圆周运动
匀速圆周运动
1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。 2、分类： ⑴匀速圆周运动：
质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。 物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。
注意：这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等．
⑵变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直． 3、描述匀速圆周运动的物理量
（1）轨道半径（r ）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。 （2）线速度（v ）：
①定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S 和所用时间t 的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。 ②定义式：v =
s
t
③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。 （3）角速度（ω，又称为圆频率）：
①定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。 ②大小：ω
=ϕt =
T
(φ是t 时间内半径转过的圆心角)
③单位：弧度每秒（rad/s）
④物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢
（4）周期（T ）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。 （5）频率（f ，或转速n ）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。 各物理量之间的关系：
s 2πr ⎫
==2πrf ⎪
θr ⎪t T
⇒v ==ωr ⎬
θ2πt ω===2πf ⎪
⎪t T ⎭v =
注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。 （6）圆周运动的向心加速度
①定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。
v 2⎛2π⎫
=ω2r （还有其它的表示形式，如：a n =v ω= ⎪r =(2πf )2r ） ②大小：a n =r ⎝T ⎭
2
③方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。
对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r 为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度a τ，表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言，a τ=0） （7）圆周运动的向心力
匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力F n 提供向心加速度（下式仍然适用），切向分力F τ提供切向加速度。
v 2
=m ω2r （还有其它的表示形式，如： 向心力的大小为：F n =ma n =m r
⎛2π⎫2
；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。 F n =mv ω=m ⎪r =m (2πf )r ）
T ⎝⎭
实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。 五、离心运动
1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。 2、本质：
①离心现象是物体惯性的表现。
②离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。 ③离心运动并不是受到什么离心力，根本就没有这个离心力。 3、条件：
当物体受到的合外力F n =ma n 时，物体做匀速圆周运动； 当物体受到的合外力F n ＜ma n 时，物体做离心运动 当物体受到的合外力F n ＞ma n 时，物体做近心运动
实际上，这正是力对物体运动状态改变的作用的体现，外力改变，物体的运动情况也必然改变以适应外力的改变。
2
4．两类典型的曲线运动的分析方法比较
（1）对于平抛运动这类“匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在固定的坐标系内正交分解其位移和速度”，运动规律可表示为
⎧x =υ0t , ⎧υx =υ0, ⎪ ⎨12；⎨υ=gt . y =gt ⎩y ⎪2⎩
（2）对于匀速圆周运动这类“变变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在运动的坐标系内正交分解其力和加速度”，运动规律可表示为
⎧F 切=ma 切=0, ⎪
⎨m υ22
=mr ω=m υω. ⎪F 法=F 向=ma 向=r ⎩
【例1】如图所示的传动装置中，A 、B 两轮同轴转动．A 、B 、C 三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？
【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心O 且垂直于盘面的竖直轴转动．在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转时，木块随圆盘一起运动（见图），那么
A ．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心 B ．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心
C ．因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同 D ．因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反 E ．因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力
【例3】在一个水平转台上放有A 、B 、C 三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A 的质量为2m ，B 、C 各为m ．A 、B 离转轴均为r ，C 为2r ．则
A ．若A 、B 、C 三物体随转台一起转动未发生滑动，A 、C 的向心加速度比B 大 B ．若A 、B 、C 三物体随转台一起转动未发生滑动，B 所受的静摩擦力最小 C ．当转台转速增加时，C 最先发生滑动 D ．当转台转速继续增加时，A 比B 先滑动
【例4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A 、B ，相距L0=0.1m．长L=1m的柔软细线一端拴在A 上，另一端拴住一个质量为500g 的小球．小球的初始位置在AB 连线上A 的一侧．把细线拉直，给小球以2m ／s 的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动．由于钉子B 的存在，使细线逐步缠在A 、B 上．
若细线能承受的最大张力Tm=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长？
【例5】如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
【例6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？
【例7】如下图所示，自行车和人的总质量为M ，在一水平地面运动．若自行车以速度v 转过半径为R 的弯道．（1）求自行车的倾角应多大？（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？
【例8】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A ，L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的O1，O2处，已知O1O2=5m如下图（g ＝10m ·s-2）
（1）当竖直杆以的角速度ω匀速转动时，O2A 线刚好伸直且不受拉力．求此时角速度ω1． （2）当O1A 线所受力为100N 时，求此时的角速度ω2．
1．一质点做圆周运动，速度处处不为零，则:①任何时刻质点所受的合力一定不为零, ②任何时刻质点的加速度一定不为零, ③质点速度的大小一定不断变化, ④质点速度的方向一定不断变化 其中正确的是（ ）
A ．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定. 若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是（ ）
①当以速度v 通过此弯路时，火车重力与轨道支持力的合力提供向心力 ②当以速度v 通过此弯路时，火车重力、轨道支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 ③当速度大于v 时，轮缘挤压外轨 ④当速度小于v 时，轮缘挤压外轨
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
3．如图所示，在皮带传动装置中，主动轮A 和从动轮B 半径不等，皮带与轮之间无相对滑动，则下列说法中正确的是（ ） A ．两轮的角速度相等 B ．两轮边缘的线速度大小相等 C ．两轮边缘的向心加速度大小相等 D ．两轮转动的周期相同
4．用细线拴着一个小球，在光滑水平面上作匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A ．小球线速度大小一定时，线越长越容易断 B ．小球线速度大小一定时，线越短越容易断 C ．小球角速度一定时，线越长越容易断 D ．小球角速度一定时，线越短越容易断
5．长度为0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为3kg 的小球，以O 点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s，则此时轻杆OA 将（ ） A ．受到6.0N 的拉力 B．受到6.0N 的压力 C ．受到24N 的拉力 D．受到24N 的压力
6．滑块相对静止于转盘的水平面上，随盘一起旋转时所需向心力的来源是（ ） A ．滑块的重力 B．盘面对滑块的弹力 C ．盘面对滑块的静摩擦力 D．以上三个力的合力
7．如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是（ ） A.V A >VB B.ωA >ωB C.a A >aB D. 压力N A >NB 8. 一个电子钟的秒针角速度为（ ） A ．πrad/s B．2πrad/s C．
2
A
B
ππ
rad/s D．rad/s 6030
9．甲、乙、丙三个物体，甲放在广州，乙放在上海，丙放在北京．当它们随地球一起转动时，则（ ） A ．甲的角速度最大、乙的线速度最小 B ．丙的角速度最小、甲的线速度最大
C ．三个物体的角速度、周期和线速度都相等 D ．三个物体的角速度、周期一样，丙的线速度最小
10．如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点。则杆对球的作用力可能是（ ） A.a 处为拉力，b 处为拉力 B.a处为拉力，b 处为推力 C.a 处为推力，b 处为拉力 D.a处为推力，b 处推拉力
11．如图2-4-10所示，光滑的水平面上，小球m 在拉力Ｆ的作用下做匀速圆周运动，若小球在到达Ｐ点时突然发生变化，则下列说法正确的是（ ） A. 若F 突然消失，小球将沿轨迹a 做离心运动 B. 若F 突然变小，小球将沿轨迹a 做离心运动 C. 若F 突然变大，小球将沿轨迹b 做离心运动 D. 若F 突然变小，小球将沿轨迹c 做近心运动
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法错误的是： ．．
A. 线速度不变 B.线速度的大小不变 C.转速不变 D.周期不变 2．一质点做圆周运动，速度处处不为零，则 ①任何时刻质点所受的合力一定不为零 ②任何时刻质点的加速度一定不为零 ③质点速度的大小一定不断变化 ④质点速度的方向一定不断变化 其中正确的是
A ．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3. 关于做匀速圆周运动物体的线速度的大小和方向，下列说法中正确的是 A ．大小不变，方向也不变 B．大小不断改变，方向不变 C ．大小不变，方向不断改变 D．大小不断改变，方向也不断改变 4. 做匀速圆周运动的质点是处于
A ．平衡状态 B．不平衡状态 C．速度不变的状态 D．加速度不变的状态 5. 匀速圆周运动是
A ．匀速运动 B．匀加速运动 C．匀减速运动 D．变加速运动 6．下列关于向心加速度的说法中，正确的是
A ．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 B．向心加速度的方向可能与速度方向不垂直 C ．向心加速度的方向保持不变 D．向心加速度的方向与速度的方向平行
7．如图所示，在皮带传动装置中，主动轮A 和从动轮B 半径不等，皮带与轮之间无相对滑动，则下列说法中正确的是
A ．两轮的角速度相等 B ．两轮边缘的线速度大小相等 C ．两轮边缘的向心加速度大小相等
A
B
D ．两轮转动的周期相同
8．用细线拴着一个小球，在光滑水平面上作匀速圆周运动，有下列说法 ①小球线速度大小一定时，线越长越容易断 ②小球线速度大小一定时，线越短越容易断 ③小球角速度一定时，线越长越容易断 ④小球角速度一定时，线越短越容易断 其中正确的是
A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．长度为0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为3kg 的小球，以O 点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s，则此时轻杆OA 将
A ．受到6.0N 的拉力 B．受到6.0N 的压力 C ．受到24N 的拉力 D．受到24N 的压力
10．滑块相对静止于转盘的水平面上，随盘一起旋转时所需向心力的来源是 A ．滑块的重力 B．盘面对滑块的弹力 C ．盘面对滑块的静摩擦力 D．以上三个力的合力 11. 一个电钟的秒针角速度为 A ．πrad/s B．2πrad/s C．
2
ππrad/s D．rad/s 6030
12．甲、乙、丙三个物体，甲放在广州，乙放在上海，丙放在北京．当它们随地球一起转动时，则 A ．甲的角速度最大、乙的线速度最小 B ．丙的角速度最小、甲的线速度最大 C ．三个物体的角速度、周期和线速度都相等 D ．三个物体的角速度、周期一样，丙的线速度最小 13．关于匀速圆周运动，下列说法中不正确的是 A ．匀速圆周运动是匀速率圆周运动 B ．匀速圆周运动是向心力恒定的运动
C ．匀速圆周运动是加速度的方向始终指向圆心的运动 D ．匀速圆周运动是变加速运动
14．如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是 A.V A >VB B.ωA >ωB C.a A >aB D. 压力N A >NB
15．（多选）如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点。则杆对球的作用力可能是
A.a 处为拉力，b 处为拉力 B.a处为拉力，b 处为推力
C.a 处为推力，b 处为拉力 D.a处为推力，b 处推拉力
1、物体做曲线运动时，下列说法中不可能．．．存在的是： A ．速度的大小可以不发生变化而方向在不断地变化。 B ．速度的方向可以不发生变化而大小在不断地变化 C ．速度的大小和方向都可以在不断地发生变化 D ．加速度的方向在不断地发生变化 2、关于曲线运动的说法中正确的是：
A ．做曲线运动物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一直线上 B ．速度变化的运动必定是曲线运动 C ．受恒力作用的物体不做曲线运动 D ．加速度变化的运动必定是曲线运动 3、关于运动的合成，下列说法中正确的是： A ．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大 B ．两个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
C ．只要两个分运动是直线运动，那么合运动也一定是直线运动 D ．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等 4、关于做平抛运动的物体，下列说法中正确的是：
A ．从同一高度以不同速度水平抛出的物体，在空中的运动时间不同 B ．以相同速度从不同高度水平抛出的物体，在空中的运动时间相同 C ．平抛初速度越大的物体，水平位移一定越大
D ．做平抛运动的物体，落地时的速度与抛出时的速度大小和抛出时的高度有关
5、一物体从某高度以初速度v 0水平抛出，落地时速度大小为v t ，则它的运动时间为：v 22
2
2
A t -v 0v t -v 0v t -v 0
v t -v 0g B 2g C 2g
D g
6、做匀速圆周运动的物体，下列哪些量是不变的：
A ．线速度 B．角速度 C．向心加速度 D．向心力 7、关于圆周运动的向心加速度的物理意义，下列说法中正确的是： A ．它描述的是线速度大小变化的快慢 B ．它描述的是角速度大小变化的快慢 C ．它描述的是线速度方向变化的快慢 D ．以上说法均不正确
8、如图所示，为一在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，关于摆球A 的受力情况，下列说法中正确的是：
A ．摆球A 受重力、拉力和向心力的作用 B ．摆球A 受拉力和向心力的作用 C ．摆球A 受拉力和重力的作用
D ．摆球A 受重力和向心力的作用
９、如图所示，小物块A 与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起作匀速圆周运动，则下列关于A 的受力情况说法正确的是 A ．受重力、支持力
B ．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力 C ．受重力、支持力、摩擦力和向心力 D ．受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力
10、质量为 m 的汽车，以速率v 通过半径为 r 的凹形桥，在桥面最低点时汽车对桥面的压力大小是：
m v 2m v 2m v 2
A ． mg B． C． m g - D． m g +
r r r
21．如图所示，长为R 的轻质杆（质量不计），一端系一质量为m 的小球（球大小不计），绕杆的另一端O 在竖直平面内做匀速圆周运动，若小球最低点时，杆对球的拉力大小为1.5mg ，求： ① 小球最低点时的线速度大小？
②小球通过最高点时，杆对球的作用力的大小？
③小球以多大的线速度运动，通过最高处时杆对球不施力？
22．如图所示，轨道ABCD 的AB 段为一半径R=0.2m 的光滑1/4圆形轨道，BC 段为高为h=5m 的竖直轨道，CD 段为水平轨道。一质量为0.1kg 的小球由A 点从静止开始下滑到B 点时速度的大小为2m /s，离开B 点做平抛运动（g 取10m /s），求：
2
①小球离开B 点后，在CD 轨道上的落地点到C 的水平距离； ②小球到达B 点时对圆形轨道的压力大小？
③如果在BCD 轨道上放置一个倾角θ＝45°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B 点后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置。
参考答案：
【例1】【解】由于皮带不打滑，因此，B 、C 两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v．由v=ωR 得两轮角速度大小的关系
ωB ∶ωC=RC∶RB=2∶1．
因A 、B 两轮同轴转动，角速度相等，即ωA =ωB ，所以A 、B 、C 三轮角速度之比
ωA ∶ωB ∶ωC=2∶2∶1．
因A 轮边缘的线速度
vA=ωARA=2ωBRB=2vB，
所以A 、B 、C 三轮边缘线速度之比
vA ∶vB ∶vC=2∶1∶1．
根据向心加速度公式a=ω2R ，所以A 、B 、C 三轮边缘向心加速度之比
=8∶4∶2=4∶2∶1．
【例2】以木块为研究对象进行受力分析：在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平衡状态．在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动．所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中心 【答】B ．
【例3】【分析】A 、 B 、 C 三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω．根据向心加速度的公式an=ω2r ，已知rA=rB＜rC ，所以三物体向心加速度的大小关系为aA=aB＜aC ． A 错．
三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f =Fn=mω2r ，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为
fA=mAω2rA=2mω2r ， fB=mBω2rB=mω2r ， fC=mcω2rc =mω2·2r=2mω2r ．
即物体B 所受静摩擦力最小．B 正确．
由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为μ，静摩擦力的最大值可认为是fm=μmg ．由fm=Fn，即
得不发生滑动的最大角速度为
即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小．
由于rC ＞rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C 最先发生滑动．转速继续增加时，物体A 、B 将同时发生滑动．C 正确，D 错． 【答】B 、C ．
【例4】【解】小球交替地绕A 、B 作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T 不断增大，每转半圈的时间t 不断减小．
令Tn=Tm=7N，得n=8，所以经历的时间为
【例5】【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。
【解】对小球进行受力分析如图(b)所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有
T ·sin θ-N ·cos θ=mω2r ①
y 方向上应有
N ·sin θ+T·cos θ-G=0 ②
∵r = L·sin θ ③
由①、②、③式可得
T = mgcosθ+mω2Lsin θ
当小球刚好离开锥面时N=0（临界条件）
则有Tsin θ=mω2r ④ T ·cos θ-G=0 ⑤
【例6】【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最高点时，水就不会流下来。 【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律
【例7】【解】（1）由图可知，向心力F=Mgtgα，由牛顿第二定律有：
（2）由图可知，向心力F 可看做合力Q 在水平方向的分力，而Q 又是水平方向的静摩擦力f 和支持力N 的合力，所以静摩擦力f 在数值上就等于向心力F ，即
f = Mgtgα
【例8】【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时，所受拉
力就不同。
【解】（1）当O2A 线刚伸直而不受力时，受力如图所示。
则F1cos θ=mg ① F1sin θ=mRω12 ②
由几何知识知
∴R=2.4m θ=37°
代入式③ω1=1.77（rad/s）
（2）当O1A 受力为100N 时，由（1）式
F1cos θ=100×0.8=80（N ）＞mg
由此知O2A 受拉力F2。则对A 受力分析得
F1cos θ-F2sin θ-mg=0 ④ F1sin θ+F2cosθ= mRω22 ⑤
由式（4）（5）得
21题12分，解：（1）小球过最低点时受重力和杆的拉力作用，由向心力公式知
υ2T －G ＝m 解得v =gR /2=5R „„„„（4分）
R
2）小球以线速度v =
5R 通过最高点时所需的向心力F 向＝m
υ2
R
=
1
mg 2
F 向小于mg ，故杆对小球施加支持力F N 的作用，小球所受重力G 和支持力F N 的合力提供向心力，G －F N ＝
11
mg ，解得F N ＝mg „„„（4分） 22
3）小球过最高点时所需的向心力等于重力时杆对球不施力，F 向＝mg =m
υ2
R
解得
v =gR =R „„„„„（4分）
22题12分 解：
⑴设小球离开B 点做平抛运动的时间为t 1，落地点到C 点距离为s 由
h =
122⨯52h
gt 1 得： t1==s = 1 s„„„„„„„„„（2分） 210g
s = v B ·t 1 = 2×1 m = 2 m„„„„„„„„„„„„（2分）
⑵小球达B 受重力G 和向上的弹力F 作用，由牛顿第二定律知
F 向＝F -G ＝m
υ2
R
解得F ＝3N „„„„„„„（2分）
由牛顿第三定律知球对B 的压力F '=-F ，即小球到达B 点时对圆形轨道的压力大小为3N ，方向竖直向下。„„„„„„„„„（1分）
⑶如图，斜面BEC 的倾角θ=45°，CE 长d = h = 5m
因为d ＞ s ，所以小球离开B 点后能落在斜面上 „„„„„„„„„„„（1分） （说明：其它解释合理的同样给分。）
假设小球第一次落在斜面上F 点，BF 长 为L ，小球从B 点到F 点的时间为t 2
L cos θ= v B t 2 ① L sin θ=
12
gt 2 ② 2
联立①、②两式得
t 2 = 0.4s „„„„（1分） L =
v B t 22⨯0. 4
=m = 0.82m = 1.13m „„„„„„„„„„„（3分） cos θ2/2
说明：关于F 点的位置，其它表达正确的同样给分。
圆周运动
匀速圆周运动
1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。 2、分类： ⑴匀速圆周运动：
质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。 物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。
注意：这里的合力可以是万有引力——卫星的运动、库仑力——电子绕核旋转、洛仑兹力——带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力——绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋转、重力与弹力的合力——锥摆、静摩擦力——水平转盘上的物体等．
⑵变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化——如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动．合力的方向并不总跟速度方向垂直． 3、描述匀速圆周运动的物理量
（1）轨道半径（r ）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。 （2）线速度（v ）：
①定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S 和所用时间t 的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。 ②定义式：v =
s
t
③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。 （3）角速度（ω，又称为圆频率）：
①定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆周运动的角速度。 ②大小：ω
=ϕt =
T
(φ是t 时间内半径转过的圆心角)
③单位：弧度每秒（rad/s）
④物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢
（4）周期（T ）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。 （5）频率（f ，或转速n ）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。 各物理量之间的关系：
s 2πr ⎫
==2πrf ⎪
θr ⎪t T
⇒v ==ωr ⎬
θ2πt ω===2πf ⎪
⎪t T ⎭v =
注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。 （6）圆周运动的向心加速度
①定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。
v 2⎛2π⎫
=ω2r （还有其它的表示形式，如：a n =v ω= ⎪r =(2πf )2r ） ②大小：a n =r ⎝T ⎭
2
③方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。
对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，r 为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度a τ，表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言，a τ=0） （7）圆周运动的向心力
匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力F n 提供向心加速度（下式仍然适用），切向分力F τ提供切向加速度。
v 2
=m ω2r （还有其它的表示形式，如： 向心力的大小为：F n =ma n =m r
⎛2π⎫2
；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。 F n =mv ω=m ⎪r =m (2πf )r ）
T ⎝⎭
实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。 五、离心运动
1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。 2、本质：
①离心现象是物体惯性的表现。
②离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。 ③离心运动并不是受到什么离心力，根本就没有这个离心力。 3、条件：
当物体受到的合外力F n =ma n 时，物体做匀速圆周运动； 当物体受到的合外力F n ＜ma n 时，物体做离心运动 当物体受到的合外力F n ＞ma n 时，物体做近心运动
实际上，这正是力对物体运动状态改变的作用的体现，外力改变，物体的运动情况也必然改变以适应外力的改变。
2
4．两类典型的曲线运动的分析方法比较
（1）对于平抛运动这类“匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在固定的坐标系内正交分解其位移和速度”，运动规律可表示为
⎧x =υ0t , ⎧υx =υ0, ⎪ ⎨12；⎨υ=gt . y =gt ⎩y ⎪2⎩
（2）对于匀速圆周运动这类“变变速曲线运动”，我们的分析方法一般是“在运动的坐标系内正交分解其力和加速度”，运动规律可表示为
⎧F 切=ma 切=0, ⎪
⎨m υ22
=mr ω=m υω. ⎪F 法=F 向=ma 向=r ⎩
【例1】如图所示的传动装置中，A 、B 两轮同轴转动．A 、B 、C 三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB．当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？
【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心O 且垂直于盘面的竖直轴转动．在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转时，木块随圆盘一起运动（见图），那么
A ．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心 B ．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心
C ．因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同 D ．因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反 E ．因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力
【例3】在一个水平转台上放有A 、B 、C 三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A 的质量为2m ，B 、C 各为m ．A 、B 离转轴均为r ，C 为2r ．则
A ．若A 、B 、C 三物体随转台一起转动未发生滑动，A 、C 的向心加速度比B 大 B ．若A 、B 、C 三物体随转台一起转动未发生滑动，B 所受的静摩擦力最小 C ．当转台转速增加时，C 最先发生滑动 D ．当转台转速继续增加时，A 比B 先滑动
【例4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A 、B ，相距L0=0.1m．长L=1m的柔软细线一端拴在A 上，另一端拴住一个质量为500g 的小球．小球的初始位置在AB 连线上A 的一侧．把细线拉直，给小球以2m ／s 的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动．由于钉子B 的存在，使细线逐步缠在A 、B 上．
若细线能承受的最大张力Tm=7N，则从开始运动到细线断裂历时多长？
【例5】如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
【例6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？
【例7】如下图所示，自行车和人的总质量为M ，在一水平地面运动．若自行车以速度v 转过半径为R 的弯道．（1）求自行车的倾角应多大？（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？
【例8】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A ，L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的O1，O2处，已知O1O2=5m如下图（g ＝10m ·s-2）
（1）当竖直杆以的角速度ω匀速转动时，O2A 线刚好伸直且不受拉力．求此时角速度ω1． （2）当O1A 线所受力为100N 时，求此时的角速度ω2．
1．一质点做圆周运动，速度处处不为零，则:①任何时刻质点所受的合力一定不为零, ②任何时刻质点的加速度一定不为零, ③质点速度的大小一定不断变化, ④质点速度的方向一定不断变化 其中正确的是（ ）
A ．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定. 若在某转弯处规定行驶速度为v ，则下列说法中正确的是（ ）
①当以速度v 通过此弯路时，火车重力与轨道支持力的合力提供向心力 ②当以速度v 通过此弯路时，火车重力、轨道支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力 ③当速度大于v 时，轮缘挤压外轨 ④当速度小于v 时，轮缘挤压外轨
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
3．如图所示，在皮带传动装置中，主动轮A 和从动轮B 半径不等，皮带与轮之间无相对滑动，则下列说法中正确的是（ ） A ．两轮的角速度相等 B ．两轮边缘的线速度大小相等 C ．两轮边缘的向心加速度大小相等 D ．两轮转动的周期相同
4．用细线拴着一个小球，在光滑水平面上作匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A ．小球线速度大小一定时，线越长越容易断 B ．小球线速度大小一定时，线越短越容易断 C ．小球角速度一定时，线越长越容易断 D ．小球角速度一定时，线越短越容易断
5．长度为0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为3kg 的小球，以O 点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s，则此时轻杆OA 将（ ） A ．受到6.0N 的拉力 B．受到6.0N 的压力 C ．受到24N 的拉力 D．受到24N 的压力
6．滑块相对静止于转盘的水平面上，随盘一起旋转时所需向心力的来源是（ ） A ．滑块的重力 B．盘面对滑块的弹力 C ．盘面对滑块的静摩擦力 D．以上三个力的合力
7．如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是（ ） A.V A >VB B.ωA >ωB C.a A >aB D. 压力N A >NB 8. 一个电子钟的秒针角速度为（ ） A ．πrad/s B．2πrad/s C．
2
A
B
ππ
rad/s D．rad/s 6030
9．甲、乙、丙三个物体，甲放在广州，乙放在上海，丙放在北京．当它们随地球一起转动时，则（ ） A ．甲的角速度最大、乙的线速度最小 B ．丙的角速度最小、甲的线速度最大
C ．三个物体的角速度、周期和线速度都相等 D ．三个物体的角速度、周期一样，丙的线速度最小
10．如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点。则杆对球的作用力可能是（ ） A.a 处为拉力，b 处为拉力 B.a处为拉力，b 处为推力 C.a 处为推力，b 处为拉力 D.a处为推力，b 处推拉力
11．如图2-4-10所示，光滑的水平面上，小球m 在拉力Ｆ的作用下做匀速圆周运动，若小球在到达Ｐ点时突然发生变化，则下列说法正确的是（ ） A. 若F 突然消失，小球将沿轨迹a 做离心运动 B. 若F 突然变小，小球将沿轨迹a 做离心运动 C. 若F 突然变大，小球将沿轨迹b 做离心运动 D. 若F 突然变小，小球将沿轨迹c 做近心运动
1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法错误的是： ．．
A. 线速度不变 B.线速度的大小不变 C.转速不变 D.周期不变 2．一质点做圆周运动，速度处处不为零，则 ①任何时刻质点所受的合力一定不为零 ②任何时刻质点的加速度一定不为零 ③质点速度的大小一定不断变化 ④质点速度的方向一定不断变化 其中正确的是
A ．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3. 关于做匀速圆周运动物体的线速度的大小和方向，下列说法中正确的是 A ．大小不变，方向也不变 B．大小不断改变，方向不变 C ．大小不变，方向不断改变 D．大小不断改变，方向也不断改变 4. 做匀速圆周运动的质点是处于
A ．平衡状态 B．不平衡状态 C．速度不变的状态 D．加速度不变的状态 5. 匀速圆周运动是
A ．匀速运动 B．匀加速运动 C．匀减速运动 D．变加速运动 6．下列关于向心加速度的说法中，正确的是
A ．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 B．向心加速度的方向可能与速度方向不垂直 C ．向心加速度的方向保持不变 D．向心加速度的方向与速度的方向平行
7．如图所示，在皮带传动装置中，主动轮A 和从动轮B 半径不等，皮带与轮之间无相对滑动，则下列说法中正确的是
A ．两轮的角速度相等 B ．两轮边缘的线速度大小相等 C ．两轮边缘的向心加速度大小相等
A
B
D ．两轮转动的周期相同
8．用细线拴着一个小球，在光滑水平面上作匀速圆周运动，有下列说法 ①小球线速度大小一定时，线越长越容易断 ②小球线速度大小一定时，线越短越容易断 ③小球角速度一定时，线越长越容易断 ④小球角速度一定时，线越短越容易断 其中正确的是
A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．长度为0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为3kg 的小球，以O 点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s，则此时轻杆OA 将
A ．受到6.0N 的拉力 B．受到6.0N 的压力 C ．受到24N 的拉力 D．受到24N 的压力
10．滑块相对静止于转盘的水平面上，随盘一起旋转时所需向心力的来源是 A ．滑块的重力 B．盘面对滑块的弹力 C ．盘面对滑块的静摩擦力 D．以上三个力的合力 11. 一个电钟的秒针角速度为 A ．πrad/s B．2πrad/s C．
2
ππrad/s D．rad/s 6030
12．甲、乙、丙三个物体，甲放在广州，乙放在上海，丙放在北京．当它们随地球一起转动时，则 A ．甲的角速度最大、乙的线速度最小 B ．丙的角速度最小、甲的线速度最大 C ．三个物体的角速度、周期和线速度都相等 D ．三个物体的角速度、周期一样，丙的线速度最小 13．关于匀速圆周运动，下列说法中不正确的是 A ．匀速圆周运动是匀速率圆周运动 B ．匀速圆周运动是向心力恒定的运动
C ．匀速圆周运动是加速度的方向始终指向圆心的运动 D ．匀速圆周运动是变加速运动
14．如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是 A.V A >VB B.ωA >ωB C.a A >aB D. 压力N A >NB
15．（多选）如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点。则杆对球的作用力可能是
A.a 处为拉力，b 处为拉力 B.a处为拉力，b 处为推力
C.a 处为推力，b 处为拉力 D.a处为推力，b 处推拉力
1、物体做曲线运动时，下列说法中不可能．．．存在的是： A ．速度的大小可以不发生变化而方向在不断地变化。 B ．速度的方向可以不发生变化而大小在不断地变化 C ．速度的大小和方向都可以在不断地发生变化 D ．加速度的方向在不断地发生变化 2、关于曲线运动的说法中正确的是：
A ．做曲线运动物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一直线上 B ．速度变化的运动必定是曲线运动 C ．受恒力作用的物体不做曲线运动 D ．加速度变化的运动必定是曲线运动 3、关于运动的合成，下列说法中正确的是： A ．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大 B ．两个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
C ．只要两个分运动是直线运动，那么合运动也一定是直线运动 D ．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等 4、关于做平抛运动的物体，下列说法中正确的是：
A ．从同一高度以不同速度水平抛出的物体，在空中的运动时间不同 B ．以相同速度从不同高度水平抛出的物体，在空中的运动时间相同 C ．平抛初速度越大的物体，水平位移一定越大
D ．做平抛运动的物体，落地时的速度与抛出时的速度大小和抛出时的高度有关
5、一物体从某高度以初速度v 0水平抛出，落地时速度大小为v t ，则它的运动时间为：v 22
2
2
A t -v 0v t -v 0v t -v 0
v t -v 0g B 2g C 2g
D g
6、做匀速圆周运动的物体，下列哪些量是不变的：
A ．线速度 B．角速度 C．向心加速度 D．向心力 7、关于圆周运动的向心加速度的物理意义，下列说法中正确的是： A ．它描述的是线速度大小变化的快慢 B ．它描述的是角速度大小变化的快慢 C ．它描述的是线速度方向变化的快慢 D ．以上说法均不正确
8、如图所示，为一在水平面内做匀速圆周运动的圆锥摆，关于摆球A 的受力情况，下列说法中正确的是：
A ．摆球A 受重力、拉力和向心力的作用 B ．摆球A 受拉力和向心力的作用 C ．摆球A 受拉力和重力的作用
D ．摆球A 受重力和向心力的作用
９、如图所示，小物块A 与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起作匀速圆周运动，则下列关于A 的受力情况说法正确的是 A ．受重力、支持力
B ．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力 C ．受重力、支持力、摩擦力和向心力 D ．受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力
10、质量为 m 的汽车，以速率v 通过半径为 r 的凹形桥，在桥面最低点时汽车对桥面的压力大小是：
m v 2m v 2m v 2
A ． mg B． C． m g - D． m g +
r r r
21．如图所示，长为R 的轻质杆（质量不计），一端系一质量为m 的小球（球大小不计），绕杆的另一端O 在竖直平面内做匀速圆周运动，若小球最低点时，杆对球的拉力大小为1.5mg ，求： ① 小球最低点时的线速度大小？
②小球通过最高点时，杆对球的作用力的大小？
③小球以多大的线速度运动，通过最高处时杆对球不施力？
22．如图所示，轨道ABCD 的AB 段为一半径R=0.2m 的光滑1/4圆形轨道，BC 段为高为h=5m 的竖直轨道，CD 段为水平轨道。一质量为0.1kg 的小球由A 点从静止开始下滑到B 点时速度的大小为2m /s，离开B 点做平抛运动（g 取10m /s），求：
2
①小球离开B 点后，在CD 轨道上的落地点到C 的水平距离； ②小球到达B 点时对圆形轨道的压力大小？
③如果在BCD 轨道上放置一个倾角θ＝45°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B 点后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置。
参考答案：
【例1】【解】由于皮带不打滑，因此，B 、C 两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v．由v=ωR 得两轮角速度大小的关系
ωB ∶ωC=RC∶RB=2∶1．
因A 、B 两轮同轴转动，角速度相等，即ωA =ωB ，所以A 、B 、C 三轮角速度之比
ωA ∶ωB ∶ωC=2∶2∶1．
因A 轮边缘的线速度
vA=ωARA=2ωBRB=2vB，
所以A 、B 、C 三轮边缘线速度之比
vA ∶vB ∶vC=2∶1∶1．
根据向心加速度公式a=ω2R ，所以A 、B 、C 三轮边缘向心加速度之比
=8∶4∶2=4∶2∶1．
【例2】以木块为研究对象进行受力分析：在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平衡状态．在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动．所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中心 【答】B ．
【例3】【分析】A 、 B 、 C 三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为ω．根据向心加速度的公式an=ω2r ，已知rA=rB＜rC ，所以三物体向心加速度的大小关系为aA=aB＜aC ． A 错．
三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f =Fn=mω2r ，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为
fA=mAω2rA=2mω2r ， fB=mBω2rB=mω2r ， fC=mcω2rc =mω2·2r=2mω2r ．
即物体B 所受静摩擦力最小．B 正确．
由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为μ，静摩擦力的最大值可认为是fm=μmg ．由fm=Fn，即
得不发生滑动的最大角速度为
即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小．
由于rC ＞rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C 最先发生滑动．转速继续增加时，物体A 、B 将同时发生滑动．C 正确，D 错． 【答】B 、C ．
【例4】【解】小球交替地绕A 、B 作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T 不断增大，每转半圈的时间t 不断减小．
令Tn=Tm=7N，得n=8，所以经历的时间为
【例5】【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。
【解】对小球进行受力分析如图(b)所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有
T ·sin θ-N ·cos θ=mω2r ①
y 方向上应有
N ·sin θ+T·cos θ-G=0 ②
∵r = L·sin θ ③
由①、②、③式可得
T = mgcosθ+mω2Lsin θ
当小球刚好离开锥面时N=0（临界条件）
则有Tsin θ=mω2r ④ T ·cos θ-G=0 ⑤
【例6】【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最高点时，水就不会流下来。 【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律
【例7】【解】（1）由图可知，向心力F=Mgtgα，由牛顿第二定律有：
（2）由图可知，向心力F 可看做合力Q 在水平方向的分力，而Q 又是水平方向的静摩擦力f 和支持力N 的合力，所以静摩擦力f 在数值上就等于向心力F ，即
f = Mgtgα
【例8】【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时，所受拉
力就不同。
【解】（1）当O2A 线刚伸直而不受力时，受力如图所示。
则F1cos θ=mg ① F1sin θ=mRω12 ②
由几何知识知
∴R=2.4m θ=37°
代入式③ω1=1.77（rad/s）
（2）当O1A 受力为100N 时，由（1）式
F1cos θ=100×0.8=80（N ）＞mg
由此知O2A 受拉力F2。则对A 受力分析得
F1cos θ-F2sin θ-mg=0 ④ F1sin θ+F2cosθ= mRω22 ⑤
由式（4）（5）得
21题12分，解：（1）小球过最低点时受重力和杆的拉力作用，由向心力公式知
υ2T －G ＝m 解得v =gR /2=5R „„„„（4分）
R
2）小球以线速度v =
5R 通过最高点时所需的向心力F 向＝m
υ2
R
=
1
mg 2
F 向小于mg ，故杆对小球施加支持力F N 的作用，小球所受重力G 和支持力F N 的合力提供向心力，G －F N ＝
11
mg ，解得F N ＝mg „„„（4分） 22
3）小球过最高点时所需的向心力等于重力时杆对球不施力，F 向＝mg =m
υ2
R
解得
v =gR =R „„„„„（4分）
22题12分 解：
⑴设小球离开B 点做平抛运动的时间为t 1，落地点到C 点距离为s 由
h =
122⨯52h
gt 1 得： t1==s = 1 s„„„„„„„„„（2分） 210g
s = v B ·t 1 = 2×1 m = 2 m„„„„„„„„„„„„（2分）
⑵小球达B 受重力G 和向上的弹力F 作用，由牛顿第二定律知
F 向＝F -G ＝m
υ2
R
解得F ＝3N „„„„„„„（2分）
由牛顿第三定律知球对B 的压力F '=-F ，即小球到达B 点时对圆形轨道的压力大小为3N ，方向竖直向下。„„„„„„„„„（1分）
⑶如图，斜面BEC 的倾角θ=45°，CE 长d = h = 5m
因为d ＞ s ，所以小球离开B 点后能落在斜面上 „„„„„„„„„„„（1分） （说明：其它解释合理的同样给分。）
假设小球第一次落在斜面上F 点，BF 长 为L ，小球从B 点到F 点的时间为t 2
L cos θ= v B t 2 ① L sin θ=
12
gt 2 ② 2
联立①、②两式得
t 2 = 0.4s „„„„（1分） L =
v B t 22⨯0. 4
=m = 0.82m = 1.13m „„„„„„„„„„„（3分） cos θ2/2
说明：关于F 点的位置，其它表达正确的同样给分。