圆锥曲线中一个有趣的性质
x 2y 2
性质1 曲线C 为：椭圆2+2=1(a >b >0) ，点P (x 0, y 0)
a b
（x 0≠0）为曲线C 上的任意一点，过P 作两条相异的直线分别交曲线C 于
图 1
A ，B 两点，若直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，则
k AB k OP
b 2
=2，其中k AB , k OP 分别为直线AB 与直线OP 的斜率． a
证明：设直线PA 的斜率为k ，直线PB 的斜率为-k ，则直线PA 的方程为：y -y 0=k (x -x 0) ，即y =kx +y 0-kx 0；
同理可得直线PB 的方程为：y =-kx +y 0+kx 0．
⎧y =kx +y 0-kx 0⎪2由⎨x 2y 2 得：(a 2k 2+b 2) x 2+2ka 2(y 0-kx 0) x +a 2y 0-a 2b 2-2ka 2x 0y 0+a 2k 2x 20=0， ⎪2+2=1
b ⎩a
2222
a 2y 0-a 2b 2-2ka 2x 0y 0+a 2k 2x 0x 0y 0222222
+=1由韦达定理得 x A x 0=， 由，得a y -a b =-b x 0， 022222
a k +b a b
22
-b 2x 0-2ka 2x 0y 0+a 2k 2x 0
则x A =， 222
(a k +b ) x 0
22
-b 2x 0+2ka 2x 0y 0+a 2k 2x 0
将上式中的k 用-k 替换，得x B =， 222
(a k +b ) x 0
则k AB =
y A -y B (kx A +y 0-kx 0) -(-kx B +y 0+kx 0)
=
x A -x B x A -x B
=
k (x A +x B ) -2kx 0
x A -x B
22
⎡-2b 2x 0⎤+2a 2k 2x 0k ⎢-2x 0⎥222
(a k +b ) x 0⎦
=⎣2
-4ka x 0y 0(a 2k 2+b 2) x 0
b 2x 0
， =2
a y 0
则k
AB k OP
b 2x 0y 0b 2=2=2． a y 0x 0a
若将以上各式中的b 用a 替换，得k AB k OP =1，则得出相应的性质． 性质2 曲线C 为：圆x 2+y 2=a 2(a >0) ，点P (x 0, y 0) （x 0≠0）为曲线C 上的任意一点，过P 作两条相异的直线分别交曲线C 于A ，B 两
点，若直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，则k AB k OP =1，其中k AB , k OP 分别为直线AB 与直线OP 的斜率．
类似地，将b 用-b 替换，得k AB k OP
2
2
图 2
b 2
=-2，则得到相应的性质．
a
x 2y 2
性质3 设曲线C 为：双曲线2-2=1(a >b >0) ，点P (x 0, y 0)
a b
（x 0≠0）为曲线C 上的任意一点，过P 作两条相异的直线分别交曲线C 于A ，B 两点，若直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，则
k AB k OP
b 2
=-2，其中k AB , k OP 分别为直线AB 与直线OP 的斜率．
a
2
性质4 设曲线C 为：抛物线y =2px (p >0) ，点P (x 0, y 0) （x 0≠0）为曲线C 上的任意一点，过P 作两条相异的直线分别交曲线C 为A ，B 两点，若直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，则
k OP =-2k AB ，其中k AB , k OP 分别为直线AB 与直线OP 的斜率．
2y 0
证明：设P (, y 0) ，直线PA 的斜率为k ，直线PB 的斜率为-k ，
2p 22y 0y y 0y 0
则直线PA 的方程为：y -y 0=k (x -； ) ，即x =-+
2p k k 2p
2
y y 0y 0
同理可得直线PB 的方程为：x =-+． +
k k 2p 2
⎧y y 0y 0
2py 02p ⎪x =-+22
y -y +-y 0=0， 由⎨ 得k k 2p
k k ⎪y 2=2px
⎩
2py 02p 2
-y 0-y 0， ， 则y A =k k
2p
-y 0，
将上式中k 用-k 代替，得y B =-k
由韦达定理得 y A y 0=
则k AB
4p
y -y B y A -y B y A -y B =-p =A ===22
A B 00y A y 0y 0y B y 0y 0x A -x B y 0
-(-+) -(-++)
k k k k k 2p k k 2p
又k y 02p
OP =
y 2
= 0y 02p
则k OP =-2k AB ．
圆锥曲线中一个有趣的性质
x 2y 2
性质1 曲线C 为：椭圆2+2=1(a >b >0) ，点P (x 0, y 0)
a b
（x 0≠0）为曲线C 上的任意一点，过P 作两条相异的直线分别交曲线C 于
图 1
A ，B 两点，若直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，则
k AB k OP
b 2
=2，其中k AB , k OP 分别为直线AB 与直线OP 的斜率． a
证明：设直线PA 的斜率为k ，直线PB 的斜率为-k ，则直线PA 的方程为：y -y 0=k (x -x 0) ，即y =kx +y 0-kx 0；
同理可得直线PB 的方程为：y =-kx +y 0+kx 0．
⎧y =kx +y 0-kx 0⎪2由⎨x 2y 2 得：(a 2k 2+b 2) x 2+2ka 2(y 0-kx 0) x +a 2y 0-a 2b 2-2ka 2x 0y 0+a 2k 2x 20=0， ⎪2+2=1
b ⎩a
2222
a 2y 0-a 2b 2-2ka 2x 0y 0+a 2k 2x 0x 0y 0222222
+=1由韦达定理得 x A x 0=， 由，得a y -a b =-b x 0， 022222
a k +b a b
22
-b 2x 0-2ka 2x 0y 0+a 2k 2x 0
则x A =， 222
(a k +b ) x 0
22
-b 2x 0+2ka 2x 0y 0+a 2k 2x 0
将上式中的k 用-k 替换，得x B =， 222
(a k +b ) x 0
则k AB =
y A -y B (kx A +y 0-kx 0) -(-kx B +y 0+kx 0)
=
x A -x B x A -x B
=
k (x A +x B ) -2kx 0
x A -x B
22
⎡-2b 2x 0⎤+2a 2k 2x 0k ⎢-2x 0⎥222
(a k +b ) x 0⎦
=⎣2
-4ka x 0y 0(a 2k 2+b 2) x 0
b 2x 0
， =2
a y 0
则k
AB k OP
b 2x 0y 0b 2=2=2． a y 0x 0a
若将以上各式中的b 用a 替换，得k AB k OP =1，则得出相应的性质． 性质2 曲线C 为：圆x 2+y 2=a 2(a >0) ，点P (x 0, y 0) （x 0≠0）为曲线C 上的任意一点，过P 作两条相异的直线分别交曲线C 于A ，B 两
点，若直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，则k AB k OP =1，其中k AB , k OP 分别为直线AB 与直线OP 的斜率．
类似地，将b 用-b 替换，得k AB k OP
2
2
图 2
b 2
=-2，则得到相应的性质．
a
x 2y 2
性质3 设曲线C 为：双曲线2-2=1(a >b >0) ，点P (x 0, y 0)
a b
（x 0≠0）为曲线C 上的任意一点，过P 作两条相异的直线分别交曲线C 于A ，B 两点，若直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，则
k AB k OP
b 2
=-2，其中k AB , k OP 分别为直线AB 与直线OP 的斜率．
a
2
性质4 设曲线C 为：抛物线y =2px (p >0) ，点P (x 0, y 0) （x 0≠0）为曲线C 上的任意一点，过P 作两条相异的直线分别交曲线C 为A ，B 两点，若直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，则
k OP =-2k AB ，其中k AB , k OP 分别为直线AB 与直线OP 的斜率．
2y 0
证明：设P (, y 0) ，直线PA 的斜率为k ，直线PB 的斜率为-k ，
2p 22y 0y y 0y 0
则直线PA 的方程为：y -y 0=k (x -； ) ，即x =-+
2p k k 2p
2
y y 0y 0
同理可得直线PB 的方程为：x =-+． +
k k 2p 2
⎧y y 0y 0
2py 02p ⎪x =-+22
y -y +-y 0=0， 由⎨ 得k k 2p
k k ⎪y 2=2px
⎩
2py 02p 2
-y 0-y 0， ， 则y A =k k
2p
-y 0，
将上式中k 用-k 代替，得y B =-k
由韦达定理得 y A y 0=
则k AB
4p
y -y B y A -y B y A -y B =-p =A ===22
A B 00y A y 0y 0y B y 0y 0x A -x B y 0
-(-+) -(-++)
k k k k k 2p k k 2p
又k y 02p
OP =
y 2
= 0y 02p
则k OP =-2k AB ．