数学建模竞赛 承 诺 书
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A
参赛队员：1. 王春慧 2. 刘双 3. 车珂
指导老师或指导教师组负责人：数学建模组
日期：2014 年 05 月 11 日
评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：
2014年“深圳杯”夏令营数学建模竞赛
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进）
基于灰色预测讨论计划生育政策对人口的影响
摘要
随着社会经济的发展，人口数量和结构成为发展的重要因素。继计划生育政策的颁布，有效控制了人口增长。但同时也造成人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比例失调等问题。我国计划生育工作取得了举世瞩目的成就。从1970年到2010年，我国人口自然增长率从25.83‰下降到4.79‟，总和生育率从5.81下降到1.18，我国人口快速增长的势头得到了有效控制，人口质量和人均生活水平得到了显著提高。然而，计划生育政策带来的负面影响也日见端倪，如人口老龄化程度持续加重，全国城镇职工基本养老保险基金出现“个人账户空帐”，这引发了公众对我国养老事业的担忧，可能引发我国养老保险制度的“信任危机”； “老来丧子” 自古以来都被认为是人生悲剧，如今一胎化政策带来的独生子女家庭“失独”问题也是屡屡触动了公众的神经；少数名人、富人跑到外地躲着生、花钱买着生的现象使得我国计划生育政策的公平性受到普通百姓的质疑；少数计生委工作人员暴力执法、社会抚养费去向不明的报道也是常常刺激着公众的眼球；随着刘易斯拐点的临近，我国人口红利和人力资源优势即将消失。同时，我国目前超低的生育率震惊了学术界，计划生育的负面效应引发了公众对于我国计划生育政策的反思。本文假定总和生育率是变动的，并将人口政策变量作为控制变量引入到总和生育率的多元回归模型中，与人均GDP、出生率、城市化率一起解释总和生育率，模型导入人口发展方程中组建联立方程模型，对维持现状不变、完全取消、适度放松管制等三种人口政策下的人口结构进行预测，对比找出比较合理的人口政策
如何有效预测人口未来增长，进而解决社会问题。由于人们的思想观念，经济影响等不确定因素具有部分信息不可知性，而灰色系统是根据部分信息已知，部分信息未知构建的预测模型，故我们采用灰色预测模型对全国人口结构进行预测；我们初步拟采用GM(1.1)模型，运用MATLAB最小二乘拟合，从而可预测出未来十年人口数量。本文基于计划生育政策下的人口数量、结构的变化，建立相关预测模型。
关键词：线性回归； 灰色预测模型；SPSS；
一、问题重述
人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。
人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。
人口问题有着悠久的研究历史，也有不少经典的理论和模型。这些理论和模型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。这些因素与政策及人的观念、社会文化习俗有着紧密的关系，后者又受社会经济发展水平的影响。研究中用到的数据的置信水平也与调查统计有关。
现在我国的计划生育政策是，在城市都只能生一胎，而在农村如果第一胎是女孩，可以生第二胎（不考虑其他有可能存在的不同政策）。依赖生育模式、生育率、死亡率和性别多个因素，以及与政策、人的观念、社会文化习俗的关系。和受经济发展水平的影响回答以下问题：
1.根据人口普查数据，建立模型。对我国人口进行初步预测并检验。
2.综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，选中某一方面重点讨论。针对深圳市，讨论计划生育新政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业养老方面的影响。
二、问题分析
从上述问题中可以明确题意，是综合考虑各种情况，根据人口普查数据建立模型。对于问题一，依照六次人口普查数据，建立模型假设，进行拟合与优化得出实行计划生育政策以来人口变化的趋势。 根据每十年一次的全国人口普查数据，我们对未来10年内的总人口变化进行预测，检验其合理性并分析计划生育对深圳市的影响。由于人们的思想观念，经济影响等不确定因素具有部分信息不可知性，而灰色系统是根据部分信息已知，部分信息未知构建的预测模型，故我们采用灰色预测模型对全国人口结构进行预测；我们初步拟采用GM(1.1)模型，运用MATLAB最小二乘拟合，从而可预测出未来十年人口数量。
问题二是根据问题一的求解来对计划生育政策进行合理的分析。具体分析深圳市考虑城镇化，延迟退休年龄，养老金统筹等政策因素，采用线性回归预测模型。线性回归模型是将各个时期的人口发展速度看成是不变的，即在人口发展过程曲线上每一点斜率基本是一个定量。如果人口数量在后期的变化受到前期人口数据的影响，且后期的人口数量与前期的人口数量呈一定的线性关系，可以用自
然回归模型来预测后期的人口数量前期的人口数量呈一定的线性关系，如果人口数量的发展先是缓慢增长，随着时间的推移，增长的速度越来越快，在这种情况下，可以用指数模型来预测。
三、模型假设及符号说明
3.1模型假设
1.不考虑战争，瘟疫，大规模流行病对人口的影响 2.假设本问题中采用的数据均真实有效。
3.在短期内，人口的生育率、死亡率的总体水平不变生巨大变化。 4. 假设深圳市的产业结构不发 3.2符号说明 1.2.3.4.5.
：初始人口容量； ：人口最大容量； 原始时间序列； 人口总量函数；
四、模型的建立与求解
4.1模型一的建立
灰色系统是指既含有已知信息、又含有未知信息或非确知信息的系统，也称为信息系统。灰色模型是根据关联度、生成数灰导数、灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续性的微分方程。
灰色预测是灰色系统理论的一个重要方面，它利用这些信息，建立灰色预测模型，从而确定系统未来的变化趋势。灰色预测模型能够根据现有的少量信息进行计算和推测。
灰色建模的思路是：从序列角度剖析微分方程，是了解其构成的主要条件，然后对近似满足这些条件的序列建立近似的微分方程模型。而对序列而言（一般指有限序列）只能获得有限差异信息，因此，用序列建立微分方程模型，实质上是用有限差异信息建立一个无限差异信息模型。 设原始序列为
这是一组信息不完全的灰色量，
具有很大的随机性，将其进行生成处理，以提供更多的有用信息。下面选用累加生成，则m次累加生成的结果为灰色预测模型建立如下：
(1)设原始数据序列通过累加生成新序列利用新生成的序列
有n个观察值，
，
去拟合函数曲线。
的预测值序列
累减还原：得到灰色预测值序列：
（共n+m个，m个为未来的预测值）。
，
(2)利用拟合出来的函数，求出新生列(3)利用
将序列
分为
和
，其中
反映
的确定性增长趋势，
反映的平稳周期变
化趋势。
利用灰色GM(1，1)模型对
序列的确定增长趋势进行预测。
4.1.1模型求解
我们收集了1978—2005年人口的统计资料，对未来10 年内中国人口作出预测。
表1：全国历年年底的人口统计
为了弱化呈离散状态的原始数列,需对原始时间序列进行数据的一次累加处理，经过处理的累加序列称为生成累加序列 由表1可得中国人口的原始时间序列：
=[96259 98705 105851 112704 „127627 128453 129988 130756] 利用Matlab软件对原是数列X 进行一次累加，得到新数列为X ,如表2：
利用表2，拟合函数，如下：
-- 9183784 （a）
4.1.2模型的检验 (1)残差检验
将t=0,1,2,…,19代入预测模型(a),得到20年间累加值。由
分别求出拟合值、绝对误差值（误差）和相对误差值（误差/%），结果见表2.由表2可知，平均相对误差为 0.85% ,模型精度较高。 (2)后严查检验 由原始数据序列准差公式
和绝对误差序列Δ(t)，由原始数据序列和绝对误差序列的标
，
由此计算得方差比C=S2/S1=0.3067,P=0.9474
将检验指标P和C与灰色预测精度检验等级标准（见表3）对比可知，预测模型较好，因此，上述模型可以用于预测，得到未来10年的预测值：
表4：全国历年年底的人口统计未来10年预测值
4.2模型的建立
（a）线性回归模型是将各个时期的人口发展速度看成是不变的，即在人口发展过程曲线上每一点斜率基本是一个定量。如果人口数量在后期的变化受到前期人口数据的影响，且后期的人口数量与前期的人口数量呈一定的线性关系，可以用自然回归模型来预测后期的人口数量前期的人口数量呈一定的线性关系，如果人口数量的发展先是缓慢增长，随着时间的推移，增长的速度越来越快，在这种情况下，可以用指数模型来预测。
年份 年末户籍人口户数 年末常住人口数
（万户） （万人）
表5
根据数据表5，首先建立线性回归模型，选择1996年—2010年共15年的数据，用SPSS软件进行线性拟合：
图1 图2
图1所示为残差直方图，残差分布大致均匀，图2为学生化残差散点图，
由图各学生残差的绝对值都不大于2，未发现有极端值，符合线性回归的前提。 模型相关系数R=0.994， 决定系数R2=0.988， F检验P=0.000
拟合模型为：ｆ1=473.149+37.296t
（b）对模型一灰色预测方法进行优化并应用到深圳市人口预测，在灰色系统理论中，称抽象的逆过程为灰色模型，也称GM。它是根据关联度、生成数灰导数，灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续型的微分方程。通常GM表示为GM(n,h)。当n=h=1时即构成了单变量一阶灰色预测模型。
GM(1,1)模型设原始序列为
其形式为：
设原始时间序列为：
预测第n+1期，第n+2期，„的值：设相应的预测模型模拟序列为：
设与的一次累加序列：
即：
利用
计算GM(1,1)模型参数a、u。令
则有
式子中
由此获得GM(1,1)模型：
4.2.1残差检验
评价精度高低最简单的方法是看模型值和原值之间的残差百分比。我们认为一般百分比±5%即为满意, 对±20%以内的, 根据实际情况也可以使用。如果再大即要考虑修正模型或改为其它模型。实际上如果原始数据摆动小, 精度要比±5%小得多。
4.2.2模型求解
（a）深圳总人口的预测
整理得深圳市2001年~2010年常住人口数，见下表
表5：深圳市2001~2010年年末常住人口数（单位：万人）
使用MATLAB软件对拟合函数：
进行一次累加，得到新数列
,即附表1 根据上述数据建立含有10个观察值的原始数据序列
由上表可知，模型误差百分比与级比偏差均不超过2%模型的拟合精度高，可用于预测。预测值如下表所示：
为更直观而清晰地看出预测结果和深圳市人口的发展趋势，我们依然采用MATLAB软件作图，给出原始值与预测值的图形，如下图3
结合表6和图3我们可知深圳市2000年至2010年的年末常住人口保持持续增长，且2005年至2007年的增长幅度相对较大。深圳市未来十年的人口将继续保持增长的态势，这基本吻合深圳市的经济发展和人口发展趋势。
（b）考虑到深圳市内人口年龄结构经查阅资料，我们将0至14岁的人口归为少儿人口，将15至64岁的人口归为劳动年龄人口，65岁以上归为老年人口，并通过EXCEL画图得到如下图：
图4，深圳市人口结构
由图4可知，深圳市的人口结构以劳动年龄人口为主。随着人口的增加，各个年龄阶段的人口均有增长，但人口主要集中在15至64岁之间，这与深圳市的产业结构有着深刻的联系，另外老年人口的增长也相应刺激了深圳市对床位的需求。经计算可知深圳市未来十年的老年人口在总人口中所占的比例基本稳定在2%左右，我们可初步认为深圳市在未来的十年中不存在人口老龄化的问题。
五、模型的评价与推广
5.1分析
模型一使用灰色预测对中国未来数十年人口总数进行预测，考虑起点在实行计划生育政策以来，误差小，精度高，适用于人口数量的中长期预测。在此模型中，并没有考虑年龄因素，而且它只能对人口数量作出中短期预测，理论上很好，实用性不强，由一定的局限性。
模型二基于线性回归理论对深圳市人口预测做了初步分析，同时在模型一的前提下研究了优化的灰色 GM(1,1)预测模型灰色模型预测相对。模型的的计算采用专业软件求解，例如MATLAB软件，Excel软件，数据可信度较高。但是同模型一类似，本模型也没有考虑年龄因素，只是利用现有人口数据对未来总数的预测，没有结合中国国情与人口增长的特点。在模型结果分析中，我们进行了误差分析得出模型可行。本模型能够对未来的人口总数、性别比例、人口结构、老龄化水平、城等进行预测，使结果更为细化，但不足之处是所要处理的数据量比较大，可能会由于原始调查数据的误差降低预测的准确性。影响人口增长预测的动态因素很多，而且不可能都能波及到，所以模型与实际还是有一些距离的。
5.2模型改进
1.考虑到生育率和死亡率是随时间变化的，我们可以定义生育率和死亡率为时间函数。
（1）生育率
影响生育率因素有受政策因素、观念认识、周边环境等，通常来说农村的生育率高于城市，为了有效区分这种差异性，我们定义 b(t)为反映城、镇、乡平均生育率水平的基准生育率，定义cb(t)、tb(t) 、vb(t) 分别为城、镇、乡平均生育率，则其中
、
、
为反映生育率高低的系数，系数的大小根据具体情况确定显然有考虑到随着时间的推移，计划生育政策深入人心，农村生育率将降低
用下面函数反映这种变化
式中a,b为参考系数 （2）死亡率
随着时间的推移，医疗水平的提高，死亡率将下降，但死亡率中有一部分是非疾病死亡，对于青年人死亡率比较平稳，死亡率变化主要体现在老年人。 定义
为第t时间内第i个年龄段人的死亡率 式中a,b为参考系数，用来区分青年与中老年
2. 考虑到城乡人口转移因素
城乡人口转移将会对城乡人口结构产生影响，因此必须进行研究，考虑到人口主要是从镇转入城，从乡转入城，从乡转入镇
因此定义B(t)为从镇转入城的转移向量，C（t）为从乡转入城的转移向量，D(t)为从乡转入镇的转移向量。
以C(t)为例说明转移向量，
式中式中则每次计算完再计算
表示第t时间区间内第i个年龄段的农村人数，
表示第t时间区间内第i个年龄段人的农村转入城市的百分比，
表示城乡人口转以后的人口向量。
5.3评价
计划生育政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。从表7
表7：人口结构
从表中数据可知小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响。 对深圳的影响
1．我们利用MATLAB软件编写最小二乘法拟合的程序求解得出各年龄段人口数的拟合函数（程序见附录3），且预测得到各年龄阶段的人口数， 表8 :预测各阶段人口数
结合表7和图4我们可以看出深圳市未来十几年人口数量保持稳定增长，而人口结构变化趋势较为平稳，人口年龄结构变化不明显，可以认为，未来十年内，深圳市内人口年龄结构基本保持不变。人口老龄化问题不明显。
2．国家实施单独两孩政策，有利于保持合理的劳动力规模，延缓人口老龄化速度，促进经济持续健康发展，为实现中华民族伟大复兴的“中国梦”创造良好的人口环境；有利于逐步实现国家政策与群众意愿的统一，提升家庭抵御风险的能力，增强家庭养老照料功能，促进家庭幸福与社会和谐；有利于稳定适度低生育水平，促进人口长期均衡发展，促进人口与经济、社会、资源、环境的协调和可持续发展。2013年1月1日起，新的《深圳经济特区人口与计划生育管理条例》开始实施。《条例》规定，违法生育的公民应缴纳社会抚养费，深圳户籍人口社会抚养费以生育行为发生时本市上年度城镇居民人均可支配收入额为征收的计征基数。超生一个子女的，对男女双方分别按计征基数一次性征收三倍社会抚养费;超生两个以上子女的，以超生一个子女应当征收的社会抚养费为基数，对每个超生子女以超生子女为倍数征收社会抚养费。
深圳正在修订的《深圳人口计生条例》审议中，许都委员认为，我国目前正面临老龄化的问题，现在强化以“一胎化”为核心的计划生育政策制度已经没有必要，应当采取逐步放开二胎、管住三胎的生育政策。在市人大征求市民意见的反馈中，许多群众也提出，政府应该放开生育控制。对此，深圳市人大常委会专门向省人口计生委征求了意见，他们认为：当前我国人口“红利”是否已经完结，国家是否正在急速奔向老龄化社会等问题各方还在争议当中，还缺乏基本的、全国规模的数据调查。而人口政策的效果往往需要二十年以上的时间才能显现，并会产生长达数十年的效应，因此，人口和计划生育立法应当谨慎。根据《中华人民共和国立法法》关于特区立法不能与国家法律基本原则相违背的要求，《草案》应当遵守《中华人民共和国计划生育法》规定的“稳定现行生育政策”原则，不宜大幅放开。深圳市人大法制委员会副主任周荣生表示，结合深圳市委书记王荣的有关讲话精神，市人大认为应当强化现有的管理措施，优化深圳现有的人口服务，而不宜突破国家对人口管理的基本政策。
3. 随着这些年经济的高速发展，深圳逐渐向国际化大城市靠拢，深圳是中国的一个特区，早期到深圳工作的人多数是深圳的建设者，他们有的是知识份子，但是多数是做苦力，随着建设者支援深圳的改革开放建设，深圳的高楼大厦如春笋、宽畅道路迅速伸延，深圳在短短几十年的时间内的发生了翻天覆地的变化。深圳的高薪是吸引很大大学毕业生选择就业的首选城市的原因之一，在发展的这几十年间，深圳从全国各地吸引了很多高层次的人才，而这些精英们也为深圳的发展做出了重要贡献，现在这些人才都全部在大公司担任重要职位。“千军易得、一将难求”这是很多的企业都面临的问题，大学毕业生没有什么经验，而有经验的有能力的人才都被大公司高薪挖走了。深圳的就业问题难，不是难在公司没有发展，而是公司没有找到合适的人才。
深圳每次举办的大型招聘会上都是人山人海，成千上万的求职者为找工作发愁。“这是结构性人才短缺的表现”，深圳在人才引进上存在着突出的结构不合理状况。“一些急需的领域引进的人才很少，而一些应用技术领域大量重复。”深圳面临着就业难的问题。 政策建议
1.针对计量分析结果，为进一步有效控制人口增长我们提出以下建议：1. 采取各种措施，提高经济总量，提高居民的可支配收入。经济发展水平是决定人口增长的重要因素，因此当前国家应坚定不移地发展经济，建立完善的市场经济体制改变经济增长方式, 并通过建立完善经济体制来调动一切劳动者的积极性, 促进经济总量的增长。
2.加大对教育的投入, 提高教育质量, 促进国民素质的提高。进一步坚持教育优先发展的战略地位不动摇, 普及义务教育, 尤其是要注重提高全社会女性受教育的程度和比率。 3.经过二十几年“计划生育”人口政策的实施, 我国人口增长得到了有效控制, 这对保持人口与经济的协调发展起到了重要作用。但是,由于我国人口基数大，人口数量的增长趋势依然十分明显，在逐步通过发展经济和不断提高居民素质来调节人口的增长的同时, 也应重视利用行政手段对人口数量进行控制，本文认为我国仍应继续坚持“计划生育”的基本国策，尤其在广大农村地区，更应加强对于计划生育政策的贯彻执行力度，敦促人们形成和谐的生育观。
参考文献
[编号] 邓聚龙 灰色预测与决策，武汉：华中理工大学出版社，1986.125—127. [编号] 张兴永，MATLAB软件与数学试验，江苏：中国矿业大学出版社，2000 [编号]邓聚龙，灰色系统理论教程 ，武汉：华中理工大学出版社，19901 [编号] http://www.stats.gov.cn/（中国国家统计局网） [编号] http://www.sztj.gov.cn/ （深圳市统计局网）
附表1GM(1,1)算法拟合值及误差
附录3：灰色预测程序
x0=[724.57 746.62 778.27 800.8 827.75 871.1 912.37 954.28 995.01 1037.2] n=length(x0);
lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n) range=minmax(lamda); x1=cumsum(x0); for i=2:n
z(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1)); end
B=[-z(2:n)',ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n)'; u=B\Y
x=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');
x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)}); yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]); digits(6),y=vpa(x)
yuce=[x0(1),diff(yuce1)] epsilon=(x0-yuce)%
残差delta=abs(epsilon./x0)% 残差百分比
rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda% 级比残差yuce1=subs(x,'t',[0:19]);% 共二十年预测值
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我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A
参赛队员：1. 王春慧 2. 刘双 3. 车珂
指导老师或指导教师组负责人：数学建模组
日期：2014 年 05 月 11 日
评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：
2014年“深圳杯”夏令营数学建模竞赛
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进）
基于灰色预测讨论计划生育政策对人口的影响
摘要
随着社会经济的发展，人口数量和结构成为发展的重要因素。继计划生育政策的颁布，有效控制了人口增长。但同时也造成人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比例失调等问题。我国计划生育工作取得了举世瞩目的成就。从1970年到2010年，我国人口自然增长率从25.83‰下降到4.79‟，总和生育率从5.81下降到1.18，我国人口快速增长的势头得到了有效控制，人口质量和人均生活水平得到了显著提高。然而，计划生育政策带来的负面影响也日见端倪，如人口老龄化程度持续加重，全国城镇职工基本养老保险基金出现“个人账户空帐”，这引发了公众对我国养老事业的担忧，可能引发我国养老保险制度的“信任危机”； “老来丧子” 自古以来都被认为是人生悲剧，如今一胎化政策带来的独生子女家庭“失独”问题也是屡屡触动了公众的神经；少数名人、富人跑到外地躲着生、花钱买着生的现象使得我国计划生育政策的公平性受到普通百姓的质疑；少数计生委工作人员暴力执法、社会抚养费去向不明的报道也是常常刺激着公众的眼球；随着刘易斯拐点的临近，我国人口红利和人力资源优势即将消失。同时，我国目前超低的生育率震惊了学术界，计划生育的负面效应引发了公众对于我国计划生育政策的反思。本文假定总和生育率是变动的，并将人口政策变量作为控制变量引入到总和生育率的多元回归模型中，与人均GDP、出生率、城市化率一起解释总和生育率，模型导入人口发展方程中组建联立方程模型，对维持现状不变、完全取消、适度放松管制等三种人口政策下的人口结构进行预测，对比找出比较合理的人口政策
如何有效预测人口未来增长，进而解决社会问题。由于人们的思想观念，经济影响等不确定因素具有部分信息不可知性，而灰色系统是根据部分信息已知，部分信息未知构建的预测模型，故我们采用灰色预测模型对全国人口结构进行预测；我们初步拟采用GM(1.1)模型，运用MATLAB最小二乘拟合，从而可预测出未来十年人口数量。本文基于计划生育政策下的人口数量、结构的变化，建立相关预测模型。
关键词：线性回归； 灰色预测模型；SPSS；
一、问题重述
人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响，引起了中央和社会各界的重视。
人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70年以后，中期40—50年，短期可以是5年、10年或20年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录一）及《中国人口年鉴》收集的数据（附录二），再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。
人口问题有着悠久的研究历史，也有不少经典的理论和模型。这些理论和模型都依赖生育模式、生育率、死亡率和性别比等多个因素。这些因素与政策及人的观念、社会文化习俗有着紧密的关系，后者又受社会经济发展水平的影响。研究中用到的数据的置信水平也与调查统计有关。
现在我国的计划生育政策是，在城市都只能生一胎，而在农村如果第一胎是女孩，可以生第二胎（不考虑其他有可能存在的不同政策）。依赖生育模式、生育率、死亡率和性别多个因素，以及与政策、人的观念、社会文化习俗的关系。和受经济发展水平的影响回答以下问题：
1.根据人口普查数据，建立模型。对我国人口进行初步预测并检验。
2.综合考虑城镇化、延迟退休年龄、养老金统筹等政策因素，选中某一方面重点讨论。针对深圳市，讨论计划生育新政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业养老方面的影响。
二、问题分析
从上述问题中可以明确题意，是综合考虑各种情况，根据人口普查数据建立模型。对于问题一，依照六次人口普查数据，建立模型假设，进行拟合与优化得出实行计划生育政策以来人口变化的趋势。 根据每十年一次的全国人口普查数据，我们对未来10年内的总人口变化进行预测，检验其合理性并分析计划生育对深圳市的影响。由于人们的思想观念，经济影响等不确定因素具有部分信息不可知性，而灰色系统是根据部分信息已知，部分信息未知构建的预测模型，故我们采用灰色预测模型对全国人口结构进行预测；我们初步拟采用GM(1.1)模型，运用MATLAB最小二乘拟合，从而可预测出未来十年人口数量。
问题二是根据问题一的求解来对计划生育政策进行合理的分析。具体分析深圳市考虑城镇化，延迟退休年龄，养老金统筹等政策因素，采用线性回归预测模型。线性回归模型是将各个时期的人口发展速度看成是不变的，即在人口发展过程曲线上每一点斜率基本是一个定量。如果人口数量在后期的变化受到前期人口数据的影响，且后期的人口数量与前期的人口数量呈一定的线性关系，可以用自
然回归模型来预测后期的人口数量前期的人口数量呈一定的线性关系，如果人口数量的发展先是缓慢增长，随着时间的推移，增长的速度越来越快，在这种情况下，可以用指数模型来预测。
三、模型假设及符号说明
3.1模型假设
1.不考虑战争，瘟疫，大规模流行病对人口的影响 2.假设本问题中采用的数据均真实有效。
3.在短期内，人口的生育率、死亡率的总体水平不变生巨大变化。 4. 假设深圳市的产业结构不发 3.2符号说明 1.2.3.4.5.
：初始人口容量； ：人口最大容量； 原始时间序列； 人口总量函数；
四、模型的建立与求解
4.1模型一的建立
灰色系统是指既含有已知信息、又含有未知信息或非确知信息的系统，也称为信息系统。灰色模型是根据关联度、生成数灰导数、灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续性的微分方程。
灰色预测是灰色系统理论的一个重要方面，它利用这些信息，建立灰色预测模型，从而确定系统未来的变化趋势。灰色预测模型能够根据现有的少量信息进行计算和推测。
灰色建模的思路是：从序列角度剖析微分方程，是了解其构成的主要条件，然后对近似满足这些条件的序列建立近似的微分方程模型。而对序列而言（一般指有限序列）只能获得有限差异信息，因此，用序列建立微分方程模型，实质上是用有限差异信息建立一个无限差异信息模型。 设原始序列为
这是一组信息不完全的灰色量，
具有很大的随机性，将其进行生成处理，以提供更多的有用信息。下面选用累加生成，则m次累加生成的结果为灰色预测模型建立如下：
(1)设原始数据序列通过累加生成新序列利用新生成的序列
有n个观察值，
，
去拟合函数曲线。
的预测值序列
累减还原：得到灰色预测值序列：
（共n+m个，m个为未来的预测值）。
，
(2)利用拟合出来的函数，求出新生列(3)利用
将序列
分为
和
，其中
反映
的确定性增长趋势，
反映的平稳周期变
化趋势。
利用灰色GM(1，1)模型对
序列的确定增长趋势进行预测。
4.1.1模型求解
我们收集了1978—2005年人口的统计资料，对未来10 年内中国人口作出预测。
表1：全国历年年底的人口统计
为了弱化呈离散状态的原始数列,需对原始时间序列进行数据的一次累加处理，经过处理的累加序列称为生成累加序列 由表1可得中国人口的原始时间序列：
=[96259 98705 105851 112704 „127627 128453 129988 130756] 利用Matlab软件对原是数列X 进行一次累加，得到新数列为X ,如表2：
利用表2，拟合函数，如下：
-- 9183784 （a）
4.1.2模型的检验 (1)残差检验
将t=0,1,2,…,19代入预测模型(a),得到20年间累加值。由
分别求出拟合值、绝对误差值（误差）和相对误差值（误差/%），结果见表2.由表2可知，平均相对误差为 0.85% ,模型精度较高。 (2)后严查检验 由原始数据序列准差公式
和绝对误差序列Δ(t)，由原始数据序列和绝对误差序列的标
，
由此计算得方差比C=S2/S1=0.3067,P=0.9474
将检验指标P和C与灰色预测精度检验等级标准（见表3）对比可知，预测模型较好，因此，上述模型可以用于预测，得到未来10年的预测值：
表4：全国历年年底的人口统计未来10年预测值
4.2模型的建立
（a）线性回归模型是将各个时期的人口发展速度看成是不变的，即在人口发展过程曲线上每一点斜率基本是一个定量。如果人口数量在后期的变化受到前期人口数据的影响，且后期的人口数量与前期的人口数量呈一定的线性关系，可以用自然回归模型来预测后期的人口数量前期的人口数量呈一定的线性关系，如果人口数量的发展先是缓慢增长，随着时间的推移，增长的速度越来越快，在这种情况下，可以用指数模型来预测。
年份 年末户籍人口户数 年末常住人口数
（万户） （万人）
表5
根据数据表5，首先建立线性回归模型，选择1996年—2010年共15年的数据，用SPSS软件进行线性拟合：
图1 图2
图1所示为残差直方图，残差分布大致均匀，图2为学生化残差散点图，
由图各学生残差的绝对值都不大于2，未发现有极端值，符合线性回归的前提。 模型相关系数R=0.994， 决定系数R2=0.988， F检验P=0.000
拟合模型为：ｆ1=473.149+37.296t
（b）对模型一灰色预测方法进行优化并应用到深圳市人口预测，在灰色系统理论中，称抽象的逆过程为灰色模型，也称GM。它是根据关联度、生成数灰导数，灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续型的微分方程。通常GM表示为GM(n,h)。当n=h=1时即构成了单变量一阶灰色预测模型。
GM(1,1)模型设原始序列为
其形式为：
设原始时间序列为：
预测第n+1期，第n+2期，„的值：设相应的预测模型模拟序列为：
设与的一次累加序列：
即：
利用
计算GM(1,1)模型参数a、u。令
则有
式子中
由此获得GM(1,1)模型：
4.2.1残差检验
评价精度高低最简单的方法是看模型值和原值之间的残差百分比。我们认为一般百分比±5%即为满意, 对±20%以内的, 根据实际情况也可以使用。如果再大即要考虑修正模型或改为其它模型。实际上如果原始数据摆动小, 精度要比±5%小得多。
4.2.2模型求解
（a）深圳总人口的预测
整理得深圳市2001年~2010年常住人口数，见下表
表5：深圳市2001~2010年年末常住人口数（单位：万人）
使用MATLAB软件对拟合函数：
进行一次累加，得到新数列
,即附表1 根据上述数据建立含有10个观察值的原始数据序列
由上表可知，模型误差百分比与级比偏差均不超过2%模型的拟合精度高，可用于预测。预测值如下表所示：
为更直观而清晰地看出预测结果和深圳市人口的发展趋势，我们依然采用MATLAB软件作图，给出原始值与预测值的图形，如下图3
结合表6和图3我们可知深圳市2000年至2010年的年末常住人口保持持续增长，且2005年至2007年的增长幅度相对较大。深圳市未来十年的人口将继续保持增长的态势，这基本吻合深圳市的经济发展和人口发展趋势。
（b）考虑到深圳市内人口年龄结构经查阅资料，我们将0至14岁的人口归为少儿人口，将15至64岁的人口归为劳动年龄人口，65岁以上归为老年人口，并通过EXCEL画图得到如下图：
图4，深圳市人口结构
由图4可知，深圳市的人口结构以劳动年龄人口为主。随着人口的增加，各个年龄阶段的人口均有增长，但人口主要集中在15至64岁之间，这与深圳市的产业结构有着深刻的联系，另外老年人口的增长也相应刺激了深圳市对床位的需求。经计算可知深圳市未来十年的老年人口在总人口中所占的比例基本稳定在2%左右，我们可初步认为深圳市在未来的十年中不存在人口老龄化的问题。
五、模型的评价与推广
5.1分析
模型一使用灰色预测对中国未来数十年人口总数进行预测，考虑起点在实行计划生育政策以来，误差小，精度高，适用于人口数量的中长期预测。在此模型中，并没有考虑年龄因素，而且它只能对人口数量作出中短期预测，理论上很好，实用性不强，由一定的局限性。
模型二基于线性回归理论对深圳市人口预测做了初步分析，同时在模型一的前提下研究了优化的灰色 GM(1,1)预测模型灰色模型预测相对。模型的的计算采用专业软件求解，例如MATLAB软件，Excel软件，数据可信度较高。但是同模型一类似，本模型也没有考虑年龄因素，只是利用现有人口数据对未来总数的预测，没有结合中国国情与人口增长的特点。在模型结果分析中，我们进行了误差分析得出模型可行。本模型能够对未来的人口总数、性别比例、人口结构、老龄化水平、城等进行预测，使结果更为细化，但不足之处是所要处理的数据量比较大，可能会由于原始调查数据的误差降低预测的准确性。影响人口增长预测的动态因素很多，而且不可能都能波及到，所以模型与实际还是有一些距离的。
5.2模型改进
1.考虑到生育率和死亡率是随时间变化的，我们可以定义生育率和死亡率为时间函数。
（1）生育率
影响生育率因素有受政策因素、观念认识、周边环境等，通常来说农村的生育率高于城市，为了有效区分这种差异性，我们定义 b(t)为反映城、镇、乡平均生育率水平的基准生育率，定义cb(t)、tb(t) 、vb(t) 分别为城、镇、乡平均生育率，则其中
、
、
为反映生育率高低的系数，系数的大小根据具体情况确定显然有考虑到随着时间的推移，计划生育政策深入人心，农村生育率将降低
用下面函数反映这种变化
式中a,b为参考系数 （2）死亡率
随着时间的推移，医疗水平的提高，死亡率将下降，但死亡率中有一部分是非疾病死亡，对于青年人死亡率比较平稳，死亡率变化主要体现在老年人。 定义
为第t时间内第i个年龄段人的死亡率 式中a,b为参考系数，用来区分青年与中老年
2. 考虑到城乡人口转移因素
城乡人口转移将会对城乡人口结构产生影响，因此必须进行研究，考虑到人口主要是从镇转入城，从乡转入城，从乡转入镇
因此定义B(t)为从镇转入城的转移向量，C（t）为从乡转入城的转移向量，D(t)为从乡转入镇的转移向量。
以C(t)为例说明转移向量，
式中式中则每次计算完再计算
表示第t时间区间内第i个年龄段的农村人数，
表示第t时间区间内第i个年龄段人的农村转入城市的百分比，
表示城乡人口转以后的人口向量。
5.3评价
计划生育政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。从表7
表7：人口结构
从表中数据可知小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来，这些对经济社会健康、可持续发展将产生一系列影响。 对深圳的影响
1．我们利用MATLAB软件编写最小二乘法拟合的程序求解得出各年龄段人口数的拟合函数（程序见附录3），且预测得到各年龄阶段的人口数， 表8 :预测各阶段人口数
结合表7和图4我们可以看出深圳市未来十几年人口数量保持稳定增长，而人口结构变化趋势较为平稳，人口年龄结构变化不明显，可以认为，未来十年内，深圳市内人口年龄结构基本保持不变。人口老龄化问题不明显。
2．国家实施单独两孩政策，有利于保持合理的劳动力规模，延缓人口老龄化速度，促进经济持续健康发展，为实现中华民族伟大复兴的“中国梦”创造良好的人口环境；有利于逐步实现国家政策与群众意愿的统一，提升家庭抵御风险的能力，增强家庭养老照料功能，促进家庭幸福与社会和谐；有利于稳定适度低生育水平，促进人口长期均衡发展，促进人口与经济、社会、资源、环境的协调和可持续发展。2013年1月1日起，新的《深圳经济特区人口与计划生育管理条例》开始实施。《条例》规定，违法生育的公民应缴纳社会抚养费，深圳户籍人口社会抚养费以生育行为发生时本市上年度城镇居民人均可支配收入额为征收的计征基数。超生一个子女的，对男女双方分别按计征基数一次性征收三倍社会抚养费;超生两个以上子女的，以超生一个子女应当征收的社会抚养费为基数，对每个超生子女以超生子女为倍数征收社会抚养费。
深圳正在修订的《深圳人口计生条例》审议中，许都委员认为，我国目前正面临老龄化的问题，现在强化以“一胎化”为核心的计划生育政策制度已经没有必要，应当采取逐步放开二胎、管住三胎的生育政策。在市人大征求市民意见的反馈中，许多群众也提出，政府应该放开生育控制。对此，深圳市人大常委会专门向省人口计生委征求了意见，他们认为：当前我国人口“红利”是否已经完结，国家是否正在急速奔向老龄化社会等问题各方还在争议当中，还缺乏基本的、全国规模的数据调查。而人口政策的效果往往需要二十年以上的时间才能显现，并会产生长达数十年的效应，因此，人口和计划生育立法应当谨慎。根据《中华人民共和国立法法》关于特区立法不能与国家法律基本原则相违背的要求，《草案》应当遵守《中华人民共和国计划生育法》规定的“稳定现行生育政策”原则，不宜大幅放开。深圳市人大法制委员会副主任周荣生表示，结合深圳市委书记王荣的有关讲话精神，市人大认为应当强化现有的管理措施，优化深圳现有的人口服务，而不宜突破国家对人口管理的基本政策。
3. 随着这些年经济的高速发展，深圳逐渐向国际化大城市靠拢，深圳是中国的一个特区，早期到深圳工作的人多数是深圳的建设者，他们有的是知识份子，但是多数是做苦力，随着建设者支援深圳的改革开放建设，深圳的高楼大厦如春笋、宽畅道路迅速伸延，深圳在短短几十年的时间内的发生了翻天覆地的变化。深圳的高薪是吸引很大大学毕业生选择就业的首选城市的原因之一，在发展的这几十年间，深圳从全国各地吸引了很多高层次的人才，而这些精英们也为深圳的发展做出了重要贡献，现在这些人才都全部在大公司担任重要职位。“千军易得、一将难求”这是很多的企业都面临的问题，大学毕业生没有什么经验，而有经验的有能力的人才都被大公司高薪挖走了。深圳的就业问题难，不是难在公司没有发展，而是公司没有找到合适的人才。
深圳每次举办的大型招聘会上都是人山人海，成千上万的求职者为找工作发愁。“这是结构性人才短缺的表现”，深圳在人才引进上存在着突出的结构不合理状况。“一些急需的领域引进的人才很少，而一些应用技术领域大量重复。”深圳面临着就业难的问题。 政策建议
1.针对计量分析结果，为进一步有效控制人口增长我们提出以下建议：1. 采取各种措施，提高经济总量，提高居民的可支配收入。经济发展水平是决定人口增长的重要因素，因此当前国家应坚定不移地发展经济，建立完善的市场经济体制改变经济增长方式, 并通过建立完善经济体制来调动一切劳动者的积极性, 促进经济总量的增长。
2.加大对教育的投入, 提高教育质量, 促进国民素质的提高。进一步坚持教育优先发展的战略地位不动摇, 普及义务教育, 尤其是要注重提高全社会女性受教育的程度和比率。 3.经过二十几年“计划生育”人口政策的实施, 我国人口增长得到了有效控制, 这对保持人口与经济的协调发展起到了重要作用。但是,由于我国人口基数大，人口数量的增长趋势依然十分明显，在逐步通过发展经济和不断提高居民素质来调节人口的增长的同时, 也应重视利用行政手段对人口数量进行控制，本文认为我国仍应继续坚持“计划生育”的基本国策，尤其在广大农村地区，更应加强对于计划生育政策的贯彻执行力度，敦促人们形成和谐的生育观。
参考文献
[编号] 邓聚龙 灰色预测与决策，武汉：华中理工大学出版社，1986.125—127. [编号] 张兴永，MATLAB软件与数学试验，江苏：中国矿业大学出版社，2000 [编号]邓聚龙，灰色系统理论教程 ，武汉：华中理工大学出版社，19901 [编号] http://www.stats.gov.cn/（中国国家统计局网） [编号] http://www.sztj.gov.cn/ （深圳市统计局网）
附表1GM(1,1)算法拟合值及误差
附录3：灰色预测程序
x0=[724.57 746.62 778.27 800.8 827.75 871.1 912.37 954.28 995.01 1037.2] n=length(x0);
lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n) range=minmax(lamda); x1=cumsum(x0); for i=2:n
z(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1)); end
B=[-z(2:n)',ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n)'; u=B\Y
x=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');
x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)}); yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]); digits(6),y=vpa(x)
yuce=[x0(1),diff(yuce1)] epsilon=(x0-yuce)%
残差delta=abs(epsilon./x0)% 残差百分比
rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda% 级比残差yuce1=subs(x,'t',[0:19]);% 共二十年预测值