于无理数))2)332的有理系数的3次多项式；
2+lg x +4lg 3x ，这是一个实系数的关于对数lg x 的三次多项式；
③把x 看成是实数域上的变数，
那么y =3+x +3x 2+5x 3是一个关于变数的三次多项式的实函数；
⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫④5+2 01⎪⎪+11 01⎪⎪+9 01⎪⎪，这是一个关于矩阵 01⎪⎪的五次多项式。
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭25
抽象出多项式的概念. 这些式子的数学研究对象虽然不同, 但是可以通过式子的结构有共同的特点, 将这式子的结构抽象地写成
f(x) = a0 + a1x + a2x 2„ + an x n .
其中 a0 ,a1 ,a2 ,„, an 叫做多项式的系数, 是某数集[整数环、有理数域、实数域、复数域, 也可以是其他的数域]中的数.x 可以根据研究目的取定其中的一个数学对象, 如变数、函数、矩阵, „„当取定具体的数学对象时叫未定元.
总之, 这种从高等数学的知识、数学思想方法上阐明初等数学的性质, 了解两者之间的异同及内在联系, 可以更深刻的理解其概念.
又比如用变换群的观点来考察平面解析几何, 就可以在理论上解释平面解析几何的一个特性, 即在平面解析几何中, 研究几何问题时, 为什么可以适当地选取坐标系, 也就是说平面上几何问题的代数表达式, 与其坐标的选择无关问题．从变换群的观点来看, 坐标系的平移和旋转变换与点的平移和旋转变换, 只不过是同一个代数变换式的不同的几何解释而已． 由此可以得出凡是用来表示图形的几何量和几何关系的代数表达式, 它们的值在坐标变换下都是不变的, 它们都是坐标变换下的不变量. 还可以通过观察微分方程与代数方程都是方程的特性从基本概念、解的存在性与个数, 求解方法及增、失根等方面进行比较它们的内在联系, 以加深对代数方程的特性了解．同样也可以用微分方程的几何性质来研究二次曲线, 深刻揭示二次曲线的性质、实际背景和现实意义等．在数学分析中也可用导数的工具, 来讨论函数的性质以及图象.
6.3 在教学方式中加强高等数学对初等数学的指导和探究能力的培养
我们应改变传统的老师讲课学生听课, 老师主动的备课、讲课、评课而学生被动的听课、练习、写作业的教学模式, 转变成老师主导、学生主体的教学理念. 在教学上突出数学实践活动, 培养学生的探索精神, 让学生在生活实践及动手操作中改变学习方式, 发现问题, 进行讨论, 合作、交流. 使学生不仅要掌握扎实的知识, 而且要经历知识获取的过程, 学会学习的方法, 获得积极的情感体验. 在思想意识上把数学学习转移到问题解决的轨道上来, 把问题作为整个教学活动过程的出发点, 要用 “ 数学建模”的思路和方法, 让学生解决问题, 使学生掌握数学的基本知识与技能. 力求改变“ 问题——分析解答——练习”的传统模式, 形成“ 实际问题——建立模型——解释应用”的新的教学模式.
例如研究曲线的形状时可以改变以往的学生死记硬背其性质的方法, 让学生主动探索, 通过研究决定曲线形状的量来得出曲线的性质. 就比如说讲解雪花曲线的形状和性质时, 先不给出雪花曲线的性质, 而是让学生首先知道如何得到雪花曲线, 通过建立模
【9】型得出性质. 请看下面就如何通过数学模型来研究雪花曲线的性质.
1. 提出研究课题
我们看到漫天飞舞的雪花, 那么雪花究竟是什么形状呢？
注：雪花曲线的由来可以根据一个正三角形每条边分成三等分, 以居中的一段为边向外做正三角形并把居中的线段去掉. 这样一直进行下去.
2. 分析数据, 数学建模
在讨论雪花曲线的形状时候, 可以讨论曲线的边长、边数、周长、面积. 为了讨论的方便设：原三角形的边长为a 1 、边数为b 1 、周长为l 1 、面积为S 1 .依次所得的“雪花曲线”（P(n)）的边长为a n 、边数为b n 、周长为l n 、面积为S n .依据以上的数据找出a n 与a n-1 ,bn 与b n-1 ,ln 与l n-1 ,Sn 与S n-1 的关系, 之后导出他们的通项公式.
① 它们边长之间的关系 11⎛1⎫由a 2=a 1,......, a n =a n -1. 得出a n = ⎪33⎝3⎭n -1 a 1。
② 它们边数之间的关系
由b =4b ,......, b =4b , 得出b =(4)n -1b 。
21n n -1n 1
③ 它们周长之间的关系 n -1⎛4⎫由l 2=a 2b 2, l n =a n b n , 得出l n = ⎪⎝3⎭ a 1b 1。
④ 它们面积之间的关系 44⎛4⎫由S 2=S 1,......, S n =⨯ ⎪33⎝9⎭n -183⎛4⎫S n -1, 得出S n =[- ⎪55⎝9⎭n -1 ]S 1
3. 总结评估、研究拓展
总结写出数列 { an }、{ bn }、{ ln }、{ Sn } 的特点：
① 数列{ an }、{ bn }、{ ln }都是等比数列；
② 数列{ bn }、{ ln }、{ Sn }都是递增数列；数列{ an }是递减数列；
③ 数列{ bn }、{ ln }的公比大于1,{ an }的公比小于1, 根据函数的图象可以知道, 随着n 趋近于 +∞ ,bn 、l n 趋近于+∞ ,an 趋近于0 .同理可知S n 8 趋近于S 1。5
4. 检验结果
根据以上的结果可以总结出“雪花曲线”特性, 即
①“雪花曲线”是一条边数无穷多, 到处是尖端, 不光滑的、连续封闭的曲线.
②“雪花曲线”的周长为无穷大, 而它围成的面积是有限的.
③曲线上的每一小部分都与整个曲线相似, 就像大树上的小树枝和整个大树相似一样.
这样的教学不但可以克服以往在教学过程中出现的困乏、死板、枯燥、无趣的教学问题, 使教学效果大大的提高, 还可以激发学生学习的兴趣, 挖掘学生学习的潜能, 为学生的学习提供了很大的动力. 所以教学时结合教学内容, 介绍与高等数学相关的新成果和课题, 以及研究高等数学的基本方法, 让学生了解或适当参与中学数学教学改革, 在课程教学或专题讲座中可适当地介绍一些当前教改的热点课题, 以及常用的研究方法. 引导学生运用高等数学的思想、方法、知识, 对初等数学进行探讨和学习. 激发学生的学习兴趣, 培养学生对数学探究的能力, 使他们努力学习.
7 “高观点”在新课标中的体现
《普通高中数学课程标准（实验）》（即本文所指的新课标, 以下简《称标准》）自出版以来, 倍受关注. 本文接下来拟探寻其中所体现的“高观点”.
7.1 课程基本理念中的“高观点”
1．提供多样的课程, 适应个性的选择. 《标准》指出, “高中数学课程应为学生提供选择和发展的空间, 为学生提供多层次、多种类的选择...... ”, “同时, 高中数学课程也该给学校和教师留有一定的选择空间, 他们可以根据学生的基本需求和自身的条件, 制定课程发展计划, 不断丰富和完善供学生选择的课程”. 这一理念本身并非“高观点”, 但却是对“高观点”包容与接纳. “高观点”的实体与形态可以说是一种课程, 不仅适应与学有余力的学生提前接触高等数学知识和现代数学思想和方法, 为今后的发展打下基础, 也适应于其它学生, 使他们扩展视野, 增强学习数学的兴趣和乐趣. 若有这样一种课程的加入, 高中数学课程体系将显得更加丰富, 可供学生选择的空间也将拓广, 以更有利于个性的发展.
2．与时俱进地认识“双基”. 《标准》指出, “随着时代的发展, 特别是数学的广泛应用, 计算机技术和现代信息技术的发展数学课程的设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵...... 例如高中数学课程应增加算法的内容, 把最基本的数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基本技能；同时删减了烦琐的计算, 人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容. ”这一理念符合“高观点”作为一种数学思想方法的定位. “高观点”就是为力删烦就简、去粗取精、改善知识结构、提高能力水平.
3 .体现数学文化价值【7】. 《标准》指出, “数学是人类文化的重要组成部分..... 高中数学课程提倡体现数学文化价值, 并在适当的内容中提出对‘数学文化’的学习要求, 设立‘数学史’选讲专题”. 这一理念更加丰富了“高观点”的内涵. 数学文化价值既数学与社会发展的相互作用、数学科学的思想体系、数学美学价值等. 体现数学的文化价值即是一种“文化观”, 是基于人本主义的当代数学教育的价值取向. 而学习数学历史, 不仅能理解重要的数学方法的来源和数学家的智慧, 也能理顺数学发展的趋势, 从而树立“历史观”和“文化观”突破学科的限制, 将数学学习置身于人类科学体系, 更符合现代社会对人的综合要求.
7.2 课程设计思路中的“高观点”
《标准》中课程设计以框架为主体, 并结合教育改革的基本理念、课程内容以及实施, 使之成为一个有机的整体. 在框架中, “高中数学课程分必修和选修”, 必修课以模块的形式出现, 选修课则以模块和专题的形式出现. 在适用对象上, 必修课程人人必修, 选修课程则因人而异. 在模块和专题之中, 又要求渗透数学探究、数学建模的思想和数学文化的内容. 模块有一定的逻辑次序, 而专题可以不考虑先后顺序. 整个设计具有系统性, 又具有开放性和灵活性. 开放性体现在“其中的专题将随着课程的发展逐步予以补充”, 灵活性主要体现在“学生可以选择不同的课程组合, 选择以后还可以根据自身情况和条件适当调整”, 《标准》中又具体提供了3种基本的课程组合. 可以看出, 《标准》中的课程设计思路类似欲公理化的思想：即从主体框架入手, 通过框架内容中不同的演绎组合, 形成各种灵活多变的具体专门适应性的组合课程, 使得学生选课和教师的教课都有较大的弹性. 公理化、集合论的思想是现代数学的重要思想, 如果说将其用在具体的数学教学中是属于微观层次的话, 那么将其用在数学课程设计上则属于宏观层面, 毋庸质疑, 后者对中学数学的教与学的指导作用是根本性的.
7.3 内容标准中的“高观点”
从课程内容上来考虑“高观点”就是要看其中与“高观点”相关的知识含量及其处理方式. 应该说, 这是在《标准》中的知识载体.
必修课包括5个模块. 其中数学3为：算法初步、统计、概率. 《标准》指出, “算法是一个全新的课题, 已经成为计算科学的重要基础...... 在必修课程中将学习算法的基本思想和初步知识, 算法思想将贯穿高中数学的相关部分”, “例如, 运用消元法解二元一次方程组、求最大共因数等过程就是算法”, “算法除作为本模块的内容之外, 其思想方法渗透在高中数学课程其他的有关内容中, 鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题”. 《标准》中还提到, 在统计教学中, “教师可以引导学生体会最小二乘法的思想, 根据所给出的公式求线形回归方程”, “概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义”.
与必修课相比, 《标准》 中选修课程更加突出地体现了“高观点”. 系列一包括两个模块：选修1-1中包含了导数及其应用, 建议“通过实例了解、感受、体会、防止忽视它的思想和价值”等. 选修1-2包含了统计案例, 也有相似的建议；系列而包括3个模块. 其中, 选修2-1包含了空间向量及其应用, 重点展示了向量方法（这是“高观点”所积极倡导的）. 系列3、系列4分别由若干个专题组成, 几乎是数学史和高等数学（也包括现代数学）的知识, 但“所涉及的内容都是基础性的数学内容, 反映某些重要的数学思想”, “有些专题是中学数学内容的延伸, 有些专题是通过典型事例介绍数学的一些应用方法”. 我们看到, 这些选修专题呈现了现代数学的多个分支, 又兼顾了数学史, 并凸现了思想方法. 这对于学生来说, 既开拓了视野、增强了数学学习的兴趣, 又能从中受到 启发, 从而改善的不仅是解题方法, 而是学习方法乃至思维方法. “高观点”对于现代数学知识和数学史有与之相同的处理方式, 这或者是《标准》制定者的用意所在, 或者是“高观点”在现行中学数学教学中的潜在要求所致.
8 结束语
高等师范类院校数学专业培养的目标主要是初等数学教育的工作者, 学校无论开设什么样的课程, 其目的都是要使学生通过对这些课程的学习, 具备中学数学教师的基本素质. 然而高等师范类院校开设的数学课程全是高等数学课程, 许多学生没有体会到高等数学和初等数学课程之间的联系, 形成认为高等数学的学习对初等数学的教育无用的不正确的观点. 鉴于此, 本文分四个部分从《新课标》的知识框架和理念 、高观点的涵义和用高观点进行教学可行性的理论基础 、用高观点的方法用高等数学的思想对成等数学进行指导 、高观点的思想在新课标中的体现这四个方面论述了用“高观点”的思想进行中学数学的教学可能性和有效性. 在写作时用以下三个基本的思想：一个是在数学教学中本文强调用高等数学的观点、思想和方法去解释和处理初等数学的问题. 一个是改变以前数学教学陈旧、刻意的形式化的表达以及对数学作为工具课所应起的作用的忽视的传统模式, 从学生的基础知识和需要出发进行教学. 同时改变传统的、单一的学习方式, 进行合作学习. 在教学方式上, 要改变“ 问题——分析解答——练习”的传统模式, 形成“ 实际问题——建立模型——解释应用”的新的教学模式. 还有一个是平等老师和学生地位, 把教学的重心从老师转移向学生, 建立以学生为主体老师为主导的教学模式.
在写作期间, 虽然馔写此文尽了最大的努力, 但由于本人才疏学浅, 时间紧迫和一些客观的原因, 论文中不免会出现一些问题与不足, 许多地方还不完善, 很粗糙, 恳请各位老师提出批评和指正, 希望以后继续完善, 我在此表示感谢.
参考文献
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【10】胡炳生, 现代数学观点下的中学数学教学[M],北京：高等教育出版社,1981.
论“高观点”下的初等数学及其在新课标中的
体现
（许昌市第三初级中学 赵永）
1 引言
19世纪末20世纪初, 英国爆发了一场数学改革的运动, 人们称之为“克莱茵---贝利”运动. 在这次运动中, 克莱茵写了《高观点下的初等数学》, 主张加强函数和微积分的教学, 并借此改革充实代数内容, 另一方面把解析几何纳入中学数学教学的内容, 并用几何变换的观点改造传统的几何. 我国自恢复高考以来, 进行多次的课程改革, 并且取得了很大的成就. 微积分初步曾几度作为高中数学的教学内容, 特别是近几年, 概率论与算法的初步知识也进入中学数学, 中学数学里高等数学的含量在进一步扩大.2003 年4 月, 教育部又颁发了《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《新课标》）. 《新课标》融科学性与实用性于一体, 充分体现了教育改革的精神, 为未来我国高中数学教育改革和发展提供了比较权威和全面的指导性文献. 从历史的角度看这是继承和发扬. 然而, 在中学教学过程中有许多人孤立的看待高初等数学, 没有发挥他们高等数学对初等数学参考和指导作用. 结合克莱茵的思想和我国数学教育的现状, 本文尝试对“高观点下的初等数学以及在新课标中的体现”作一下简略的探讨.
2 新课标的教育与教学理念
2.1 《新课标》的内容框架以及教学新机制
高中《新课标》数学教学内容包括10个模块和16个专题, 分别包含在必修的5个模块和选修的4个系列中. 其中必修的5个模块是基础知识, 选修系列1是为文科学生开设的, 选修系列2是为理科学生开设的, 选修系列3和选修系列4是为那些对数学有兴趣, 希望进一步提高的学生开设的.
在高中阶段首次采取学分制, 《新课标》 规定在高中阶段, 每个学生修完一个模块获得2学分, 修完一个专题获得1学分. 达到高中毕业的标准必修完必修的基础知识的5个模块, 获得10学分. 可以报考人文社会科学专业的高中毕业生的标准: 最低要求修满16学分如: 修完必修5个模块和选修系列1的2个模块, 再选修系列3中的2个专题. 较高要求: 修满20学分如: 修完最低要求的上述内容, 再选修系列4中的4个专题. 可以报考理工科专业的高中毕业生的标准: 最低要求修满20学分如: 修完必修5个模块和选修系列2的3个模块, 再选修系列3中的2个专题, 系列4中的2个专题. 较高要求: 修满24学分如: 修完最低要求的上述内容, 再选修系列4中的另4个专题目.
2.2 《新课标》的教育教学理念
当代教育倡导构建共同基础, 提供发展平台, 提供多样课程, 适应个性选择, 建立合理、科学的评价体系, 调整课程结构, 压缩必修课时, 提高课程的多样性和选择性. 《新课标》通过模块式的课程结构, 为不同基础、不同需要的学生提供了多层次, 多种类的选择. 既面向全体学生设置了必修课数学（ 必修1 ～ 5）, 又面向希望在人文、社会科学方面发展的学生设置了选修1, 面向希望在理工（包括部分经济类）等方面发展的学生设置了选修2. 另外, 还设置了选修3 和4, 使学生有了更多的选择.
数学课堂教学倡导积极主动、勇于探索的学习方式, 发展学生的数学应用意识, 改进数学学习方式, 培养数学应用及创新意识. 《新课标》特别强调要丰富学生的学习方式, 积极倡导课程教学的自主探索、独立思考、动手实践、合作交流、阅读自学等. 为此, 《新课标》专门设立了“数学探究”“ 数学建模”等活动, 并且贯穿于整个高中课程.
我国当前数学教育注重提高学生的数学思维能力, 强调本质, 注意适度形式化, 强调对数学本质的认识, 淡化数学的形式化表达. 《新课标》合理地吸纳了我国数学教育中“ 淡化形式、注重实质”的理念, 强调对数学本质的认识, 淡化形式化的表达.
素质教育强调与时俱进地认识“双基”, 同时注重信息技术与数学课程的整合, 更注重体现数学的文化价值, 认为数学教学应体现数学的文化价值. 《新课标》把数学文化作为与必修和选修课并列的一项课程内容, 并要求非形式化地贯穿于整个高中课程中. 这就使得数学课程具有更全面的育人功能, 能够在促进学生知识和能力发展的同时, 使得学生的情感、意志、价值观得到健康的发展.
2.3 《新课标》的理解
《新课标》是顺应教学改革和时代发展的结果, 是在继承和发扬的以前教育教学成果的基础上产生的.
首先, 《新课标》注重高中数学的基础性. 在《新课标》课程框架中, 所设5个模块的必修内容是一个高中毕业生所应具备的最基础的数学知识. 选修系列1和选修系列2又是选修系列课程中的基础内容. 不难看出 《新课标》仍然十分重视高中数学基础知识的教学以及基本技能和能力的培养. 此外, 对“双基”的认识要重新审视原高中数学对基本知识和基本技能的要求. 新课标删减了原高中数学中繁琐的计算, 人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容, 克服了“双基异化”的倾向. 在必修模块中增加了《算法》的内容, 把最基本的数据处理, 统计概率, 作为新的高中数学的基础知识和基本技能.
其次, 体现数学的文化价值是数学研究现实世界数量关系和空间形式的一门学科, 它是人类文化的重要组成部分之一. 数学不仅是研究其它学科, 人们参加社会生产和生活的必不可少的工具, 还具有极高的美学价值. 通过学习数学使学生在追寻数学发展的历史足迹的过程中, 能够看到数学知识形成的过程和发展的趋势, 能够触摸到数学知识的来龙去脉, 使逐步形成正确的数学观, 不断提高学生的美学素养.
再次, 提供多样课程, 适应学生的个性选择“以学生为本”是数学课堂教学的根本原则, 也应该成为高中数学教学内容安排的指导思想. 学生学习数学的心理过程, 既具有一般的共同的规律, 又总是带有每个学生的个性特点, 必然导致对同一知识不同的学习效果. 原高中数学教学对所有的学生完全相同, 学生在校期间必须修完相同的知识, 用同一个标准去衡量. 这样的教学模式忽视了学
生的个性特点, 挫伤了部分学生学习数学的积极性, 不利于每个学生的成才. 高中数学新课标, 不但为全体学生的发展构建了共同的基础---必修的5个模块的数学基础知识, 还提供了多层次多种类的课程内容安排, 为不同的学生提供了自主选择和个性发展的空间.
此外, 为教师的教学方法的改革和自身专业水平的提高构建了平台. 高中数学新课标规定:高中数学课程必须把数学探究, 数学建模的思想渗透到必修选修的各个模块和选修的各个专题中去. 数学探究是指:提出问题, 探索解决问题的途径, 研究解决问题的方法, 并进一步思考相关问题的解决和此类问题的拓展的过程. 数学建模是指:建立一个最佳的数学模型(如函数, 数列„„), 去解决生产和生活中的实际问题. 这样的教学内容决定了传统的只由教师单纯讲授的教学方法不再适用, 教师必须在教学中贯彻“以学生为本”的原则, 采取在教师的引导下, 学生合作交流的新的教学方法. 高中数学《新课标》教学内容更加充实, 并具有多样性, 为教师根据不同的教学内容, 采用不同的更加先进的教学方法, 构建了一个大平台, 使教师在教学方法的改革上能够大显身手.
3 “高观点”的内涵
【7】“高观点”是指用高等数学（包括经典高等数学和现代数学）的知识、思想和方法分析和解决初等数学的问题. 这里的知
识应该是策略性知识, 即能够借助实例和直观为中学生所接受, 突出思想与方法, 强调理解与应用, 不求最严格的证明和逻辑推理. 这里的初等数学指的是现代初等数学【4】, 与现阶段的初等数学是同意语, 既包括传统初等数学的大部分内容, 精简一些烦琐的计算和证明, 也应该包括经典高等数学的一些初步知识, 同时渗透现代数学思想, 如集合、对应等. 因此“高观点”包括三方面的内容：（1）现代数学思想和方法在中学数学中的渗透；（2）高等数学对初等数学的具体指导；（3）中学数学里难以处理的问题在高等数学的
【10】背景下分析. 同时它也隐含了三个特性：①联结性. 高等数学和初等数学的划分一方面是由于数学的发展, 另一方面是由于数学
教学的需要, 但这两个领域联系紧密而且交叉和融合. 这就意味着“高观点”的实施的可能性. ②高层次. 初等数学的很多知识实际上是高等数学的特例. 按照归纳科学的思想, 将这些特殊上升到一般, 再从一般的角度来看待问题, 常常是行之有效的. “高观点”正是这种层次拔高的体现. ③特殊性. 这是指高观点的局限性, 并不是所有的高等数学知识都可以拿来解决初等数学问题, 另外, 有些初等数学问题不能也没有必要用高等数学知识来解决. 这关系到“高观点”研究的工具和对象的选择.
4 “高观点”的理论基础
4.1 认识的辨证运动
【1】马克思认为认识规律过程是“实践、认识、再实践、再认识, 这种形式, 循环往复以至无穷”, 这人类认识的规律, 是人们的
认识不断的由特殊走向一般, 又由一般走向特殊辨证运动过程. 初等数学知识和高等数学知识体现了特殊和一般的关系. “高观点”就是由具有直接性、简单性和特殊性的初等数学知识经由推广和一般化深入发展为高等数学知识, 又反过来经由特殊化来指导初等数学的教学和研究. 这样的教学符合认识的规律, 所以在“高观点”下的初等数学教学是可行的.
4.2下位学习
“认识结构中原有的有关概念在内容和概括水平上高于新学习的知识, 因而新知识与旧知识所构成的这种隶属关系又称下位
【2】关系, 这种学习便称为下位学习. ”掌握高等数学知识的人学习初等数学属于下位学习. 按照建构主义的观点, 学习就是将新知识
纳入到原有认识结构中, 因而原有认知结构的状况对于学习的成效致关重要. 下位学习正说明高级优越（相对于新知识而言）的认知结构有利于新知识的学习, 学习主体头脑中的高等数学知识储备, 对于初等数学的学习大有益处.
4.3 螺旋式课程
“同一原理在不同年龄阶段的教材中, 应随年级的升高在抽象程度更高的水平上反复出现, 从而呈现出一种螺旋式上升的趋势. ”“高观点”与其说是高等数学指导下的初等数学, 不如说是初等数学知识在高观点下的重现. 这种反复和螺旋式的上升并没有超出课程体系的范围, 相反由原来的单纯递进发展为相互促进的优化了的课程立体结构.
4.4 高等数学和初等数学的密切关系
高等数学和初等数学都是数学内容和组成部分, 就数学知识而言是一个密不可分的整体, 但是在实际的数学教学中, 为了教学的需要和方便, 我们把数学划分为高等数学和初等数学. 它们的划分一方面是由于数学的发展, 另一方面是由于数学教学的需要, 但这两个领域联系紧密而且交叉和融合. 这就意味着“高观点”的实施的可能性.
5 “高观点”的定位
5.1 初等数学的一种研究方法
“高观点”启示人们突破初等数学知识的局限性, 跳出用初等数学研究初等数学的狭窄圈子, 而着眼于寻找新的研究方法. 以“它山之石, 可以攻玉”, 高等数学相对于初等数学而言, 无论是理论上、观点上和方法上都上升到了高一级的境界, 初等数学中的一些问题利用高等数学知识, 可以豁然开朗贯通, 迎刃而解. 有人认为, 初等数学研究是科学研究中的一大课题, 它有两个主要方面, 其中之一就是阐述现代数学与初等数学的关系及初等数学的广泛应用, 为现代数学的发展提供深刻的背景. “高观点”下的初等数学探析是这一大课题中的一个小课题. 由此可见“高观点”在初等数学研究领域中的地位和作用.
5.2 初等数学教育教学改革的一种手段和目标
“高观点”主要是针对高师数学专业毕业而从事初等数学教育的教师而言. 高师院校数学教育专业的课程所讲的高等数学, 与中学数学的研究对象、研究方法都有本质的不同. 有人认为, 中学数学到大学数学是直线上升, 大部分高等数学课程与中学数学课程严重脱节, 学生所学的高等数学与所教的中学数学联系不上, “居高”而不能“临下”, 以至数学专业的毕业生到中学, 往往需要重新学习相当长一段时间, 才能熟悉和掌握中学教材, 胜任教学工作. 因此, 高师数学专业教学改革的一个迫切的任务, 就是要解决如何在现代数学观点指导下, 加强高等数学和初等数学的联系. 这同时也是改革的一个重要的手段. 由高等数学和初数学的长期割裂所导致的两种情形可以说明这一点：一方面大学的新生常常难以适应高等数学的学习, 在学习方法特别是思维方式上难以脱离中学格局；另一方面中学数学教师常常不能在中学数学知识范围内回答学生提出的一些问题, 而用高等数学的知识作答又难以使学生理解. 这不由得人们提出这样的疑问：高师院校数学专业到底交给了学生什么？高等数学知识对于中学数学教学有没有作用？有何作用？这样一来就牵扯到数学教师专业化和数学教学改革的问题.2002年10月底在武汉召开的第九届全国高师数学教育年会以此为
主题, 会议期间许多人馔写指出：数学专业知识是高水平数学教师的必备素质, 高等数学与初等数学要与中学数学实现连接等等. 这种形势下, “高观点”自然引起人们的重视. 因为这些都决定了高师毕业生能否尽快地适应中学数学教学. 所以从某种意义上说“高观点”是初等数学教学改革的手段和目标.
5.3 一种新的教学思想方法
传统的数学思想方法包括化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等等. 现阶段, 数学探究、数学模型、算法思想也常被提及. “高观点”意味着用现代的数学观点作指导、用高等数学的知识作工具来解决初等数学的问题, 突出体现了知识水平的高度跨越, 强调深化、简化和统一, 使问题解决呈现一种高屋建瓴的态势. 应该说, “高观点”的新意主要表现在思想性和方法论意义上, 而不是其使用的新观点、新知识本身. 正如有人说的那样, 现代数学对中学数学的影响, 不等于在中学里教现代数学, 更不能用布尔巴基那一套来处理中学数学教材.20世纪60年代“新数”运动失败的深刻教训证明了这一点. 除了数学知识的习得和数学能力的培养, 中学数学教学也应关注数学思想的传承, 不能认为它只是大学数学教学的任务. “高观点”是一个良好的思想素材, 正如斯托利压尔所说, “把教学建立在现代数学的思想的基础上, 使中学数学课程的风格和语言接近于现代数学的风格和语言, 使学生的思维向现代数学思维发展”.
6 高等数学对初等数学的指导
高等师范院校数学专业4年大学课程的学习是走向社会的能量储备阶段, 这既是知识的储备更是能力的储备. 学生在学习高等数学的同时, 吸收了许多含在数学知识中的数学思想、数学方法. 从知识储备方面看, 学生之所以感到困惑, 是因为他们看不到高等数学对中等数学有何具体的指导意义. 如何加强高等数学和中等数学之间的衔接, 如何运用数学思想和数学方法在高等数学和初等数学之间架起桥梁, 真正发挥高等数学对初等数学的指导作用. 以下就高等数学对初等数学的指导做一些探讨.
6.1 用高等数学思想剖析初等数学
数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的认识, 是数学的精华, 它是贯穿于数学学科的不同分支、不同层次的数学知识之中的. 在中学数学教材中, 蕴涵着丰富的数学思想, 如计划思想、化归思想、符号与变换思想、极限思想、数形结合思想、公理化与结构思想, 函数与方程思想、抽样统计思想、对应思想等. 因此在初等数学的教学中, 应抓住数学思想这条主线把中学的数学内容加以分类和整理. 首先, 对于每一块内容, 着重引导学生分析其贯穿于中学数学教学过程中的数学思想. 研究数学思想形成和发展与数学思想史以及中学数学教学内容安排的层次三者之间的关系, 形成一个纵向网；其次, 研究块与块之间、不同分支之间的教学衔接以及内在本质之间的联系, 形成一个横向网, 使学生能透过古典、近代到现代数学思想史的发展以及中学数学中数学思想的形成与发展, 对初等数学的总体结构、初等数学的各个分支以及每个分支中各个块的数学知识的关系做重新的理解和认识. 这样就可以在更广阔的背景里去体会中学数学内容、层次的安排, 从而对“居高”该如何“临下”有着具体的认识.
例如数系【5】的教学：数系是贯穿于小学、中学十二年的数学教育当中, 它和初等数学的任何一个分支, 任何一块的内容都有联系, 蕴涵有集合思想、公理化思想、结构思想、极限思想等许多重要的数学思想, 在教学中可以有以下的几个过程：
（填正分数）（填零）（填负有理数）
1）按历史发展中数系的形成过程是：自然数集 → 正有理数集→ 算术数集→ 有理数集（填无理数）（填虚数）
→ 实数集→ 复数集.
（填零）（填正分数）（填负有理数）
2）按中小学数学的教学过程是：自然数集→ 扩大自然数集→ 算术数集→ 有理数集（填无理数）（填虚数）
→ 实数集→ 复数集 .
3）按理论体系和公理化结构的过程是：自然数集 → 整数集 → 有理数集 → 实数集 →复数集 .
可以看出第一条线是着眼与历史上数的形成过程, 它与中小学生认识数的思维过程是相吻合的；第二条线建立的数的概念的顺序, 主要从中小学数学教学的角度, 更多的依据人们的认识规律；第三条是从数学代数结构的理论出发, 主要考虑数的逻辑要求, 形成代数系统. 我们在教学过程中应用高等数学的思想去剖析初等数学思想. 正确引导学生从不同角度了解其形成的合理性, 重点进行分析、研究, 用近世代数的群、环、域这些重要的代数体系的观点来对数学再认识, 使学生对数的发展、内部结构、性质有一个系统和完整的认识, 充分认识到数系是数学中的一个典型的模型, 又是一切数学的基础.
6.2 从高等数学角度去看待初等数学问题
站在高等数学的角度, 运用高等数学的知识、思想和方法, 从不同的角度重新去审视、分析和解决初等数学中的问题. 在中学数学教学中如果只局限于用初等数学的眼光来看初等数学的问题, 很多问题是无法看清的. 如数学归纳法的可靠性、多项式因式分解概念等, 仅用初等数学眼光来看都是模糊的.
教学中要想使学生抓住事物的本质, 才能更加有效的学习. 为了达到此目的可用高等数学与初等数学之间存在着的必然联系, 去解决初等数学无法解答而用高等数学得以解决的问题. 从更多角度、更多方位研究初等数学的问题.
例如中学数学多项式的教学：中学代数对多项式的定义, 如同小学算术对自然数的定义, 都是指事性的定义. 把代数式子 a 0 + a1x + a2x 2 + „ + an x n 叫做多项式, 这是就事论事“形而下”的定义方法. 不仅数学的学习枯燥无味, 而且使学生难以理解. 所以对于具体的事物, 应该把它放在所处环境当中, 通过它和环境之间的关系, 抽象出本质的属性刻画事物独具的特性, 从而界定事物, 就像数系的概念这一章自然数说成是等价集共性的抽象, 多项式也是一类事物共性的抽象. 讲解多项式时候我们可以通过以下这些式子
① 1+532+332+232, 这是一个关于无理数))2)332的有理系数的3次多项式；
2+lg x +4lg 3x ，这是一个实系数的关于对数lg x 的三次多项式；
③把x 看成是实数域上的变数，
那么y =3+x +3x 2+5x 3是一个关于变数的三次多项式的实函数；
⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫⎛11⎫④5+2 01⎪⎪+11 01⎪⎪+9 01⎪⎪，这是一个关于矩阵 01⎪⎪的五次多项式。
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭25
抽象出多项式的概念. 这些式子的数学研究对象虽然不同, 但是可以通过式子的结构有共同的特点, 将这式子的结构抽象地写成
f(x) = a0 + a1x + a2x 2„ + an x n .
其中 a0 ,a1 ,a2 ,„, an 叫做多项式的系数, 是某数集[整数环、有理数域、实数域、复数域, 也可以是其他的数域]中的数.x 可以根据研究目的取定其中的一个数学对象, 如变数、函数、矩阵, „„当取定具体的数学对象时叫未定元.
总之, 这种从高等数学的知识、数学思想方法上阐明初等数学的性质, 了解两者之间的异同及内在联系, 可以更深刻的理解其概念.
又比如用变换群的观点来考察平面解析几何, 就可以在理论上解释平面解析几何的一个特性, 即在平面解析几何中, 研究几何问题时, 为什么可以适当地选取坐标系, 也就是说平面上几何问题的代数表达式, 与其坐标的选择无关问题．从变换群的观点来看, 坐标系的平移和旋转变换与点的平移和旋转变换, 只不过是同一个代数变换式的不同的几何解释而已． 由此可以得出凡是用来表示图形的几何量和几何关系的代数表达式, 它们的值在坐标变换下都是不变的, 它们都是坐标变换下的不变量. 还可以通过观察微分方程与代数方程都是方程的特性从基本概念、解的存在性与个数, 求解方法及增、失根等方面进行比较它们的内在联系, 以加深对代数方程的特性了解．同样也可以用微分方程的几何性质来研究二次曲线, 深刻揭示二次曲线的性质、实际背景和现实意义等．在数学分析中也可用导数的工具, 来讨论函数的性质以及图象.
6.3 在教学方式中加强高等数学对初等数学的指导和探究能力的培养
我们应改变传统的老师讲课学生听课, 老师主动的备课、讲课、评课而学生被动的听课、练习、写作业的教学模式, 转变成老师主导、学生主体的教学理念. 在教学上突出数学实践活动, 培养学生的探索精神, 让学生在生活实践及动手操作中改变学习方式, 发现问题, 进行讨论, 合作、交流. 使学生不仅要掌握扎实的知识, 而且要经历知识获取的过程, 学会学习的方法, 获得积极的情感体验. 在思想意识上把数学学习转移到问题解决的轨道上来, 把问题作为整个教学活动过程的出发点, 要用 “ 数学建模”的思路和方法, 让学生解决问题, 使学生掌握数学的基本知识与技能. 力求改变“ 问题——分析解答——练习”的传统模式, 形成“ 实际问题——建立模型——解释应用”的新的教学模式.
例如研究曲线的形状时可以改变以往的学生死记硬背其性质的方法, 让学生主动探索, 通过研究决定曲线形状的量来得出曲线的性质. 就比如说讲解雪花曲线的形状和性质时, 先不给出雪花曲线的性质, 而是让学生首先知道如何得到雪花曲线, 通过建立模
【9】型得出性质. 请看下面就如何通过数学模型来研究雪花曲线的性质.
1. 提出研究课题
我们看到漫天飞舞的雪花, 那么雪花究竟是什么形状呢？
注：雪花曲线的由来可以根据一个正三角形每条边分成三等分, 以居中的一段为边向外做正三角形并把居中的线段去掉. 这样一直进行下去.
2. 分析数据, 数学建模
在讨论雪花曲线的形状时候, 可以讨论曲线的边长、边数、周长、面积. 为了讨论的方便设：原三角形的边长为a 1 、边数为b 1 、周长为l 1 、面积为S 1 .依次所得的“雪花曲线”（P(n)）的边长为a n 、边数为b n 、周长为l n 、面积为S n .依据以上的数据找出a n 与a n-1 ,bn 与b n-1 ,ln 与l n-1 ,Sn 与S n-1 的关系, 之后导出他们的通项公式.
① 它们边长之间的关系 11⎛1⎫由a 2=a 1,......, a n =a n -1. 得出a n = ⎪33⎝3⎭n -1 a 1。
② 它们边数之间的关系
由b =4b ,......, b =4b , 得出b =(4)n -1b 。
21n n -1n 1
③ 它们周长之间的关系 n -1⎛4⎫由l 2=a 2b 2, l n =a n b n , 得出l n = ⎪⎝3⎭ a 1b 1。
④ 它们面积之间的关系 44⎛4⎫由S 2=S 1,......, S n =⨯ ⎪33⎝9⎭n -183⎛4⎫S n -1, 得出S n =[- ⎪55⎝9⎭n -1 ]S 1
3. 总结评估、研究拓展
总结写出数列 { an }、{ bn }、{ ln }、{ Sn } 的特点：
① 数列{ an }、{ bn }、{ ln }都是等比数列；
② 数列{ bn }、{ ln }、{ Sn }都是递增数列；数列{ an }是递减数列；
③ 数列{ bn }、{ ln }的公比大于1,{ an }的公比小于1, 根据函数的图象可以知道, 随着n 趋近于 +∞ ,bn 、l n 趋近于+∞ ,an 趋近于0 .同理可知S n 8 趋近于S 1。5
4. 检验结果
根据以上的结果可以总结出“雪花曲线”特性, 即
①“雪花曲线”是一条边数无穷多, 到处是尖端, 不光滑的、连续封闭的曲线.
②“雪花曲线”的周长为无穷大, 而它围成的面积是有限的.
③曲线上的每一小部分都与整个曲线相似, 就像大树上的小树枝和整个大树相似一样.
这样的教学不但可以克服以往在教学过程中出现的困乏、死板、枯燥、无趣的教学问题, 使教学效果大大的提高, 还可以激发学生学习的兴趣, 挖掘学生学习的潜能, 为学生的学习提供了很大的动力. 所以教学时结合教学内容, 介绍与高等数学相关的新成果和课题, 以及研究高等数学的基本方法, 让学生了解或适当参与中学数学教学改革, 在课程教学或专题讲座中可适当地介绍一些当前教改的热点课题, 以及常用的研究方法. 引导学生运用高等数学的思想、方法、知识, 对初等数学进行探讨和学习. 激发学生的学习兴趣, 培养学生对数学探究的能力, 使他们努力学习.
7 “高观点”在新课标中的体现
《普通高中数学课程标准（实验）》（即本文所指的新课标, 以下简《称标准》）自出版以来, 倍受关注. 本文接下来拟探寻其中所体现的“高观点”.
7.1 课程基本理念中的“高观点”
1．提供多样的课程, 适应个性的选择. 《标准》指出, “高中数学课程应为学生提供选择和发展的空间, 为学生提供多层次、多种类的选择...... ”, “同时, 高中数学课程也该给学校和教师留有一定的选择空间, 他们可以根据学生的基本需求和自身的条件, 制定课程发展计划, 不断丰富和完善供学生选择的课程”. 这一理念本身并非“高观点”, 但却是对“高观点”包容与接纳. “高观点”的实体与形态可以说是一种课程, 不仅适应与学有余力的学生提前接触高等数学知识和现代数学思想和方法, 为今后的发展打下基础, 也适应于其它学生, 使他们扩展视野, 增强学习数学的兴趣和乐趣. 若有这样一种课程的加入, 高中数学课程体系将显得更加丰富, 可供学生选择的空间也将拓广, 以更有利于个性的发展.
2．与时俱进地认识“双基”. 《标准》指出, “随着时代的发展, 特别是数学的广泛应用, 计算机技术和现代信息技术的发展数学课程的设置和实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵...... 例如高中数学课程应增加算法的内容, 把最基本的数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基本技能；同时删减了烦琐的计算, 人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容. ”这一理念符合“高观点”作为一种数学思想方法的定位. “高观点”就是为力删烦就简、去粗取精、改善知识结构、提高能力水平.
3 .体现数学文化价值【7】. 《标准》指出, “数学是人类文化的重要组成部分..... 高中数学课程提倡体现数学文化价值, 并在适当的内容中提出对‘数学文化’的学习要求, 设立‘数学史’选讲专题”. 这一理念更加丰富了“高观点”的内涵. 数学文化价值既数学与社会发展的相互作用、数学科学的思想体系、数学美学价值等. 体现数学的文化价值即是一种“文化观”, 是基于人本主义的当代数学教育的价值取向. 而学习数学历史, 不仅能理解重要的数学方法的来源和数学家的智慧, 也能理顺数学发展的趋势, 从而树立“历史观”和“文化观”突破学科的限制, 将数学学习置身于人类科学体系, 更符合现代社会对人的综合要求.
7.2 课程设计思路中的“高观点”
《标准》中课程设计以框架为主体, 并结合教育改革的基本理念、课程内容以及实施, 使之成为一个有机的整体. 在框架中, “高中数学课程分必修和选修”, 必修课以模块的形式出现, 选修课则以模块和专题的形式出现. 在适用对象上, 必修课程人人必修, 选修课程则因人而异. 在模块和专题之中, 又要求渗透数学探究、数学建模的思想和数学文化的内容. 模块有一定的逻辑次序, 而专题可以不考虑先后顺序. 整个设计具有系统性, 又具有开放性和灵活性. 开放性体现在“其中的专题将随着课程的发展逐步予以补充”, 灵活性主要体现在“学生可以选择不同的课程组合, 选择以后还可以根据自身情况和条件适当调整”, 《标准》中又具体提供了3种基本的课程组合. 可以看出, 《标准》中的课程设计思路类似欲公理化的思想：即从主体框架入手, 通过框架内容中不同的演绎组合, 形成各种灵活多变的具体专门适应性的组合课程, 使得学生选课和教师的教课都有较大的弹性. 公理化、集合论的思想是现代数学的重要思想, 如果说将其用在具体的数学教学中是属于微观层次的话, 那么将其用在数学课程设计上则属于宏观层面, 毋庸质疑, 后者对中学数学的教与学的指导作用是根本性的.
7.3 内容标准中的“高观点”
从课程内容上来考虑“高观点”就是要看其中与“高观点”相关的知识含量及其处理方式. 应该说, 这是在《标准》中的知识载体.
必修课包括5个模块. 其中数学3为：算法初步、统计、概率. 《标准》指出, “算法是一个全新的课题, 已经成为计算科学的重要基础...... 在必修课程中将学习算法的基本思想和初步知识, 算法思想将贯穿高中数学的相关部分”, “例如, 运用消元法解二元一次方程组、求最大共因数等过程就是算法”, “算法除作为本模块的内容之外, 其思想方法渗透在高中数学课程其他的有关内容中, 鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题”. 《标准》中还提到, 在统计教学中, “教师可以引导学生体会最小二乘法的思想, 根据所给出的公式求线形回归方程”, “概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义”.
与必修课相比, 《标准》 中选修课程更加突出地体现了“高观点”. 系列一包括两个模块：选修1-1中包含了导数及其应用, 建议“通过实例了解、感受、体会、防止忽视它的思想和价值”等. 选修1-2包含了统计案例, 也有相似的建议；系列而包括3个模块. 其中, 选修2-1包含了空间向量及其应用, 重点展示了向量方法（这是“高观点”所积极倡导的）. 系列3、系列4分别由若干个专题组成, 几乎是数学史和高等数学（也包括现代数学）的知识, 但“所涉及的内容都是基础性的数学内容, 反映某些重要的数学思想”, “有些专题是中学数学内容的延伸, 有些专题是通过典型事例介绍数学的一些应用方法”. 我们看到, 这些选修专题呈现了现代数学的多个分支, 又兼顾了数学史, 并凸现了思想方法. 这对于学生来说, 既开拓了视野、增强了数学学习的兴趣, 又能从中受到 启发, 从而改善的不仅是解题方法, 而是学习方法乃至思维方法. “高观点”对于现代数学知识和数学史有与之相同的处理方式, 这或者是《标准》制定者的用意所在, 或者是“高观点”在现行中学数学教学中的潜在要求所致.
8 结束语
高等师范类院校数学专业培养的目标主要是初等数学教育的工作者, 学校无论开设什么样的课程, 其目的都是要使学生通过对这些课程的学习, 具备中学数学教师的基本素质. 然而高等师范类院校开设的数学课程全是高等数学课程, 许多学生没有体会到高等数学和初等数学课程之间的联系, 形成认为高等数学的学习对初等数学的教育无用的不正确的观点. 鉴于此, 本文分四个部分从《新课标》的知识框架和理念 、高观点的涵义和用高观点进行教学可行性的理论基础 、用高观点的方法用高等数学的思想对成等数学进行指导 、高观点的思想在新课标中的体现这四个方面论述了用“高观点”的思想进行中学数学的教学可能性和有效性. 在写作时用以下三个基本的思想：一个是在数学教学中本文强调用高等数学的观点、思想和方法去解释和处理初等数学的问题. 一个是改变以前数学教学陈旧、刻意的形式化的表达以及对数学作为工具课所应起的作用的忽视的传统模式, 从学生的基础知识和需要出发进行教学. 同时改变传统的、单一的学习方式, 进行合作学习. 在教学方式上, 要改变“ 问题——分析解答——练习”的传统模式, 形成“ 实际问题——建立模型——解释应用”的新的教学模式. 还有一个是平等老师和学生地位, 把教学的重心从老师转移向学生, 建立以学生为主体老师为主导的教学模式.
在写作期间, 虽然馔写此文尽了最大的努力, 但由于本人才疏学浅, 时间紧迫和一些客观的原因, 论文中不免会出现一些问题与不足, 许多地方还不完善, 很粗糙, 恳请各位老师提出批评和指正, 希望以后继续完善, 我在此表示感谢.
参考文献
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