《圆周运动的规律》教案
【考纲解读】
1．了解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念。理解向心力及向心加速度。
2．能结合生活中的圆周运动实例熟练应用向心力和向心加速度处理问题。
3．能正确处理竖直平面内的圆周运动。
4．知道什么是离心现象，了解其应用及危害。会分析相关现象的受力特点。
【重点知识梳理】
一、描述圆周运动的物理量
1．线速度：做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值。
（1）物理意义：描述质点沿切线方向运动的快慢．
（2）方向：某点线速度方向沿圆弧该点切线方向．
（3）大小：V=S/t
说明:线速度是物体做圆周运动的即时速度，其方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变速运动。
2．角速度：做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比值。
（l ）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢．
（2）大小：ω＝φ/t 单位：（rad ／s ）
3．周期T ，频率f ：做圆周运动物体一周所用的时间叫周期．周期的广范含义：
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速
4．转速：单位时间内绕圆心转过的圈数。r/min
5．V 、ω、T 、f 的关系
T ＝1/f，ω＝2π/T= v /r=2πf，v ＝2πr/T＝2πrf=ωr．
T 、f 、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了．但v 还和半径r 有关．
6．向心加速度
（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢的物理量。
（2）大小：a=v2/r=ω2r=4π2fr=4π2r/T2=ωv ，
（3）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化．不论a 的大小是否变化，a 都是个变加速度．
（4）注意：a 与r 是成正比还是反比，要看前提条件，
若ω相同，a 与r 成正比；若v 相同，a 与r 成反比；若是r 相同，a 与ω2成正比，与v 2也成正比．
7．向心力
（1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小．因此，向心力对做圆周运动的物体不做功．
（2）大小： F ＝ma ＝mv 2/r＝mω2 r=m4π2fr=m4π2r/T2=mωv
（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化．即向心力是个变力．
说明: 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定．
v 2
F 心= ma 心= m=m ω2 R= m m4π2n 2 R= mωv R
二、匀速圆周运动
1．特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．
2．性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动．
3．加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．
4．质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
三、变速圆周运动（非匀速圆周运动）典型是：竖直平面的圆周运动。
变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）．
变速圆周运动的合力一般不指向圆心，变速圆周运动所受的合外力产生两个效果．
1．半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向．法向加速度。
2．切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小．切向加速度
法向分力：产生向心加速度，改变方向快慢的物理量。
故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值．
四、圆周运动解题思路
1．灵活、正确地运用公式
ΣFn ＝ma n =mv2/r＝mω2r ＝m4π2r/T2＝m4π2fr ；
2．正确地分析物体的受力情况，找出向心力．
五、有辐条的圆周转动产生的顺转反现象：如何解释？
每1/30秒更一帧，车上有8根对称辐条，若在1/30秒内，每根辐条恰好转过角度为
（45、360、365、355）观众觉得车轮是怎样转的。（45度时不动；360时不动、355度倒转）。
【规律方法】
1. 线速度、角速度、向心加速度大小的比较
在分析传动装置的各物理量时．要抓住不等量和相等量的关系．同轴的各点角速度ω和n 相等，而线速度v ＝ωr与半径r 成正比．在不考虑皮带打滑的情况下．传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝v/r与半径r 成反比．
2．向心力的认识和来源
（1）向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种类型的力，是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力．
(2)由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变的运动，故只存在向心加速度，物体受的外力的合力就是向心力。显然物体做匀速圆周运动的条件是：物体的合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
（3）分析向心力来源的步骤是:首先确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，然后分析圆周运动物体所受的力, 作出受力图, 最后找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力．例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O /点，不在球心O ，也不在弹力N 所指的PO 线上．这种分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
(4）变速圆周运动向心力的来源：分析向心力来源的步骤同分析匀速圆周运动向心力来源的步骤相向．但要注意，
①一般情况下，变速圆周运动的向心力是合外为沿半径方向的分力提供．
②分析竖直面上变速圆周运动的向心力的来源时，通常有细绳和杆两种模型．
v 2(5)当物体所受的合外力小于所需要提供的向心力时，即F 向＜m 时，物体做离心运动；r
v 2当物体所受的合外力大于所需要的向心力，即F 向＞m 时，物体做向心运动。 r
3、圆周运动与其它运动的结合
圆周运动和其他运动相结合，要注意寻找这两种运动的结合点：如位移关系、速度关系、时间关系等．还要注意圆周运动的特点：如具有一定的周期性等．
【高频考点突破】
考点一 描述圆周运动的物理量
例１、图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，A 是它边缘上的一点. 左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r . B 点在小轮上，它到小轮中心的距离为r . C 点和D 点分别位于小轮和大轮的边缘上. 若在传动过程中，皮带不打滑. 则（ ）
A ．A 点与B 点的线速度大小相等
B ．A 点与B 点的角速度大小相等
C ．A 点与C 点的线速度大小相等
D ．A 点与D 点的向心加速度大小相等
考点二 匀速圆周运动
例2、 如图3所示，水平的木板B 托着木块A 一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a 沿逆时针方向运动到最高点b 的过程中（ ）
A ．B 对A 的支持力越来越大
B ．B 对A 的支持力越来越小
C ．B 对A 的摩擦力越来越大
D ．B 对A 的摩擦力越来越小
【变式探究】 如图所示，光滑水平面上，小球m 在拉力，作用下做匀速圆周运动，若小球运动到P 点时，拉力F 发生变化，关于小球运动情况的说法正确的
( )
A ．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa 做离心运动
B ．若拉力突然变小，小球将沿轨迹pa 做离心运动
C ．若拉力突然变大，小球将沿轨迹pb 做离心运动
D ．若拉力突然变小，小球将沿轨迹pc 做离心运动
考点三 竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动的模型主要有两种，即轻绳（单圆轨道）类与轻杆（双圆轨道）类．它们的主要特点是：（1）轻绳（单圆轨道）（如图6）在最高点只能提供竖直向下的作用力．因此，通过最高点的临界条件是，绳的拉力（单圆轨道对物体的作用力）为0，重力充当
v 2向心力， mg =m ，解得：v =gR ，即v ≥gR 时物体才能通过最高点，所以：v 临界=gR ．（2）R 是
轻杆（双圆轨道）（如图7）则由于杆既可以提供拉力，也可以提供支持力或不提供作用力，因此，杆作用物体到最高点时，其速度可以为0，此时杆提供的支持力与物体的重力平衡，所以v 临界=0．
例3、如图，一光滑水平桌面AB 与一半径为R 的光滑半圆形轨道相切于C 点，且两者固定不动．一长L 为0.8m 的细绳，一端固定于O 点，另一端系一个质量m 1为0.2kg 的球．当球在竖直方向静止时，球对水平桌面的作用力刚好为零．现将球提起使细绳处于水平位置时无初速释放．当球m 1摆至最低点时，恰与放在桌面上的质量m 2为0.8kg 的小铁球正碰，碰后m 1小球以2m/s的速度弹回，m 2将沿半圆形轨道运动，恰好能通过最高点D ．g =10m/s2, 求：
（1）m 2在圆形轨道最低点C 的速度为多大？
（2）光滑圆形轨道半径R 应为多大？
考点四 圆周运动中的临界与最值问题
例4、如图所示，一个质量为m 的小球由两根细绳拴在竖直转轴上的A 、B 两处，AB 间距为L ，A 处绳长为2L ，B 处绳长为L ，两根绳能承受的最大拉力均为2mg ，转轴带动小球转动。则：
（1）当B 处绳子刚好被拉直时，小球的线速度v 多大？
（2）为不拉断细绳，转轴转动的最大角速度 多大？
（3）若先剪断B 处绳子，让转轴带动小球转动，使绳子与转轴的夹角从
45°开始，直至小球能在最高位置作匀速圆周运动，则在这一过程中，小球机
械能的变化为多大？
考点五 匀速圆周运动
例5、有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动. 当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ, 不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系
.
考点六、竖直平面内的圆周运动
例6、某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”
四个等高数字用内壁光滑的薄
壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以v a =5m/s的水平初速度由a 点弹出，从b 点进入轨道，依次经过“8002”后从p 点水平抛出。小物体与地面ab 段间的动摩擦因数u =0.3，不计其它机械能损失。已知ab 段长L ＝1. 5m，数字“0”的半径R ＝0.2m ，小物体质量m =0.01kg，g =10m/s2。求：
（1）小物体从p 点抛出后的水平射程。
（2）小物体经过数这“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。
《圆周运动的规律》教案
【考纲解读】
1．了解线速度、角速度、周期、频率、转速等概念。理解向心力及向心加速度。
2．能结合生活中的圆周运动实例熟练应用向心力和向心加速度处理问题。
3．能正确处理竖直平面内的圆周运动。
4．知道什么是离心现象，了解其应用及危害。会分析相关现象的受力特点。
【重点知识梳理】
一、描述圆周运动的物理量
1．线速度：做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值。
（1）物理意义：描述质点沿切线方向运动的快慢．
（2）方向：某点线速度方向沿圆弧该点切线方向．
（3）大小：V=S/t
说明:线速度是物体做圆周运动的即时速度，其方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变速运动。
2．角速度：做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比值。
（l ）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢．
（2）大小：ω＝φ/t 单位：（rad ／s ）
3．周期T ，频率f ：做圆周运动物体一周所用的时间叫周期．周期的广范含义：
做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速
4．转速：单位时间内绕圆心转过的圈数。r/min
5．V 、ω、T 、f 的关系
T ＝1/f，ω＝2π/T= v /r=2πf，v ＝2πr/T＝2πrf=ωr．
T 、f 、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了．但v 还和半径r 有关．
6．向心加速度
（1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢的物理量。
（2）大小：a=v2/r=ω2r=4π2fr=4π2r/T2=ωv ，
（3）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化．不论a 的大小是否变化，a 都是个变加速度．
（4）注意：a 与r 是成正比还是反比，要看前提条件，
若ω相同，a 与r 成正比；若v 相同，a 与r 成反比；若是r 相同，a 与ω2成正比，与v 2也成正比．
7．向心力
（1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小．因此，向心力对做圆周运动的物体不做功．
（2）大小： F ＝ma ＝mv 2/r＝mω2 r=m4π2fr=m4π2r/T2=mωv
（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化．即向心力是个变力．
说明: 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，因此，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定．
v 2
F 心= ma 心= m=m ω2 R= m m4π2n 2 R= mωv R
二、匀速圆周运动
1．特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的．
2．性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动．
3．加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力．
4．质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
三、变速圆周运动（非匀速圆周运动）典型是：竖直平面的圆周运动。
变速圆周运动的物体，不仅线速度大小、方向时刻在改变，而且加速度的大小、方向也时刻在改变，是变加速曲线运动（注：匀速圆周运动也是变加速运动）．
变速圆周运动的合力一般不指向圆心，变速圆周运动所受的合外力产生两个效果．
1．半径方向的分力：产生向心加速度而改变速度方向．法向加速度。
2．切线方向的分力：产生切线方向加速度而改变速度大小．切向加速度
法向分力：产生向心加速度，改变方向快慢的物理量。
故利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小，必须用该点的瞬时速度值．
四、圆周运动解题思路
1．灵活、正确地运用公式
ΣFn ＝ma n =mv2/r＝mω2r ＝m4π2r/T2＝m4π2fr ；
2．正确地分析物体的受力情况，找出向心力．
五、有辐条的圆周转动产生的顺转反现象：如何解释？
每1/30秒更一帧，车上有8根对称辐条，若在1/30秒内，每根辐条恰好转过角度为
（45、360、365、355）观众觉得车轮是怎样转的。（45度时不动；360时不动、355度倒转）。
【规律方法】
1. 线速度、角速度、向心加速度大小的比较
在分析传动装置的各物理量时．要抓住不等量和相等量的关系．同轴的各点角速度ω和n 相等，而线速度v ＝ωr与半径r 成正比．在不考虑皮带打滑的情况下．传动皮带与皮带连接的两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝v/r与半径r 成反比．
2．向心力的认识和来源
（1）向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种类型的力，是根据力的效果命名的．在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力）以外再添加一个向心力．
(2)由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变的运动，故只存在向心加速度，物体受的外力的合力就是向心力。显然物体做匀速圆周运动的条件是：物体的合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
（3）分析向心力来源的步骤是:首先确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，然后分析圆周运动物体所受的力, 作出受力图, 最后找出这些力指向圆心方向的合外力就是向心力．例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的O /点，不在球心O ，也不在弹力N 所指的PO 线上．这种分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
(4）变速圆周运动向心力的来源：分析向心力来源的步骤同分析匀速圆周运动向心力来源的步骤相向．但要注意，
①一般情况下，变速圆周运动的向心力是合外为沿半径方向的分力提供．
②分析竖直面上变速圆周运动的向心力的来源时，通常有细绳和杆两种模型．
v 2(5)当物体所受的合外力小于所需要提供的向心力时，即F 向＜m 时，物体做离心运动；r
v 2当物体所受的合外力大于所需要的向心力，即F 向＞m 时，物体做向心运动。 r
3、圆周运动与其它运动的结合
圆周运动和其他运动相结合，要注意寻找这两种运动的结合点：如位移关系、速度关系、时间关系等．还要注意圆周运动的特点：如具有一定的周期性等．
【高频考点突破】
考点一 描述圆周运动的物理量
例１、图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，A 是它边缘上的一点. 左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r . B 点在小轮上，它到小轮中心的距离为r . C 点和D 点分别位于小轮和大轮的边缘上. 若在传动过程中，皮带不打滑. 则（ ）
A ．A 点与B 点的线速度大小相等
B ．A 点与B 点的角速度大小相等
C ．A 点与C 点的线速度大小相等
D ．A 点与D 点的向心加速度大小相等
考点二 匀速圆周运动
例2、 如图3所示，水平的木板B 托着木块A 一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a 沿逆时针方向运动到最高点b 的过程中（ ）
A ．B 对A 的支持力越来越大
B ．B 对A 的支持力越来越小
C ．B 对A 的摩擦力越来越大
D ．B 对A 的摩擦力越来越小
【变式探究】 如图所示，光滑水平面上，小球m 在拉力，作用下做匀速圆周运动，若小球运动到P 点时，拉力F 发生变化，关于小球运动情况的说法正确的
( )
A ．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa 做离心运动
B ．若拉力突然变小，小球将沿轨迹pa 做离心运动
C ．若拉力突然变大，小球将沿轨迹pb 做离心运动
D ．若拉力突然变小，小球将沿轨迹pc 做离心运动
考点三 竖直平面内的圆周运动
竖直平面内的圆周运动的模型主要有两种，即轻绳（单圆轨道）类与轻杆（双圆轨道）类．它们的主要特点是：（1）轻绳（单圆轨道）（如图6）在最高点只能提供竖直向下的作用力．因此，通过最高点的临界条件是，绳的拉力（单圆轨道对物体的作用力）为0，重力充当
v 2向心力， mg =m ，解得：v =gR ，即v ≥gR 时物体才能通过最高点，所以：v 临界=gR ．（2）R 是
轻杆（双圆轨道）（如图7）则由于杆既可以提供拉力，也可以提供支持力或不提供作用力，因此，杆作用物体到最高点时，其速度可以为0，此时杆提供的支持力与物体的重力平衡，所以v 临界=0．
例3、如图，一光滑水平桌面AB 与一半径为R 的光滑半圆形轨道相切于C 点，且两者固定不动．一长L 为0.8m 的细绳，一端固定于O 点，另一端系一个质量m 1为0.2kg 的球．当球在竖直方向静止时，球对水平桌面的作用力刚好为零．现将球提起使细绳处于水平位置时无初速释放．当球m 1摆至最低点时，恰与放在桌面上的质量m 2为0.8kg 的小铁球正碰，碰后m 1小球以2m/s的速度弹回，m 2将沿半圆形轨道运动，恰好能通过最高点D ．g =10m/s2, 求：
（1）m 2在圆形轨道最低点C 的速度为多大？
（2）光滑圆形轨道半径R 应为多大？
考点四 圆周运动中的临界与最值问题
例4、如图所示，一个质量为m 的小球由两根细绳拴在竖直转轴上的A 、B 两处，AB 间距为L ，A 处绳长为2L ，B 处绳长为L ，两根绳能承受的最大拉力均为2mg ，转轴带动小球转动。则：
（1）当B 处绳子刚好被拉直时，小球的线速度v 多大？
（2）为不拉断细绳，转轴转动的最大角速度 多大？
（3）若先剪断B 处绳子，让转轴带动小球转动，使绳子与转轴的夹角从
45°开始，直至小球能在最高位置作匀速圆周运动，则在这一过程中，小球机
械能的变化为多大？
考点五 匀速圆周运动
例5、有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动. 当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ, 不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系
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考点六、竖直平面内的圆周运动
例6、某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”
四个等高数字用内壁光滑的薄
壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以v a =5m/s的水平初速度由a 点弹出，从b 点进入轨道，依次经过“8002”后从p 点水平抛出。小物体与地面ab 段间的动摩擦因数u =0.3，不计其它机械能损失。已知ab 段长L ＝1. 5m，数字“0”的半径R ＝0.2m ，小物体质量m =0.01kg，g =10m/s2。求：
（1）小物体从p 点抛出后的水平射程。
（2）小物体经过数这“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。