复数与几何
之模的最值研究
说课稿件
一·说教材
1、课型 复习课
2、教学内容 高中代数下册184页到193页
（复数的向量表示和复数的加减法）
3、编排意图 复数Z 的点集合表示的图形与复数加减法的几何意义有机结
合，是解决复数模最值的关键所在，其中涉及到对学生数形
结合的方法、转化思想的考察，因而在实际操作中学生感到
比较困难。而复数几何意义又是本章的重点内容，为此安排
这一节复习课，目的是突出重点、分化难点初步了解数形结
合的方法和转化思想，为高三复习打好基础，同学们通过学
习能够潜移默化学习到一些综合解决问题的能力，实现章节
间的联系。
4、前后联系 本讲表面看只与复数模、复数几何意义有联系，实际上还与
圆锥曲线有着密切的联系，需要圆锥曲线的知识作为辅垫。
5、教学目标 （1）能正确知道复数Z 的点集合表示的图形
（2）复数模的几何意义是什么
（3）树立数形结合的思维方法
（4）学会综合应用知识的方法
（5）认识转化思想的重要性
（6）理解代数与几何的有机联系
6、教学重点 利用数形结合将代数问题转化为几何问题来解决，重点转化
思想的建立
7、教学难点 转化的关键在于数形结合，所以用数形结合实施转化是难点
8、教学关键 利用数形结合成功转化是关键
9、练习安排 例题1是点在圆内，安排同学们练习点在圆外和圆周上的练
习，并让同学小结三种情况，以此为基础再练习几个涉及椭
圆和双曲线的习题，加深同学的理解，使之在今后见到类似
问题其难度就在无形中分化了
二·学情分析
1现有基础 学生对复数和圆锥曲线都有一定认识，但不能有机的结合在
一起 ，因而数形结合思想应贯穿整个教学过程中
2学习动力 同学们渴望找到快洁迅速解决问题的方法
3学习能力 同学们已初步具备一些转化思想，但未能形成一种思维模式
需要强化训练
三·教法设想
1、讲解法 利用例题的讲解使同学们初步认识处理这类问题的基本方法
2、练习法 利用例题的变式让同学们充分去感知方法所在，并适当小结
3、尝试法 在上面的基础之上，让同学们尝试解决其他问题的方法，即
后面的例题让同学们尝试回答，目的是检查课堂效果。
四·学法指导
1、通过例题的解决，加深对数形结合的理解。
2、通过课堂练习让同学们体会转化在学习中的重要性，解决问题的关键所
在。
3、通过例题和练习让同学们深刻体会数学的简洁美。
4、通过本次课的学习，提高学生的综合解题能力。
5、本讲充分体现了简洁美，有助于提高同学们的学习信心。
五·教学过程
1、引入课题（三分钟）
（板书）例题1：已知︱Z ︱=2，那么︱Z+i︱的最大值是——最小值是——。
（指出）这样的最值问题在各种考试中反复出现，但同学们掌握不够理想
究其原因是没有掌握好解决这类问题的数学思想和数学方法。今天
给大家介绍简洁快速的解法。（旨在提高同学们学习热情）
（板书）课题：模的最值研究
2、达标教学（三十分钟）
（1）（学生回答）a 、复数的模。b 、｜Z-P ｜的几何意义。C 、｜Z-P ｜=r
的几何意义。
（2）讲解例题1
（3）课题练习 a 、已知｜Z-1+i｜=2，求｜Z+i｜最值。
b 、已知｜Z-1+i｜=2, 求｜Z+1+3i｜最大值，最小值。
（4）同学小结 定点分别在圆内、圆上、圆外的最值快洁解决方法。 （教师板书）
已知｜Z- Z 0｜=R，求｜Z- Z 1｜最值。
Z 1在圆内 最大值=R+｜Z 0- Z 1｜、 最小值= R-｜Z 0- Z 1｜，
Z 1在圆上 最大值=R、 最小值=0，
Z 1在圆外 最大值=｜Z 0- Z 1︱+ R、 最大值=｜Z 0- Z 1︱- R。
（5）尝试（同学自己完成）
a 、已知Z 满足｜Z+i｜+｜Z-i ｜=2，求｜Z+1+i｜最值。
b 、已知Z 满足｜Z+2i｜-｜Z-2i ｜=4，求｜Z-2-3i ｜的最小值。
（6）变式讲解
例题2：已知︱Z ︱=1，要使1- i+ Z 的模最大，那么a r g Z 的值是
A）、∏/4，B ）、3∏/4，C ）、5∏/4，D ）、7∏/4。
分析与解：
两个复数和的模要最大，那么两个复数必须同向，因而求
a r g Z 转化为求a r g （1-Z ） 。
（7) 课堂练习
已知︱Z ︱=1，求｜Z 2+Z+1｜的最值。
3、课堂小结
转化是关键，数形结合是方法。
4布置作业
（1） 体会本次课，认真总结。
（2） 作业在小黑板上
教案
教学目的及要求:
通过复数模的最值研究，使同学们掌握其简洁的求解方法，能够
迅速、快洁的解答这一类问题。
重点及关键：
数形结合法，转化思想。
一·导入
复数模的最值问题在各种考试中反复出现，但同学们掌握不够理想，究其原因是没有掌握好解决这类问题的数学思想和数学方法，本次课就是要大家 初步了解数形结合的方法和转化思想，学习到一些综合解决问题的能力。 二·预备知识
1、复数的模。2、｜Z 0- Z 1｜的几何意义。3、｜Z-P ｜=r的几何意义。 三·新授课
例题1：已知︱Z ︱=2，那么︱Z+i︱的最大值是——最小值是——。
分析与解：︱Z ︱=2表示以（0，0）为心，2为半径的圆，而︱Z+i周上任意一点到（0，1）点的距离，且点（0，1过（0，1）点的直径上。
/ 例题1：已知｜Z-1+i｜=2，求｜Z+i｜最值。（同学自己完成）
例题2：已知｜Z-1+i｜=2, 求｜Z+3+3i｜最大值，最小值。
分析与解：与例题1相似，其区别是定点 （-3，-3知识知道最大值最小值在圆心和定点连线上。
点评：已知｜Z- Z 0｜=R，求｜Z- Z 1｜最值。
Z 1在圆内 最大值=R+｜Z 0- Z 1｜、 最小值= R-｜Z 0- Z 1｜，
Z 1在圆上 最大值=R、 最小值=0，
Z 1在圆外 最大值=｜Z 0- Z 1︱+ R、 最大值=｜Z 0- Z 1︱- R。
例题3 ：已知Z 满足｜Z+i｜+｜Z-i ｜=2，求｜Z+1+i｜最值。 分析与解：｜Z-Z 1｜+｜Z-Z 2｜=2a 是椭圆形曲线 。当｜Z 1-Z 2｜=2a 时，为线段 Z 1Z 2 如图，其最值就好求了。
试问若定点Z 为（-1，-3）时，其最值如何？
例题4：已知Z 满足｜Z+2i｜-｜Z-2i ｜=4，求｜Z-2-3i ｜的最小值。 分析与解：｜Z-Z 1｜-｜Z-Z 2｜=2a 是双曲线型图形，但当｜Z 1-Z 2｜=2a 时，
是射线。 若定点Z 0在射线两侧，最小值为Z 0到射线的距离。
若定点Z 0在Z 1下方，最小值为｜Z 1-Z 0｜。
例题5：已知Z 1∈｛Z ｜｜Z-3-5i ｜-｜Z-3+5i｜=6｝
Z 2∈｛Z ｜｜Z-3-5i ｜=1｝求｜Z 1-Z 2｜的最小值。 分析与解：如图所示，Z 1在双曲线的下支，Z 2在以（3，5）为心的单位园上，
因此最小值为两个焦点的距离减半径1。
四·变式
例题6：已知︱Z ︱=1，要使1- i+ Z 的模最大，那么a r g Z 的值是
A）、π/4，B ）、3π/4，C ）、5π/4，D ）、7π/4。 分析与解： 两个复数和的模要最大，那么两个复数必须同向，因而求a r g Z 转化为求a r g （1-Z ） 。
例题7：已知︱Z ︱=1，求｜Z 2+Z+1｜的最值。
分析与解：设Z=x+ y I -1≤x ≤1，-1≤y ≤1，再考虑到︱Z ︱2=ZZ-=1，那么
--｜Z 2+Z+1｜=｜Z 2+Z+ ZZ｜=︱Z ︱｜Z+1+ Z｜=｜1+2x｜，
所以，最大值=3，最小值=0
五·课堂小结
转化是关键，数形结合是方法。
六·作业
见资料。
复数与几何
之模的最值研究
说课稿件
一·说教材
1、课型 复习课
2、教学内容 高中代数下册184页到193页
（复数的向量表示和复数的加减法）
3、编排意图 复数Z 的点集合表示的图形与复数加减法的几何意义有机结
合，是解决复数模最值的关键所在，其中涉及到对学生数形
结合的方法、转化思想的考察，因而在实际操作中学生感到
比较困难。而复数几何意义又是本章的重点内容，为此安排
这一节复习课，目的是突出重点、分化难点初步了解数形结
合的方法和转化思想，为高三复习打好基础，同学们通过学
习能够潜移默化学习到一些综合解决问题的能力，实现章节
间的联系。
4、前后联系 本讲表面看只与复数模、复数几何意义有联系，实际上还与
圆锥曲线有着密切的联系，需要圆锥曲线的知识作为辅垫。
5、教学目标 （1）能正确知道复数Z 的点集合表示的图形
（2）复数模的几何意义是什么
（3）树立数形结合的思维方法
（4）学会综合应用知识的方法
（5）认识转化思想的重要性
（6）理解代数与几何的有机联系
6、教学重点 利用数形结合将代数问题转化为几何问题来解决，重点转化
思想的建立
7、教学难点 转化的关键在于数形结合，所以用数形结合实施转化是难点
8、教学关键 利用数形结合成功转化是关键
9、练习安排 例题1是点在圆内，安排同学们练习点在圆外和圆周上的练
习，并让同学小结三种情况，以此为基础再练习几个涉及椭
圆和双曲线的习题，加深同学的理解，使之在今后见到类似
问题其难度就在无形中分化了
二·学情分析
1现有基础 学生对复数和圆锥曲线都有一定认识，但不能有机的结合在
一起 ，因而数形结合思想应贯穿整个教学过程中
2学习动力 同学们渴望找到快洁迅速解决问题的方法
3学习能力 同学们已初步具备一些转化思想，但未能形成一种思维模式
需要强化训练
三·教法设想
1、讲解法 利用例题的讲解使同学们初步认识处理这类问题的基本方法
2、练习法 利用例题的变式让同学们充分去感知方法所在，并适当小结
3、尝试法 在上面的基础之上，让同学们尝试解决其他问题的方法，即
后面的例题让同学们尝试回答，目的是检查课堂效果。
四·学法指导
1、通过例题的解决，加深对数形结合的理解。
2、通过课堂练习让同学们体会转化在学习中的重要性，解决问题的关键所
在。
3、通过例题和练习让同学们深刻体会数学的简洁美。
4、通过本次课的学习，提高学生的综合解题能力。
5、本讲充分体现了简洁美，有助于提高同学们的学习信心。
五·教学过程
1、引入课题（三分钟）
（板书）例题1：已知︱Z ︱=2，那么︱Z+i︱的最大值是——最小值是——。
（指出）这样的最值问题在各种考试中反复出现，但同学们掌握不够理想
究其原因是没有掌握好解决这类问题的数学思想和数学方法。今天
给大家介绍简洁快速的解法。（旨在提高同学们学习热情）
（板书）课题：模的最值研究
2、达标教学（三十分钟）
（1）（学生回答）a 、复数的模。b 、｜Z-P ｜的几何意义。C 、｜Z-P ｜=r
的几何意义。
（2）讲解例题1
（3）课题练习 a 、已知｜Z-1+i｜=2，求｜Z+i｜最值。
b 、已知｜Z-1+i｜=2, 求｜Z+1+3i｜最大值，最小值。
（4）同学小结 定点分别在圆内、圆上、圆外的最值快洁解决方法。 （教师板书）
已知｜Z- Z 0｜=R，求｜Z- Z 1｜最值。
Z 1在圆内 最大值=R+｜Z 0- Z 1｜、 最小值= R-｜Z 0- Z 1｜，
Z 1在圆上 最大值=R、 最小值=0，
Z 1在圆外 最大值=｜Z 0- Z 1︱+ R、 最大值=｜Z 0- Z 1︱- R。
（5）尝试（同学自己完成）
a 、已知Z 满足｜Z+i｜+｜Z-i ｜=2，求｜Z+1+i｜最值。
b 、已知Z 满足｜Z+2i｜-｜Z-2i ｜=4，求｜Z-2-3i ｜的最小值。
（6）变式讲解
例题2：已知︱Z ︱=1，要使1- i+ Z 的模最大，那么a r g Z 的值是
A）、∏/4，B ）、3∏/4，C ）、5∏/4，D ）、7∏/4。
分析与解：
两个复数和的模要最大，那么两个复数必须同向，因而求
a r g Z 转化为求a r g （1-Z ） 。
（7) 课堂练习
已知︱Z ︱=1，求｜Z 2+Z+1｜的最值。
3、课堂小结
转化是关键，数形结合是方法。
4布置作业
（1） 体会本次课，认真总结。
（2） 作业在小黑板上
教案
教学目的及要求:
通过复数模的最值研究，使同学们掌握其简洁的求解方法，能够
迅速、快洁的解答这一类问题。
重点及关键：
数形结合法，转化思想。
一·导入
复数模的最值问题在各种考试中反复出现，但同学们掌握不够理想，究其原因是没有掌握好解决这类问题的数学思想和数学方法，本次课就是要大家 初步了解数形结合的方法和转化思想，学习到一些综合解决问题的能力。 二·预备知识
1、复数的模。2、｜Z 0- Z 1｜的几何意义。3、｜Z-P ｜=r的几何意义。 三·新授课
例题1：已知︱Z ︱=2，那么︱Z+i︱的最大值是——最小值是——。
分析与解：︱Z ︱=2表示以（0，0）为心，2为半径的圆，而︱Z+i周上任意一点到（0，1）点的距离，且点（0，1过（0，1）点的直径上。
/ 例题1：已知｜Z-1+i｜=2，求｜Z+i｜最值。（同学自己完成）
例题2：已知｜Z-1+i｜=2, 求｜Z+3+3i｜最大值，最小值。
分析与解：与例题1相似，其区别是定点 （-3，-3知识知道最大值最小值在圆心和定点连线上。
点评：已知｜Z- Z 0｜=R，求｜Z- Z 1｜最值。
Z 1在圆内 最大值=R+｜Z 0- Z 1｜、 最小值= R-｜Z 0- Z 1｜，
Z 1在圆上 最大值=R、 最小值=0，
Z 1在圆外 最大值=｜Z 0- Z 1︱+ R、 最大值=｜Z 0- Z 1︱- R。
例题3 ：已知Z 满足｜Z+i｜+｜Z-i ｜=2，求｜Z+1+i｜最值。 分析与解：｜Z-Z 1｜+｜Z-Z 2｜=2a 是椭圆形曲线 。当｜Z 1-Z 2｜=2a 时，为线段 Z 1Z 2 如图，其最值就好求了。
试问若定点Z 为（-1，-3）时，其最值如何？
例题4：已知Z 满足｜Z+2i｜-｜Z-2i ｜=4，求｜Z-2-3i ｜的最小值。 分析与解：｜Z-Z 1｜-｜Z-Z 2｜=2a 是双曲线型图形，但当｜Z 1-Z 2｜=2a 时，
是射线。 若定点Z 0在射线两侧，最小值为Z 0到射线的距离。
若定点Z 0在Z 1下方，最小值为｜Z 1-Z 0｜。
例题5：已知Z 1∈｛Z ｜｜Z-3-5i ｜-｜Z-3+5i｜=6｝
Z 2∈｛Z ｜｜Z-3-5i ｜=1｝求｜Z 1-Z 2｜的最小值。 分析与解：如图所示，Z 1在双曲线的下支，Z 2在以（3，5）为心的单位园上，
因此最小值为两个焦点的距离减半径1。
四·变式
例题6：已知︱Z ︱=1，要使1- i+ Z 的模最大，那么a r g Z 的值是
A）、π/4，B ）、3π/4，C ）、5π/4，D ）、7π/4。 分析与解： 两个复数和的模要最大，那么两个复数必须同向，因而求a r g Z 转化为求a r g （1-Z ） 。
例题7：已知︱Z ︱=1，求｜Z 2+Z+1｜的最值。
分析与解：设Z=x+ y I -1≤x ≤1，-1≤y ≤1，再考虑到︱Z ︱2=ZZ-=1，那么
--｜Z 2+Z+1｜=｜Z 2+Z+ ZZ｜=︱Z ︱｜Z+1+ Z｜=｜1+2x｜，
所以，最大值=3，最小值=0
五·课堂小结
转化是关键，数形结合是方法。
六·作业
见资料。