高中数学余弦定理
[教学设计说明]
一、教案说明：
在进入21世纪的当前，教育正在由应试教育向素质教育转变，实施素质教育就要求每位教师加强素质教育课堂教学模式和教学策略的研究，这是历史赋予我们这一代教育工作者的重任，也是一种机遇和挑战。
《余弦定理》一课教学模式和策略设计就是想让素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究。旨在通过学生自己的思维活动获取数学知识，提高学生基础性学力(基础能力) ，培养学生发展性学力(培养终身学习能力) ，诱发学生创造性学力(提高应用能力) ，最终达到素质教育目的。为此，我在设计这节课时，采用开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略。
开放式教学模式是充分建立在学生学习过程认识上的一种模式，其充分注重“人”的学习心理，通过设置开放性问题，问题的层次性推进和教师启发、点拨发展学生有效思维，提高数学能力，达到上述三种学力的提高、培养和诱发。以学生参与为主，教师启发、点拨教学策略是体现以学生发展为本的现代教育观，在开放式讨论过程中，提高学生的数学基础能力，发展学生的各种数学需要，使其获得终身受用的数学基础能力和创造才能。
根据上述的体会、想法，我在余弦定理第一节教学课的设计上进行一些探索，用图解说明如下：
二、教学目标：
1．掌握余弦定理及其多种推导过程。
2．通过一题多解，培养学生思维的灵活性，提高数学交流能力。
3．综合运用正弦定理和余弦定理解决有关的实际问题。
三、教学重点、难点：
重点是余弦定理的推导及其应用。难点是综合运用正弦定理和余弦定理解决有关解斜三角形的应用题。
[教学过程]
一、借助直观，激发兴趣，提出问题。
问题一：判别给出的四个三角形模型的形状(不用测角工具) 。
学生在回答过程中发现，有些三角形是很难凭自己经验知识和直观感觉就能做出判断。显然，我们可测出三角形的三边长，这个问题就可归纳到这样的问题：已知三角形三边长，求三个角(只需求最大角) 大小问题。
二、学生思考，小组交流，解决问题。
问题二：在ΔABC 中，已知a=7，b=5，c=3，求最大角。
学生不同的解法简录：
方法一(方程思想) ：如图，BC ²=CD²+BD²
即a ²=：(b-ccosA)²十(csinA)²
方法二(解析法) ：如图建立直角坐标系，B(ccosA，csinA)
C(b，0) ，由│BC │=a可得。
方法三(三角法) ：如图，设∠CAD=α, ∠BAD=β AD=x,
CD=y，则c ²-(a-y)²=b²-y ²，
2ay ：b ²+a²-c ²，X ²+y²=b²
cosA ：COS(a十β) ：COSaCOS β—sinasin β
教师巡视，启发点拨学生参与一题多解解法探求，组成四人小组交流发言，形成开放性求解研究的趣味，结果发现学生有三种不同的解法。有利于发展学生思维的广阔性，优化学生思维的品质，提高数学交流能力。
三、让学生在实践中归纳整理得到余弦定理。
归纳得：
并把这些数学表达式叙述成数学语言。
让学生掌握由特殊到一般，类比、抽象和归纳等数学思想方法，并探求出一般结论——余弦定理。
四、使学生认识到数学源于实践，服务实践。
问题三：如何用余弦定理判别△ABC 形状(已知三边长a 、b 、c) 。
解:不妨设a
a2十b2>，c2 △ABC 为锐角三角形，a2十b2=c2ABC为直角三角形，a2十b2ABC为钝角三角形。
解决开始提出的问题，使学生认识到，通过自己主动参与而能自行获取数学知识，并能学到摄取知识的数学思想方法，逐步形成发现、研究、解决问题的方法，诱发创造才能。
问题四：请你设计一种方法，在河的一侧测量出对岸某两点间距离(工具有尺和测角器) 。
学生方案实录：
方案一：如图一，在A 、B 所在对岸取点C ，使A 、B 、C 三点共线，再测出∠ACD=90°，CD=a，∠CDA=α，∠CDB=α，即可求AB=a(tgβ—tg α)
方案二：如图二，在A 、B 所在对岸取三点P 、C 、D ，测出∠APC=∠BPD=90°，PC=a，PD=b，∠APB=θ，∠ACP=α，∠PDB=β，则AP=atgα，BP=btgβ，再由余弦定理可求得AB 长。
方案三：如图三，在A 、B 所在对岸取C 、D 两点，测出∠BCD=α，∠CDB=β，CD=a，由正弦定理得再测出∠ACD=Φ ,∠ADC=θ，由正弦定理得 在△ABD 中, 再由余弦定理求得AB=√AD2+BD2-2AD.BDcos(β-θ)
以四人小组展开讨论、交流，教师巡视、启发、点拨，最终出现三种解决问题的方法。通过开放性应用数学问题的解决，让学生思维得到升华，并在问题解决中感悟到探索价值，发展创造性思维。
五、小结。
增强学生记忆，加深理解，发展思维，培养数学交流能力。在教师启发、点拨下，让学生参与完成小结。1．掌握余弦定理表达式、各种变形表达式及语言叙述。2．余弦定理适用范围，重视正、余弦定理的综合应用。
高中数学余弦定理
[教学设计说明]
一、教案说明：
在进入21世纪的当前，教育正在由应试教育向素质教育转变，实施素质教育就要求每位教师加强素质教育课堂教学模式和教学策略的研究，这是历史赋予我们这一代教育工作者的重任，也是一种机遇和挑战。
《余弦定理》一课教学模式和策略设计就是想让素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究。旨在通过学生自己的思维活动获取数学知识，提高学生基础性学力(基础能力) ，培养学生发展性学力(培养终身学习能力) ，诱发学生创造性学力(提高应用能力) ，最终达到素质教育目的。为此，我在设计这节课时，采用开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略。
开放式教学模式是充分建立在学生学习过程认识上的一种模式，其充分注重“人”的学习心理，通过设置开放性问题，问题的层次性推进和教师启发、点拨发展学生有效思维，提高数学能力，达到上述三种学力的提高、培养和诱发。以学生参与为主，教师启发、点拨教学策略是体现以学生发展为本的现代教育观，在开放式讨论过程中，提高学生的数学基础能力，发展学生的各种数学需要，使其获得终身受用的数学基础能力和创造才能。
根据上述的体会、想法，我在余弦定理第一节教学课的设计上进行一些探索，用图解说明如下：
二、教学目标：
1．掌握余弦定理及其多种推导过程。
2．通过一题多解，培养学生思维的灵活性，提高数学交流能力。
3．综合运用正弦定理和余弦定理解决有关的实际问题。
三、教学重点、难点：
重点是余弦定理的推导及其应用。难点是综合运用正弦定理和余弦定理解决有关解斜三角形的应用题。
[教学过程]
一、借助直观，激发兴趣，提出问题。
问题一：判别给出的四个三角形模型的形状(不用测角工具) 。
学生在回答过程中发现，有些三角形是很难凭自己经验知识和直观感觉就能做出判断。显然，我们可测出三角形的三边长，这个问题就可归纳到这样的问题：已知三角形三边长，求三个角(只需求最大角) 大小问题。
二、学生思考，小组交流，解决问题。
问题二：在ΔABC 中，已知a=7，b=5，c=3，求最大角。
学生不同的解法简录：
方法一(方程思想) ：如图，BC ²=CD²+BD²
即a ²=：(b-ccosA)²十(csinA)²
方法二(解析法) ：如图建立直角坐标系，B(ccosA，csinA)
C(b，0) ，由│BC │=a可得。
方法三(三角法) ：如图，设∠CAD=α, ∠BAD=β AD=x,
CD=y，则c ²-(a-y)²=b²-y ²，
2ay ：b ²+a²-c ²，X ²+y²=b²
cosA ：COS(a十β) ：COSaCOS β—sinasin β
教师巡视，启发点拨学生参与一题多解解法探求，组成四人小组交流发言，形成开放性求解研究的趣味，结果发现学生有三种不同的解法。有利于发展学生思维的广阔性，优化学生思维的品质，提高数学交流能力。
三、让学生在实践中归纳整理得到余弦定理。
归纳得：
并把这些数学表达式叙述成数学语言。
让学生掌握由特殊到一般，类比、抽象和归纳等数学思想方法，并探求出一般结论——余弦定理。
四、使学生认识到数学源于实践，服务实践。
问题三：如何用余弦定理判别△ABC 形状(已知三边长a 、b 、c) 。
解:不妨设a
a2十b2>，c2 △ABC 为锐角三角形，a2十b2=c2ABC为直角三角形，a2十b2ABC为钝角三角形。
解决开始提出的问题，使学生认识到，通过自己主动参与而能自行获取数学知识，并能学到摄取知识的数学思想方法，逐步形成发现、研究、解决问题的方法，诱发创造才能。
问题四：请你设计一种方法，在河的一侧测量出对岸某两点间距离(工具有尺和测角器) 。
学生方案实录：
方案一：如图一，在A 、B 所在对岸取点C ，使A 、B 、C 三点共线，再测出∠ACD=90°，CD=a，∠CDA=α，∠CDB=α，即可求AB=a(tgβ—tg α)
方案二：如图二，在A 、B 所在对岸取三点P 、C 、D ，测出∠APC=∠BPD=90°，PC=a，PD=b，∠APB=θ，∠ACP=α，∠PDB=β，则AP=atgα，BP=btgβ，再由余弦定理可求得AB 长。
方案三：如图三，在A 、B 所在对岸取C 、D 两点，测出∠BCD=α，∠CDB=β，CD=a，由正弦定理得再测出∠ACD=Φ ,∠ADC=θ，由正弦定理得 在△ABD 中, 再由余弦定理求得AB=√AD2+BD2-2AD.BDcos(β-θ)
以四人小组展开讨论、交流，教师巡视、启发、点拨，最终出现三种解决问题的方法。通过开放性应用数学问题的解决，让学生思维得到升华，并在问题解决中感悟到探索价值，发展创造性思维。
五、小结。
增强学生记忆，加深理解，发展思维，培养数学交流能力。在教师启发、点拨下，让学生参与完成小结。1．掌握余弦定理表达式、各种变形表达式及语言叙述。2．余弦定理适用范围，重视正、余弦定理的综合应用。