第二课时 子集、全集、补集 一、【教学目标】
学习要求
1．了解集合之间包含关系的意义；
2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；
3．子集、真子集的性质；
4．了解全集的意义，理解补集的概念．
二、【预习思考】
预习课本P8 引入和例题二
三、【互动合作】
自学评价
1．子集的概念及记法：
如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（ ），则称集合 A
为集合B 的子集（subset ）, 记为_________或_________读作“__________”或
“__________”
用符号语言可表示为：____________________________________________________ 如右图所示：
_______________________
注意：（1）A 是B 的子集的含义：任意x ∈A ，能推出x ∈B ；
（2）不能理解为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的集合.
2．子集的性质：
① A ⊆ A ② ∅⊆A ③ A ⊆B , B ⊆C , 则A ⊆C
思考:A ⊆B 与B ⊆A 能否同时成立？
【答】 _________
3．真子集的概念及记法：
如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合 A称为集合B 的真子集（proper set）, 记为 _________或_________读作“____________________”或“__________________”
4．真子集的性质：
①∅是任何非空集合的真子集, 符号表示为___________________
②真子集具备传递性, 符号表示为___________________
5．全集的概念：
如果集合U 包含我们所要研究的各个集合，这时U 可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____
6．补集的概念：
设____________，由U 中不属于A 的所有元 素组成的集合称为U 的子集A 的补集（complementary set）, 记为___________读作“__________________________” 即：C U A =_______________________
C U A 可用
右图阴影部
分来表示： __________________
7．补集的性质：
① C U ∅=__________________ ② C U U =________________③ C U (C U A ) =____________ 四、【精典范例】
一、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式
例1．
① 写出集合{a，b }的所有子集及其真子集；
② 写出集合{a，b ，c }的所有子集及其真子集；
分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏， 但应注意两个特殊的子集：∅和本身．
【解】
①集合{a，b }的所有子集为：
∅，{a }，{ b}，{a，b }；
②集合{a，b ，c }的所有子集为：
∅，{a }，{ b}，{c}，{a，b }
{a，c }，{b，c }，{a，b ，c }．
点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．
①一个集合里有n 个元素，那么它有2n 个子集；
②一个集合里有n 个元素，那么它有2n -1个真子集； ③一个集合里有n 个元素，那么它有2n -2个非空真子集．
二、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系
例2：
以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．
（1）a 与{a} 0 与 ∅
3，∅} 5
（3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，
B={-2，2}；
（4）S=R，A={x|x≤0，x ∈R }，B={x|x>0 ，x ∈R }；
（5）S={x|x为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x为外国人 } （2）∅与{20
，
【解】
点评:
① 判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念，看两个集合里的元
素的关系，是包含，真包含，相等．
②元素与集合之间用_______________, 集合与集合之间用_______________
三、运用子集的性质
例3：设集合A={x|x2+4x=0，x ∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x ∈R}，若B ⊆A ， 求实数a 的取值范围．
分析：首先要弄清集合A 中含有哪些元素，在由B ⊆A ，可知，集合B 按元素的多少分类讨论即可．
【解】 A={x|x2+4x =0，x ∈R}={0，-4}∵ B ⊆A ∴ B=∅或{0}，{-4}，{0，-4} ①当B=∅时，⊿=[2(a+1)]2-4•(a2-1)
②当B={0}时，⎨⎧0=-2(a +1)
⎩0=a -12 ∴ a=-1
⎧-4-4=-2(a +1) ③当B={-4}时，⎨∴ a=∅ 2⎩16=a -1
⎧-4+0=-2(a +1) ④当B={0，-4}时，⎨ ∴ a=1 ∴ a 的取值范围为：a
a=1．
点评: B=∅易被忽视，要提防这一点．
四、补集的求法
例题3: 见课本P9例题3
例4：①方程组⎨⎧2x +1>0的解集为A ，U=R，试求A 及C u A ．②设全集U=R，A={x|x>1}，⎩3x -6≤0
B={x|x+a
【解】
① A={x|-112} 22
② B={x|x+a
1x
∴ -a ≤ 1即a ≥-1
点评:求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观．
五、【追踪训练】
1．判断下列表示是否正确：
(1) a ⊆{a } (2) {a }∈{a，b } (3) {a，b } ⊆{b，a } (4) {-1，1} {-1，0，≠ 1} ⊂
(5) ∅ ⊂ ≠ {-1，1}
2．指出下列各组中集合A 与B 之间的关系．
(1) A={-1，1}，B=Z； (2)A={1，3，5，15}，B={x|x是15的正约数}；
22(3) A = N*，B=N (4) A ={x|x=1+a,a ∈N*} B={x|x=a-4a+5,a∈N*}
3．（1）已知{1，2 }⊆M ⊆{1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有多少个？
（2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7,8，9}，集合P 满足：P ⊆M ，且若α∈P ，
则10-α ∈P ，则这样的集合P 有多少个？
4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．
(1) ∅与{0} (2) {-1，1}与{1，-1} (3) {(a,b)} 与{(b,a)} (4) ∅与{0，1，∅}
5．若U=Z，A={x|x=2k，k ∈Z}，B={x|x=2k+1， k ∈Z}，则 C U A ___________
C U B _________：
6．设全集是数集U={2，3，a 2+2a-3}，已知A={b，2}，C U A ={5}，求实数a ，b 的值．
7．已知集合A={x|x=a+1b 1c 1，a ∈Z}，B={x|x=-，b ∈Z}，C={x|x=+，c ∈Z}，试判62326
断A 、B 、C 满足的关系
8．已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}B ⊆ A ，求a ，b 的取值范围．
【实验班】
集合中的开放问题
例5: 已知全集S={1，3x +3x+2x}，集合A={1，|2x-1|}，如果C S A ={0}，则这样的实数x 32
是否存在？若存在，求出x ，若不存在，请说明理由．
点拔：由C S A ={0}，可知，0∈S ，但0∉A ，由0∈S ，可求出x ，然后结合0∉A ，来验证
是否符合题目的隐含条件A ⊆S ，从而确定x 是否存在．
六、【课后小结】
知识网络
第二课时 子集、全集、补集 一、【教学目标】
学习要求
1．了解集合之间包含关系的意义；
2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；
3．子集、真子集的性质；
4．了解全集的意义，理解补集的概念．
二、【预习思考】
预习课本P8 引入和例题二
三、【互动合作】
自学评价
1．子集的概念及记法：
如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（ ），则称集合 A
为集合B 的子集（subset ）, 记为_________或_________读作“__________”或
“__________”
用符号语言可表示为：____________________________________________________ 如右图所示：
_______________________
注意：（1）A 是B 的子集的含义：任意x ∈A ，能推出x ∈B ；
（2）不能理解为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的集合.
2．子集的性质：
① A ⊆ A ② ∅⊆A ③ A ⊆B , B ⊆C , 则A ⊆C
思考:A ⊆B 与B ⊆A 能否同时成立？
【答】 _________
3．真子集的概念及记法：
如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合 A称为集合B 的真子集（proper set）, 记为 _________或_________读作“____________________”或“__________________”
4．真子集的性质：
①∅是任何非空集合的真子集, 符号表示为___________________
②真子集具备传递性, 符号表示为___________________
5．全集的概念：
如果集合U 包含我们所要研究的各个集合，这时U 可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____
6．补集的概念：
设____________，由U 中不属于A 的所有元 素组成的集合称为U 的子集A 的补集（complementary set）, 记为___________读作“__________________________” 即：C U A =_______________________
C U A 可用
右图阴影部
分来表示： __________________
7．补集的性质：
① C U ∅=__________________ ② C U U =________________③ C U (C U A ) =____________ 四、【精典范例】
一、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式
例1．
① 写出集合{a，b }的所有子集及其真子集；
② 写出集合{a，b ，c }的所有子集及其真子集；
分析：按子集的元素的多少分别写出所有子集，这样才能达到不重复，无遗漏， 但应注意两个特殊的子集：∅和本身．
【解】
①集合{a，b }的所有子集为：
∅，{a }，{ b}，{a，b }；
②集合{a，b ，c }的所有子集为：
∅，{a }，{ b}，{c}，{a，b }
{a，c }，{b，c }，{a，b ，c }．
点评:写子集，真子集要按一定顺序来写．
①一个集合里有n 个元素，那么它有2n 个子集；
②一个集合里有n 个元素，那么它有2n -1个真子集； ③一个集合里有n 个元素，那么它有2n -2个非空真子集．
二、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系
例2：
以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．
（1）a 与{a} 0 与 ∅
3，∅} 5
（3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，
B={-2，2}；
（4）S=R，A={x|x≤0，x ∈R }，B={x|x>0 ，x ∈R }；
（5）S={x|x为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x为外国人 } （2）∅与{20
，
【解】
点评:
① 判断两个集合的包含关系，主要是根据集合的子集，真子集的概念，看两个集合里的元
素的关系，是包含，真包含，相等．
②元素与集合之间用_______________, 集合与集合之间用_______________
三、运用子集的性质
例3：设集合A={x|x2+4x=0，x ∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x ∈R}，若B ⊆A ， 求实数a 的取值范围．
分析：首先要弄清集合A 中含有哪些元素，在由B ⊆A ，可知，集合B 按元素的多少分类讨论即可．
【解】 A={x|x2+4x =0，x ∈R}={0，-4}∵ B ⊆A ∴ B=∅或{0}，{-4}，{0，-4} ①当B=∅时，⊿=[2(a+1)]2-4•(a2-1)
②当B={0}时，⎨⎧0=-2(a +1)
⎩0=a -12 ∴ a=-1
⎧-4-4=-2(a +1) ③当B={-4}时，⎨∴ a=∅ 2⎩16=a -1
⎧-4+0=-2(a +1) ④当B={0，-4}时，⎨ ∴ a=1 ∴ a 的取值范围为：a
a=1．
点评: B=∅易被忽视，要提防这一点．
四、补集的求法
例题3: 见课本P9例题3
例4：①方程组⎨⎧2x +1>0的解集为A ，U=R，试求A 及C u A ．②设全集U=R，A={x|x>1}，⎩3x -6≤0
B={x|x+a
【解】
① A={x|-112} 22
② B={x|x+a
1x
∴ -a ≤ 1即a ≥-1
点评:求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观．
五、【追踪训练】
1．判断下列表示是否正确：
(1) a ⊆{a } (2) {a }∈{a，b } (3) {a，b } ⊆{b，a } (4) {-1，1} {-1，0，≠ 1} ⊂
(5) ∅ ⊂ ≠ {-1，1}
2．指出下列各组中集合A 与B 之间的关系．
(1) A={-1，1}，B=Z； (2)A={1，3，5，15}，B={x|x是15的正约数}；
22(3) A = N*，B=N (4) A ={x|x=1+a,a ∈N*} B={x|x=a-4a+5,a∈N*}
3．（1）已知{1，2 }⊆M ⊆{1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有多少个？
（2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7,8，9}，集合P 满足：P ⊆M ，且若α∈P ，
则10-α ∈P ，则这样的集合P 有多少个？
4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．
(1) ∅与{0} (2) {-1，1}与{1，-1} (3) {(a,b)} 与{(b,a)} (4) ∅与{0，1，∅}
5．若U=Z，A={x|x=2k，k ∈Z}，B={x|x=2k+1， k ∈Z}，则 C U A ___________
C U B _________：
6．设全集是数集U={2，3，a 2+2a-3}，已知A={b，2}，C U A ={5}，求实数a ，b 的值．
7．已知集合A={x|x=a+1b 1c 1，a ∈Z}，B={x|x=-，b ∈Z}，C={x|x=+，c ∈Z}，试判62326
断A 、B 、C 满足的关系
8．已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}B ⊆ A ，求a ，b 的取值范围．
【实验班】
集合中的开放问题
例5: 已知全集S={1，3x +3x+2x}，集合A={1，|2x-1|}，如果C S A ={0}，则这样的实数x 32
是否存在？若存在，求出x ，若不存在，请说明理由．
点拔：由C S A ={0}，可知，0∈S ，但0∉A ，由0∈S ，可求出x ，然后结合0∉A ，来验证
是否符合题目的隐含条件A ⊆S ，从而确定x 是否存在．
六、【课后小结】
知识网络