3.2 等差数列
第二课时
一、教学目标：
1．用函数观点认识等差数列的通项公式；
2．理解等差数列中等差中项的概念及求等差中项； 3．掌握等差数列的特殊性质及应用；
二、教学重难点：
重点：等差数列的通项公式，等差中项及其性质。 难点：等差数列性质和的自我探讨及其应用。
三、教学过程：
（一）设置情境：
1．等差数列的定义：a n +1-a n
=d (n ≥1) 2．等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1) d
（二）新课讲解：
1．等差数列通项公式的再认识：
例1．（P113例4）已知数列的通项公式为a n
=pn +q ，其中p ，q 是常数，且p ≠0，那么这个数列
是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。 解：取数列 ∵
，a n -a n -1=(pn +q ) [-(p 1) n -]{a n }中的任意相邻两项a n -1与a n （n ≥2）
+q =p ，
p 是一个与n 无关的常数，故{a n }是等差数列，且公差是p ，
所以，这个等差数列的首项是a 1说明：（1）a n
=p +q ，公差是p 。
=a 1+(n -1) d =dn +(a 1-d ) 是关于n 的一次函数型，一次项系数恰是公差；
（2）数列
{a n }是公差不为0的等差数列⇔通项公式是关于n 的一次函数；
（3）由通项公式a n
2．等差中项 ：
=a 1+(n -1) d =dn +(a 1-d ) （函数观点）研究数列的单调性；
（4）等差数列对应点(n , a n ) 在直线上。
（1）引例：如果在a 与b 中间插入一个数
A ，使得a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？
a +b
由a ，A ，b 成等差数列，得A -a =b -A ，所以A =，反之成立。
2
a +b
（2）定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，其中A =
2
a +b
。 a ，A ，b 成等差数列⇔A =2
3．等差数列的表示： 如果一个数列
{a n }是等差数列，公差为d ，则这个数列可表示为：
{a 1+(n -1) d }。
（1）列举法：a 1, a 1+d , a 1+2d , ⋅⋅⋅, a 1+(n -1) d , ⋅⋅⋅简写成
（2）解析法：a n =a 1+(n -1) d (n ≥1) 。
f (n ) =a n 的
（3）图象法：等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，是正整数集为定义域的函数图象是一条直线上那些n 为自然数的点的集合，这条直线的斜率为d ，在纵轴上的截距为
（4）递推公式法：给出数列任一项和a n +1-a n 4．等差数列的判定方法：
（1）对于
（2）对于
（3）对于
5．等差数列的性质：
，
a 1-d 。
=d (n ≥1) 。
是常数）⇔
a n +1-a n =d (n ≥1) （d
{a n }是等差数列。
，2a n +1，a n
=a n +a n +2(n ≥1) ⇔{a n }是等差数列。
=kn +b （k , b 为常数）⇔{a n }是等差数列。
{a n }中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{a n }中，相隔等距离的项组成的数列是AP 。
（3）在等差数列{a }
中，对任意m ，n ∈N +，
（1）在等差数列
； m ≠n ) （求公差）
（4）等差数列中到首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和。 即在等差数列
{a n }中，若m ，
n ，p ，q ∈N +且m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q 。
6．例题分析：
{a n }是等差数列，证明{ka n +b }为等差数列。
证明：设数列{a n }公差为d ，c n =ka n +b ，c n +1-c n =ka n +1+b -(ka n +b ) =k (a n +1-a n ) =kd ， ∵kd 是一个与n 无关的常数， 所以，{ka n +b }为等差数列。
例2．设数列{a n }, {b n }是等差数列，且a 1=25, b 1=75, a 2+b 2=120，求数列a n +b n 的第20项。
例1．
说明：（1）两等差数列的和仍是等差数列，d
（2）C n
=d 1+d 2；
=20n +80, C 20=480 。
例3．在等差数列
{a n }中，若a 4=10，a 7=19，求a 18。
⎧a 1+3d =10
a +6d =19⎩1
解：（法一）设首项a 1，公差为d ，则⎨ ∴d
=3，a 1=1， ∴a 18=1+17d =52。
a -a 419-10
（法二）d =7==3，a 18=a 7+11d =52
33
（三）练习：P114练习3、4、5 （四）小结：
1．等差数列通项公式的认识； 2．判定等差数列的几种方法； 3．等差中项的概念； 4．等差数列性质。
四、作业：P114习题3，6，7
3.2 等差数列
第二课时
一、教学目标：
1．用函数观点认识等差数列的通项公式；
2．理解等差数列中等差中项的概念及求等差中项； 3．掌握等差数列的特殊性质及应用；
二、教学重难点：
重点：等差数列的通项公式，等差中项及其性质。 难点：等差数列性质和的自我探讨及其应用。
三、教学过程：
（一）设置情境：
1．等差数列的定义：a n +1-a n
=d (n ≥1) 2．等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1) d
（二）新课讲解：
1．等差数列通项公式的再认识：
例1．（P113例4）已知数列的通项公式为a n
=pn +q ，其中p ，q 是常数，且p ≠0，那么这个数列
是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。 解：取数列 ∵
，a n -a n -1=(pn +q ) [-(p 1) n -]{a n }中的任意相邻两项a n -1与a n （n ≥2）
+q =p ，
p 是一个与n 无关的常数，故{a n }是等差数列，且公差是p ，
所以，这个等差数列的首项是a 1说明：（1）a n
=p +q ，公差是p 。
=a 1+(n -1) d =dn +(a 1-d ) 是关于n 的一次函数型，一次项系数恰是公差；
（2）数列
{a n }是公差不为0的等差数列⇔通项公式是关于n 的一次函数；
（3）由通项公式a n
2．等差中项 ：
=a 1+(n -1) d =dn +(a 1-d ) （函数观点）研究数列的单调性；
（4）等差数列对应点(n , a n ) 在直线上。
（1）引例：如果在a 与b 中间插入一个数
A ，使得a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？
a +b
由a ，A ，b 成等差数列，得A -a =b -A ，所以A =，反之成立。
2
a +b
（2）定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，其中A =
2
a +b
。 a ，A ，b 成等差数列⇔A =2
3．等差数列的表示： 如果一个数列
{a n }是等差数列，公差为d ，则这个数列可表示为：
{a 1+(n -1) d }。
（1）列举法：a 1, a 1+d , a 1+2d , ⋅⋅⋅, a 1+(n -1) d , ⋅⋅⋅简写成
（2）解析法：a n =a 1+(n -1) d (n ≥1) 。
f (n ) =a n 的
（3）图象法：等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，是正整数集为定义域的函数图象是一条直线上那些n 为自然数的点的集合，这条直线的斜率为d ，在纵轴上的截距为
（4）递推公式法：给出数列任一项和a n +1-a n 4．等差数列的判定方法：
（1）对于
（2）对于
（3）对于
5．等差数列的性质：
，
a 1-d 。
=d (n ≥1) 。
是常数）⇔
a n +1-a n =d (n ≥1) （d
{a n }是等差数列。
，2a n +1，a n
=a n +a n +2(n ≥1) ⇔{a n }是等差数列。
=kn +b （k , b 为常数）⇔{a n }是等差数列。
{a n }中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{a n }中，相隔等距离的项组成的数列是AP 。
（3）在等差数列{a }
中，对任意m ，n ∈N +，
（1）在等差数列
； m ≠n ) （求公差）
（4）等差数列中到首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和。 即在等差数列
{a n }中，若m ，
n ，p ，q ∈N +且m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q 。
6．例题分析：
{a n }是等差数列，证明{ka n +b }为等差数列。
证明：设数列{a n }公差为d ，c n =ka n +b ，c n +1-c n =ka n +1+b -(ka n +b ) =k (a n +1-a n ) =kd ， ∵kd 是一个与n 无关的常数， 所以，{ka n +b }为等差数列。
例2．设数列{a n }, {b n }是等差数列，且a 1=25, b 1=75, a 2+b 2=120，求数列a n +b n 的第20项。
例1．
说明：（1）两等差数列的和仍是等差数列，d
（2）C n
=d 1+d 2；
=20n +80, C 20=480 。
例3．在等差数列
{a n }中，若a 4=10，a 7=19，求a 18。
⎧a 1+3d =10
a +6d =19⎩1
解：（法一）设首项a 1，公差为d ，则⎨ ∴d
=3，a 1=1， ∴a 18=1+17d =52。
a -a 419-10
（法二）d =7==3，a 18=a 7+11d =52
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（三）练习：P114练习3、4、5 （四）小结：
1．等差数列通项公式的认识； 2．判定等差数列的几种方法； 3．等差中项的概念； 4．等差数列性质。
四、作业：P114习题3，6，7