正投影法基础
点、线、面、体
填空题：..................................................................... 1
思考题：..................................................................... 2
作图题：.................................................................... 13
填空题：
已知点A 的立体示意图如图所示。则点A 的坐标为 XA=20
YA=10
ZA=15
本课程主要学习的投影方法？
A. 中心投影法
B. 斜投影法
C. 正投影法 答案：C
如图已知A ，B 两点的投影。试判别A ，B 之间的相对位置。 设点B 为基准。
点A 在点B 的（上/下）方？
点A 在点B 的（左/右）方？
点A 在点B 的（前/后）方？
答案：点A 在点B 的下、左、前方。
思考题：
当投射方向和投影面确定后，根据点的一个投影b （如图），能否确定该点的空间位置？ 答案：不能。由该图可见，空间点B,B1，B2的投影都是b ，所以已知点的一个投影，不能确定该点的空间位置。
若已知空间点A ，投射方向S ，投影面H 。点A 的投影仍是点，且是唯一的吗？ 答案：是。
机械图样为什么不采用中心投影发绘制？
正投影法分为哪两种投影法，依据是什么？
1. 答案：中心投影法一般不能反映物体的实际大小，且作图又较复杂，故机械图样不采用中心投影法绘制。
2. 答案：正投影法分为两种：斜投影法和正投影法，其区分是依据投影面与投影方向是否垂直。
若两直线的投影ab 平行于cd ，空间的两直线AB 一定平行于CD
吗？
答案：不一定，参见图例。
AB 与CD 不平行
AB 平行于CD
如果直线的投影ab 上有一点k ，空间的K 点一定在直线AB 上吗？
答案：不一定，参见图例。
K 不在AB 上
K 在AB 上
已知物体的投影p （如图）。物体的空间形状可以确定吗？
答案：不一定，参见图例。
一个投影不能确定空间形体
若去掉W 面，则称为由H ，V 两面组成的两面投影体系。
如图所示，点A 的正面投影为a' ，水平投影为a 。点A 的两个投影a' ，a 能唯一的确定空间点A 吗？
答案：可以。因为点的两个投影已经具有点的三维坐标，故空间点唯一确定。
直线的投影是否一定是直线？ 答案：不一定。例如图所示，直线AB 平行于H 面的投射线，其在H 面上的投影积聚为一点a(b)。
根据直线的两面投影，能否作出其第三面投影（如图a ）
(a) (b) 答案: 可以。因为点的两面投影可确定空间一点，并作出第三投影，故给出直线的任意两个投影，可确定直线的空间位置，并作出其第三投影如图b 。
投影面平行线与投影面垂直线的区别？ 答案：
投影面平行线是垂直于一个投影面，同时倾斜于另外两个投影面的直线。
投影面垂直线是垂直于一个投影面的直线，该直线同时平行于另两个平面。
如铅垂线垂直于H 面，它同时平行于V 面、W 面，但该直线不能称为正平线或侧平线。 设直线AB 为正平线且位于正面内（如图）。其投影特性如何？
答案：
该直线具有投影面平行线的特性：一个投影与直线本身重合；另外两个投影在投影轴上，见答案图。
请自行分析位于H 面、W 面内的直线的投影。
设直线CD 为铅垂线且位于正面内（如图）。其投影特性如何？
答案
该直线具有投影面垂直线的特性：一个投影与直线本身重合；一个投影积聚且落在投影轴上；一个投影在投影轴上且反映实长，见答案图
请自行分析位于H 面、W 面内的直线的投影。
已知AB 、CD 为交叉直线，请判断重影点M 、N 的可见性。 答案：M 点可见。
如图给出空间四点A 、B 、C 、D 的两面投影，这四点会在同一个平面上吗？ 答案：
任给空间四点，这四点不一定在一个平面上，可由其中三点确定一个平面，判定第四点是否在这个平面上，具体判别法参见3.2.14(5)。
1. 如图给出平面的两面投影，试判别这是什么平面？ 答案：侧垂面。
如图给出平面的两面投影，试判别这是什么平面？
答案：铅垂面。因为平面含铅垂线AB 。
投影面垂直面和投影面平行面有什么区别？ 答案：投影面平行面两个投影有积聚性，即垂直于两个投影面。如正平面，其垂直于水平面和侧面，我们不能称其为铅垂面和侧垂面。而投影面垂直面有一个投影有积聚性，即垂直于一个投影面。可见，它们的投影特性有很大的差别。
过任意直线能否作投影面的垂直面。如能够则请举例；若不能则请说明理由。
答案：能够。如图，过一般位置直线AB 作铅垂面。
过任意直线能否作投影面的平行面。如能够则请举例；若不能则请说明理由。 答案：不能。因为投影面的平行面上只能有投影面的平行线和垂直线。如果AB 是一般位置直线，过AB 不能作水平面或正平面。
过投影面垂直线可以作什么样的平面，不可以作什么样的平面？
答案：
铅垂面 正平面
侧平面
过投影面垂直线可以作投影面垂直面或平行面，但不能作一般位置平面。例如，过铅垂线AB 可作无数个铅垂面和一个正平面、一个侧平面。正垂线或侧垂线也有类似的情况，请读者自行分析。
对于两个同一投影面的垂直面，它们平行的特性是什么？ 答案：对于两个同一投影面的垂直面，只要具有积聚性的两个投影相互平行，则两平面平行，否则两平面不平行。
如图△ABC和四边形DEFG 均为铅垂面，因其有积聚性的水平投影相互平行，所以此两平面相互平行。反之，对于两个同一投影面的垂直面相互平行，则它们具有积聚性的同面投影必然相互平行。
参照题图，回答下列问题。
1. 投影面平行面与任何平面的交线有什么特性？
答案：交线一定平行于相应投影面，如平面Q 与平面R ，平面U 与R 的交线等。 2. 当两平面同垂直于一投影面时的交线有什么特性？ 答案：
交线一定也垂直于该投影面，如平面Q 与平面P 的交线，平面S 与平面T 的交线。 3. 当两个投影面垂直面分别垂直于不同的投影面时的交线有什么特性？ 答案：交线为一般位置直线，如平面V 和平面S 。
两相交直线均为投影面平行线，它们之间的夹角在该投影面上是否反映实长？ 你能举一例说明吗？
答案：是。例如图，AB 与BC 水平投影所夹角度f 为空间两直线的夹角实大。
当两直线夹角的投影为锐角时，空间两直线的夹角一定是锐角吗（如图）？ 答案：不一定。如图所示，当∠ABC平行于H 面时，其投影∠abc反映锐角实大。如固定B 点不动，使C 点沿铅垂方向向下移动，A 点沿铅垂方向向上移动，则∠ABC逐渐加大为钝角，但其投影仍为锐角∠abc。即钝角的投影可以是锐角。
当两直线夹角的投影为钝角时，空间两直线的夹角一定是钝角吗（如图）？ 答案：不一定。如图所示，当钝角∠ABC平行于H 面时，其投影∠abc反映钝角实大。如固定A 点和C 点，使B 点沿铅垂方向向上或向下移动，则∠ABC逐渐由钝角变成锐角，但其投影仍为钝角∠abc。即锐角的投影可以是钝角。
如图，A1B1是水平线，空间A1B1与BC 交叉垂直，其水平投影a1b1垂直于bc 吗？
答案：垂直。因为其符合直角投影的特性。
作图题：
如图所示，△ABC为一正垂面，已知其水平投影△abc、顶点A 的正面投影a' 及三角形平面对H 面的倾角α=45°，试求其正面投影和侧面投影。
分析：
因为△ABC为一正垂面，所以△ABC的正面投影积聚为一直线，且它与OX 轴的夹角即为△ABC对H 面的倾角α。根据α=45°，即可求出其正面投影，由正面投影和水平投影即可求得其侧面投影。 答案：
已知五边形平面ABCDE 的水平投影abcde 及正面投影a'b'c' ，如图所示，试完成此五边形的正面投影。
分析：
可利用平面内的辅助线BE 和AC 求得交点F （f 、f' ），从而作出e' ，再根据dd'⊥OX轴。可作出d' ，于是问题得到解决。 答案：
已知DE 平行于△ABC，试完成DE 的投影图。
分析：
因为DE 平行于△ABC，所以在△ABC中必可以找到一直线与DE 平行，该直线的投影也必然与DE 的同面投影平行。
已知直线AB 和线外一点C 的投影，如图所示。试过C 点作一铅垂面平行于直线AB 。
分析：
为使过C 点所作的铅垂面平行于已知直线AB ，则侧垂面的水平投影（积聚成直线）应平行于直线AB 的水平投影ab 。
注：由于过直线CD 的铅垂面只能作一个，所以本题为唯一的。
求作正垂线AB 与△DEF的交点（如图）。
分析：直线AB 在正面投影积聚为一点，所以交点也重合在该点。如果包含该点作一属于△DEF的DG ，根据点、线、面的从属关系即可求得交点K 。 注意，在水平投影中，bk 与△def的重叠部分不可见。
求铅垂面P 与△ABC的交线。
分析：
P 为铅垂面，所以P 与△ABC 交线的水平投影必是p 与△abc的共有部分mn 如图。 注意，在正面投影中a'm'n' 与平面p 的重叠部分不可见。
正投影法基础
点、线、面、体
填空题：..................................................................... 1
思考题：..................................................................... 2
作图题：.................................................................... 13
填空题：
已知点A 的立体示意图如图所示。则点A 的坐标为 XA=20
YA=10
ZA=15
本课程主要学习的投影方法？
A. 中心投影法
B. 斜投影法
C. 正投影法 答案：C
如图已知A ，B 两点的投影。试判别A ，B 之间的相对位置。 设点B 为基准。
点A 在点B 的（上/下）方？
点A 在点B 的（左/右）方？
点A 在点B 的（前/后）方？
答案：点A 在点B 的下、左、前方。
思考题：
当投射方向和投影面确定后，根据点的一个投影b （如图），能否确定该点的空间位置？ 答案：不能。由该图可见，空间点B,B1，B2的投影都是b ，所以已知点的一个投影，不能确定该点的空间位置。
若已知空间点A ，投射方向S ，投影面H 。点A 的投影仍是点，且是唯一的吗？ 答案：是。
机械图样为什么不采用中心投影发绘制？
正投影法分为哪两种投影法，依据是什么？
1. 答案：中心投影法一般不能反映物体的实际大小，且作图又较复杂，故机械图样不采用中心投影法绘制。
2. 答案：正投影法分为两种：斜投影法和正投影法，其区分是依据投影面与投影方向是否垂直。
若两直线的投影ab 平行于cd ，空间的两直线AB 一定平行于CD
吗？
答案：不一定，参见图例。
AB 与CD 不平行
AB 平行于CD
如果直线的投影ab 上有一点k ，空间的K 点一定在直线AB 上吗？
答案：不一定，参见图例。
K 不在AB 上
K 在AB 上
已知物体的投影p （如图）。物体的空间形状可以确定吗？
答案：不一定，参见图例。
一个投影不能确定空间形体
若去掉W 面，则称为由H ，V 两面组成的两面投影体系。
如图所示，点A 的正面投影为a' ，水平投影为a 。点A 的两个投影a' ，a 能唯一的确定空间点A 吗？
答案：可以。因为点的两个投影已经具有点的三维坐标，故空间点唯一确定。
直线的投影是否一定是直线？ 答案：不一定。例如图所示，直线AB 平行于H 面的投射线，其在H 面上的投影积聚为一点a(b)。
根据直线的两面投影，能否作出其第三面投影（如图a ）
(a) (b) 答案: 可以。因为点的两面投影可确定空间一点，并作出第三投影，故给出直线的任意两个投影，可确定直线的空间位置，并作出其第三投影如图b 。
投影面平行线与投影面垂直线的区别？ 答案：
投影面平行线是垂直于一个投影面，同时倾斜于另外两个投影面的直线。
投影面垂直线是垂直于一个投影面的直线，该直线同时平行于另两个平面。
如铅垂线垂直于H 面，它同时平行于V 面、W 面，但该直线不能称为正平线或侧平线。 设直线AB 为正平线且位于正面内（如图）。其投影特性如何？
答案：
该直线具有投影面平行线的特性：一个投影与直线本身重合；另外两个投影在投影轴上，见答案图。
请自行分析位于H 面、W 面内的直线的投影。
设直线CD 为铅垂线且位于正面内（如图）。其投影特性如何？
答案
该直线具有投影面垂直线的特性：一个投影与直线本身重合；一个投影积聚且落在投影轴上；一个投影在投影轴上且反映实长，见答案图
请自行分析位于H 面、W 面内的直线的投影。
已知AB 、CD 为交叉直线，请判断重影点M 、N 的可见性。 答案：M 点可见。
如图给出空间四点A 、B 、C 、D 的两面投影，这四点会在同一个平面上吗？ 答案：
任给空间四点，这四点不一定在一个平面上，可由其中三点确定一个平面，判定第四点是否在这个平面上，具体判别法参见3.2.14(5)。
1. 如图给出平面的两面投影，试判别这是什么平面？ 答案：侧垂面。
如图给出平面的两面投影，试判别这是什么平面？
答案：铅垂面。因为平面含铅垂线AB 。
投影面垂直面和投影面平行面有什么区别？ 答案：投影面平行面两个投影有积聚性，即垂直于两个投影面。如正平面，其垂直于水平面和侧面，我们不能称其为铅垂面和侧垂面。而投影面垂直面有一个投影有积聚性，即垂直于一个投影面。可见，它们的投影特性有很大的差别。
过任意直线能否作投影面的垂直面。如能够则请举例；若不能则请说明理由。
答案：能够。如图，过一般位置直线AB 作铅垂面。
过任意直线能否作投影面的平行面。如能够则请举例；若不能则请说明理由。 答案：不能。因为投影面的平行面上只能有投影面的平行线和垂直线。如果AB 是一般位置直线，过AB 不能作水平面或正平面。
过投影面垂直线可以作什么样的平面，不可以作什么样的平面？
答案：
铅垂面 正平面
侧平面
过投影面垂直线可以作投影面垂直面或平行面，但不能作一般位置平面。例如，过铅垂线AB 可作无数个铅垂面和一个正平面、一个侧平面。正垂线或侧垂线也有类似的情况，请读者自行分析。
对于两个同一投影面的垂直面，它们平行的特性是什么？ 答案：对于两个同一投影面的垂直面，只要具有积聚性的两个投影相互平行，则两平面平行，否则两平面不平行。
如图△ABC和四边形DEFG 均为铅垂面，因其有积聚性的水平投影相互平行，所以此两平面相互平行。反之，对于两个同一投影面的垂直面相互平行，则它们具有积聚性的同面投影必然相互平行。
参照题图，回答下列问题。
1. 投影面平行面与任何平面的交线有什么特性？
答案：交线一定平行于相应投影面，如平面Q 与平面R ，平面U 与R 的交线等。 2. 当两平面同垂直于一投影面时的交线有什么特性？ 答案：
交线一定也垂直于该投影面，如平面Q 与平面P 的交线，平面S 与平面T 的交线。 3. 当两个投影面垂直面分别垂直于不同的投影面时的交线有什么特性？ 答案：交线为一般位置直线，如平面V 和平面S 。
两相交直线均为投影面平行线，它们之间的夹角在该投影面上是否反映实长？ 你能举一例说明吗？
答案：是。例如图，AB 与BC 水平投影所夹角度f 为空间两直线的夹角实大。
当两直线夹角的投影为锐角时，空间两直线的夹角一定是锐角吗（如图）？ 答案：不一定。如图所示，当∠ABC平行于H 面时，其投影∠abc反映锐角实大。如固定B 点不动，使C 点沿铅垂方向向下移动，A 点沿铅垂方向向上移动，则∠ABC逐渐加大为钝角，但其投影仍为锐角∠abc。即钝角的投影可以是锐角。
当两直线夹角的投影为钝角时，空间两直线的夹角一定是钝角吗（如图）？ 答案：不一定。如图所示，当钝角∠ABC平行于H 面时，其投影∠abc反映钝角实大。如固定A 点和C 点，使B 点沿铅垂方向向上或向下移动，则∠ABC逐渐由钝角变成锐角，但其投影仍为钝角∠abc。即锐角的投影可以是钝角。
如图，A1B1是水平线，空间A1B1与BC 交叉垂直，其水平投影a1b1垂直于bc 吗？
答案：垂直。因为其符合直角投影的特性。
作图题：
如图所示，△ABC为一正垂面，已知其水平投影△abc、顶点A 的正面投影a' 及三角形平面对H 面的倾角α=45°，试求其正面投影和侧面投影。
分析：
因为△ABC为一正垂面，所以△ABC的正面投影积聚为一直线，且它与OX 轴的夹角即为△ABC对H 面的倾角α。根据α=45°，即可求出其正面投影，由正面投影和水平投影即可求得其侧面投影。 答案：
已知五边形平面ABCDE 的水平投影abcde 及正面投影a'b'c' ，如图所示，试完成此五边形的正面投影。
分析：
可利用平面内的辅助线BE 和AC 求得交点F （f 、f' ），从而作出e' ，再根据dd'⊥OX轴。可作出d' ，于是问题得到解决。 答案：
已知DE 平行于△ABC，试完成DE 的投影图。
分析：
因为DE 平行于△ABC，所以在△ABC中必可以找到一直线与DE 平行，该直线的投影也必然与DE 的同面投影平行。
已知直线AB 和线外一点C 的投影，如图所示。试过C 点作一铅垂面平行于直线AB 。
分析：
为使过C 点所作的铅垂面平行于已知直线AB ，则侧垂面的水平投影（积聚成直线）应平行于直线AB 的水平投影ab 。
注：由于过直线CD 的铅垂面只能作一个，所以本题为唯一的。
求作正垂线AB 与△DEF的交点（如图）。
分析：直线AB 在正面投影积聚为一点，所以交点也重合在该点。如果包含该点作一属于△DEF的DG ，根据点、线、面的从属关系即可求得交点K 。 注意，在水平投影中，bk 与△def的重叠部分不可见。
求铅垂面P 与△ABC的交线。
分析：
P 为铅垂面，所以P 与△ABC 交线的水平投影必是p 与△abc的共有部分mn 如图。 注意，在正面投影中a'm'n' 与平面p 的重叠部分不可见。