第４４卷第６期２００８年６月
机械工程学报
ＣＨＩＮＥＳＥＪＯＵＲＮＡＬＯＦＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ
Ｖ０１．４４Ｊｕｎ．
Ｎｏ．６２００８
３自由度球面并联机构３－ＲＲＲ静力全解木
周玉林１，２刘
磊３
高
峰１，２
（１．燕山大学机械工程学院秦皇岛０６６００４；
２．上海交通大学振动、冲击、噪声国家重点实验室上海２０００３０：
３．河北工业大学机械工程学院天津３００１３０）
摘要：采用传统的拆杆法建立机构的静力学平衡方程，考虑构件弹性，利用小变形叠加原理建立机构的变形协调补充方程，进而完成３自由度球面并联机构的静力学分析。求得包括机构输入与输出载荷关系的每个构件上的全部力、力矩。通过计算，得到在三种外载荷下构件上的全部（各）力、输入转矩与机构运动位姿的关系图。结果表明，当作用在机构的外力（仅），通过球心时，机构的输入力矩恒等于零ｊ而构件上的力在全空间内随着机构位姿的变化比较平缓，机构等价一般结构架体而与机
构的特性无关。仅在外力矩Ｍ作用下，机构的输入力矩、构件上的作用力随着机构位姿的变化与机构的特性相关（与雅可比
矩阵的奇异性一致１，力与力矩在构件上所产生的两部分力是独立的，并可以分离。研究为该机构在工程中的结构设计与应用提供静力学理论基础和依据。
关键词：球面并联机构静力学线位移变形协调方程中图分类号：ＴＰ２４
ＳｔａｔｉｃＦｕｌｌ－ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆＳｐｈｅｒｉｃａｌＰａｒａｌｌｅｌ
ＺＨＯＵＹｕｌｉｎｌ・２
ＬＩＵＬｅｉ３
Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ３－ＲＲＲｗｉｔｈ３－ＤＯＦ
ＧＡＯＦｅｎ９１，２
（１．Ｓｃｈｏｏｌ
ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＹａｎｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｈｕａｎｇｄａｏ
０６６００４；
２．ＳｔａｔｅＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎ，Ｓｈｏｃｋ＆Ｎｏｉｓｅ，ＳｈａｎｇｈａｉＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０００３０；
３．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｅｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００１３０）
ａｒｅ
ｓｅｔ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｄｉｓｍａｎｔｌｅ—ｂａｒｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｓｔａｔｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍｕｐ，ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅ
ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｏｆｍｅｍｂｅｒａｎｄｔｈｅｎｕｔｉｌｉｚｉｎｇｔｈｅａｒｅｄｅｒｉｖｅｄａｎｄｔｈｅｎｅａｃｈ
ｍｉｃｒｏ－ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｔｈｅｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｃｏｍｐａｔｉｂｉｌｉｔｙ
ｏｎ
ｔｈｅｓｔａｔｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｓｐｈｅｒｉｃａｌｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｗｉｔｈ３－ＤＯＦｉＳｆｕｌｆｉｌｌｅｄ．Ａｎｔｏｒｑｕｅｓａｎｄｆｏｒｃｅｓａｃｔｉｎｇ
ａ
ｍｅｍｂｅｒａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｉｎｐｕｔｔｏｒｑｕｅｓａｎｄｏｕｔｐｕｔｌｏａｄ．Ａｓ
ｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅ，ｓｏｍｅｆｉｇｕｒｅｓ
ｗｈｉｃｈｓｈｏｗｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｄｒａｗｎ
ｂｅｔｗｅｅｎ
ｉｎｐｕｔｔｏｒｑｕｅ，ｅａｃｈｆｏｒｃｅ
ｏｎ
ｅａｃｈ
ｍｅｍｂｅｒａｎｄｔｈｅｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄｐｏｓｔｕｒｅｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍａｒｅ
ｏｎ
ｕｎｄｅｒｔｈｒｅｅｋｉｎｄｓｏｆｅｘｔｅｒｎａｌｌｏａｄｓ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔ＇ｗｈｅｎｔｈｅｅｘｔｅｒｎａｌｆｏｒｃｅ（ｏｎｌｙ）Ｆａｃｔｉｎｇ
ｔｈｅ
ｍｅｃｈａｎｉｓｍｏｖｅｒｐａｓｓｅｓｔｈｅｓｐｈｅｒｉｃａｌｃｅｎｔｅｒ，ｔｈｅｉｎｐｕｔｔｏｒｑｕｅｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍｉｓｉｄｅｎｔｉｃａｌｌｙｖａｎｉｓｈｉｎｇａｎｄｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎｏｆｆｏｒｃｅｓ
ａｃｔｉｎｇ
ｏｎ
ｍｅｍｂｅｒｓｗｉｔｈｔｈｅｐｏｓａｉｏｎａｎｄｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍｉｎｗｈｏｌｅｓｐａｃｅｉｓｇｅｎｔｌｅｒｓｌｏｐｅ，ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍ
ｔｏ
ａ
ｈａｓｂｅｅｎｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｅｘｔｅｒｎａｌｔｏｒｑｕｅ
ｃｏｎｎｌｌｏｎ
ｆｒａｍｅ．ｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｔｈｅｆｏｒｃｅｓａｒｅ
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Ｍｏｎｌｙ，ｔｈｅ
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ｔｈｅｆｏｒｃｅｓｗｉｔｈｔｈｅｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍａｒｅ
ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ
ｗｉｔｈ
ｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ（ｃｏｉｎｃｉｄｅｄｗｉｔｈｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙｏｆｔｈｅＪａｃｏｂｉａｎｍａｔｒｉｘｌｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍ．Ｔｈｅｔｗｏｐｏｒｔｉｏｎｓｏｆｆｏｒｃｅ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
ｉｏｉｎｔｌｙｐｒｏｄｕｃｅｄｂｙＦａｎｄＭａｒｅｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔａｎｄｄｅｔａｃｈａｂｌｅ．１１１ｅｒｅｓｅａｒｃｈｐｒｏｖｉｄｅｓｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓｏｆｓｔａｔｉｃｓｆｏｒ
ｄｅｓｉｇｎ
ａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍｉｎ
ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．
Ｓｔａｔｉｃｓ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＳｐｈｅｒｉｃａｌｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍＬｉｎｅａｒｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐａｔｉｂｉｌｉｔｙ
灵巧眼［１．２】、数控回转台【３】等中得到应用：还可用于
０前言
３自由度球面并联机构是一种新的、重要的机构，可实现３自由度转动，在卫星跟踪随动装置、
人形机器人并联转动关节等，具有广泛的应用前景。３自由度球面并联机构是典型少自由度并联机构之一，这种机构的类型、运动学分析、机构的性能和机构的尺度综合等方面的研究已取得较大进展【４，５‘１０ｌ。但是由于机构具有６个过约束，各支链的杆件又属于球面曲杆，其静力学求解比较困难。
’国家杰出青年基金（５０１２５５１６）．ｆ铂Ｎ家重点基础研究发展计划（９７３计划，２００６ＣＢ７０５４００）资助项目。２００７０６２５收到初稿，２００７１２１８收到修改稿
目前，利用虚功原理，容易求得输入力矩与输
１７０
机械工程学报
第４４卷第６期
出力矩关系，对选择机构的电动机及将来机构的力控制有重要意义，但是虚功原理不能反应机构的完整静力学特征，无法满足机构设计者的全信息要求，因此机构静力学的全解有重要意义。
本文采用传统的拆杆法，建立机构的静力学平衡方程。考虑构件弹性，利用小变形叠加原理建立变形协调补充方程。对３自由度球面并联机构进行了静力分析，求得不同外载荷（输出）情况下，机构中各构件所受的全部力、力矩、机构的输出与输入力矩的关系，以及各力、力矩与机构运动位姿的关系图，为该机构的构型选择、参数确定、工程结构设计奠定了静力学基础。１
杆件及上、下平台的重力。②不考虑各连接转动副处的摩擦力。
在工程应用中，机构所受到的实际外载荷与机构无关，往往是一个复合（广义）力疋，其中包括力和力矩。可简化为过球心的力，和作
用在上平台上的力矩肘，即疋＝（Ｆ肘）１，其
中Ｆ＝（Ｚ‘以）１，肘＝（他’ｍ，ｍｚ）‘＝（％，
‰‰）１＋ｒ×Ｆ，ｒ为广义力吒作用点到过球心
的矢量。
将机构中所有活动构件按原尺寸参数分离出来作为独立平衡体，分别建立静力学平衡方程。２．１动平台静力平衡方程
动平台与３个上连杆相连处均为单转动副，在每个铰链点处只解除了１个转动方向的约束，因此
３自由度球面并联机构及坐标系
３自由度球面并联机构组成如下：上平台实现３
存在３个力矢量只，、如、＆和两个方向的力矩矢
个方向的转动；下平台固定，两者之间由具有２构件、３转动副的３个支链并联连接，各运动副的轴线交于一点（球心），如图ｌ所示。
量Ｍ，３和心３（待１，２，３），其受力如图２所示。
图２第ｉ支链上平台铰链点的受力
当动平台处于平衡状态时，力平衡方程为
３
，＋∑（Ｅ，＋羁３＋只３）＝口
ｉ＝１
（１）
图１３自由厦球面并联机构受力模型
动平台的力矩平衡方程（对球心Ｏ点取矩）
３
机构的结构参数：ｑ、％、层、岛、７７ｌ；、
珑ｆ（ｆ＝ｌ，２，３），球半径Ｒ，其中仍ｆ（ｆ＝ｌ，２，３）分别为乞。与ｚＩ。在下平台的投影所成角度；冼，◇＝１，２，３）分别为五，与五，在上平台投影所形成的角度。
建立坐标系如下：取球心Ｄ为各坐标系的中心；按照Ｄ．Ｈ连杆坐标系规定的一般方法ｆ１ｌｌ建立坐
膨＋∑（民×Ｒｉ，＋心×％）＋
ｉ＝１３
∑（嘛，＋％。）－－ｏ
（２）
式（１）、（２）中各矢量用静坐标系下的单位方向矢量与其模的积来表达，整理得６个独立方程
标系ＯｘｏｙｏＺｏ、Ｏｘｙｚ和％均乃（ｆ，Ｊ＝ｌ，２，３表示第
ｆ分支的第歹转动副）。
吩、ｗｉ、Ｖｉ（ｆ＝ｌ，２，３）分别表示Ｚｆｌ、互２、互，Ｕ＝ｌ，２，３）坐标轴在静坐标系下单位矢量（由运动学求得），正方向指向外侧。
Ｙ３
Ｅｒ，，，（ｖｉ×ｑ，Ｌ＋ｐ，，，（＿×ｇｆ，），］＋
∑（％，Ｄｆ，，＋％，毋，。）＋皿＝ｏ
宝［ｖ（．，ｉＸ０ｉ３）ｙ＋ｐ，３ｒ（ｖｉｘｑｉ３），］＋
∑ｈ，Ｄｆ，，＋％，ｑｉ，，）＋坞＝ｏ
２机构的静力学平衡方程
为了方便分析，做两个假设：①忽略机构中各
杰［ｖｎ×ｑ，）：屺，，（一×吼，）：］＋
２００８年６月
周玉林等：３自由度球面并联机构３－ＲＲＲ静力全解
１７１
Ｅ（ｍｉｒ３Ｄｉ，：＋％，ｑｔ３ｚ）＋Ｍ：＝ｏ
ｌ＝ｌ
３
六＋∑（Ｚ３％＋，；３ｑ３，＋只３ｑｉ３ｘ）＝ｏ
ｉ＝１
‘＋∑（ｚ，％＋，；，０ｉ，，＋只，ｇ却）＝ｏ
ｉ＝ｌ３
正＋∑（Ｚ，吃＋‘３０ｉ３：＋见３ｑｉ３ｚ）＝ｏ
式中Ｚ３、，；３、易３、ｍｆｒ３和ｍ驴３为矢量曩３、墨３、只３、
Ｍ，３和％，的模：Ｈ、ｑ，、ｑｉ３为固定坐标系下的
单位方向矢量，ｖｉ与坐标轴ｚｆ，重合，０ｉ３位于吩，嵋（与刁２重合）所成的连杆平面内，且垂直于Ｐｉ，满足关系
＝
吩
历仍吧
＝
螺陬岷卜
如
由上式求得吩，进而得到单位矢量Ｄｆ３＝Ｄｆ３／ＩＤｆ３
ｑｉ３垂直于ｑ３、％，按右手螺旋法则有
研３＝ｏｎｘ吩
，＝１，２，３
上平台铰链点处对上连杆（中心角为％）有３个
反作用力Ｅ；、磁、彤和两个反力矩嘭，、嘭３（ｆ＿１，２，３）；下连杆对上连杆作用为３个力量：、
置２、只：和两个方向的力矩％２、％２（ｆ＝１，２，３），
图３第ｉ支链的上连杆受力模型
当上连杆平衡时，力平衡方程
呓＋只２＋Ｅ；＋Ｅ２＋觞＋墨２＝０
ｆ＝ｌ，２，３（４）
民×硝＋民×焉＋如×置２＋民×只２＋嘭３＋
嘭３＋帆２＋％２＝０
ｉ＝１，２，３
（５）
式（４）、（５）中各矢量以静坐标系下的单位方向矢Ｚ：＝Ｚ，（一嵋・吩）＋，；，（－－Ｗｉ・ｑ，）弓：＝Ｚ，（ｑ２・吩）＋，；，（ｑ：・ｑ，）
笔２，．－＋Ｐ朋。ｉ；３。，＝—．０，；，厂———，；。，：＝ｉ＝１，２，３（６）
，；３，．＋朋｛Ｐ２～，；２厂一ｍ驴３＝Ｕ
。
Ｐｆ２，．＋％２＝０
Ｐｉ３，．＋ｍｆｒ３２０
其中标量Ｚ２、，；２、忍２、％２和ｍ由２（ｆ＿１，２，３）是矢
量羁２、Ｒ２、只２、以２和心２的模；一Ｍ、Ｄｆ２、
吼２（ｆ＝ｌ，２，３）为上连杆下端点在固定坐标系的单位方向矢量：一Ｍ与ｚ，：轴重合，ｑ２位于连杆平面内，且垂直于一Ｍ，嘶２垂直于连杆平面。求法与ｑ３、ｑｉ３相同。
２．３下连杆静力学平衡方程
设上连杆对下连杆有３个方向的力Ｅ：、聪、
霉：和两个力矩蟛：、蚝：（ｆ－ｌ，２，３）；下连杆下端
受到３个方向的力只。、墨，、只，和３个方向的力矩
鸠。、螈。和蚝ｌ（江１，２，３），如图４所示。
图４第ｉ支链下连杆受力模型
当下连杆处于平衡时，力平衡方程为
霉：＋只ｌ＋曩；＋ＥＩ＋硝＋Ｂｌ＝０
ｆ＿ｌ，２，３
（７）
力矩平衡方程为
＾形２＋＾％２＋Ｍｉｒｌ＋＾％１＋Ｍ１＋凡ｆ×胄是＋Ｒｗｉ×
毋：＋咒ｆＸ墨ｌ＋咒ｆＸ丑ｌ＝０
ｆ－１，２，３
（８）
式（７）、（８）中各矢量用静坐标下的单位方向矢量与其模的积表达，整理得
ＪＺ。＝∥；（一Ｗｉ・吩）＋‘：（一畋・ｉｌｉ）【‘。＝Ｚ：（一嵋・ｑ。）＋，；：（一畦・０ｉ。）
只Ｉ一以＝０
ｍｉｌ＝（群２一砧，．）ｓｉｎ％ｍ：ｒｌ＝磷２（一畦・ｑ１）＋
ｉ＝ｌ，２，３
（９）
以，（１一Ｗｉ・¨％ｌ２％２＋ｒ／ｅｒ一‘ｌ，
２．２上连杆静力平衡方程
受力状态如图３所示。
力矩平衡方程为
量与其模的积来表达，整理得６个独立方程
机械工程学报
第４４卷第６期
式中标量Ｚｌ、，；ｌ、只ｌ、ｍｌｒｌ、ｍｌｌ（ｉ＝１，２，３）和尼，
呸、以、嘭：、，，ｚ：：（ｆ＝ｌ，２，３）分别是巧ｌ、置。、毋。、
Ｍｅｌ、Ｍ，ｒ。和％ｌ及Ｅ；、觞、丑；、ＭＴｒ２、
膨；２（ｆ＝１，２，３）的模。
ｌｌｆ、０ｉｌ、吼为单位方向矢量，Ｕｉ与Ｚｆｌ方向重合；ｑ１在下连杆平面内，且与１４ｉ垂直，吼１由Ｕｉ、ｑｌ
通过右手螺旋定则确定：口厶、吐为下连杆的上铰
链点单位方向矢量，畋在下连杆平面内，垂直于ｗ，
方向；ｑ；２垂直于连杆平面，其推导方法同Ｏｔ３、吼３。
两连杆平面之间夹角为ｙ，通过坐标变换，得同一铰链点的两组力矢量的模的关系
，；：＝１２（一ｑ２・畋）＋办：（一ｑ，２＂护ｉ２）
ｐ乞＝，；：（一０ｔ２＊如）＋ｐ，：（一ｑ，２＊ｑ；２）厅‘２＝ｍｉｒ２（一０１２＊０｜ｆ２）＋＿驴２（一吼２・吐）
（１０）
％：＝ｍｌｒ：（一０ｉ２＊ｑ；２）＋％：（＿ｇｆ：・砍）
ｉ＝ｌ，２，３
至此，已得到独立的静力学平衡方程４２个，该机构共有４８个未知数。机构具有６个过约束，静力学为６次超静定，因此需要补充６个变形协调方程。
３变形协调补充方程及方程组求解
为了便于计算假设如下：①连续性假设。组成固体的物质毫无空隙地充满了固体的几何空间。②均匀性假设。从构件内任取一部分，不论其体积大
小如何，其力学性能完全相同。③各向同性假设。
固体在各个方向上的力学性能完全相同。④弹性小变形条件。固体因外力作用而引起的变形，限于变形的大小远远小于构件的原始尺寸，且在外力解除后又可恢复原状。⑤不考虑各转动副处的变形和间隙。⑥动平台比各支链杆的尺寸大得多，其变形远远小于杆的变形，为计算动平台上中心点变形方便，假定动平台为刚体。
为了便于描述构件变形，引入新的坐标系：设曲杆周向为ｓ方向，曲杆的曲率半径方向为Ｙ方向，垂直于曲杆平面的方向为ｚ方向。
虽然杆件为弯杆，但对无限小的单元体，仍然符合对直杆变形分析时的结论。
杆件在轴向压缩（拉伸）变形和垂直杆件方向剪切变形相对于扭转和弯曲变形较小，可忽略不计。３．１第ｆ支链下连杆变形
下连杆下端有６个约束简化为固定端，上端受
３个力Ｅ：、璐、鹾和两个力矩麒：、
Ｍ二，（ｆ－１，２，３），如图５所示。
图５下连杆简化模型
杆件任意断面０处力矩
ｆｍｉｌ（０）＝ｆｉ［ｒｓｉｎ（ａ１一目）＋，；：ｒ【ｌ—ｃｏｓ（ａｌ一秽）卜栉‘２｛ｍｉｌｆ（０）＝ｐ厶ｒ［１一ｃｏｓ（ａｔ—ｅ）］－ｍ驴２ｃ，ｏｓ（ａＩ一目）Ｉｍｉｌｗ（口）＝（ｐ厶，＋疗‘２）ｓｉｎ（ａｌ一０）
取微弧段凼，采用积分法求变形。
（１）弯矩ｍｉ。（伊）引起的平面内的弯曲变形。
转角
钆＝』挚＋ｃ１
式中，日，为抗弯刚度，Ｅ为材料弹性模量，ｔ为
横断面对中性轴的惯性矩，对于矩形断面积
ｔ＝ｈｂ３／１２。ｑ为积分常数，当０＝０时，谚ｌ：＝０，
则
ｑ＝一ｒ２（尼ｃｏｓ口１＋瑶ｓｉｎａ，）／ＥＩ，
挠度
ｑｌ目＝Ｉ够ｌ：ｄｓ＋ｑ＝
，．２
ｆＩ：，．０２／２＋ｃｏｓ（ａｌ一秒）一０ｓｉｎａｌ一
％：侈２／２一ｆ，；ｒ［ｓｉｎ（ａｌ－０）＋０ｃｏｓ％】｝／必＋ｑ
当０＝０时，即ｖ／１日＝０，则积分常数
ＤＬ＝ｒ２（ｆｆ『［ｒｓｉｎａｌ—ｑ：！ｒｃｏｓａＯ｝ＥＩ
ｚ
当０＝％时，ｍｉ，（０）引起的下连杆上端点的转
角和挠度Ｉ嚷＝２
，［ｚ；，．（１一ｃｏｓｑ）一所刍：％＋呓，．（ａｌ—ｓｉｎｑ）］／必
｛嵋日＝ｒ２［ｚ；，．（ｓｉｎａ。一呸ｃｏｓａ，）一％：嘶２／２＋ｆ呓，（ａ；／２＋１一％ｓｉｌｌ％一ｃｏｓ％）］／白：
【
ｉ＝ｌ，２，３
（１１）
（２）扭矩％，（口）（取ｓ方向的扭矩为正），引起的
嘲＝ｒ１（Ｍ“（Ｏ）／Ｏ∥ｈｂ３
ｒｄＯ＝厂［以ｒ（ｑ＿ｓｉｎａ，）－
蜕２ｓｉｎａｌ］／Ｇｆｌｈｂ３
０２）
下连杆末端的变形。扭转角
２００８年６月周玉林等：３自由度球面并联机构３－ＲＩ浓静力全解
（３）弯矩ｍｎｗｐ）（取Ｙ方向的弯矩为正方向），
引起的垂直弯杆的弯曲变形。
转角
靠，：ｆ（觋，。（日）／码），ｄ口＋Ｃ２
式中，，，．为横断面对中性轴的惯性矩，对于矩形
断面积Ｌ＝ＪＩｌ３ｂ／１２。当秒＝０时，岛，＝０，则积分
常数
Ｃ２＝一ｒ（蝣２＋ｐ／２ｒ）ｃｏｓａｌ／ＥＩｙ
挠度
ｑｌ矿＝ｆ谚ｌｙｄｓ＋Ｄ２＝一，．２（＂咯２＋ｐ厶ｒ）［ｓｉｎ（ａＩ一秒）＋
ＣＯＳａ］ⅪＥＩｙ＋现
当０＝０时，ｑ，矿＝０，则积分常数
砬＝，．２（罐：＋以ｒ）ｓｉｎｑ／马
当０＝％时，％。。（０）引起的下连杆上端的转角
和挠度
ｆ％，＝，．（磷２＋％ｒ）（１一ｃｏｓｑ）／日，
｛“ｙ＝ｒ２（磷２＋砧ｒ）（ｓｉｎａｌ一ｑｌｉ＝１，２，３
ｃｏｓｃｔｌ）／ＥＩｙ
（１３）
下连杆变形带来的整个支链上端点变形，引起（根据假设⑥）对应上平台球心０点的位移与下连杆
上端点对应球心０点的位移相同。其中转角锚，对
Ｄ点线位移无影响（上、下连杆之间转动副且轴线过球心０点）。
根据叠加原理，第ｉ支链下连杆各个变形对应的球心Ｄ点的线位移在固定坐标系下表达式为
△ｑｌ＝“Ⅳ雌＋ｒ爵：畋一（，呜１＋“矿）靠
ｆ＿１，２，３
（１４）
３．２第ｆ支链的上连杆变形
上连杆下端点有５项约束，简化为单转动副；
上端点有５个力，即３个力曩；、磁、彤和两个力矩蟛３、Ｍ６３，简化模型如图６所示。
ｙ
图６上连杆简化模型
连杆上任意断面目处力矩
ｆｍｉ２（０）＝‘３４１一ｃｏｓ（ａ２一口）】一Ｚ３ｒｓｉｎ（ａ２－Ｏ）－ｍ妒３
｛ｍｉ２ｆ（０）＝Ｐｉ３，．一（，卵ｆ，３＋Ｐｉ３ｒ）ｃｏｓ（ａ２一口）Ｊ％２，（护）＝（％３＋ｐｊ）ｓｉｎ（ａ２－ｏ）
取微弧段出，采用积分法求变形。
弯矩ｍ；：（０）引起变形，转角为
谚：：＝。ｆｍ日ｉ２（．０）出＋ｃ３
当秒＝０时，幺２：＝０，则积分常数
Ｇ＝，“３ｒｃｏｓａ：一ｒｉ３ｒｓｉｎａ２）／ＥＩ：
挠度
ｏｉ２Ｈ＝Ｉｑ２：ｄｓ＋Ｂ＝
，２｛ｚ３，［ｓｉｎ（吃－Ｏ）＋Ｏｃｏｓａ２］一ｍｔｐ３０２／２＋
ｒ／３ｒＥ０２／２＋ｃｏｓ（ａ２一目）一０ｓｉｎ吃］）肛＋Ｄ３
当矽＝０时，ｑ２日＝０，从而积分常数
Ｂ＝一ｒ２（Ｚ３ｒｓｉｎａ２＋‘３ｒｃｏｓ％）／ＥＩ，
当０＝ａ２时，上连杆上端的相对转角和挠度
铭：＝，．１Ｚ３ｒ（ｃｏｓａ２—１）＋，；３ｒ（ａ２一ｓｉｎｏｔ２）一
ｍ铲Ａ｜ＥＩ
ｚ
畦Ｈ＝厂２ｆ＿厶，．（吃ｃｏｓ口２一ｓｉＩｌ吃）＋，；３，．（ａ２２／２＋１一
ａ：ｓｉｎａ２－－ＣＯＳＧ２）一ｍ／ｐｐ：｜盐｜ＥＩ
ｚ
ｉ＝Ｉ，２，３
（１５１
扭矩ｍ胁（护）引起的连杆末端的相对转角，由式（６）知ｍ／ｒ３＋只３，．＝０，贝０
需：＝斛Ｍ：，（Ｏ）／Ｇｆｌｈｂ３］ｒｄＯ＝Ｐｉ３ｒ２ｃｔ２／Ｇｆｌｈｂ３
ｉ＝１，２，３
（１６）
同理由式（６）知，弯矩％２。（臼）在整个圆弧上恒
等于零，引起的变形铭。、瞄ｙ均为零。
・
根据叠加原理，第ｉ支链上连杆各个变形对应的球心０点的线位移在固定坐标系下表达式为
△ｑ２＝％ⅣＥ＋，．铭：Ｏｉ３一，田２ｑｉ３
ｆ－ｌ，２，３
（１７）
将上、下连杆对应球心Ｄ点的线位移进行叠加，ＡＯｉ趣ｌ＋△ｑ２＝“Ⅳ嵋＋厂酯：畋～（，．哮ｌ＋“ｙ）靠＋
如Ⅳ哆＋，铭ｚＯｉ３一，哮２ｑｉ３
将△ｎ、Ａ０２、Ａ０３展开得
第ｆ支链传到球心的总线位移
考察整个机构，根据假设⑥，因上平台为刚体，每个支链对应的上平台的球心Ｄ点，变形后仍交于一
点，即０’点，则每一支链对应的中心的线位移量值相等，即ＡＯＩ＝ＡＯ，，△ｑ＝Ａ０３。
１７４
机械工程学报第４４卷第６期
ＪＡｏｌ，＝△Ｄ２，结果表明，当机构只受过球心的力作用时，输
（１８）
入力矩恒等于零。说明外力与机构的输入无关，当输入力矩为零时，无论外力多少机构仍保持静止，或者无论机构的驱动力矩多少均不能平衡该外力；各
（１９）
力的大小随机构的位姿变化比较平缓，在全部空间内没有大突起的异常现象。说明力的变化与机构的特性无关。此时，机构变为球面的一般结构架。事实上，该力始终存在于该机构的工作过程中，为机构伴随性的附加载荷，引起构件变形，增加运动副的摩擦，导致末端运动不准确，增加机构控制难度。
｛△Ｄｌｙ＝Ａ０２ｙ
【Ａ０１：＝Ａ０２ｚＩ△Ｄｌ，＝△Ｄ３，
｛△０ｌ，＝△％
【ＡＯｌｚ＝Ａ０３＝
式中△％、△Ｄｆ，、Ａｏｎ（ｉ＝１，２，３）分别为Ａｏ，在固定坐标系下ｚ、Ｙ、Ｚ轴的分量。
联立式（３）、（６）、（９）、（１０）、（１８）ｉ（１９）共４８个方程，用Ｍａｐｌｅ８软件求得全部４８个未知力。
在力矩Ｍ＝ｌ√２／３√３／３２／３／‘作用下，机构
４单位外载荷下构件上力的数值计算
取３自由度球面并联机构参数如下：ａ１＝９０。，嘞＝９０。，Ｐｌ＝６０。，履＝４５。；上下平台分别为
的输入力矩ｍＭ与机构位姿关系如图８所示。（第
一支链对上平台的）作用力％，Ｍ、‘，射、‘，村与机
构姿态的关系如图９所示。
等边三角形，即ｒ／ｌｌ＝ｒ／２１＝０，研２＝ｒ／２２＝ｈ／３，
研３＝砚３＝钿／３，球面机构半径Ｒ＝８０咖。
将机构几何参数与载荷代入联立方程组中，经计算求得各构件上作用的全部力和力矩。限于篇幅，在此仅给出在不同载荷下，当纪＝－ｎ／３、一冗／６、０，纯、仇分别在［吨／２、兀／２】内时（间隔７ｃ／１８取点）部分的计算结果，即厶、，；，、忍，和输入力矩ｒａ，。（ｉ＝１，２，３）与机构位姿吼、吼、纪变化关系图。
在过球心的力Ｆ＝ｆ√ｊ／３√；／３２／３１１作用下，
输入力矩ｍ伸三０；（第一支链对上平台的）作
用力匕，，、‘，，、厶，，与机构位姿关系如图７
所示。
图８机构输入力矩ｍｉｌＭ与机构位姿关系
图７作用力已，，、‘。、‘。与
机构位姿关系
图９作用力毛，。、‘，。、‘。与
机构姿态的关系
２００８年６月周玉林等：３自由度球面并联机构３－ＲＲＲ静力全解
１７５
从图８、９看出，输入力矩惕ｌ材（ｆ＝ｌ，２，３）和吒Ⅲ、‘，Ｍ、矗，村在零点周围较大空间内的变化
比较平缓；但是，当３个姿态角纯、伊，、仍逐步
接近＋＿ｎ／２时，图形出现显著的凸凹变化。机构的驱
动力矩及构件上的载荷非常大，甚至是机构外力的数倍或数十倍，表明机构在接近奇异状态，与机构雅可比矩阵的奇异特性是一致的。
在广义力气（Ｍ＝（√－／３撕帕２／３）１，
Ｆ＝ｆ、压／３历／３２／３）１）作用下，输入力矩
ｍｉｌ脚（ｉ＝１，２，３）大小与Ｍ作用的结果相同；图１０
所示为（第一支链对上平台的）作用力毛，删、‘，删、
‘。，与机构位姿关系图。
图１０作用力巳，删、‘，肼、厶，删与机构位姿关系
事实上，构件上所受的力是由两部分叠加的结
果，即分别由，、Ⅳ产生的，都与机构的位姿
有关。
但是，从图ｌＯ上可以看出，在零点周围较大空
间内厶，删、‘，删、％，删的变化比较平缓，两个
成份在数值上具有可比性，但当机构的姿态角缈，、
吼、仍逐步接近＋，ｔ／２时，，引起的力变化不大，
而膨产生的力却出现较大的凸凹变化，说明此时构件上的载荷非常大，机构受力状态较差。机构接近奇异状态。
５结论
（１）仅在过球心力，作用下，机构的输入力矩恒等于零，当输入力矩为零时，无论Ｆ多大机构始终处于静止状态，此时，机构已蜕变为球面结构架
体；构件上的力在全空间内随机构的位姿变化较平缓且无明显凸凹变化，与机构的特性（雅可比）无关。
（２）仅在Ｍ作用下，机构的输入力矩与构件上
的力在零点周围较大范围内，随着机构位姿变化较平缓；当姿态角接近土尢／２时，力、力矩在部分区域出现较大的凸起，说明机构接近奇异状态。
（３）在一般６维力Ｅ作用下，分别由Ｆ、Ｍ产
生的构件上的两部分力是可以分离的，特别当，很大、肘较小时，将，从机构的分支构件上卸掉，可改善机构受力特性，对机构的工程设计有重要意义和实用价值。
参考文献
【ｌ】ＧＯＳＳＥＬ／ＮＣ．Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ
ａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆ
ａ
ｆａｓｔ
３－ＤＯＦ
ｃａｍｅｒａ－ｏｒｉｅｎｔａｔｉｎｇｄｅｖｉｃｅ［Ｊ］．Ｉｎｔ．Ｊ．ｏｆ
ＲｏｂｏｔｉｃＲｅｓｅａｒｃｈ，１９９７，１６（５）：６１９—６３０．
［２】ＧＯＳＳＥＬＩＮ
ＣＭ．Ｔｈｅ
ｏｐｔｉｍｕｍｄｅｓｉｇｎ
ｏｆｒｏｂｏｔｉｃ
ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ
ｕｓｉｎｇｄｅｘｔｅｒｉｔｙ
ｉｎｄｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｒｏｂｏｔｉｃｓａｎｄ
ＡｕｔｏｎｏｍｏｕｓＳｙｓｔｅｍｓ，１９９２，９（４）：２１３—２２６．
【３】曾宪菁，黄田，曾子平．基于三自由度球面并联机构数
控回转台的机械设计叨．机器人技术与应用，２０００，４：
２３．２６．ＺＥＮＧＸｉａｎｑｉｎｇ，ＨＵＡＮＧＴｉａｎ，ＺＥＮＧＺｉｐｉｎｇ．Ｄｅｓｉｇｎｏｆ
ＮＣ
ｒｏｔａｒｙ
ｗｏｒｋｉｎｇｔａｂｌｅ
ｂａｓｅｄ
ｏｎ
ｓｐｈｅｒｉｃａｌｐａｒａｌｌｅｌ
ｍｅｃｈａｎｉｓｍ
ｗｉｔｈ
３
ＤＯＦ［Ｊ］．Ｒｏｂｏｔ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
ａｎｄ
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，２０００，４：２３－２６．
【４】ＧＯＳＳＥＬＩＮ
Ｃ．Ｔｈｅ
ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔａｎｄ
ｓｐｈｅｒｉｃａｌ
３－ｄｏｆ
ｐａｒａｌｌｅｌ
ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ［Ｊ】－Ｉｎｔ．Ｊ．ｏｆＲｏｂｏｔｉｃ
Ｒｅｓｅａｒｃｈ，１９９３，
１２（４）：３９４—４０２．
【５】黄田，曾宪菁，倪雁冰，等。球面并联操作机的尺度综
合【Ｊ】．自然科学进展，２０００，ｌＯ（８）：７５１－７５６．
ＨＵＡＮＧＴｉａｎ，ＺＥＮＧ
Ｘｉａｎｑｉｎｇ，ＮＩ
Ｙａｎｂｉｎｇ，ｅｔａ１．
Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｙｎｔｈｅｓｉｓｏｆｓｐｈｅｒｉｃａｌｐａｒａｌｌｅｌ
ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ［Ｊ］．
ＰｒｏｇｒｅｓｓｉｎＮａｔｕｒａｌ
Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０００，１０（８）：７５１－７５６．
【６】黄田，曾宪菁．等顶锥角３自由度球面并联机构的全参
数解析尺度综合［Ｊ］．机械工程学报，２０００，３６（８）：１５—１９．
ＨＵＡＮＧ
Ｔｉａｎ．
ＺＥＮＧ
Ｘｉａｎｑｉｎｇ．
Ａｌｌ—ｐａｒａｍｅｔｅｒａｎｄ
ａｎａｌｙｔｉｃａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎ‘ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ
ｏｆ
３・ＤＯＦ
ｓｐｈｅｒｉｃａｌ
ｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｈａｖｉｎｇｅｑｕａｌａｐｅｘａｎｇｌｅｓ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌ
ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０００，３６（８）：１５－１９．
【７】ＧＯＳＳＥＬＩＮ
Ｃ．ＡＮＧＥＬＥＳＪ．Ｔｈｅ
ｏｐｔｉｍｕｍ
ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ
ｄｅｓｉｇｎ
ｏｆ
ａ
ｓｐｈｅｒｉｃａｌｔｈｒｅｅ－ｄｅｇｒｅｅ－ｏｆ－ｆｒｅｅｄｏｍ
ｐａｒａｌｌｅｌ
ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ【Ｊ】．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ
ｏｆｔｈｅ
ＡＳＭＥ，１９８９，１１１（６）：
２０２．２０７．
［８】ＧＯＳＳＥＬＩＮ
Ｃ
Ｍ，ＳＥＦＲＩＯＵＩ
Ｊ，ＲＩＣＨＡＲＤ
ＭＪ．Ｏｎｔｈｅ
ｄｉｒｅｃｔ
ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ
ｏｆ
ｓｐｈｅｒｉｃａｌ
ｔｈｒｅｅ－ｄｅｇｒｅｅ－ｏｆ－ｆｘｅｅｄｏｍ
１７６
机械工程学报第４４卷第６期
ｐａｒａｌｌｅｌｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓｗｉｔｈＪｏｕｒｎａｌ
ａ
ｃｏｐｌａｎａｒ
ｐｌａｔｆｏｒｍ［Ｊ］．ＡＳＭＥ
［１ｌ】熊有伦，丁汉，刘恩沧．机器人学［１哪．北京：机械工业
出版社，１９９３．
ＸＩＯＮＧ
ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＤｅｓｉｇｎ，１９９４，１１６（２）：５８７－５９３．
Ｚｈｅｎｌｉｎ，ＧＡＯ
【９】ＬＩＵｘｉｎｊｕｎ，ＪＩＮＦｅｎｇ．Ｏｐｔｉｍｕｍｄｅｓｉｇｎｏｆ
ｔｈｅ
Ｙｏｕｌｕｎ，ＤＩＮＧＨａｎ，ＬＩＵＥｎｃａｎｇ．Ｒｏｂｏｔｉｃｓ［Ｍ］．
３－ＤＯＦｓｐｈｅｒｉｃａｌｐａｒａｌｌｅｌｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ
ａｎｄｓｔｉｆｆｎｅｓｓ
Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＣｈｉｎａＭａｃｈｉｎｅＰｒｅｓｓ，１９９３．
ｉｎｄｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｓｍａｎｄ
作者简介：周玉林，男．１９６１年出生，博士研究生。主要研究方向为人形机器人，并联机器人。Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｙｌ＠ｙｓｕ．ｅｄｕ．ｃＩＩ
刘磊，男，１９８１年出生，硕士研究生。主要研究方向为并联机器人。
ＭａｃｈｉｎｅＴｈｅｏｒｙ，２０００，３５（６）：１２５７一ｌ２６７．
【１０】何开明．三自由度球面并联机器人机构的边角关系［Ｊ】．
武汉理工大学学报，２００２，２４（７）：５４．５７．
ＨＥＫａｉｍｉｎｇ．Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｓｉｄｅａｎｄ
ａｎｇｌｅ
ｏｆｔｈｅ
高峰，男，１９５６年出生，博士，博士研究生导师。主要研究方向为并联机器人。
ｓｐｈｅｒｉｃａｌｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｗｉｔｈ３ＤＯＦ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ
Ｗｕｈａｎ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００２，２４（７）：５４－５７．
Ｅ－ｍａｉｌ：ｆｃｎｇｇ＠ｓｊｔｕ．ｅｄ．ｃｎ
第三届北京国际快速成形及制造会议暨第二届北京国际生物制造会议
（ＩＣＲＭ—ＢＭ’０８）将在北京召开
由中国机械工程学会特种加工分会和生物制造工程分会联合举办的国际会议（ＩＣＲＭ．ＢＭ’０８），将于２００８年１１月６～８日在北京举行。届时将同时举行国际快速成形协会联盟（ＧＡＲＰＡ）峰会和快速成形产品展示会。会议将在ＲＰＪｏｕｒｎａｌ和Ｊｏｕｒｎａｌ
Ｂｉｏａｃｔｉｖｅ
ｏｆ
ａｎｄＣｏｍｐａｔｉｂｌｅＰｏｌｙｍｅｒｓ出版两个分册论文集，均为ＳＣＩ收录。会议将有全球快速成形及制造以及生物制造专家学
者与会，亦检阅我国近年来此领域的迅速发展，对进一步提高我们的学术水平和多方面应用起到重要的作用。会议已建专用网站，网址为：ｗｗｗ．ｉｃｒｐｍ０８．ｏｒｇ，欢迎您的访问。具体请查阅会议的Ｃａｌｌ联系方式：
会议主席：颜永年教授，清华大学机械系。电话：０１０．６２７８３５６５手机：１３７０１００４８０１
ｆｏｒＰａｐｅｒ。
Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｍｅｙｙｎ＠ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎ
（中国机械工程学会特种加工分会快速成形技术委员会委员主任）
会议秘书长：张人佶教授，清华大学机械系。电话：０１０－６２７８２４４８手机：１３６８１５５５７８０Ｅ・ｍａｉｌ：ｚｈａｎ９０＠ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎ
（中国机械工程学会特种加工分会快速成形技术委员会委员兼秘书）
会议秘书：姚睿，清华大学机械系。电话：０１０．６２７８２９８８
Ｅ—ｍａｉｌ：ｙａｏ—ｒ０５＠ｍａｉｌｓ．ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎ
3自由度球面并联机构3-RRR静力全解
作者：作者单位：
周玉林， 刘磊， 高峰， ZHOU Yulin， LIU Lei， GAO Feng
周玉林,高峰,ZHOU Yulin,GAO Feng(燕山大学机械工程学院秦皇岛,066004;上海交通大学振动、冲击、噪声国家重点实验室,上海,200030)， 刘磊,LIU Lei(河北工业大学机械工程学院,天津,300130)
机械工程学报
CHINESE JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING2008,44(6)11次
刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
参考文献(11条)
1.GOSSELIN C Development and experimentation of a fast 3-DOF camera-orientating device[外文期刊]1997(05)
2.GOSSELIN C M The optimum design of robotic manipulators using dexterity indices[外文期刊] 1992(04)3.曾宪菁;黄田;曾子平 基于三自由度球面并联机构数控回转台的机械设计[期刊论文]-机器人技术与应用2000(04)
4.GOSSELIN C The development and spherical 3-dof parallel manipulator[外文期刊] 1993(04)5.黄田;曾宪菁;倪雁冰 球面并联操作机的尺度综合[期刊论文]-自然科学进展 2000(08)
6.黄田;曾宪菁 等顶锥角3自由度球面并联机构的全参数解析尺度综合[期刊论文]-机械工程学报 2000(08)7.GOSSELIN C;ANGELES J The optimum kinematics design of a spherical three-degree-of-freedom parallelmanipulator 1989(06)
8.GOSSELIN C M;SEFRIOUI J;RICHARD M J On the direct kinematics of spherical three-degree-of-freedomparallel manipulators with a coplanar platform[外文期刊] 1994(02)
9.LIU Xinjun;JIN Zhenlin;GAO Feng Optimum design of 3-DOF spherical parallel manipulators withrespect to the conditioning and stiffness indices[外文期刊] 2000(06)
10.何开明 三自由度球面并联机器人机构的边角关系[期刊论文]-武汉理工大学学报 2002(07)11.熊有伦;丁汉;刘恩沧 机器人学 1993
本文读者也读过(3条)
1. 黄田.曾宪菁.曾子平.李佳.张世昌.Huang Tian.ZENG Xianjing.Zeng Ziping.Li Jia.Zhang Shichang 等顶锥角3自由度球面并联机构的全参数解析尺度综合[期刊论文]-机械工程学报2000,36(8)
2. 姚蕊.唐晓强.黄鹏.杨建新.YAO Rui.TANG Xiaoqiang.HUANG Peng.YANG Jianxin 高加速度的柔性3-RRR并联机构尺度综合设计[期刊论文]-清华大学学报（自然科学版）2008,48(2)
3. 周玉林.高峰.ZHOU Yulin.GAO Feng 3-RRR 3自由度球面并联机构静刚度分析[期刊论文]-机械工程学报2009,45(4)
引证文献(13条)
1.郭彦军.李瑞琴.何水琴.张志良 3-RRP球面并联机构的运动学分析[期刊论文]-机械设计与制造 2014(4)2.刘士昌.陈子明.刘婧芳.黄真 基于螺旋理论对单环空间RSUR机构受力分析[期刊论文]-机械工程学报 2011(13)3.赵燕.黄真 含过约束力偶的少自由度并联机构的受力分析[期刊论文]-机械工程学报 2010(5)
4.路光达.张爱梅.周静.崔世刚.赵丽 3-RSS/S并联机构的静力学分析与实验研究[期刊论文]-机械设计 2013(3)5.刘喜平.侯雨雷.邱雪松.周玉林 2-RRR＋RRS球面并联机构超静定力学全解[期刊论文]-中国机械工程 2011(23)
6.李永泉.张立杰.郭菲.郭志民 球面2-DOF冗余驱动并联机器人静力学全解[期刊论文]-机械工程学报 2011(19)7.陈伟.郭为忠.高峰 动力模块车组液压悬挂系统的分组建模[期刊论文]-机械工程学报 2012(5)
8.黄玉美.韩旭炤.高峰.陈纯.杨新刚 基于边界元法的平面运动并联机构静力学解析[期刊论文]-机器人 2010(3)9.侯雨雷.胡鑫喆.周玉林 新型过约束球面并联式关节机构仿生设计[期刊论文]-中国机械工程 2014(6)10.侯雨雷.胡鑫喆.周玉林 新型过约束球面并联式关节机构仿生设计[期刊论文]-新型工业化 2013(8)11.周玉林.李波.杨龙.高峰 二自由度球面并联机构UP+R静力学分析[期刊论文]-中国机械工程 2013(15)12.王庚祥.刘宏昭.原大宁 空间4-SPS/CU并联机构的受力分析[期刊论文]-农业工程学报 2012(22)
13.崔冰艳.金振林 基于正交机构的机器人肩关节静力学分析与结构参数设计[期刊论文]-光学精密工程 2011(1)
引用本文格式：周玉林.刘磊.高峰.ZHOU Yulin.LIU Lei.GAO Feng 3自由度球面并联机构3-RRR静力全解[期刊论文]-机械工程学报 2008(6)
第４４卷第６期２００８年６月
机械工程学报
ＣＨＩＮＥＳＥＪＯＵＲＮＡＬＯＦＭＥＣＨＡＮＩＣＡＬＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ
Ｖ０１．４４Ｊｕｎ．
Ｎｏ．６２００８
３自由度球面并联机构３－ＲＲＲ静力全解木
周玉林１，２刘
磊３
高
峰１，２
（１．燕山大学机械工程学院秦皇岛０６６００４；
２．上海交通大学振动、冲击、噪声国家重点实验室上海２０００３０：
３．河北工业大学机械工程学院天津３００１３０）
摘要：采用传统的拆杆法建立机构的静力学平衡方程，考虑构件弹性，利用小变形叠加原理建立机构的变形协调补充方程，进而完成３自由度球面并联机构的静力学分析。求得包括机构输入与输出载荷关系的每个构件上的全部力、力矩。通过计算，得到在三种外载荷下构件上的全部（各）力、输入转矩与机构运动位姿的关系图。结果表明，当作用在机构的外力（仅），通过球心时，机构的输入力矩恒等于零ｊ而构件上的力在全空间内随着机构位姿的变化比较平缓，机构等价一般结构架体而与机
构的特性无关。仅在外力矩Ｍ作用下，机构的输入力矩、构件上的作用力随着机构位姿的变化与机构的特性相关（与雅可比
矩阵的奇异性一致１，力与力矩在构件上所产生的两部分力是独立的，并可以分离。研究为该机构在工程中的结构设计与应用提供静力学理论基础和依据。
关键词：球面并联机构静力学线位移变形协调方程中图分类号：ＴＰ２４
ＳｔａｔｉｃＦｕｌｌ－ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆＳｐｈｅｒｉｃａｌＰａｒａｌｌｅｌ
ＺＨＯＵＹｕｌｉｎｌ・２
ＬＩＵＬｅｉ３
Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ３－ＲＲＲｗｉｔｈ３－ＤＯＦ
ＧＡＯＦｅｎ９１，２
（１．Ｓｃｈｏｏｌ
ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＹａｎｓｈａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｈｕａｎｇｄａｏ
０６６００４；
２．ＳｔａｔｅＫｅｙＬａｂｏｒａｔｏｒｙｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎ，Ｓｈｏｃｋ＆Ｎｏｉｓｅ，ＳｈａｎｇｈａｉＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２０００３０；
３．ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨｅｂｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００１３０）
ａｒｅ
ｓｅｔ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｄｉｓｍａｎｔｌｅ—ｂａｒｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅｓｔａｔｉｃｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍｕｐ，ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅ
ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙｏｆｍｅｍｂｅｒａｎｄｔｈｅｎｕｔｉｌｉｚｉｎｇｔｈｅａｒｅｄｅｒｉｖｅｄａｎｄｔｈｅｎｅａｃｈ
ｍｉｃｒｏ－ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｔｈｅｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｃｏｍｐａｔｉｂｉｌｉｔｙ
ｏｎ
ｔｈｅｓｔａｔｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｓｐｈｅｒｉｃａｌｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｗｉｔｈ３－ＤＯＦｉＳｆｕｌｆｉｌｌｅｄ．Ａｎｔｏｒｑｕｅｓａｎｄｆｏｒｃｅｓａｃｔｉｎｇ
ａ
ｍｅｍｂｅｒａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｉｎｐｕｔｔｏｒｑｕｅｓａｎｄｏｕｔｐｕｔｌｏａｄ．Ａｓ
ｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅ，ｓｏｍｅｆｉｇｕｒｅｓ
ｗｈｉｃｈｓｈｏｗｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｄｒａｗｎ
ｂｅｔｗｅｅｎ
ｉｎｐｕｔｔｏｒｑｕｅ，ｅａｃｈｆｏｒｃｅ
ｏｎ
ｅａｃｈ
ｍｅｍｂｅｒａｎｄｔｈｅｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄｐｏｓｔｕｒｅｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍａｒｅ
ｏｎ
ｕｎｄｅｒｔｈｒｅｅｋｉｎｄｓｏｆｅｘｔｅｒｎａｌｌｏａｄｓ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔ＇ｗｈｅｎｔｈｅｅｘｔｅｒｎａｌｆｏｒｃｅ（ｏｎｌｙ）Ｆａｃｔｉｎｇ
ｔｈｅ
ｍｅｃｈａｎｉｓｍｏｖｅｒｐａｓｓｅｓｔｈｅｓｐｈｅｒｉｃａｌｃｅｎｔｅｒ，ｔｈｅｉｎｐｕｔｔｏｒｑｕｅｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍｉｓｉｄｅｎｔｉｃａｌｌｙｖａｎｉｓｈｉｎｇａｎｄｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎｏｆｆｏｒｃｅｓ
ａｃｔｉｎｇ
ｏｎ
ｍｅｍｂｅｒｓｗｉｔｈｔｈｅｐｏｓａｉｏｎａｎｄｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍｉｎｗｈｏｌｅｓｐａｃｅｉｓｇｅｎｔｌｅｒｓｌｏｐｅ，ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍ
ｔｏ
ａ
ｈａｓｂｅｅｎｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｅｘｔｅｒｎａｌｔｏｒｑｕｅ
ｃｏｎｎｌｌｏｎ
ｆｒａｍｅ．ｓｔｒｕｃｔｕｒｅａｎｄｔｈｅｆｏｒｃｅｓａｒｅ
ｎｏｔ
ｒｅｌａｔｅｄ
ｔｏｔｈｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍ．Ｕｎｄｅｒｔｈｅ
Ｍｏｎｌｙ，ｔｈｅ
ｖａｒｉａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｉｎｐｕｔｔｏｒｑｕｅｓａｎｄ
ｔｈｅｆｏｒｃｅｓｗｉｔｈｔｈｅｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍａｒｅ
ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ
ｗｉｔｈ
ｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ（ｃｏｉｎｃｉｄｅｄｗｉｔｈｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙｏｆｔｈｅＪａｃｏｂｉａｎｍａｔｒｉｘｌｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍ．Ｔｈｅｔｗｏｐｏｒｔｉｏｎｓｏｆｆｏｒｃｅ
ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ
ｉｏｉｎｔｌｙｐｒｏｄｕｃｅｄｂｙＦａｎｄＭａｒｅｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔａｎｄｄｅｔａｃｈａｂｌｅ．１１１ｅｒｅｓｅａｒｃｈｐｒｏｖｉｄｅｓｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓｏｆｓｔａｔｉｃｓｆｏｒ
ｄｅｓｉｇｎ
ａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍｉｎ
ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．
Ｓｔａｔｉｃｓ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＳｐｈｅｒｉｃａｌｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍＬｉｎｅａｒｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔＤｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐａｔｉｂｉｌｉｔｙ
灵巧眼［１．２】、数控回转台【３】等中得到应用：还可用于
０前言
３自由度球面并联机构是一种新的、重要的机构，可实现３自由度转动，在卫星跟踪随动装置、
人形机器人并联转动关节等，具有广泛的应用前景。３自由度球面并联机构是典型少自由度并联机构之一，这种机构的类型、运动学分析、机构的性能和机构的尺度综合等方面的研究已取得较大进展【４，５‘１０ｌ。但是由于机构具有６个过约束，各支链的杆件又属于球面曲杆，其静力学求解比较困难。
’国家杰出青年基金（５０１２５５１６）．ｆ铂Ｎ家重点基础研究发展计划（９７３计划，２００６ＣＢ７０５４００）资助项目。２００７０６２５收到初稿，２００７１２１８收到修改稿
目前，利用虚功原理，容易求得输入力矩与输
１７０
机械工程学报
第４４卷第６期
出力矩关系，对选择机构的电动机及将来机构的力控制有重要意义，但是虚功原理不能反应机构的完整静力学特征，无法满足机构设计者的全信息要求，因此机构静力学的全解有重要意义。
本文采用传统的拆杆法，建立机构的静力学平衡方程。考虑构件弹性，利用小变形叠加原理建立变形协调补充方程。对３自由度球面并联机构进行了静力分析，求得不同外载荷（输出）情况下，机构中各构件所受的全部力、力矩、机构的输出与输入力矩的关系，以及各力、力矩与机构运动位姿的关系图，为该机构的构型选择、参数确定、工程结构设计奠定了静力学基础。１
杆件及上、下平台的重力。②不考虑各连接转动副处的摩擦力。
在工程应用中，机构所受到的实际外载荷与机构无关，往往是一个复合（广义）力疋，其中包括力和力矩。可简化为过球心的力，和作
用在上平台上的力矩肘，即疋＝（Ｆ肘）１，其
中Ｆ＝（Ｚ‘以）１，肘＝（他’ｍ，ｍｚ）‘＝（％，
‰‰）１＋ｒ×Ｆ，ｒ为广义力吒作用点到过球心
的矢量。
将机构中所有活动构件按原尺寸参数分离出来作为独立平衡体，分别建立静力学平衡方程。２．１动平台静力平衡方程
动平台与３个上连杆相连处均为单转动副，在每个铰链点处只解除了１个转动方向的约束，因此
３自由度球面并联机构及坐标系
３自由度球面并联机构组成如下：上平台实现３
存在３个力矢量只，、如、＆和两个方向的力矩矢
个方向的转动；下平台固定，两者之间由具有２构件、３转动副的３个支链并联连接，各运动副的轴线交于一点（球心），如图ｌ所示。
量Ｍ，３和心３（待１，２，３），其受力如图２所示。
图２第ｉ支链上平台铰链点的受力
当动平台处于平衡状态时，力平衡方程为
３
，＋∑（Ｅ，＋羁３＋只３）＝口
ｉ＝１
（１）
图１３自由厦球面并联机构受力模型
动平台的力矩平衡方程（对球心Ｏ点取矩）
３
机构的结构参数：ｑ、％、层、岛、７７ｌ；、
珑ｆ（ｆ＝ｌ，２，３），球半径Ｒ，其中仍ｆ（ｆ＝ｌ，２，３）分别为乞。与ｚＩ。在下平台的投影所成角度；冼，◇＝１，２，３）分别为五，与五，在上平台投影所形成的角度。
建立坐标系如下：取球心Ｄ为各坐标系的中心；按照Ｄ．Ｈ连杆坐标系规定的一般方法ｆ１ｌｌ建立坐
膨＋∑（民×Ｒｉ，＋心×％）＋
ｉ＝１３
∑（嘛，＋％。）－－ｏ
（２）
式（１）、（２）中各矢量用静坐标系下的单位方向矢量与其模的积来表达，整理得６个独立方程
标系ＯｘｏｙｏＺｏ、Ｏｘｙｚ和％均乃（ｆ，Ｊ＝ｌ，２，３表示第
ｆ分支的第歹转动副）。
吩、ｗｉ、Ｖｉ（ｆ＝ｌ，２，３）分别表示Ｚｆｌ、互２、互，Ｕ＝ｌ，２，３）坐标轴在静坐标系下单位矢量（由运动学求得），正方向指向外侧。
Ｙ３
Ｅｒ，，，（ｖｉ×ｑ，Ｌ＋ｐ，，，（＿×ｇｆ，），］＋
∑（％，Ｄｆ，，＋％，毋，。）＋皿＝ｏ
宝［ｖ（．，ｉＸ０ｉ３）ｙ＋ｐ，３ｒ（ｖｉｘｑｉ３），］＋
∑ｈ，Ｄｆ，，＋％，ｑｉ，，）＋坞＝ｏ
２机构的静力学平衡方程
为了方便分析，做两个假设：①忽略机构中各
杰［ｖｎ×ｑ，）：屺，，（一×吼，）：］＋
２００８年６月
周玉林等：３自由度球面并联机构３－ＲＲＲ静力全解
１７１
Ｅ（ｍｉｒ３Ｄｉ，：＋％，ｑｔ３ｚ）＋Ｍ：＝ｏ
ｌ＝ｌ
３
六＋∑（Ｚ３％＋，；３ｑ３，＋只３ｑｉ３ｘ）＝ｏ
ｉ＝１
‘＋∑（ｚ，％＋，；，０ｉ，，＋只，ｇ却）＝ｏ
ｉ＝ｌ３
正＋∑（Ｚ，吃＋‘３０ｉ３：＋见３ｑｉ３ｚ）＝ｏ
式中Ｚ３、，；３、易３、ｍｆｒ３和ｍ驴３为矢量曩３、墨３、只３、
Ｍ，３和％，的模：Ｈ、ｑ，、ｑｉ３为固定坐标系下的
单位方向矢量，ｖｉ与坐标轴ｚｆ，重合，０ｉ３位于吩，嵋（与刁２重合）所成的连杆平面内，且垂直于Ｐｉ，满足关系
＝
吩
历仍吧
＝
螺陬岷卜
如
由上式求得吩，进而得到单位矢量Ｄｆ３＝Ｄｆ３／ＩＤｆ３
ｑｉ３垂直于ｑ３、％，按右手螺旋法则有
研３＝ｏｎｘ吩
，＝１，２，３
上平台铰链点处对上连杆（中心角为％）有３个
反作用力Ｅ；、磁、彤和两个反力矩嘭，、嘭３（ｆ＿１，２，３）；下连杆对上连杆作用为３个力量：、
置２、只：和两个方向的力矩％２、％２（ｆ＝１，２，３），
图３第ｉ支链的上连杆受力模型
当上连杆平衡时，力平衡方程
呓＋只２＋Ｅ；＋Ｅ２＋觞＋墨２＝０
ｆ＝ｌ，２，３（４）
民×硝＋民×焉＋如×置２＋民×只２＋嘭３＋
嘭３＋帆２＋％２＝０
ｉ＝１，２，３
（５）
式（４）、（５）中各矢量以静坐标系下的单位方向矢Ｚ：＝Ｚ，（一嵋・吩）＋，；，（－－Ｗｉ・ｑ，）弓：＝Ｚ，（ｑ２・吩）＋，；，（ｑ：・ｑ，）
笔２，．－＋Ｐ朋。ｉ；３。，＝—．０，；，厂———，；。，：＝ｉ＝１，２，３（６）
，；３，．＋朋｛Ｐ２～，；２厂一ｍ驴３＝Ｕ
。
Ｐｆ２，．＋％２＝０
Ｐｉ３，．＋ｍｆｒ３２０
其中标量Ｚ２、，；２、忍２、％２和ｍ由２（ｆ＿１，２，３）是矢
量羁２、Ｒ２、只２、以２和心２的模；一Ｍ、Ｄｆ２、
吼２（ｆ＝ｌ，２，３）为上连杆下端点在固定坐标系的单位方向矢量：一Ｍ与ｚ，：轴重合，ｑ２位于连杆平面内，且垂直于一Ｍ，嘶２垂直于连杆平面。求法与ｑ３、ｑｉ３相同。
２．３下连杆静力学平衡方程
设上连杆对下连杆有３个方向的力Ｅ：、聪、
霉：和两个力矩蟛：、蚝：（ｆ－ｌ，２，３）；下连杆下端
受到３个方向的力只。、墨，、只，和３个方向的力矩
鸠。、螈。和蚝ｌ（江１，２，３），如图４所示。
图４第ｉ支链下连杆受力模型
当下连杆处于平衡时，力平衡方程为
霉：＋只ｌ＋曩；＋ＥＩ＋硝＋Ｂｌ＝０
ｆ＿ｌ，２，３
（７）
力矩平衡方程为
＾形２＋＾％２＋Ｍｉｒｌ＋＾％１＋Ｍ１＋凡ｆ×胄是＋Ｒｗｉ×
毋：＋咒ｆＸ墨ｌ＋咒ｆＸ丑ｌ＝０
ｆ－１，２，３
（８）
式（７）、（８）中各矢量用静坐标下的单位方向矢量与其模的积表达，整理得
ＪＺ。＝∥；（一Ｗｉ・吩）＋‘：（一畋・ｉｌｉ）【‘。＝Ｚ：（一嵋・ｑ。）＋，；：（一畦・０ｉ。）
只Ｉ一以＝０
ｍｉｌ＝（群２一砧，．）ｓｉｎ％ｍ：ｒｌ＝磷２（一畦・ｑ１）＋
ｉ＝ｌ，２，３
（９）
以，（１一Ｗｉ・¨％ｌ２％２＋ｒ／ｅｒ一‘ｌ，
２．２上连杆静力平衡方程
受力状态如图３所示。
力矩平衡方程为
量与其模的积来表达，整理得６个独立方程
机械工程学报
第４４卷第６期
式中标量Ｚｌ、，；ｌ、只ｌ、ｍｌｒｌ、ｍｌｌ（ｉ＝１，２，３）和尼，
呸、以、嘭：、，，ｚ：：（ｆ＝ｌ，２，３）分别是巧ｌ、置。、毋。、
Ｍｅｌ、Ｍ，ｒ。和％ｌ及Ｅ；、觞、丑；、ＭＴｒ２、
膨；２（ｆ＝１，２，３）的模。
ｌｌｆ、０ｉｌ、吼为单位方向矢量，Ｕｉ与Ｚｆｌ方向重合；ｑ１在下连杆平面内，且与１４ｉ垂直，吼１由Ｕｉ、ｑｌ
通过右手螺旋定则确定：口厶、吐为下连杆的上铰
链点单位方向矢量，畋在下连杆平面内，垂直于ｗ，
方向；ｑ；２垂直于连杆平面，其推导方法同Ｏｔ３、吼３。
两连杆平面之间夹角为ｙ，通过坐标变换，得同一铰链点的两组力矢量的模的关系
，；：＝１２（一ｑ２・畋）＋办：（一ｑ，２＂护ｉ２）
ｐ乞＝，；：（一０ｔ２＊如）＋ｐ，：（一ｑ，２＊ｑ；２）厅‘２＝ｍｉｒ２（一０１２＊０｜ｆ２）＋＿驴２（一吼２・吐）
（１０）
％：＝ｍｌｒ：（一０ｉ２＊ｑ；２）＋％：（＿ｇｆ：・砍）
ｉ＝ｌ，２，３
至此，已得到独立的静力学平衡方程４２个，该机构共有４８个未知数。机构具有６个过约束，静力学为６次超静定，因此需要补充６个变形协调方程。
３变形协调补充方程及方程组求解
为了便于计算假设如下：①连续性假设。组成固体的物质毫无空隙地充满了固体的几何空间。②均匀性假设。从构件内任取一部分，不论其体积大
小如何，其力学性能完全相同。③各向同性假设。
固体在各个方向上的力学性能完全相同。④弹性小变形条件。固体因外力作用而引起的变形，限于变形的大小远远小于构件的原始尺寸，且在外力解除后又可恢复原状。⑤不考虑各转动副处的变形和间隙。⑥动平台比各支链杆的尺寸大得多，其变形远远小于杆的变形，为计算动平台上中心点变形方便，假定动平台为刚体。
为了便于描述构件变形，引入新的坐标系：设曲杆周向为ｓ方向，曲杆的曲率半径方向为Ｙ方向，垂直于曲杆平面的方向为ｚ方向。
虽然杆件为弯杆，但对无限小的单元体，仍然符合对直杆变形分析时的结论。
杆件在轴向压缩（拉伸）变形和垂直杆件方向剪切变形相对于扭转和弯曲变形较小，可忽略不计。３．１第ｆ支链下连杆变形
下连杆下端有６个约束简化为固定端，上端受
３个力Ｅ：、璐、鹾和两个力矩麒：、
Ｍ二，（ｆ－１，２，３），如图５所示。
图５下连杆简化模型
杆件任意断面０处力矩
ｆｍｉｌ（０）＝ｆｉ［ｒｓｉｎ（ａ１一目）＋，；：ｒ【ｌ—ｃｏｓ（ａｌ一秽）卜栉‘２｛ｍｉｌｆ（０）＝ｐ厶ｒ［１一ｃｏｓ（ａｔ—ｅ）］－ｍ驴２ｃ，ｏｓ（ａＩ一目）Ｉｍｉｌｗ（口）＝（ｐ厶，＋疗‘２）ｓｉｎ（ａｌ一０）
取微弧段凼，采用积分法求变形。
（１）弯矩ｍｉ。（伊）引起的平面内的弯曲变形。
转角
钆＝』挚＋ｃ１
式中，日，为抗弯刚度，Ｅ为材料弹性模量，ｔ为
横断面对中性轴的惯性矩，对于矩形断面积
ｔ＝ｈｂ３／１２。ｑ为积分常数，当０＝０时，谚ｌ：＝０，
则
ｑ＝一ｒ２（尼ｃｏｓ口１＋瑶ｓｉｎａ，）／ＥＩ，
挠度
ｑｌ目＝Ｉ够ｌ：ｄｓ＋ｑ＝
，．２
ｆＩ：，．０２／２＋ｃｏｓ（ａｌ一秒）一０ｓｉｎａｌ一
％：侈２／２一ｆ，；ｒ［ｓｉｎ（ａｌ－０）＋０ｃｏｓ％】｝／必＋ｑ
当０＝０时，即ｖ／１日＝０，则积分常数
ＤＬ＝ｒ２（ｆｆ『［ｒｓｉｎａｌ—ｑ：！ｒｃｏｓａＯ｝ＥＩ
ｚ
当０＝％时，ｍｉ，（０）引起的下连杆上端点的转
角和挠度Ｉ嚷＝２
，［ｚ；，．（１一ｃｏｓｑ）一所刍：％＋呓，．（ａｌ—ｓｉｎｑ）］／必
｛嵋日＝ｒ２［ｚ；，．（ｓｉｎａ。一呸ｃｏｓａ，）一％：嘶２／２＋ｆ呓，（ａ；／２＋１一％ｓｉｌｌ％一ｃｏｓ％）］／白：
【
ｉ＝ｌ，２，３
（１１）
（２）扭矩％，（口）（取ｓ方向的扭矩为正），引起的
嘲＝ｒ１（Ｍ“（Ｏ）／Ｏ∥ｈｂ３
ｒｄＯ＝厂［以ｒ（ｑ＿ｓｉｎａ，）－
蜕２ｓｉｎａｌ］／Ｇｆｌｈｂ３
０２）
下连杆末端的变形。扭转角
２００８年６月周玉林等：３自由度球面并联机构３－ＲＩ浓静力全解
（３）弯矩ｍｎｗｐ）（取Ｙ方向的弯矩为正方向），
引起的垂直弯杆的弯曲变形。
转角
靠，：ｆ（觋，。（日）／码），ｄ口＋Ｃ２
式中，，，．为横断面对中性轴的惯性矩，对于矩形
断面积Ｌ＝ＪＩｌ３ｂ／１２。当秒＝０时，岛，＝０，则积分
常数
Ｃ２＝一ｒ（蝣２＋ｐ／２ｒ）ｃｏｓａｌ／ＥＩｙ
挠度
ｑｌ矿＝ｆ谚ｌｙｄｓ＋Ｄ２＝一，．２（＂咯２＋ｐ厶ｒ）［ｓｉｎ（ａＩ一秒）＋
ＣＯＳａ］ⅪＥＩｙ＋现
当０＝０时，ｑ，矿＝０，则积分常数
砬＝，．２（罐：＋以ｒ）ｓｉｎｑ／马
当０＝％时，％。。（０）引起的下连杆上端的转角
和挠度
ｆ％，＝，．（磷２＋％ｒ）（１一ｃｏｓｑ）／日，
｛“ｙ＝ｒ２（磷２＋砧ｒ）（ｓｉｎａｌ一ｑｌｉ＝１，２，３
ｃｏｓｃｔｌ）／ＥＩｙ
（１３）
下连杆变形带来的整个支链上端点变形，引起（根据假设⑥）对应上平台球心０点的位移与下连杆
上端点对应球心０点的位移相同。其中转角锚，对
Ｄ点线位移无影响（上、下连杆之间转动副且轴线过球心０点）。
根据叠加原理，第ｉ支链下连杆各个变形对应的球心Ｄ点的线位移在固定坐标系下表达式为
△ｑｌ＝“Ⅳ雌＋ｒ爵：畋一（，呜１＋“矿）靠
ｆ＿１，２，３
（１４）
３．２第ｆ支链的上连杆变形
上连杆下端点有５项约束，简化为单转动副；
上端点有５个力，即３个力曩；、磁、彤和两个力矩蟛３、Ｍ６３，简化模型如图６所示。
ｙ
图６上连杆简化模型
连杆上任意断面目处力矩
ｆｍｉ２（０）＝‘３４１一ｃｏｓ（ａ２一口）】一Ｚ３ｒｓｉｎ（ａ２－Ｏ）－ｍ妒３
｛ｍｉ２ｆ（０）＝Ｐｉ３，．一（，卵ｆ，３＋Ｐｉ３ｒ）ｃｏｓ（ａ２一口）Ｊ％２，（护）＝（％３＋ｐｊ）ｓｉｎ（ａ２－ｏ）
取微弧段出，采用积分法求变形。
弯矩ｍ；：（０）引起变形，转角为
谚：：＝。ｆｍ日ｉ２（．０）出＋ｃ３
当秒＝０时，幺２：＝０，则积分常数
Ｇ＝，“３ｒｃｏｓａ：一ｒｉ３ｒｓｉｎａ２）／ＥＩ：
挠度
ｏｉ２Ｈ＝Ｉｑ２：ｄｓ＋Ｂ＝
，２｛ｚ３，［ｓｉｎ（吃－Ｏ）＋Ｏｃｏｓａ２］一ｍｔｐ３０２／２＋
ｒ／３ｒＥ０２／２＋ｃｏｓ（ａ２一目）一０ｓｉｎ吃］）肛＋Ｄ３
当矽＝０时，ｑ２日＝０，从而积分常数
Ｂ＝一ｒ２（Ｚ３ｒｓｉｎａ２＋‘３ｒｃｏｓ％）／ＥＩ，
当０＝ａ２时，上连杆上端的相对转角和挠度
铭：＝，．１Ｚ３ｒ（ｃｏｓａ２—１）＋，；３ｒ（ａ２一ｓｉｎｏｔ２）一
ｍ铲Ａ｜ＥＩ
ｚ
畦Ｈ＝厂２ｆ＿厶，．（吃ｃｏｓ口２一ｓｉＩｌ吃）＋，；３，．（ａ２２／２＋１一
ａ：ｓｉｎａ２－－ＣＯＳＧ２）一ｍ／ｐｐ：｜盐｜ＥＩ
ｚ
ｉ＝Ｉ，２，３
（１５１
扭矩ｍ胁（护）引起的连杆末端的相对转角，由式（６）知ｍ／ｒ３＋只３，．＝０，贝０
需：＝斛Ｍ：，（Ｏ）／Ｇｆｌｈｂ３］ｒｄＯ＝Ｐｉ３ｒ２ｃｔ２／Ｇｆｌｈｂ３
ｉ＝１，２，３
（１６）
同理由式（６）知，弯矩％２。（臼）在整个圆弧上恒
等于零，引起的变形铭。、瞄ｙ均为零。
・
根据叠加原理，第ｉ支链上连杆各个变形对应的球心０点的线位移在固定坐标系下表达式为
△ｑ２＝％ⅣＥ＋，．铭：Ｏｉ３一，田２ｑｉ３
ｆ－ｌ，２，３
（１７）
将上、下连杆对应球心Ｄ点的线位移进行叠加，ＡＯｉ趣ｌ＋△ｑ２＝“Ⅳ嵋＋厂酯：畋～（，．哮ｌ＋“ｙ）靠＋
如Ⅳ哆＋，铭ｚＯｉ３一，哮２ｑｉ３
将△ｎ、Ａ０２、Ａ０３展开得
第ｆ支链传到球心的总线位移
考察整个机构，根据假设⑥，因上平台为刚体，每个支链对应的上平台的球心Ｄ点，变形后仍交于一
点，即０’点，则每一支链对应的中心的线位移量值相等，即ＡＯＩ＝ＡＯ，，△ｑ＝Ａ０３。
１７４
机械工程学报第４４卷第６期
ＪＡｏｌ，＝△Ｄ２，结果表明，当机构只受过球心的力作用时，输
（１８）
入力矩恒等于零。说明外力与机构的输入无关，当输入力矩为零时，无论外力多少机构仍保持静止，或者无论机构的驱动力矩多少均不能平衡该外力；各
（１９）
力的大小随机构的位姿变化比较平缓，在全部空间内没有大突起的异常现象。说明力的变化与机构的特性无关。此时，机构变为球面的一般结构架。事实上，该力始终存在于该机构的工作过程中，为机构伴随性的附加载荷，引起构件变形，增加运动副的摩擦，导致末端运动不准确，增加机构控制难度。
｛△Ｄｌｙ＝Ａ０２ｙ
【Ａ０１：＝Ａ０２ｚＩ△Ｄｌ，＝△Ｄ３，
｛△０ｌ，＝△％
【ＡＯｌｚ＝Ａ０３＝
式中△％、△Ｄｆ，、Ａｏｎ（ｉ＝１，２，３）分别为Ａｏ，在固定坐标系下ｚ、Ｙ、Ｚ轴的分量。
联立式（３）、（６）、（９）、（１０）、（１８）ｉ（１９）共４８个方程，用Ｍａｐｌｅ８软件求得全部４８个未知力。
在力矩Ｍ＝ｌ√２／３√３／３２／３／‘作用下，机构
４单位外载荷下构件上力的数值计算
取３自由度球面并联机构参数如下：ａ１＝９０。，嘞＝９０。，Ｐｌ＝６０。，履＝４５。；上下平台分别为
的输入力矩ｍＭ与机构位姿关系如图８所示。（第
一支链对上平台的）作用力％，Ｍ、‘，射、‘，村与机
构姿态的关系如图９所示。
等边三角形，即ｒ／ｌｌ＝ｒ／２１＝０，研２＝ｒ／２２＝ｈ／３，
研３＝砚３＝钿／３，球面机构半径Ｒ＝８０咖。
将机构几何参数与载荷代入联立方程组中，经计算求得各构件上作用的全部力和力矩。限于篇幅，在此仅给出在不同载荷下，当纪＝－ｎ／３、一冗／６、０，纯、仇分别在［吨／２、兀／２】内时（间隔７ｃ／１８取点）部分的计算结果，即厶、，；，、忍，和输入力矩ｒａ，。（ｉ＝１，２，３）与机构位姿吼、吼、纪变化关系图。
在过球心的力Ｆ＝ｆ√ｊ／３√；／３２／３１１作用下，
输入力矩ｍ伸三０；（第一支链对上平台的）作
用力匕，，、‘，，、厶，，与机构位姿关系如图７
所示。
图８机构输入力矩ｍｉｌＭ与机构位姿关系
图７作用力已，，、‘。、‘。与
机构位姿关系
图９作用力毛，。、‘，。、‘。与
机构姿态的关系
２００８年６月周玉林等：３自由度球面并联机构３－ＲＲＲ静力全解
１７５
从图８、９看出，输入力矩惕ｌ材（ｆ＝ｌ，２，３）和吒Ⅲ、‘，Ｍ、矗，村在零点周围较大空间内的变化
比较平缓；但是，当３个姿态角纯、伊，、仍逐步
接近＋＿ｎ／２时，图形出现显著的凸凹变化。机构的驱
动力矩及构件上的载荷非常大，甚至是机构外力的数倍或数十倍，表明机构在接近奇异状态，与机构雅可比矩阵的奇异特性是一致的。
在广义力气（Ｍ＝（√－／３撕帕２／３）１，
Ｆ＝ｆ、压／３历／３２／３）１）作用下，输入力矩
ｍｉｌ脚（ｉ＝１，２，３）大小与Ｍ作用的结果相同；图１０
所示为（第一支链对上平台的）作用力毛，删、‘，删、
‘。，与机构位姿关系图。
图１０作用力巳，删、‘，肼、厶，删与机构位姿关系
事实上，构件上所受的力是由两部分叠加的结
果，即分别由，、Ⅳ产生的，都与机构的位姿
有关。
但是，从图ｌＯ上可以看出，在零点周围较大空
间内厶，删、‘，删、％，删的变化比较平缓，两个
成份在数值上具有可比性，但当机构的姿态角缈，、
吼、仍逐步接近＋，ｔ／２时，，引起的力变化不大，
而膨产生的力却出现较大的凸凹变化，说明此时构件上的载荷非常大，机构受力状态较差。机构接近奇异状态。
５结论
（１）仅在过球心力，作用下，机构的输入力矩恒等于零，当输入力矩为零时，无论Ｆ多大机构始终处于静止状态，此时，机构已蜕变为球面结构架
体；构件上的力在全空间内随机构的位姿变化较平缓且无明显凸凹变化，与机构的特性（雅可比）无关。
（２）仅在Ｍ作用下，机构的输入力矩与构件上
的力在零点周围较大范围内，随着机构位姿变化较平缓；当姿态角接近土尢／２时，力、力矩在部分区域出现较大的凸起，说明机构接近奇异状态。
（３）在一般６维力Ｅ作用下，分别由Ｆ、Ｍ产
生的构件上的两部分力是可以分离的，特别当，很大、肘较小时，将，从机构的分支构件上卸掉，可改善机构受力特性，对机构的工程设计有重要意义和实用价值。
参考文献
【ｌ】ＧＯＳＳＥＬ／ＮＣ．Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ
ａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆ
ａ
ｆａｓｔ
３－ＤＯＦ
ｃａｍｅｒａ－ｏｒｉｅｎｔａｔｉｎｇｄｅｖｉｃｅ［Ｊ］．Ｉｎｔ．Ｊ．ｏｆ
ＲｏｂｏｔｉｃＲｅｓｅａｒｃｈ，１９９７，１６（５）：６１９—６３０．
［２】ＧＯＳＳＥＬＩＮ
ＣＭ．Ｔｈｅ
ｏｐｔｉｍｕｍｄｅｓｉｇｎ
ｏｆｒｏｂｏｔｉｃ
ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ
ｕｓｉｎｇｄｅｘｔｅｒｉｔｙ
ｉｎｄｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｒｏｂｏｔｉｃｓａｎｄ
ＡｕｔｏｎｏｍｏｕｓＳｙｓｔｅｍｓ，１９９２，９（４）：２１３—２２６．
【３】曾宪菁，黄田，曾子平．基于三自由度球面并联机构数
控回转台的机械设计叨．机器人技术与应用，２０００，４：
２３．２６．ＺＥＮＧＸｉａｎｑｉｎｇ，ＨＵＡＮＧＴｉａｎ，ＺＥＮＧＺｉｐｉｎｇ．Ｄｅｓｉｇｎｏｆ
ＮＣ
ｒｏｔａｒｙ
ｗｏｒｋｉｎｇｔａｂｌｅ
ｂａｓｅｄ
ｏｎ
ｓｐｈｅｒｉｃａｌｐａｒａｌｌｅｌ
ｍｅｃｈａｎｉｓｍ
ｗｉｔｈ
３
ＤＯＦ［Ｊ］．Ｒｏｂｏｔ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
ａｎｄ
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，２０００，４：２３－２６．
【４】ＧＯＳＳＥＬＩＮ
Ｃ．Ｔｈｅ
ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔａｎｄ
ｓｐｈｅｒｉｃａｌ
３－ｄｏｆ
ｐａｒａｌｌｅｌ
ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ［Ｊ】－Ｉｎｔ．Ｊ．ｏｆＲｏｂｏｔｉｃ
Ｒｅｓｅａｒｃｈ，１９９３，
１２（４）：３９４—４０２．
【５】黄田，曾宪菁，倪雁冰，等。球面并联操作机的尺度综
合【Ｊ】．自然科学进展，２０００，ｌＯ（８）：７５１－７５６．
ＨＵＡＮＧＴｉａｎ，ＺＥＮＧ
Ｘｉａｎｑｉｎｇ，ＮＩ
Ｙａｎｂｉｎｇ，ｅｔａ１．
Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｙｎｔｈｅｓｉｓｏｆｓｐｈｅｒｉｃａｌｐａｒａｌｌｅｌ
ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓ［Ｊ］．
ＰｒｏｇｒｅｓｓｉｎＮａｔｕｒａｌ
Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０００，１０（８）：７５１－７５６．
【６】黄田，曾宪菁．等顶锥角３自由度球面并联机构的全参
数解析尺度综合［Ｊ］．机械工程学报，２０００，３６（８）：１５—１９．
ＨＵＡＮＧ
Ｔｉａｎ．
ＺＥＮＧ
Ｘｉａｎｑｉｎｇ．
Ａｌｌ—ｐａｒａｍｅｔｅｒａｎｄ
ａｎａｌｙｔｉｃａｌｄｉｍｅｎｓｉｏｎ‘ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ
ｏｆ
３・ＤＯＦ
ｓｐｈｅｒｉｃａｌ
ｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｈａｖｉｎｇｅｑｕａｌａｐｅｘａｎｇｌｅｓ［Ｊ］．ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌ
ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０００，３６（８）：１５－１９．
【７】ＧＯＳＳＥＬＩＮ
Ｃ．ＡＮＧＥＬＥＳＪ．Ｔｈｅ
ｏｐｔｉｍｕｍ
ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ
ｄｅｓｉｇｎ
ｏｆ
ａ
ｓｐｈｅｒｉｃａｌｔｈｒｅｅ－ｄｅｇｒｅｅ－ｏｆ－ｆｒｅｅｄｏｍ
ｐａｒａｌｌｅｌ
ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ【Ｊ】．Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ
ｏｆｔｈｅ
ＡＳＭＥ，１９８９，１１１（６）：
２０２．２０７．
［８】ＧＯＳＳＥＬＩＮ
Ｃ
Ｍ，ＳＥＦＲＩＯＵＩ
Ｊ，ＲＩＣＨＡＲＤ
ＭＪ．Ｏｎｔｈｅ
ｄｉｒｅｃｔ
ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ
ｏｆ
ｓｐｈｅｒｉｃａｌ
ｔｈｒｅｅ－ｄｅｇｒｅｅ－ｏｆ－ｆｘｅｅｄｏｍ
１７６
机械工程学报第４４卷第６期
ｐａｒａｌｌｅｌｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓｗｉｔｈＪｏｕｒｎａｌ
ａ
ｃｏｐｌａｎａｒ
ｐｌａｔｆｏｒｍ［Ｊ］．ＡＳＭＥ
［１ｌ】熊有伦，丁汉，刘恩沧．机器人学［１哪．北京：机械工业
出版社，１９９３．
ＸＩＯＮＧ
ｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＤｅｓｉｇｎ，１９９４，１１６（２）：５８７－５９３．
Ｚｈｅｎｌｉｎ，ＧＡＯ
【９】ＬＩＵｘｉｎｊｕｎ，ＪＩＮＦｅｎｇ．Ｏｐｔｉｍｕｍｄｅｓｉｇｎｏｆ
ｔｈｅ
Ｙｏｕｌｕｎ，ＤＩＮＧＨａｎ，ＬＩＵＥｎｃａｎｇ．Ｒｏｂｏｔｉｃｓ［Ｍ］．
３－ＤＯＦｓｐｈｅｒｉｃａｌｐａｒａｌｌｅｌｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒｓｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ
ａｎｄｓｔｉｆｆｎｅｓｓ
Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＣｈｉｎａＭａｃｈｉｎｅＰｒｅｓｓ，１９９３．
ｉｎｄｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｓｍａｎｄ
作者简介：周玉林，男．１９６１年出生，博士研究生。主要研究方向为人形机器人，并联机器人。Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｙｌ＠ｙｓｕ．ｅｄｕ．ｃＩＩ
刘磊，男，１９８１年出生，硕士研究生。主要研究方向为并联机器人。
ＭａｃｈｉｎｅＴｈｅｏｒｙ，２０００，３５（６）：１２５７一ｌ２６７．
【１０】何开明．三自由度球面并联机器人机构的边角关系［Ｊ】．
武汉理工大学学报，２００２，２４（７）：５４．５７．
ＨＥＫａｉｍｉｎｇ．Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｓｉｄｅａｎｄ
ａｎｇｌｅ
ｏｆｔｈｅ
高峰，男，１９５６年出生，博士，博士研究生导师。主要研究方向为并联机器人。
ｓｐｈｅｒｉｃａｌｐａｒａｌｌｅｌｍｅｃｈａｎｉｓｍｗｉｔｈ３ＤＯＦ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ
Ｗｕｈａｎ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００２，２４（７）：５４－５７．
Ｅ－ｍａｉｌ：ｆｃｎｇｇ＠ｓｊｔｕ．ｅｄ．ｃｎ
第三届北京国际快速成形及制造会议暨第二届北京国际生物制造会议
（ＩＣＲＭ—ＢＭ’０８）将在北京召开
由中国机械工程学会特种加工分会和生物制造工程分会联合举办的国际会议（ＩＣＲＭ．ＢＭ’０８），将于２００８年１１月６～８日在北京举行。届时将同时举行国际快速成形协会联盟（ＧＡＲＰＡ）峰会和快速成形产品展示会。会议将在ＲＰＪｏｕｒｎａｌ和Ｊｏｕｒｎａｌ
Ｂｉｏａｃｔｉｖｅ
ｏｆ
ａｎｄＣｏｍｐａｔｉｂｌｅＰｏｌｙｍｅｒｓ出版两个分册论文集，均为ＳＣＩ收录。会议将有全球快速成形及制造以及生物制造专家学
者与会，亦检阅我国近年来此领域的迅速发展，对进一步提高我们的学术水平和多方面应用起到重要的作用。会议已建专用网站，网址为：ｗｗｗ．ｉｃｒｐｍ０８．ｏｒｇ，欢迎您的访问。具体请查阅会议的Ｃａｌｌ联系方式：
会议主席：颜永年教授，清华大学机械系。电话：０１０．６２７８３５６５手机：１３７０１００４８０１
ｆｏｒＰａｐｅｒ。
Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｍｅｙｙｎ＠ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎ
（中国机械工程学会特种加工分会快速成形技术委员会委员主任）
会议秘书长：张人佶教授，清华大学机械系。电话：０１０－６２７８２４４８手机：１３６８１５５５７８０Ｅ・ｍａｉｌ：ｚｈａｎ９０＠ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎ
（中国机械工程学会特种加工分会快速成形技术委员会委员兼秘书）
会议秘书：姚睿，清华大学机械系。电话：０１０．６２７８２９８８
Ｅ—ｍａｉｌ：ｙａｏ—ｒ０５＠ｍａｉｌｓ．ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎ
3自由度球面并联机构3-RRR静力全解
作者：作者单位：
周玉林， 刘磊， 高峰， ZHOU Yulin， LIU Lei， GAO Feng
周玉林,高峰,ZHOU Yulin,GAO Feng(燕山大学机械工程学院秦皇岛,066004;上海交通大学振动、冲击、噪声国家重点实验室,上海,200030)， 刘磊,LIU Lei(河北工业大学机械工程学院,天津,300130)
机械工程学报
CHINESE JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING2008,44(6)11次
刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
参考文献(11条)
1.GOSSELIN C Development and experimentation of a fast 3-DOF camera-orientating device[外文期刊]1997(05)
2.GOSSELIN C M The optimum design of robotic manipulators using dexterity indices[外文期刊] 1992(04)3.曾宪菁;黄田;曾子平 基于三自由度球面并联机构数控回转台的机械设计[期刊论文]-机器人技术与应用2000(04)
4.GOSSELIN C The development and spherical 3-dof parallel manipulator[外文期刊] 1993(04)5.黄田;曾宪菁;倪雁冰 球面并联操作机的尺度综合[期刊论文]-自然科学进展 2000(08)
6.黄田;曾宪菁 等顶锥角3自由度球面并联机构的全参数解析尺度综合[期刊论文]-机械工程学报 2000(08)7.GOSSELIN C;ANGELES J The optimum kinematics design of a spherical three-degree-of-freedom parallelmanipulator 1989(06)
8.GOSSELIN C M;SEFRIOUI J;RICHARD M J On the direct kinematics of spherical three-degree-of-freedomparallel manipulators with a coplanar platform[外文期刊] 1994(02)
9.LIU Xinjun;JIN Zhenlin;GAO Feng Optimum design of 3-DOF spherical parallel manipulators withrespect to the conditioning and stiffness indices[外文期刊] 2000(06)
10.何开明 三自由度球面并联机器人机构的边角关系[期刊论文]-武汉理工大学学报 2002(07)11.熊有伦;丁汉;刘恩沧 机器人学 1993
本文读者也读过(3条)
1. 黄田.曾宪菁.曾子平.李佳.张世昌.Huang Tian.ZENG Xianjing.Zeng Ziping.Li Jia.Zhang Shichang 等顶锥角3自由度球面并联机构的全参数解析尺度综合[期刊论文]-机械工程学报2000,36(8)
2. 姚蕊.唐晓强.黄鹏.杨建新.YAO Rui.TANG Xiaoqiang.HUANG Peng.YANG Jianxin 高加速度的柔性3-RRR并联机构尺度综合设计[期刊论文]-清华大学学报（自然科学版）2008,48(2)
3. 周玉林.高峰.ZHOU Yulin.GAO Feng 3-RRR 3自由度球面并联机构静刚度分析[期刊论文]-机械工程学报2009,45(4)
引证文献(13条)
1.郭彦军.李瑞琴.何水琴.张志良 3-RRP球面并联机构的运动学分析[期刊论文]-机械设计与制造 2014(4)2.刘士昌.陈子明.刘婧芳.黄真 基于螺旋理论对单环空间RSUR机构受力分析[期刊论文]-机械工程学报 2011(13)3.赵燕.黄真 含过约束力偶的少自由度并联机构的受力分析[期刊论文]-机械工程学报 2010(5)
4.路光达.张爱梅.周静.崔世刚.赵丽 3-RSS/S并联机构的静力学分析与实验研究[期刊论文]-机械设计 2013(3)5.刘喜平.侯雨雷.邱雪松.周玉林 2-RRR＋RRS球面并联机构超静定力学全解[期刊论文]-中国机械工程 2011(23)
6.李永泉.张立杰.郭菲.郭志民 球面2-DOF冗余驱动并联机器人静力学全解[期刊论文]-机械工程学报 2011(19)7.陈伟.郭为忠.高峰 动力模块车组液压悬挂系统的分组建模[期刊论文]-机械工程学报 2012(5)
8.黄玉美.韩旭炤.高峰.陈纯.杨新刚 基于边界元法的平面运动并联机构静力学解析[期刊论文]-机器人 2010(3)9.侯雨雷.胡鑫喆.周玉林 新型过约束球面并联式关节机构仿生设计[期刊论文]-中国机械工程 2014(6)10.侯雨雷.胡鑫喆.周玉林 新型过约束球面并联式关节机构仿生设计[期刊论文]-新型工业化 2013(8)11.周玉林.李波.杨龙.高峰 二自由度球面并联机构UP+R静力学分析[期刊论文]-中国机械工程 2013(15)12.王庚祥.刘宏昭.原大宁 空间4-SPS/CU并联机构的受力分析[期刊论文]-农业工程学报 2012(22)
13.崔冰艳.金振林 基于正交机构的机器人肩关节静力学分析与结构参数设计[期刊论文]-光学精密工程 2011(1)
引用本文格式：周玉林.刘磊.高峰.ZHOU Yulin.LIU Lei.GAO Feng 3自由度球面并联机构3-RRR静力全解[期刊论文]-机械工程学报 2008(6)