微分方程稳定性理论
一阶方程的平衡点及稳定性
dx/dt=f(x)---------自治方程 f(x)=0的实根x=x0------为平衡点 如果lim x (t ) =x 0则称x0是稳定, 否则x0是不稳定的
t →∞
f '(x 0) 0 则称x0是不稳定的
二阶方程的平衡点及稳定性
⎧dx 1
⎪dt =f (x 1, x 2)
⎨dx
⎪2=g (x 1, x 2) ⎩dt
⎧f (x 1, x 2) =00000
的解x 1=x 1-----为平衡点, 记为p 0(x 1, x 2=x 2, x 2) ⎨
g (x , x ) =0⎩12
如果lim x 1(t ) =x 1 lim x 2(t ) =x 2
t →∞
t →∞
则称P0是稳定, 否则P0是不稳定的
⎧dx 1
⎪dt =a 1x 1+a 2x 2
⎨dx
⎪2=b 2x 2+b 1x 1⎩dt
⎡a A =⎢1
⎣b 1
a 2⎤
λ2+P λ+q =0 P =-(a 1+a 2) q=detA ⎥b 2⎦
由表四可以看出
p>0 q>0 则平衡点是稳定 p
如非线性则作泰勒展开, 只取一次项的近似线性方程
⎧dx 1000000
=f (x , x )(x -x ) +f (x , x )(x -x ) x 1211x 122212⎪dt
⎨dx
000
⎪2=g x 1(x 10, x 2)(x 1-x 10) +g x 2(x 10, x 2)(x 2-x 2) ⎩dt
⎡f x 1
A =⎢
⎣g x 1
f x 2⎤g x 2⎥⎦
q=detA P =-(f X 1+g x 2) P 0平衡点的稳定性判定与上一样
00
p 0(x 1, x 2)
微分方程稳定性理论
一阶方程的平衡点及稳定性
dx/dt=f(x)---------自治方程 f(x)=0的实根x=x0------为平衡点 如果lim x (t ) =x 0则称x0是稳定, 否则x0是不稳定的
t →∞
f '(x 0) 0 则称x0是不稳定的
二阶方程的平衡点及稳定性
⎧dx 1
⎪dt =f (x 1, x 2)
⎨dx
⎪2=g (x 1, x 2) ⎩dt
⎧f (x 1, x 2) =00000
的解x 1=x 1-----为平衡点, 记为p 0(x 1, x 2=x 2, x 2) ⎨
g (x , x ) =0⎩12
如果lim x 1(t ) =x 1 lim x 2(t ) =x 2
t →∞
t →∞
则称P0是稳定, 否则P0是不稳定的
⎧dx 1
⎪dt =a 1x 1+a 2x 2
⎨dx
⎪2=b 2x 2+b 1x 1⎩dt
⎡a A =⎢1
⎣b 1
a 2⎤
λ2+P λ+q =0 P =-(a 1+a 2) q=detA ⎥b 2⎦
由表四可以看出
p>0 q>0 则平衡点是稳定 p
如非线性则作泰勒展开, 只取一次项的近似线性方程
⎧dx 1000000
=f (x , x )(x -x ) +f (x , x )(x -x ) x 1211x 122212⎪dt
⎨dx
000
⎪2=g x 1(x 10, x 2)(x 1-x 10) +g x 2(x 10, x 2)(x 2-x 2) ⎩dt
⎡f x 1
A =⎢
⎣g x 1
f x 2⎤g x 2⎥⎦
q=detA P =-(f X 1+g x 2) P 0平衡点的稳定性判定与上一样
00
p 0(x 1, x 2)