第一讲 找规律
【知识梳理】
所谓规律探索题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。
常见类型有：（1）数字猜想型（2）数式规律型（3）图像变化猜想型（4）数形结合猜想型（5）坐标变化型
解题策略：综合运用比较、猜想、概括、推理等方法；关键是仔细审题，归纳规律，合理推测，认真验证，从而得出问题的结论。
知识点1：循环规律：一列数每隔T 项就开始循环，或一列图形（符号）每隔T 个就开始循环，T 叫做循环周期。如果一列数或图形的循环周期为T ，则其第kT+1(k=1,2,3...)项与第1项相同；则其第kT+2(k=1,2,3...)项与第2项相同；则其第kT+3(k=1,2,3...)项与第3项相同；以此类推........
正整数的n 次幂的循环规律：
对于任意一个正整数a ，a n (n=1,2,3...)的个位数字必循环。例如：2n （n=1,2,3...）的个位数字循环规律为：2,4,8,6,2,4,8,6，... ，循环周期为4.
知识点2：不循环的规律：
等差数列：对于一列数a 1,a 2,a 3,..., 如果始终有后面一项减去前面一项是一个固定常数，那么这列数就叫等差数列。此时后一项与前一项的差值称为公差，通常记为d 。对于等差数列，其第n 项为a n =a1+(n-1)d,前n 项的和为S n =
n (a 1+a n )
. 特别地， 2
奇数列：1,3,5,7,9，... 是等差数列，公差为2，第n 项为2n-1，前n 项和为n 2。 偶数列：2,4,6,8,10，... 是等差数列，公差为2，第n 项为2n ，前n 项和为n 2+n。
等比数列： 对于一列数a 1,a 2,a 3,..., 如果始终有后面一项与前面一项的比值是一个固定常数，那么这列数就叫等比数列。此时后一项与前一项的比值称为公比，通常记为q 。对于等比数列，其第n 项为a n =a1q n-1. 特别地，
数列 -1,1，-1,1，-1，... 是等比数列，公比为-1，第n 项为(-1)n ； 数列 1，-1,1，-1，... 是等比数列，公比为-1，第n 项为(-1)n+1 ；
1+(-1) 数列 1，0，1，0，1，... 第n 项为
2
n -1
；
平方数列：1,4,9,16,25，... 的第n 项为n 2 。
【例题讲解】
1、（2015朝阳一模）一组按规律排列的式子：
25172610
，-2，3，-4，5，…，其中a a a a a
第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）． 392565
【巩固】一组按规律排列的式子：，，，„，其中第n 个式子是
24816
2、（2015燕山一模）定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把
1
称为a 的差倒数，如1-a
2的差倒数为
1111
=-1，-1的差倒数为＝．记a 1=，a 2是a 1的差倒数，a 3
21-21-(-1) 2
是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，则a 2＝a 2015＝ 3、（2013西城一模）在平面直角坐标系xOy 中，有一只电子青蛙在点A (1,0)处． 第一次，它从点A 先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A 1； 第二次，它从点A 1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A 2； 第三次，它从点A 2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A 3； 第四次，它从点A 3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A 4； ……
依此规律进行，点A 6的坐标为 ；若点A n 的坐标为（2013，2012），则n = ．
4、（2010北京）下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D. 请你按图中箭头
所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________;当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C 第2n+1次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是________ （用含n 的代数式表示）。
A D
B
2010北京
C
5、（2012丰台）在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的
正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A 出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D ，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B ，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C ，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C ，… ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是2012次到达的顶点是．
6、（12石景山二模）如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每
跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（3n -2）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳3⨯1-2=1步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳3⨯2-2=4步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 ． 7、（11北京）在上表中，我们把第i 行第j 列的数记为数），对于表中的每个数
5a i , j
（其中i ，j 都是不大于5的正整
a i , j
a =1a =0
，规定如下：当i ≥j 时，i , j ；当i
a =a =a 2,1=1
当i =2，j =1时，i , j 。按此规定，1,3_____；表中的25个数中，共有_____
个1；计算
a 1,1⋅a i ,1+a 1,2⋅a i ,2+a 1,3⋅a i ,3+a 1,4⋅a i ,4+a 1,5⋅a i ,5
的值为________。
8、（2013朝阳一模）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 从原点O 出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后可能到达的点是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此类推……．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 1，l 1=3；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 2，l 2=9；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 3，l 3=18；按照这样的规律，l 4 l n 用含n 的式子表示，n 是正整数) ．
9、（2012石景山一模）一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）： 则第4行中的最后一个数是 ，第n 行中共有 个数，第n 行的第n 个数是 ．
10、（2013石景山一模）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为_______；第n 行（n ≥3）从左到右的第3个数为 ．（用含n 的代数式表示）
11、（2013通州一模）定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为3n +1；②当n 为偶数时，结果为
n 2
k 是使得k
n 2
k
为奇数的正整数），并且运算重复进行. 例如，
F ②F ①F ②取n =6，则：6 −−−→ 3 −−−→10 −−−→ 5 ……，若n =1，则第2次“F 运算”的第1次第2次第3次
结果是 ；若n =13，则第2013次“F 运算”的结果是 .
12、（2014年海淀一模）在一次数学游戏中，老师在A 、B 、C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a 0，b 0，c 0，记为G 0=（a 0，b 0，c 0）. 游戏规则如下： 若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束. n 次操作后的糖果数记为G n =（a n ，b n ，c n ）．
（1）若G 0=（4，7，10），则第_______次操作后游戏结束；
（2）小明发现：若G 0=（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G 2014=________． 13、（2012海淀二模）小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：
按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为 颗; 当挪动n 颗珠子时（n 为大于1的整数）, 所得分数为 （用含n 的代数式表示）
【课堂练习】
1、（2015东城期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B , O 分别落在点B 1, C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （，0），B （0，4），则点B 4的坐标为 , 点B 2014的坐标为 ．
2、（2015房山期末）抛物线y =x 2-
2n +11
（其中n 是正整数）与x 轴交于x +
n n +1n n +1A n 、B n 两点，若以A n B n 表示这两点间的距离，则A 1B 1=_________;
A 1B 1+A 2B 2=__________；
A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3+⋅⋅⋅+A n B n =____________.(用含n 的代数式表示)
3、（2015丰台期末）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x , y )，其中y ≠0，我们把点
1
P '(-x +1, 1-) 叫做点P 的衍生点. 已知点A 1的衍生点为A 2，点A 2的衍生点为A 3，
y
点A 3的衍生点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，„，A n ，„，如果点A 1的坐标为(2, -1) ，那么点A 3的坐标为________；如果点A 1的坐标为(a , b )，且点A 2015在双曲线y =
111
上，那么+=________． x a b
⎧n 2，n
4、（2015海淀期末）对于正整数n ，定义F (n )=⎨，其中f (n ) 表示n 的首位
10⎩f (n ) ，n ≥
数字、末位数字的平方和．例如：F (6)=6=36，F (123)=
2
f (123)=12+32=10．
=规定F 1(n ) F (n ) F k +1(n ) =F (F k (n )) （k 为正整数）．例如：，
F 1(123)=F (123)=10，F 2(123)=F (F 1(123))=F (10)=1．
（1）求：F 2(4)=____________，F 2015(4)=______________； （2）若F 3m (4)=89，则正整数m 的最小值是_____________．
5、（2015怀柔期末）在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的位置如右图所示，
点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），延长CB
交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ，延长C 1B 1交x 轴于 点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…按这样的规律进行下去， 第1个正方形的面积为 ； 第n 个正方形的面积为 ．
6、（2015门头沟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 顶点A （－1，－1）、B
（－3，－1）． 我们规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换．
（1）如果正方形ABCD 经过1次这样的变换得到正方形A 1B 1C 1D 1，
那么B 1的坐标是 ．
（2）如果正方形ABCD 经过2014次这样的变换得到 正方形A 2014B 2014C 2014D 2014，那么B 2014的坐标是
7、（2015密云期末）如图，边长为1的正方形ABCD 放置在平面直角坐标系中，顶点A 与
坐标原点O 重合，点B 在x 轴上. 将正方形ABCD 沿x 轴正方向作无滑动滚动，当点D 第一次落在x 轴上时，D 点的坐标是________,D 点经过的路径的总长度是________；当点D 第2014次落在x 轴上时，D 点经过的路径的总长度是_______.
8、（2015平谷期末）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．设坐标轴的单位长度为1cm ，整点P 从原点O 出发，作向上或向右运动，速度为1cm/s．当整点P 从原点出发1秒时，可到达整点（1,0）或（0,1）；当整点P 从原点出发2秒时，可到达整点（2,0）、（0,2）或 ；当整点P 从原点出发4秒时，可以得到的整点的个数为 个．当整点P 从原点出发n 秒时，可到达整点（x , y ），则x 、y 和n 的关系为 ．
9、（2015石景山期末）二次函数y x 2的图象如图，点A 0位于坐标原点，
点A 1，A 2，A 3„A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，„， B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，„，
C n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，„，四边形A n-1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1=∠A 1B 2A 2=∠A 2B 3A 3
„
=∠A n-1B n A n =120°. 则A 1的坐标为 ； 菱形A n-1B n A n C n 的边长为 .
10、（2015通州期末）如图：在平面直角坐标系中，A （-2，0），B （0，1），有一组抛物线Ln, 它们的顶点Cn （Xn ，Yn ）在直线AB 上，并且经过点（Xn+1，0）, 当n=1，2，3，4，5…时，Xn=2,3,5,8,13…，根据上述规律，写出抛物线L1的表达式为 ，抛物线L6的顶点坐标为 ，抛物线L6与X 轴的交点坐标为
11、（2015延庆期末）如图，AD 是⊙O 的直径．
(1)如图1，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是 ；
(2)如图2，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，则∠B 3的度数是 ； (3)如图3，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C3，…，B n C n 把圆周2n 等分，则∠B n 的度数是 （用含n 的代数式表示∠B n 的度数）．
A
B 2
D
2
n n
图1 图2 图3
12、（2015燕山期末）在函数y =
8
(x >0) 的图象上有点P 1，P 2，P 3，„，P n ，P n +1，它们x
的横坐标依次为1，2，3，„，n ，n +1．过点P 1，P 2，P 3，„，P n ，P n +1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1，S 2，S 3，„，S n ，则点P 1的坐标为 ；S 2＝；S n ＝ ． （用含n 的代数式表示）
【课后作业】
a 2b 3a 4b 5a b 2a 3b 4
1、一组按规律排列的式子：，-，，-，…，其中第6个式子
41628
是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）． 2、（09东城一模）按一定规律排列的一列数依次为：
111111
，，，，，…，按2310152635
此规律排列下去，这列数中的第9个数是________．
3、（12西城一模）在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，在菱形ABCD 中，四个顶点坐标分别是（－8,0），（0,4），（8,0），（0，－4），则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是 个；若菱形A n B n C n D n 的四个顶点坐标分别为（－2n ,0），（0, n ），（2n ，0），（0，－n ）（n 为正整数），则菱形A n B n C n D n 能覆盖的单位格点正方形的个数为 （用含有n 的式子表示）
x
4、（2014东城一模）如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙由点A （2，0）同时出发，沿矩形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2次相遇地点坐标是 ；第2014次相遇地点的坐标是 ．
5、（2013石景山一模）小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系xOy 中，棋子从点(0, 0)出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位，第5步向上走2个单位，第6步向右走1个单位，第7步向上走1个单位……依此规律走棋．
（1）当走完第8步时，棋子所处位置的坐标为______________； （2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为______________．
6、（2013西城一模）如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1，第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A 2，第3次从点A 2向左移动9个单位长度至点A 3，…，按照这种移动方式进行下去，点A 4表示的数是 ，如果点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是．
7、（12延庆一模）将1、2、3、6按右侧方式排列．若规定（m,n ）表示第m 排从
左向右第n 个数，则（7,3）所表示的数是 ；（5，2）与（20，17）表示的两数之积是
62166
112
1223
第1排
第2排第3排第4排第5排
8、某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k (xk , y k ) 处，其中x 1=1, y 1=1，当k≥2时，x k =x k -1+1-5([
k -1k -2
]-[]) ，55
y k =y k -1+[
k -1k -2
]-[]，[a]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方55
案，第2009棵树种植点的坐标为（ ）
A ．（5，2009） B ．（6，2010） C ．（3，401） D ．（4，402）
9、（11顺义一模）将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 行第 列.
10、（12门头沟一模）如图，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至A 2，B 2，C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2……，按此规律继续下去，可得到△A 5B 5C 5，则其面积为S 5=_________. 第n 次操作得到△A n B n C n ，则△A n B n C n 的面积S n
第一讲 找规律
【知识梳理】
所谓规律探索题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。
常见类型有：（1）数字猜想型（2）数式规律型（3）图像变化猜想型（4）数形结合猜想型（5）坐标变化型
解题策略：综合运用比较、猜想、概括、推理等方法；关键是仔细审题，归纳规律，合理推测，认真验证，从而得出问题的结论。
知识点1：循环规律：一列数每隔T 项就开始循环，或一列图形（符号）每隔T 个就开始循环，T 叫做循环周期。如果一列数或图形的循环周期为T ，则其第kT+1(k=1,2,3...)项与第1项相同；则其第kT+2(k=1,2,3...)项与第2项相同；则其第kT+3(k=1,2,3...)项与第3项相同；以此类推........
正整数的n 次幂的循环规律：
对于任意一个正整数a ，a n (n=1,2,3...)的个位数字必循环。例如：2n （n=1,2,3...）的个位数字循环规律为：2,4,8,6,2,4,8,6，... ，循环周期为4.
知识点2：不循环的规律：
等差数列：对于一列数a 1,a 2,a 3,..., 如果始终有后面一项减去前面一项是一个固定常数，那么这列数就叫等差数列。此时后一项与前一项的差值称为公差，通常记为d 。对于等差数列，其第n 项为a n =a1+(n-1)d,前n 项的和为S n =
n (a 1+a n )
. 特别地， 2
奇数列：1,3,5,7,9，... 是等差数列，公差为2，第n 项为2n-1，前n 项和为n 2。 偶数列：2,4,6,8,10，... 是等差数列，公差为2，第n 项为2n ，前n 项和为n 2+n。
等比数列： 对于一列数a 1,a 2,a 3,..., 如果始终有后面一项与前面一项的比值是一个固定常数，那么这列数就叫等比数列。此时后一项与前一项的比值称为公比，通常记为q 。对于等比数列，其第n 项为a n =a1q n-1. 特别地，
数列 -1,1，-1,1，-1，... 是等比数列，公比为-1，第n 项为(-1)n ； 数列 1，-1,1，-1，... 是等比数列，公比为-1，第n 项为(-1)n+1 ；
1+(-1) 数列 1，0，1，0，1，... 第n 项为
2
n -1
；
平方数列：1,4,9,16,25，... 的第n 项为n 2 。
【例题讲解】
1、（2015朝阳一模）一组按规律排列的式子：
25172610
，-2，3，-4，5，…，其中a a a a a
第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）． 392565
【巩固】一组按规律排列的式子：，，，„，其中第n 个式子是
24816
2、（2015燕山一模）定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把
1
称为a 的差倒数，如1-a
2的差倒数为
1111
=-1，-1的差倒数为＝．记a 1=，a 2是a 1的差倒数，a 3
21-21-(-1) 2
是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，则a 2＝a 2015＝ 3、（2013西城一模）在平面直角坐标系xOy 中，有一只电子青蛙在点A (1,0)处． 第一次，它从点A 先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A 1； 第二次，它从点A 1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A 2； 第三次，它从点A 2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A 3； 第四次，它从点A 3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A 4； ……
依此规律进行，点A 6的坐标为 ；若点A n 的坐标为（2013，2012），则n = ．
4、（2010北京）下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D. 请你按图中箭头
所指方向（即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________;当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C 第2n+1次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是________ （用含n 的代数式表示）。
A D
B
2010北京
C
5、（2012丰台）在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为1的
正方形的四个顶点上依次跳动．规定：从顶点A 出发，每跳动一步的长均为1．第一次顺时针方向跳1步到达顶点D ，第二次逆时针方向跳2步到达顶点B ，第三次顺时针方向跳3步到达顶点C ，第四次逆时针方向跳4步到达顶点C ，… ，以此类推，跳动第10次到达的顶点是2012次到达的顶点是．
6、（12石景山二模）如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每
跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n ，则电子跳蚤连续跳（3n -2）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳3⨯1-2=1步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳3⨯2-2=4步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为 ；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 ． 7、（11北京）在上表中，我们把第i 行第j 列的数记为数），对于表中的每个数
5a i , j
（其中i ，j 都是不大于5的正整
a i , j
a =1a =0
，规定如下：当i ≥j 时，i , j ；当i
a =a =a 2,1=1
当i =2，j =1时，i , j 。按此规定，1,3_____；表中的25个数中，共有_____
个1；计算
a 1,1⋅a i ,1+a 1,2⋅a i ,2+a 1,3⋅a i ,3+a 1,4⋅a i ,4+a 1,5⋅a i ,5
的值为________。
8、（2013朝阳一模）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 从原点O 出发，每次向上平移1个单位长度或向右平移2个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移．例如第1次平移后可能到达的点是（0，1）、（2，0），第2次平移后可能到达的点是（0，2）、（2，1）、（4，0），第3次平移后可能到达的点是（0，3）、（2，2）、（4，1）、（6，0），依此类推……．我们记第1次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 1，l 1=3；第2次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 2，l 2=9；第3次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为l 3，l 3=18；按照这样的规律，l 4 l n 用含n 的式子表示，n 是正整数) ．
9、（2012石景山一模）一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍）： 则第4行中的最后一个数是 ，第n 行中共有 个数，第n 行的第n 个数是 ．
10、（2013石景山一模）将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为_______；第n 行（n ≥3）从左到右的第3个数为 ．（用含n 的代数式表示）
11、（2013通州一模）定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为3n +1；②当n 为偶数时，结果为
n 2
k 是使得k
n 2
k
为奇数的正整数），并且运算重复进行. 例如，
F ②F ①F ②取n =6，则：6 −−−→ 3 −−−→10 −−−→ 5 ……，若n =1，则第2次“F 运算”的第1次第2次第3次
结果是 ；若n =13，则第2013次“F 运算”的结果是 .
12、（2014年海淀一模）在一次数学游戏中，老师在A 、B 、C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a 0，b 0，c 0，记为G 0=（a 0，b 0，c 0）. 游戏规则如下： 若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果），记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束. n 次操作后的糖果数记为G n =（a n ，b n ，c n ）．
（1）若G 0=（4，7，10），则第_______次操作后游戏结束；
（2）小明发现：若G 0=（4，8，18），则游戏永远无法结束，那么G 2014=________． 13、（2012海淀二模）小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：
按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为 颗; 当挪动n 颗珠子时（n 为大于1的整数）, 所得分数为 （用含n 的代数式表示）
【课堂练习】
1、（2015东城期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B , O 分别落在点B 1, C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （，0），B （0，4），则点B 4的坐标为 , 点B 2014的坐标为 ．
2、（2015房山期末）抛物线y =x 2-
2n +11
（其中n 是正整数）与x 轴交于x +
n n +1n n +1A n 、B n 两点，若以A n B n 表示这两点间的距离，则A 1B 1=_________;
A 1B 1+A 2B 2=__________；
A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3+⋅⋅⋅+A n B n =____________.(用含n 的代数式表示)
3、（2015丰台期末）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (x , y )，其中y ≠0，我们把点
1
P '(-x +1, 1-) 叫做点P 的衍生点. 已知点A 1的衍生点为A 2，点A 2的衍生点为A 3，
y
点A 3的衍生点为A 4，…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，„，A n ，„，如果点A 1的坐标为(2, -1) ，那么点A 3的坐标为________；如果点A 1的坐标为(a , b )，且点A 2015在双曲线y =
111
上，那么+=________． x a b
⎧n 2，n
4、（2015海淀期末）对于正整数n ，定义F (n )=⎨，其中f (n ) 表示n 的首位
10⎩f (n ) ，n ≥
数字、末位数字的平方和．例如：F (6)=6=36，F (123)=
2
f (123)=12+32=10．
=规定F 1(n ) F (n ) F k +1(n ) =F (F k (n )) （k 为正整数）．例如：，
F 1(123)=F (123)=10，F 2(123)=F (F 1(123))=F (10)=1．
（1）求：F 2(4)=____________，F 2015(4)=______________； （2）若F 3m (4)=89，则正整数m 的最小值是_____________．
5、（2015怀柔期末）在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的位置如右图所示，
点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），延长CB
交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ，延长C 1B 1交x 轴于 点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…按这样的规律进行下去， 第1个正方形的面积为 ； 第n 个正方形的面积为 ．
6、（2015门头沟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 顶点A （－1，－1）、B
（－3，－1）． 我们规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向右平移2个单位”为一次变换．
（1）如果正方形ABCD 经过1次这样的变换得到正方形A 1B 1C 1D 1，
那么B 1的坐标是 ．
（2）如果正方形ABCD 经过2014次这样的变换得到 正方形A 2014B 2014C 2014D 2014，那么B 2014的坐标是
7、（2015密云期末）如图，边长为1的正方形ABCD 放置在平面直角坐标系中，顶点A 与
坐标原点O 重合，点B 在x 轴上. 将正方形ABCD 沿x 轴正方向作无滑动滚动，当点D 第一次落在x 轴上时，D 点的坐标是________,D 点经过的路径的总长度是________；当点D 第2014次落在x 轴上时，D 点经过的路径的总长度是_______.
8、（2015平谷期末）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．设坐标轴的单位长度为1cm ，整点P 从原点O 出发，作向上或向右运动，速度为1cm/s．当整点P 从原点出发1秒时，可到达整点（1,0）或（0,1）；当整点P 从原点出发2秒时，可到达整点（2,0）、（0,2）或 ；当整点P 从原点出发4秒时，可以得到的整点的个数为 个．当整点P 从原点出发n 秒时，可到达整点（x , y ），则x 、y 和n 的关系为 ．
9、（2015石景山期末）二次函数y x 2的图象如图，点A 0位于坐标原点，
点A 1，A 2，A 3„A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，„， B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，„，
C n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，„，四边形A n-1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1=∠A 1B 2A 2=∠A 2B 3A 3
„
=∠A n-1B n A n =120°. 则A 1的坐标为 ； 菱形A n-1B n A n C n 的边长为 .
10、（2015通州期末）如图：在平面直角坐标系中，A （-2，0），B （0，1），有一组抛物线Ln, 它们的顶点Cn （Xn ，Yn ）在直线AB 上，并且经过点（Xn+1，0）, 当n=1，2，3，4，5…时，Xn=2,3,5,8,13…，根据上述规律，写出抛物线L1的表达式为 ，抛物线L6的顶点坐标为 ，抛物线L6与X 轴的交点坐标为
11、（2015延庆期末）如图，AD 是⊙O 的直径．
(1)如图1，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是 ；
(2)如图2，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6等分，则∠B 3的度数是 ； (3)如图3，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C3，…，B n C n 把圆周2n 等分，则∠B n 的度数是 （用含n 的代数式表示∠B n 的度数）．
A
B 2
D
2
n n
图1 图2 图3
12、（2015燕山期末）在函数y =
8
(x >0) 的图象上有点P 1，P 2，P 3，„，P n ，P n +1，它们x
的横坐标依次为1，2，3，„，n ，n +1．过点P 1，P 2，P 3，„，P n ，P n +1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S 1，S 2，S 3，„，S n ，则点P 1的坐标为 ；S 2＝；S n ＝ ． （用含n 的代数式表示）
【课后作业】
a 2b 3a 4b 5a b 2a 3b 4
1、一组按规律排列的式子：，-，，-，…，其中第6个式子
41628
是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）． 2、（09东城一模）按一定规律排列的一列数依次为：
111111
，，，，，…，按2310152635
此规律排列下去，这列数中的第9个数是________．
3、（12西城一模）在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．如图，在菱形ABCD 中，四个顶点坐标分别是（－8,0），（0,4），（8,0），（0，－4），则菱形ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是 个；若菱形A n B n C n D n 的四个顶点坐标分别为（－2n ,0），（0, n ），（2n ，0），（0，－n ）（n 为正整数），则菱形A n B n C n D n 能覆盖的单位格点正方形的个数为 （用含有n 的式子表示）
x
4、（2014东城一模）如图，矩形BCDE 的各边分别平行于x 轴或y 轴，物体甲和物体乙由点A （2，0）同时出发，沿矩形BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2次相遇地点坐标是 ；第2014次相遇地点的坐标是 ．
5、（2013石景山一模）小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系xOy 中，棋子从点(0, 0)出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位，第5步向上走2个单位，第6步向右走1个单位，第7步向上走1个单位……依此规律走棋．
（1）当走完第8步时，棋子所处位置的坐标为______________； （2）当走完第100步时，棋子所处位置的坐标为______________．
6、（2013西城一模）如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左移动3个单位长度至点A 1，第2次从点A 1向右移动6个单位长度至点A 2，第3次从点A 2向左移动9个单位长度至点A 3，…，按照这种移动方式进行下去，点A 4表示的数是 ，如果点A n 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是．
7、（12延庆一模）将1、2、3、6按右侧方式排列．若规定（m,n ）表示第m 排从
左向右第n 个数，则（7,3）所表示的数是 ；（5，2）与（20，17）表示的两数之积是
62166
112
1223
第1排
第2排第3排第4排第5排
8、某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k (xk , y k ) 处，其中x 1=1, y 1=1，当k≥2时，x k =x k -1+1-5([
k -1k -2
]-[]) ，55
y k =y k -1+[
k -1k -2
]-[]，[a]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方55
案，第2009棵树种植点的坐标为（ ）
A ．（5，2009） B ．（6，2010） C ．（3，401） D ．（4，402）
9、（11顺义一模）将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第9行的数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011所在的位置是第 行第 列.
10、（12门头沟一模）如图，对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C 1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至A 2，B 2，C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2……，按此规律继续下去，可得到△A 5B 5C 5，则其面积为S 5=_________. 第n 次操作得到△A n B n C n ，则△A n B n C n 的面积S n