双曲线
一 基本概念
1. 双曲线的定义:平面内与两个定点F 1, F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于
|F 1F 2|)的点的轨迹。其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意:当P 在右支时|PF 1|-|PF 2|=2a ,当P 在左支时|PF 2|-|PF 1|=2a
2. 双曲线的标准方程、图象及几何性质:
双 曲 线 定
|PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|) ||PF 1|-|PF 2||=2a (2a
义 方x 2y 2x 2y 2x 2y 2y 2x 2
+2=1+2=1-2=1-2=1 2222
a b b a a b a b 程
焦
F (±c ,0) F (0,±c ) F (±c ,0) F (0,±c )
点
(2)双曲线的性质
x 2y 2
①、范围:从标准方程2-2=1,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线
a b
x =±a 的外侧。即x 2≥a 2,x ≥a 即双曲线在两条直线x =±a 的外侧。
x 2y 2
②、对称性:双曲线2-2=1关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是
a b
x 2y 2
双曲线的对称轴,原点是双曲线2-2=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做
a b
双曲线的中心。
x 2y 2
③、顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2-2=1的方程里,
a b
对称轴是x , y 轴,所以令y =0得x =±a ,因此双曲线和x 轴有两个交点
x 2y 2
A (-a , 0) A 2(a , 0) ,他们是双曲线2-2=1的顶点。
a b
椭圆和双曲线比较:
椭 圆
1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2) 实轴:线段A A 2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a , a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段B B 2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b , b 叫做双曲线的虚半轴长
④、渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线
x 2y 2
即称为双曲线的渐近线。从图上看,双曲线2-2=1的各支向外延伸时,
a b
与这两条直线逐渐接近。 ⑤、等轴双曲线:
1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:a =b ; 2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:y =±x ;(2)渐近线互相垂直
注意:以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。
3)注意到等轴双曲线的特征a =b ,则等轴双曲线可以设为:
x 2-y 2=λ(λ≠0) ,当λ>0时交点在x 轴,当λ
x 2y 2y 2x 2
-=1与-=1的区别:三个量a , b , c 中a , b 不同(互换)c 相⑥、注意
169916
同,还有焦点所在的坐标轴也变了。
(3)、理解双曲线应注意的几点
1、椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据.同样,双曲线的离心率
是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据,由于,当
从接近1逐渐增大时,的值就从接近于逐渐增大,双曲线的“张口”
逐渐增大.
2、要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法.
∵,∴把标准方程中
的“1”用“”替换即可得出渐近线方程. 3、已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法:
①、渐近线方程为
常数).
的双曲线的方程为:
(
且为
②、与双曲线
有共同渐近线的双曲线的方程可设为
(
且为常数).
二 例题分析
【题型一】 双曲线定义
x 2y 2
【例1】(和平区2011高考一模). 设P 是双曲线2-=1上一点,双曲线的
a 9
一条渐近线方程为y =
3
x ,F 1, F 2分别是双曲线的左右焦点,若PF 1=4,则2
PF 2=( )
A.10 B.8 C.6 D.1
【例2】(2012年全国卷新课标)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,
C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A , B 两点
,AB =;则C 的实轴长为
( )
(A )
(B
) (C ) 4 (D ) 8
【题型二】 双曲线标准方程
x 2y 2
【例1】(2010年天津理5) . 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的
a b
渐近线方程是
, 它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上, 则双曲线的方程为 ( )
x 2y 2x 2y 2
(A )-=1 (B ) -=1
36108927x 2y 2x 2y 2
(C )-=1 (D )-=1
10836279
x 2y 2
【例2】(2010年天津文13). 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线
a b
方程是y =,它的一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同。则双曲线的方程为 .
x 2y 2
【例3】(2011山东理)已知双曲线2-2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线均和
a b
圆C:x 2+y 2-6x +5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( )
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
A -=1 B-=1 C-=1 D.-=1 54453663
x 2y 2x 2y 2
【例4】(2011山东文)已知双曲线2-2=1(a >0,b >0) 和椭圆+=1有
169a b
相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为
【例5】(2011安徽理)双曲线2x 2-y 2=8的实轴长是( ) A .2
y 2x 2
【变式1】(2011·上海理)设m 是常数,若点F (0,5) 是双曲线-=1的
m 9
B
C.4
D
.
一个焦点,则m = 。
x 2y 2
=1(a >0) 的渐近线方程为3x ±2y =0, 【变式2】(2011·湖南文)设双曲线2-
a 9
则a 的值为( )
A .4 B .3
C .2 D .1
x 2y 2
【变式3】(2012年天津文)设知双曲线C 1:2-2=1(a >0,b >0) 和C 2:
a b
x 2y 2
-=1有相同的渐近线,且C
1的右焦点F 2416
b =
0,则a =)
x 2y 2=1(a >b >
0)的离心率为e =【例6】(2012年山东)已知椭圆C 1:+,
a b 2
与双曲线x 2-y 2=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,求该椭圆方程.
【题型三】 双曲线渐近线
x 2y 2
【例1】(河西区2011年高考三模). 双曲线-=1的渐近线与圆
63
(x -3)
2
+y 2=r 2 (r >0)相切,则r 的值为x 2y 2
【例2】(2009年天津文4).设双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的虚轴长为2,
a b
焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( ) A y =±2x B y =±2x C y =±
12
x Dy =±x
2 2
y 2
【例3】. (2011年北京文10)已知双曲线x -2=1(b >0)的一条渐近线的
b
2
方程为y =2x ,则b = 。
x 2y 2
【例4】(2009年全国卷新课标)双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为 412
(A
)(B )2 (C
(D )1
题型四 双曲线离心率
x 2
【例1】(河东区2011年高考一模)已知双曲线-y 2=1,则该双线的离心率
3
为 ( )
A.
x 2y 2
【例2】(红桥区2011年高考一模). 双曲线2-2=1的一条渐近线方程为
a b
22 C. - D.
33x +3y =0,则次双曲线的离心率为 ( )
D.
3
【例3】(2011·全国卷新课标)设直线L 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一
条对称轴垂直,L 与C 交于A ,B 两点,AB 为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( ) A
B
C.2 D.3
1、已知圆C :(x -3) 2+y 2=4, 定点A (-3,0),则过定点A 且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程____________________
y 2x 25、已知曲线方程为+=1,当k 的取值范围是________时,方程表示
k -25-k
双曲线。
x 2y 2
6、已知双曲线-=1的焦点为F 1、F 2, 点M 在双曲线上且M F 1⊥x 轴,则F 1
63
到直线F 2M 的距离为_______________
7、一条双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F 1,点P 在双曲线左支的下半支上(不含左顶点),则直线P F 1的斜率的取值范围是_________________
x 2y 2
8、双曲线-=1的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上,若P F 1⊥P F 2 ,
916
则点P 到x 轴的距离为________________
x 2y 2
13、已知双曲线的方程为2-2=1(a>0,b>0),点A.B 在双曲线的右支上,线
a b
段AB 经过双曲线的右焦点F 2, AB=m,F 1为另一焦点,则∆AB F 1的周长
14、求适合下列条件的双曲线标准方程:
53
(1)虚轴长为12,离心率为 (2)顶点间距离为6,渐近线方程为y=±x
42
(3) 求与双曲线x 2-2y 2=1有公共渐近线,且过点M (2,- 2)的双曲线方程。
15、已知圆C :x 2+y 2-6x -4y +8=0. 以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的
一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为?
习题练习:
1.动点P 到点M (1, 0) 及点N (3, 0) 的距离之差为2,则点P 的轨迹是( ) A .双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线
2.设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且c =d ,那么双曲线的离心率e 等于( )
A .2 B.3 C.2 D.
3.过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ,F 1是另一焦点,若∠
PF 1Q =
π
2
,则双曲线的离心率e 等于( )
A .-1 B.2 C.2+1 D.2+2 4.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m =( )
11A .- B.-4 C.4 D.
44
x 2y 2
5.双曲线2-2=1(a , b >0) 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为该双曲线在第
a b
一象限的点,△PF 1F 2面积为1,且tan ∠PF 1F 2=线的方程为( )
1
, tan ∠PF 2F 1=-2, 则该双曲2
12x 25x 212y 2222
-3y =1 C .3x --3y =1 B .=1 A .
1255x 25y 2
-=1 D .312
22
6.如果方程x +y =1表示曲线, 则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 ( )
-p q
x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 A .+=1 B . +=-1 C . 2p +q q 2q +p q 2q +p p
x 2y 2
D . +=-1
2p +q q
7.双曲线的渐近线方程为x ±2y =0,焦距为10,这双曲线的方程为_______________。
x 2y 2
+=1表示双曲线,则k 的取值范围是 。 8.若曲线
4+k 1-k
x 2y 2-=1的渐近线方程为y =±9.若双曲线x ,则双曲线的焦点坐标是4m 2
_________.
10. 双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0,-5), F 2(0,5),点P (3,4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程。
双曲线
一 基本概念
1. 双曲线的定义:平面内与两个定点F 1, F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于
|F 1F 2|)的点的轨迹。其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意:当P 在右支时|PF 1|-|PF 2|=2a ,当P 在左支时|PF 2|-|PF 1|=2a
2. 双曲线的标准方程、图象及几何性质:
双 曲 线 定
|PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|) ||PF 1|-|PF 2||=2a (2a
义 方x 2y 2x 2y 2x 2y 2y 2x 2
+2=1+2=1-2=1-2=1 2222
a b b a a b a b 程
焦
F (±c ,0) F (0,±c ) F (±c ,0) F (0,±c )
点
(2)双曲线的性质
x 2y 2
①、范围:从标准方程2-2=1,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线
a b
x =±a 的外侧。即x 2≥a 2,x ≥a 即双曲线在两条直线x =±a 的外侧。
x 2y 2
②、对称性:双曲线2-2=1关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是
a b
x 2y 2
双曲线的对称轴,原点是双曲线2-2=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做
a b
双曲线的中心。
x 2y 2
③、顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2-2=1的方程里,
a b
对称轴是x , y 轴,所以令y =0得x =±a ,因此双曲线和x 轴有两个交点
x 2y 2
A (-a , 0) A 2(a , 0) ,他们是双曲线2-2=1的顶点。
a b
椭圆和双曲线比较:
椭 圆
1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2) 实轴:线段A A 2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a , a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段B B 2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b , b 叫做双曲线的虚半轴长
④、渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线
x 2y 2
即称为双曲线的渐近线。从图上看,双曲线2-2=1的各支向外延伸时,
a b
与这两条直线逐渐接近。 ⑤、等轴双曲线:
1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:a =b ; 2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:y =±x ;(2)渐近线互相垂直
注意:以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。
3)注意到等轴双曲线的特征a =b ,则等轴双曲线可以设为:
x 2-y 2=λ(λ≠0) ,当λ>0时交点在x 轴,当λ
x 2y 2y 2x 2
-=1与-=1的区别:三个量a , b , c 中a , b 不同(互换)c 相⑥、注意
169916
同,还有焦点所在的坐标轴也变了。
(3)、理解双曲线应注意的几点
1、椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据.同样,双曲线的离心率
是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据,由于,当
从接近1逐渐增大时,的值就从接近于逐渐增大,双曲线的“张口”
逐渐增大.
2、要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法.
∵,∴把标准方程中
的“1”用“”替换即可得出渐近线方程. 3、已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法:
①、渐近线方程为
常数).
的双曲线的方程为:
(
且为
②、与双曲线
有共同渐近线的双曲线的方程可设为
(
且为常数).
二 例题分析
【题型一】 双曲线定义
x 2y 2
【例1】(和平区2011高考一模). 设P 是双曲线2-=1上一点,双曲线的
a 9
一条渐近线方程为y =
3
x ,F 1, F 2分别是双曲线的左右焦点,若PF 1=4,则2
PF 2=( )
A.10 B.8 C.6 D.1
【例2】(2012年全国卷新课标)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,
C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A , B 两点
,AB =;则C 的实轴长为
( )
(A )
(B
) (C ) 4 (D ) 8
【题型二】 双曲线标准方程
x 2y 2
【例1】(2010年天津理5) . 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的
a b
渐近线方程是
, 它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上, 则双曲线的方程为 ( )
x 2y 2x 2y 2
(A )-=1 (B ) -=1
36108927x 2y 2x 2y 2
(C )-=1 (D )-=1
10836279
x 2y 2
【例2】(2010年天津文13). 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线
a b
方程是y =,它的一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同。则双曲线的方程为 .
x 2y 2
【例3】(2011山东理)已知双曲线2-2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线均和
a b
圆C:x 2+y 2-6x +5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( )
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
A -=1 B-=1 C-=1 D.-=1 54453663
x 2y 2x 2y 2
【例4】(2011山东文)已知双曲线2-2=1(a >0,b >0) 和椭圆+=1有
169a b
相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为
【例5】(2011安徽理)双曲线2x 2-y 2=8的实轴长是( ) A .2
y 2x 2
【变式1】(2011·上海理)设m 是常数,若点F (0,5) 是双曲线-=1的
m 9
B
C.4
D
.
一个焦点,则m = 。
x 2y 2
=1(a >0) 的渐近线方程为3x ±2y =0, 【变式2】(2011·湖南文)设双曲线2-
a 9
则a 的值为( )
A .4 B .3
C .2 D .1
x 2y 2
【变式3】(2012年天津文)设知双曲线C 1:2-2=1(a >0,b >0) 和C 2:
a b
x 2y 2
-=1有相同的渐近线,且C
1的右焦点F 2416
b =
0,则a =)
x 2y 2=1(a >b >
0)的离心率为e =【例6】(2012年山东)已知椭圆C 1:+,
a b 2
与双曲线x 2-y 2=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,求该椭圆方程.
【题型三】 双曲线渐近线
x 2y 2
【例1】(河西区2011年高考三模). 双曲线-=1的渐近线与圆
63
(x -3)
2
+y 2=r 2 (r >0)相切,则r 的值为x 2y 2
【例2】(2009年天津文4).设双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的虚轴长为2,
a b
焦距为2,则双曲线的渐近线方程为( ) A y =±2x B y =±2x C y =±
12
x Dy =±x
2 2
y 2
【例3】. (2011年北京文10)已知双曲线x -2=1(b >0)的一条渐近线的
b
2
方程为y =2x ,则b = 。
x 2y 2
【例4】(2009年全国卷新课标)双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为 412
(A
)(B )2 (C
(D )1
题型四 双曲线离心率
x 2
【例1】(河东区2011年高考一模)已知双曲线-y 2=1,则该双线的离心率
3
为 ( )
A.
x 2y 2
【例2】(红桥区2011年高考一模). 双曲线2-2=1的一条渐近线方程为
a b
22 C. - D.
33x +3y =0,则次双曲线的离心率为 ( )
D.
3
【例3】(2011·全国卷新课标)设直线L 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一
条对称轴垂直,L 与C 交于A ,B 两点,AB 为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( ) A
B
C.2 D.3
1、已知圆C :(x -3) 2+y 2=4, 定点A (-3,0),则过定点A 且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程____________________
y 2x 25、已知曲线方程为+=1,当k 的取值范围是________时,方程表示
k -25-k
双曲线。
x 2y 2
6、已知双曲线-=1的焦点为F 1、F 2, 点M 在双曲线上且M F 1⊥x 轴,则F 1
63
到直线F 2M 的距离为_______________
7、一条双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F 1,点P 在双曲线左支的下半支上(不含左顶点),则直线P F 1的斜率的取值范围是_________________
x 2y 2
8、双曲线-=1的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上,若P F 1⊥P F 2 ,
916
则点P 到x 轴的距离为________________
x 2y 2
13、已知双曲线的方程为2-2=1(a>0,b>0),点A.B 在双曲线的右支上,线
a b
段AB 经过双曲线的右焦点F 2, AB=m,F 1为另一焦点,则∆AB F 1的周长
14、求适合下列条件的双曲线标准方程:
53
(1)虚轴长为12,离心率为 (2)顶点间距离为6,渐近线方程为y=±x
42
(3) 求与双曲线x 2-2y 2=1有公共渐近线,且过点M (2,- 2)的双曲线方程。
15、已知圆C :x 2+y 2-6x -4y +8=0. 以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的
一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为?
习题练习:
1.动点P 到点M (1, 0) 及点N (3, 0) 的距离之差为2,则点P 的轨迹是( ) A .双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线
2.设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且c =d ,那么双曲线的离心率e 等于( )
A .2 B.3 C.2 D.
3.过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ,F 1是另一焦点,若∠
PF 1Q =
π
2
,则双曲线的离心率e 等于( )
A .-1 B.2 C.2+1 D.2+2 4.双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m =( )
11A .- B.-4 C.4 D.
44
x 2y 2
5.双曲线2-2=1(a , b >0) 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为该双曲线在第
a b
一象限的点,△PF 1F 2面积为1,且tan ∠PF 1F 2=线的方程为( )
1
, tan ∠PF 2F 1=-2, 则该双曲2
12x 25x 212y 2222
-3y =1 C .3x --3y =1 B .=1 A .
1255x 25y 2
-=1 D .312
22
6.如果方程x +y =1表示曲线, 则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 ( )
-p q
x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 A .+=1 B . +=-1 C . 2p +q q 2q +p q 2q +p p
x 2y 2
D . +=-1
2p +q q
7.双曲线的渐近线方程为x ±2y =0,焦距为10,这双曲线的方程为_______________。
x 2y 2
+=1表示双曲线,则k 的取值范围是 。 8.若曲线
4+k 1-k
x 2y 2-=1的渐近线方程为y =±9.若双曲线x ,则双曲线的焦点坐标是4m 2
_________.
10. 双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0,-5), F 2(0,5),点P (3,4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程。