玉林市第十一中学2017春段考试卷
第I 卷（选择题）
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一、选择题
1．已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 2+a 3=6，则a 7=（ ）
A ．64
2．设数列 B．81 , , , C．128 D．243 ,„，则
7是这个数列的 项 C. 第8A. 第6项 B. 第
项
D.第9
项
3．一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么
tan (A +C )的值是
A ．．4．（选修4—5）设x , y ∈R 且x +y =2，则+．不确定 41+的最小值为（ ） x y
A ．9 B．97 C．7 D． 22
5．已知首项为正数的等差数列{a n }满足：a 2003+a 2004>0, a 2003⋅a 20040成立的最大自然数是 （ ）
A ．4005 B.4010 C．4011 D．4006
6．在∆ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于( )
A . 120︒B . 60︒C . 45︒D . 30︒
7．在∆ABC 中，若tan A tan B >1，则∆ABC 是（ ）
A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．无法确定
3. 8．在等差数列{a n }中a 3＋a 4＋a 5＝12，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 7 ＝
试卷第1页，总7页
( )
A.14 B.21 C.28 D.35
9．已知∆
ABC 中，已知∠A =45︒, AB =BC =2, 则∠C = （ ）
A ．30° B ．60° C ．120° D ．30°或150°
10．在△ABC中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，∠A=60º，b =1， △ABC
a +b +c 的值等于（ ） sin A +sin B +sin C
2268 (B) 3 (C) (D) (A) 333的面积S ∆ABC =，则
2
11．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则2a 10－a 12的值为 （ ）
A.20 B.22 C.24 D.28
12．等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若a 1+a 2=5, a 3+a 4=9, 则S 10的值为
（ ）
A 、55 B、60 C、65 D、70
13．已知a >0，b >0且3a +2b =2，则ab 的最大值为（ ）
14 B． 1225
1C ． D．1 6A ．
14．已知a>0,b>0,且2是2a 与b 的等差中项, 则
(A) (B) (C)2 (D)4
15．等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+a 3+a 4=10, a 5+a 6+a 7+a 8=-5，
则数列{a n }的前16项和S 16为（ ）
A ．－50 B ．的最小值为( ) 2512525 C ． D ．- 444
16．计算sin 43cos13-cos 43sin13的结果等于
（ ） A. 1
C. D. 2
2
试卷第2页，总7页
2
17． 在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a , b , c ，若a , b , c 成等比数
列且c =2a ，则cos B 等于（ ）
A ．3122 B． C． D． 4443
18．在△ABC 中，若b =2a sin B ，则A 等于（ ）
A ．300或600 B ．450或600 C ．1200或600 D ．300或1500
19．设a , b 满足0A. a a
20．设是等差数列的前项和，已知，则等于（ ）
A. 13 B. 63 C. 35 D. 49
221． 已知等比数列{an }的公比为正数，且a 3²a 7=4a4，a 2=2，则a 1=
A. 1
C. 2
2
D. 222．当x ∈(1,2) 时，不等式x +mx +4
（ ） A.(-∞, -5) B. (-∞, -5] C.(-5, +∞) D.
[-5, +∞)
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第II 卷（非选择题）
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二、填空题
23．已知在∆ABC 中，∠A =1200, 且三边长构成公差为2的等差数列， 则∠A
所对的边a = .
24．若三角形的面积S =25．给出下列命题：
①若ab >0，a >b ，则
22b 2+c 2-a 2) ，则A =___________． 11b ，则a >b ；
③若a >b ，c >d ，则a -c >b -d ；
④若a 0，则a a +m
其中真命题的序号是：_________．
26．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，
a 1=-2010, S 2009S 2007-=2, 则S 2010 的值为20092007
{a n }中，若27．在等差数列a 1+a 5+a 9=π
4，则
tan(a 4+a 6) =_________________.
28．若x >0，则2-x -4的最大值是 x
29．如果等比数列的前n 项和S n =3n +a ，则常数a =___.
230．设{a n }为公比q>1的等比数列，若a 2004和a 2005是方程4x -8x +3=0的
两根，
则a 2006+a 2007=__________.
试卷第4页，总7页
三、解答题
31．（本题满分10分）
在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知4cos 2C 7-cos 2(A +B ) =，22
c=73，又△ABC 的面积为S △ABC =，求a ，b 的值. 22
32．（本小题满分12分）解关于x 的不等式:(x -2)(ax -2) ≥0 (其中a ≥0)
33．已知a , b , c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，
a cos C sin
C -b -c =0.
（1）求A ；
（2）若a =2，△ABC ，求b , c .
34．已知一个各项均为正数的等比数列{an }前四项之积为
为2, 求这个等比数列的公比.
35．a ，b ，c 为△ABC 的三边，其面积S △ABC ＝123，bc ＝48，b-c ＝2，求a ．
36．已知数列{an }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n∈N) ．
(1)证明：数列{an ＋1}为等比数列，并求数列{an }的通项公式； T n －2(2)若b n ＝(2n＋1)a n ＋2n ＋1，数列{bn }的前n 项和为T n . 求满足不等式2n －1
010的n 的最小值．
37．(13分) 关于x 的不等式x 2-(1+a ) x +a >0 .
(1)当a =2时，求不等式的解集；
(2)当a ∈R 时，解不等式.
38．设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式： *1, 第二、三项的和163tS n -(2t +3) S n -1=3t (t >0, n =2, 3, 4,...)
（1）求证：数列{a n }是等比数列；
试卷第5页，总7页
（2）设数列{a n }是公比为f (t ) ，作数列{b n }，使
b 1=1, b n =f (1) b n -1(n =2, 3, 4, . ，.
求和：b 1b 2-b 2b 3+b 3b 4-... +b 2n -1b 2n -b 2n b 2n +1；
，（3）若t =-3，设c n =l o 3g a 2+l o 3g a 3+l o 3g a 4+. . +. l o 3g a n +1
T n =111++ +， c 1c 2c n
n ⋅2n +1
求使k ≥(7-2n ) T n (n ∈N *) 恒成立的实数k 的范围. (n +1)
n 2+3n 39．等差数列{a n }的前n 项和为S n =． 2
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n }满足b n =1，求数列{b n }的前n 项和T n ． a 2n -1a 2n +1
40．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 4=9，a 3+a 7=22.
（1）求a n 和S n ；
（2）设b n =1，求数列{b n }的前n 项和T n . a n a n +1
的前项和
的通项公式；
，求数列的前项和．
成等比数列. 41．已知数列（Ⅰ）求数列（Ⅱ）若. 42．已知等差数列（1）求数列
（2）若数列的前项和为，且的通项公式； 的公差不为0，数列满足，求数列的前项
试卷第6页，总7页
和.
43．已知数列{a n }中， a 1=2， a n -a n -1-2n =0（n ≥2， n ∈N*）.
（1）写出a 2、a 3的值（只写出结果），并求出数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =1111，若对任意的正整数n ，不等式+++⋯+a n +1a n +2a n +3a 2n
t 2-2t +1>b n 恒成立，求实数t 的取值范围. 6
44．已知正项等比数列{b n }的前n 项和为S n ， b 3=4， S 3=7，数列{a n }
*满足a n +1-a n =n +1n ∈N ，且a 1=b 1． ()
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求数列⎨⎧1⎫⎬的前n 项和．
⎩a n ⎭
45．各项均为正数的数列{a n }的前
2a 2=4，a n n ∈N *. +1=6S n +9n +1，n 项和为S n ，且满足
各项均为正数的等比数列b {n }满足b 1=a 1，b 3=a 2.
（1）求数列{b n }的通项公式a n 的通项公式；
（2）若c n =(3n -2)⋅b n ，数列{c n }的前n 项和T n .
①求T n ；
②若对任意n ≥2，n ∈N *，均有(T n -5)m ≥6n 2-31n +35恒成立，求实
数m 的取值范围.
试卷第7页，总7页
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：因为，a 1+a 2=3，a 2+a 3=6
故a 7=26=64，选A 。
考点：本题主要考查等比数列的通项公式。 点评：简单题，等比数列中， a =1， ，所以两式相除得，公比q=2，1a n =q n -m 。 a m
2．B
【解析】解：因为根据数列的前几项可知，根号下的数字是等差数列，因此是这个数列的第7项，选B
3．B
【解析】
试题分析：因为，三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，所以，由三角形内角和定理， B=60°，A+C=120°，tan (A +
C )=B 。
考点：本题主要考查等差数列的概念，三角形内角和定理，特殊角的函数值。
点评：简单题，本题具有一定综合性，解答思路明确，涉及三角形问题，要注意挖掘“隐含条件”。
4．B
【解析
】411411x y 459+=(+) (x +y ) =(+5+=) +⨯=, x y 2x y 2y x 222
42941, y =时，+取得最小值 332x y 当且仅当x =
5．D
【解析】略
6．A
【解析】
考点：余弦定理．
222222分析：先根据a =b+bc+c，求得bc=-（b +c-a ）代入余弦定理中可求得cosA ，进而求得A ．
c 2+b 2-a 2
解：根据余弦定理可知cosA= 2b c
∵a =b+bc+c，
222∴bc=-（b +c-a ）
∴cosA=-2221 2
∴A=120°
故选A
答案第1页，总16页
7．A
【解析】
试题分析：由tan A tan B >1⇒tan A >0, tan B >0, 所以角A ，B 均锐角， 又由sin A sin B >1⇒cos(A +B ) >0⇒cos C >0，所以角C 也是锐角，所以三角形ABC cos A cos B
是锐角三角形，
故选A.
考点：1、两角和与差的三角函数；2、三角形形的判定.
8．C
【解析】
试题分析：因为a 3＋a 4＋a 5＝12，所以由等差数列的性质得3a 4＝12，即a 4＝4，
所以S 7 ＝7(a 1+a 7)=7a 4=28。 2
考点：等差数列的性质；等差数列前n 项和的性质。
n (a 1+a n )=na 中。 点评：熟练掌握等差数列前n 项和的性质：S n =2
9．A
【解析】略
10．A
【解析】考查了解三角形计算
11．C
【解析】略
12．C 【解析】此题考查等差数列的通项公式和前n 项和是S n ，考查方程思想在解决数列问题中的应用；由已知得⎨
13．C ⎧a 1+a 2=5⎧d =110⨯(10-1) ⇒⎨⇒S 10=10⨯2+⨯1=65，选C 2⎩a 3+a 4=9⎩a 1=2
113a +2b 21⨯3a ⨯2b ≤⨯() =， 6626
11当且仅当3a =2b 时，即a =，b =是等号成立， 32
1所以ab 的最大值为。 6【解析】ab =
14．B
【解析】由已知可得2a+b=4,因此4≥2
仅当a=1,b=2时取等号.
15．B
【解析】略
答案第2页，总16页 , 所以0
16．A
【解析】略 17．A 【解析】
试题分析：由a , b , c 成等比数列，得b 2=ac ，又c =2a ，则b 2=2a 2，
a 2+c 2-b 23a 23
cos B ==2=，选A ．
2ac 4a 4
考点：等比中项、余弦定理
18．D
【解析】b =2a sin B ,sin B =2sin A sin B ,sin A =19．D
【解析】略 20．C
【解析】解：因为
1
, A =300或1500 2
选C 21．A 【解析】
考点：等比数列的性质． 专题：计算题．
分析：根据条件，确定等比数列的公比，再求数列的首项即可． 解答：解：设等比数列的公比为q （q ＞0）， ∵a 3a 7=4a 4, a 2=2，∴2q ⋅2q =4⋅4q ∴q =4，∴q=2．
2
2
54
a 2=2, ∴a 1=1，
故选 A．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的运用，解题的关键是根据条件，确定等比数列的公比，属于中档题． 22．B 【解析】
当x ∈(1,2) 时，不等式x +mx +4
2
⎧∆=m 2-16>0⎧m >4或m
m ≤-5 ⎨1+m +4≤0∴⎨
⎪4+2m +4≤0⎪m ≤-4⎩⎩
所以m 的取值范围为(-∞, -5]，故选择B 。
23．7 【解析】
试题分析：设三角形的三边分别为x -2，x ，x +2，
x 2+(x -2) 2-(x +2)1
x =5，由余弦定理得cos120︒=化简得，所以，x 2-5x =0，=-，
2x (x -2) 2
∠A 所对的边a =7，故答案为7.
考点：等差数列，余弦定理的应用. 24．30
【解析】
由已知得：25．①②
【解析】
试题分析：对于①, 因为ab >0，a >b ，则
2
1
，A =30． bc sin A =
2bc cos A ，∴tan A =
211b -a 11
-=，所以
22
若a >b , c >d ，则-c b -d 为a >|b |≥0，所以a >b 成立；对于③，
不一定成立；对于④，若a =-2，b =-1，m =3，则②．
考点：本题考查了对不等式的基本性质的掌握． 26．-2010
【解析】由数列{a n }为等差数列，则数列⎨
a a +m
⎧S n ⎫
⎬也为等差数列且公差为1，首项为2010，n ⎩⎭
所以
S 2010
=-2010+2009⨯1，所以S 2010=-2010 2010
3
27．
【解析】
试题分析：因为在等差数列
{a n }
中a 1+a 9=2a 5=a 4+a 6，所以a 4+a 6=
π
6
，
则
tan(a 4+a 6) =
考点：等差数列的基本性质，正切函数值的计算. 28．-2
【解析】 x >0∴x +
4x ≥=4(x =2是“=”成立）
∴-(x +41
x ) ≤-4, ∴2-x -x
≤-2
29．-1 【
解
析
】
由
等
比
数
列
的
前
n
项和
S n =3n +a
，a 1=S 13=
+, a
2
a =
2
S -61S , =
3
a =a 22=S 1-a 18, S a ∴
. 3==a 1-.
30． 18
【解析】 a 2004和a 2005是方程4x 2-8x +3=0的两根，故有：
⎧⎪1⎧⎪a 2004=a =3⎨
23或⎪⎪2004⎨2
（舍）。∴q =3. ⎪⎩a =2⎪⎪⎩a =1⎪200520052a a 23
2006+2007=a 2005(q +q ) =2
⨯(3+32) =18.
31．
【解析】c=
72，得a 2＋b 2－2abcos600
=(722
) ① 由S 33103△ABC =2，得2absin60=32② „„ 6分
得
由
32．略 【解析】
解：若a =0时, 则不等式的解集是(-∞, 2];-------------------4分
2
-----------------------6分 a
2
若0
a
若a =1时, 则不等式的解集是R; ------------------------------10分
2
若a >1时, 则不等式的解集是(-∞, ]⋃[2, +∞) -----------------12分
a
当a >0时, 相应方程的根是x =2, x =33．（1）A =【解析】
试题分析：（1
）由条件a cos C sin C -b -c =0及正弦定理，进行边角的统一，可得到
π
3
；（2）b =c =2.
sin A cos C A sin C -sin B -sin C =0，注意到sin C =sin(A +B ) ，因此，可将等式
继续变形为A -cos A ) ⋅sin C =
sin C A -cos A =1，由利用辅助角公式可变形为sin(A -可得
π
6
) =
1πππ
，因此A -=，A =；（2）由（1）及∆
ABC
3266
1ππ22222
bc sin =⇒bc =4，再根据余弦定理a =b +c -abc ⋅cos ⇒b +c =8，233联立方程即可解得b =c =2.
（
1
）
由
正
弦
定
理
及
a cos c +sin c -b -c =0可得
：
sin A cos C A sin C -sin B -sin C =0，
即sin A cos C A sin C -sin(A +C ) -sin C =0⇒A -cos A ) ⋅sin C =sin C ， 又∵C ∈
(0,π) A -cos A =1 3分
1πππ
，∴A -=，A =； 7分
36266
π1π
由（1）A =
及S ∆ABC
，∴bc sin =⇒bc =4，
323
即sin(A -
π
) =
又由余弦定理及a =2, A =分，
π
3
222
：a =b +c -abc ⋅cos
π
3
⇒b 2+c 2=8 10
联立方程，即可得(b -c ) 2=0⇒b =c =2 14分 考点：1. 正弦定理与余弦定理解三角形；2. 三角恒等变形. 34．公比为2±1.
⎧41a =, ⎪16a a ⎪
【解析】设各项为正数的等比数列的前四项为3, ,aq,aq 3. 由题意得⎨
a q q ⎪+aq =2, ⎪⎩q
1⎧
a =, ⎪
2 解之, 得⎨ ⎪q =2±1. ⎩
∴公比为2±1.
35．解：由S △ABC =bc sin A ， 得12＝⨯48sin A ,
22
∴sin A =∴A ＝60°或A ＝120°.
由bc ＝48，b-c ＝2得, b =8, c =6.
当A ＝60°时，a =8+6-2⨯8⨯6⨯=
52, ∴a =
2
2
2
当A ＝120°时，a =8+6-2⨯8⨯6⨯(-
) =148, ∴a =2
2
2
2
【解析】略
n
36．（1）a n ＝2－1. （2）10 【解析】
试题分析：（1）由a n =S n -S n -1将前n 项和化为通项公式a n 关系式，利用等比数列定义证明；（2）有一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的新数列的和，通常将和式两边乘公比，再两式相减，得新等比数列，此法称错位相消法.
*
试题解析：(1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n－1)(n≥2，n∈N) ．两式相减，得a n ＝2a n －1＋1.
*
所以a n ＋1＝2(an －1＋1)(n≥2，n∈N) ，所以数列{an ＋1}为等比数列．
n n
因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2，所以a n ＝2－1.
(2)因为b n ＝(2n＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n＋1)²2.
23n －1n
所以T n ＝3³2＋5³2＋7³2＋„＋(2n－1)²2＋(2n＋1)²2， ①
23n n ＋1
2T n ＝3³2＋5³2＋„＋(2n－1)²2＋(2n＋1)²2， ②
23n n ＋1
①－②，得－T n ＝3³2＋2(2＋2＋„＋2) －(2n＋1)²2
2－2n ＋1n ＋2n ＋1n ＋1
＝6－(2n＋1)²2＝－2＋2－(2n＋1)²2＝－2－(2n－1)²2.
1－2所以T n ＝2＋(2n－1)²2
n ＋1
2
n ＋1
n
.
n ＋1
T n －22＋ 2n －1 ²2若>2 010，则2n －12n －1
10
11
>2 010，即2
n ＋1
>2 010.
由于2＝1 024,2＝2 048，所以n ＋1≥11，即n≥10. T n －2所以满足不等式的n 的最小值是10.
2n －1考点：等比数列的定义及判断方法；错位相消法. 37．(1) {x |x >2或x
(2) ①当a >1时, 解集为{x |x >a 或x 1或x
【解析】本试题主要是考查了一元二次不等式的解集的求解。
2
（1）因为当a=2时，不等式为x -3x +2>0 ∴解集为{x |x >2或x
（2）因为x 2-(1+a ) x +a >0⇒(x -a )(x -1) >0，那么由于根的大小不定，需要对根分类讨论得到结论。
2
解:(1)当a =2时, 不等式为x -3x +2>0 ∴解集为{x |x >2或x
(2)x -(1+a ) x +a >0⇒(x -a )(x -1) >0 ①当a >1时, 解集为{x |x >a 或x
③当a 1或x
2
b 1b 2-b 2b 3+b 3b 4-... +b 2n -1b 2n -b 2n b 2n +1=
b 2(b 1-b 3) +b 4(b 3-b 5) +... +b 2n (b 2n -1-b 2n +1)
k ≥
（3）
3． 32
【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的综合运用 （1）由S 1=a 1=1, S 2=a 1+a 2=1+a 2，得
⎧3tS n -(2t +3) S n -1=3t
⎨
又⎩3tS n -1-(
2t +3) S n -2=3t 两式相减得3ta n -(2t +3) a n -1=0
因此得证。
（2
后求解和式
（3）根据通项公式的裂项求和得到结论。 解：（1）由S 1=a 1=1, S 2=a 1+a 2=1+a 2，得
⎧3tS n -(2t +3) S n -1=3t
⎨
又⎩3tS n -1-(2
t +3) S n -2=3t 两式相减得3ta n -(2t +3) a n -1=0
{a }因此，数列n 是首项为1
（2
1b 2-b 2b 3+b 3b 4-... +b 2n -1b 2n -b 2n b 2n +1
=
b 2(b 1-b 3) +b 4(b 3-b 5) +... +b 2n (b 2n -1-b 2n
+1)
c n =log 3a 1+log 3a 2+⋅⋅⋅+log 3a n =-(1+2+⋅⋅⋅n ) =-
n (n +1)
． 2
（3）故
1211=-=-2(-) ． c n n (n +1) n n +1
111111112n
． ++⋅⋅⋅=-2[(1-) +(-) +⋅⋅⋅(-)]=-
c 1c 2c n 223n n +1n +1
2n -72n 1*
。化简得k ≥对任意n ∈N 恒成立． 的前n 项和为-n
2n +1c n
T n =
所以数列{
设d n =
2n -72(n +1) -72n -79-2n
d -d =-=，则„„． n +1n
2n 2n +12n 2n
当n ≥5, d n +1≤d n ,{d n }为单调递减数列，1≤n d n ,{d n }为单调递增数列． 当n ≥5, c n +1≤c n , {c n }为单调递减数列，当1≤n c n , {c n }为单调递增数列．
213=d 4
321632
2n -73*
k ≥n ∈N 所以，要使k ≥对任意恒成立，．
2n 32
n
39．（1）a n =n +1（2）
4n +4
【解析】（1）当n =1时， a 1=2
n 2+3n (n -1)+3(n -1)1当n ≥2时， a n =S n -S n -1=-=n +1
22
数列{a n }的通项公式为a n =n +1
2
（2）b n =
111⎛11⎫
== -⎪
a 2n -1a 2n +12n 2n +22⎝2n 2n +2⎭
1⎛111111⎫1⎛11⎫n
T n = -+-+ -=-=⎪ ⎪
2⎝24462n 2n +2⎭2⎝22n +2⎭4n +4
点睛：本题求a n 利用到S n -S n -1=a n ，然后结合数列通项公式的特点，考虑对n 分奇偶两种情况，结合等差数列和等比数列的求和公式即可求解 40．（1）a n =2n +1, S n =
n (3+2n +1)
2
=n 2+2n ; （2）T n =
n
.
32n +3【解析】试题分析：（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为a 1, d 的形式，联立方程组求解出a 1, d ，利用等差数列的公式，可求得通项公式和前n 项和. （2）由于b n 是两个等差数列相乘的倒数，故利用裂项求和法来求其前n 项和. 试题解析： （1）a 3+a 7=22 ∴a 5=11 ∴d =2
a n =2n +1
S n =
n (3+2n +1)
2
=n 2+2n
（2）b n =
1
2n +12n +3
1⎛11⎫b n = -⎪
2⎝2n +12n +3⎭
∴T n =
1⎛11⎫n
-= ⎪
2⎝32n +3⎭32n +341．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
可得出；求通项公式的过，为等差数列与等比数列的积，
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用与间的关系
程中注意讨论当的情况；（Ⅱ）观察所给数列
则可使用错位相减法．错位相减的过程中等式两边同乘以等差数列的公比． 试题解析：（Ⅰ）因为
所以
当
时
，
，满足上式．故
.
，
.
当
时，
（Ⅱ）因
为. 所
以
①
，其前项和
：
两边乘以4得：
„„„„②
由①②得：
所以．
点睛：本题主要考查等差数列和等比数列及错位相减法求数列的前项和. 错位相减法求数列
前项和一般在一个等比数列和一个等差数列对应项相乘所构成的数列中使用. 使用错位相减法求和时要注意, 要能够判别题目类型, 特别是等比数列公比为负数的情况. 在写与的表达式时应特别注意将两式错项对齐, 以便下一步正确推导出42．（1）见解析；（2）
.
，设等差数列
的公差为
，则的表达式.
【解析】试题分析：（1
）根据等比数列的性质
，可得得或. 分类讨论
当当
时，由时，由
，可得，可得
；
，则 ；
（2）由数列的公差不为0，可得，则由错位相减法可求数列
的公差为，则
的前项和.
，
试题解析：（1）由题得，，设等差数列
化简，得或.
当∴即当
时，
，
；
时，由
，得
，即，
，得，
；
（2）由题意可知，∴
，①
，②
①-②，得∴
.
，
点睛：本题考查等比中项的性质，等差数列的通项公式及前项和公式、错位相减法等知识，属容易题，解题时注意运算的准确性
43．（1）a n =n (n +1)（2）t ∈(-∞,0)⋃(2, +∞) 【解析】⑴a 2=6， a 3=12
当n ≥2时， a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+ ⋯+(a n -a n -1)
=2(1+2+3+⋯+n ) =n (n +1)
当n =1时， a 1=2也满足上式
∴a n =n (n +1)
(2)
b n =
1111
+++⋯+a n +1a n +2a n +3a 2n
=
1
n +1n +2+
1
n +2n +3
+⋯+
=
1
2n 2n +111111111-+-+⋯+-- = n +1n +2n +2n +32n 2n +1n +12n +1
b n +1-b n ==
111⎫111⎫⎛1⎛1
-- -=+-+⎪ ⎪
n +22n +3⎝n +12n +1⎭n +22n +1⎝n +12n +3⎭
3n +33n +4-
2n +5n +22n +5n +3
∴b n +1
∴(b n )max =b 1=∴t 2-2t +
1 6
111
>b n ⇔t 2-2t +> ⇔t 2-2t >0 ⇔t 2 666
∴t ∈(-∞,0)⋃(2, +∞)
点睛：考察数列累加法求通项共识，当出现相邻两项的差是一个关于n 的表达式便可用此方
法解答，第二问中用到了裂项相消求和，同时注意将恒成立问题转化为最值问题，而最值问题就得先分析单调性，然后解出对应不等式则可得出结论。
n 2+n 1112n
44．（Ⅰ）a n = ; （Ⅱ）+. +⋯+=
2a 1a 2a n n +1
【解析】（Ⅰ）根据题意，由等比数列{b n }的通项公式及前n 项和公式，建立关于首项和公比的方程，求数列{a n }的首项a 1=b 1，再用迭加法求出数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得
⎧1⎫121⎫⎛1
=2=2 -，再采用裂项相消法，即可求出数列⎨⎬的前n 项和. ⎪a n n +n ⎝n n +1⎭⎩a n ⎭
b 1=1, b 1q 2=4, 试题解析：（Ⅰ）根据题意，设{b n }的公比为q ，所以{解得 {2
q =2. b 1+b 1q +b 1q =7,
又a n +1-a n =n +1，
所以a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+⋯+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1
=n +(n +1)+⋯+2+1=
n (n +1)2
n 2+n
=．
2
（Ⅱ）因为
121⎫⎛1=2=2 -⎪， a n n +n ⎝n n +1⎭
所以
⎡⎛1⎫⎛11⎫1111⎫⎛11⎫⎤1⎫2n ⎛1⎛
+++=2⎢ 1-⎪+ -⎪+⋯+ -⎪+ -=21-⎪⎥ ⎪=a 1a 2a n ⎝n -1n ⎭⎝n n +1⎭⎦⎝n +1⎭n +1⎣⎝2⎭⎝23⎭
．
点睛：此题主要考查裂项求和法在求数列前n 项和、等比数列通过公式及前n 项和公式的应用能力，属于中低档题型，也是高频考点. 裂项求和法是根据数列的通项公式特点，将其拆成两项之差（如本题中
121⎫⎛1
，在求和中叠加后就可消掉中间项，剩=2=2 -⎪）
a n n +n ⎝n n +1⎭
n
下首尾两项，从而达到求前n 项和公式.
45．（1）a n =3n -2， b n =2n -1 ；（2）①T n =(3n -5)⋅2+5；②m ≥【解析】试题分析：（1）利用a n ={
3
. 32
S 1
，化简后可得a n 为等差数列，由此求得数列a n
S n -S n -1
的通项公式，求得b 1, b 2后，利用等比数列通项公式，可求得b n 的通项公式. （2）①由于c n 是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求其前n 项和. ②利用分离常数法将原不等式分离常数，再利用差比较法可求得m 的取值范围. 试题解析：
2
（1）a n +1=6S n +9n +1
2a n =6S n -1+9(n -1)+1
∴a n +1-a n =6a n +9(n ≥2)
2
2
2
∴a n +1=(a n +3)又各项为正
2
∴a n +1=a n +3(n ≥2) ∴a 2开始成等差
又a 2=4 42=6a 1+9+1
a 1=1
∴a 2-a 1=3
∴{a n }为公差为3的等差数列 ∴a n =3n -2
b 1=1 b 3=4
∴b n =2n -1 （2）c n =(3n -2)⋅2
1
n -1
n -1
①T n =1⋅2+4⋅2+ +(3n -2)⋅2
2T n =1⋅21+4⋅21+ +(3n -2)⋅2n
12n -1
-(3n -2)⋅2n ∴-T n =1+32+2+ +2
()
-T n =1+62n -1-1-(3n -2)⋅2n
()
-T n =(5-3n )⋅2n -5 T n =(3n -5)⋅2n +5
②(3n -5)⋅2⋅m ≥6n -31n +35恒成立
n
2
6n 2-31n +35(3n -5)(2n -7)2n -7
∴m ≥ ==n n n
23n -5⋅23n -52
2n -7
恒成立 n
22n -7
设k n = n
2
2n -52n -79-2n
k n +1-k n =n +1-=n +1
22n 2
即m ≥
当n ≤4时， k n +1
n ≥5时， k n +1
∴k n max =k 5=∴m ≥
33
= 2532
3. 32
点睛：本题主要考查数列通项公式的求法，考查数列求和的基本方法错位相减法，考查不等式恒成立问题的解决策略. 由于a n 和S n 的关系式题目给定，故利用a n ={
S 1
可求得
S n -S n -1
a n 的通项公式. 求出b n 的通项公式后通过观察可发现c n 的通项是一个等差数列乘以一个等
比数列，故用错位相减求和法求T n .
玉林市第十一中学2017春段考试卷
第I 卷（选择题）
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一、选择题
1．已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 2+a 3=6，则a 7=（ ）
A ．64
2．设数列 B．81 , , , C．128 D．243 ,„，则
7是这个数列的 项 C. 第8A. 第6项 B. 第
项
D.第9
项
3．一个三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，那么
tan (A +C )的值是
A ．．4．（选修4—5）设x , y ∈R 且x +y =2，则+．不确定 41+的最小值为（ ） x y
A ．9 B．97 C．7 D． 22
5．已知首项为正数的等差数列{a n }满足：a 2003+a 2004>0, a 2003⋅a 20040成立的最大自然数是 （ ）
A ．4005 B.4010 C．4011 D．4006
6．在∆ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于( )
A . 120︒B . 60︒C . 45︒D . 30︒
7．在∆ABC 中，若tan A tan B >1，则∆ABC 是（ ）
A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．无法确定
3. 8．在等差数列{a n }中a 3＋a 4＋a 5＝12，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 7 ＝
试卷第1页，总7页
( )
A.14 B.21 C.28 D.35
9．已知∆
ABC 中，已知∠A =45︒, AB =BC =2, 则∠C = （ ）
A ．30° B ．60° C ．120° D ．30°或150°
10．在△ABC中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，∠A=60º，b =1， △ABC
a +b +c 的值等于（ ） sin A +sin B +sin C
2268 (B) 3 (C) (D) (A) 333的面积S ∆ABC =，则
2
11．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则2a 10－a 12的值为 （ ）
A.20 B.22 C.24 D.28
12．等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若a 1+a 2=5, a 3+a 4=9, 则S 10的值为
（ ）
A 、55 B、60 C、65 D、70
13．已知a >0，b >0且3a +2b =2，则ab 的最大值为（ ）
14 B． 1225
1C ． D．1 6A ．
14．已知a>0,b>0,且2是2a 与b 的等差中项, 则
(A) (B) (C)2 (D)4
15．等比数列{a n }中，已知a 1+a 2+a 3+a 4=10, a 5+a 6+a 7+a 8=-5，
则数列{a n }的前16项和S 16为（ ）
A ．－50 B ．的最小值为( ) 2512525 C ． D ．- 444
16．计算sin 43cos13-cos 43sin13的结果等于
（ ） A. 1
C. D. 2
2
试卷第2页，总7页
2
17． 在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a , b , c ，若a , b , c 成等比数
列且c =2a ，则cos B 等于（ ）
A ．3122 B． C． D． 4443
18．在△ABC 中，若b =2a sin B ，则A 等于（ ）
A ．300或600 B ．450或600 C ．1200或600 D ．300或1500
19．设a , b 满足0A. a a
20．设是等差数列的前项和，已知，则等于（ ）
A. 13 B. 63 C. 35 D. 49
221． 已知等比数列{an }的公比为正数，且a 3²a 7=4a4，a 2=2，则a 1=
A. 1
C. 2
2
D. 222．当x ∈(1,2) 时，不等式x +mx +4
（ ） A.(-∞, -5) B. (-∞, -5] C.(-5, +∞) D.
[-5, +∞)
试卷第3页，总7页
第II 卷（非选择题）
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二、填空题
23．已知在∆ABC 中，∠A =1200, 且三边长构成公差为2的等差数列， 则∠A
所对的边a = .
24．若三角形的面积S =25．给出下列命题：
①若ab >0，a >b ，则
22b 2+c 2-a 2) ，则A =___________． 11b ，则a >b ；
③若a >b ，c >d ，则a -c >b -d ；
④若a 0，则a a +m
其中真命题的序号是：_________．
26．等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，
a 1=-2010, S 2009S 2007-=2, 则S 2010 的值为20092007
{a n }中，若27．在等差数列a 1+a 5+a 9=π
4，则
tan(a 4+a 6) =_________________.
28．若x >0，则2-x -4的最大值是 x
29．如果等比数列的前n 项和S n =3n +a ，则常数a =___.
230．设{a n }为公比q>1的等比数列，若a 2004和a 2005是方程4x -8x +3=0的
两根，
则a 2006+a 2007=__________.
试卷第4页，总7页
三、解答题
31．（本题满分10分）
在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知4cos 2C 7-cos 2(A +B ) =，22
c=73，又△ABC 的面积为S △ABC =，求a ，b 的值. 22
32．（本小题满分12分）解关于x 的不等式:(x -2)(ax -2) ≥0 (其中a ≥0)
33．已知a , b , c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，
a cos C sin
C -b -c =0.
（1）求A ；
（2）若a =2，△ABC ，求b , c .
34．已知一个各项均为正数的等比数列{an }前四项之积为
为2, 求这个等比数列的公比.
35．a ，b ，c 为△ABC 的三边，其面积S △ABC ＝123，bc ＝48，b-c ＝2，求a ．
36．已知数列{an }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n∈N) ．
(1)证明：数列{an ＋1}为等比数列，并求数列{an }的通项公式； T n －2(2)若b n ＝(2n＋1)a n ＋2n ＋1，数列{bn }的前n 项和为T n . 求满足不等式2n －1
010的n 的最小值．
37．(13分) 关于x 的不等式x 2-(1+a ) x +a >0 .
(1)当a =2时，求不等式的解集；
(2)当a ∈R 时，解不等式.
38．设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式： *1, 第二、三项的和163tS n -(2t +3) S n -1=3t (t >0, n =2, 3, 4,...)
（1）求证：数列{a n }是等比数列；
试卷第5页，总7页
（2）设数列{a n }是公比为f (t ) ，作数列{b n }，使
b 1=1, b n =f (1) b n -1(n =2, 3, 4, . ，.
求和：b 1b 2-b 2b 3+b 3b 4-... +b 2n -1b 2n -b 2n b 2n +1；
，（3）若t =-3，设c n =l o 3g a 2+l o 3g a 3+l o 3g a 4+. . +. l o 3g a n +1
T n =111++ +， c 1c 2c n
n ⋅2n +1
求使k ≥(7-2n ) T n (n ∈N *) 恒成立的实数k 的范围. (n +1)
n 2+3n 39．等差数列{a n }的前n 项和为S n =． 2
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n }满足b n =1，求数列{b n }的前n 项和T n ． a 2n -1a 2n +1
40．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 4=9，a 3+a 7=22.
（1）求a n 和S n ；
（2）设b n =1，求数列{b n }的前n 项和T n . a n a n +1
的前项和
的通项公式；
，求数列的前项和．
成等比数列. 41．已知数列（Ⅰ）求数列（Ⅱ）若. 42．已知等差数列（1）求数列
（2）若数列的前项和为，且的通项公式； 的公差不为0，数列满足，求数列的前项
试卷第6页，总7页
和.
43．已知数列{a n }中， a 1=2， a n -a n -1-2n =0（n ≥2， n ∈N*）.
（1）写出a 2、a 3的值（只写出结果），并求出数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =1111，若对任意的正整数n ，不等式+++⋯+a n +1a n +2a n +3a 2n
t 2-2t +1>b n 恒成立，求实数t 的取值范围. 6
44．已知正项等比数列{b n }的前n 项和为S n ， b 3=4， S 3=7，数列{a n }
*满足a n +1-a n =n +1n ∈N ，且a 1=b 1． ()
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求数列⎨⎧1⎫⎬的前n 项和．
⎩a n ⎭
45．各项均为正数的数列{a n }的前
2a 2=4，a n n ∈N *. +1=6S n +9n +1，n 项和为S n ，且满足
各项均为正数的等比数列b {n }满足b 1=a 1，b 3=a 2.
（1）求数列{b n }的通项公式a n 的通项公式；
（2）若c n =(3n -2)⋅b n ，数列{c n }的前n 项和T n .
①求T n ；
②若对任意n ≥2，n ∈N *，均有(T n -5)m ≥6n 2-31n +35恒成立，求实
数m 的取值范围.
试卷第7页，总7页
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：因为，a 1+a 2=3，a 2+a 3=6
故a 7=26=64，选A 。
考点：本题主要考查等比数列的通项公式。 点评：简单题，等比数列中， a =1， ，所以两式相除得，公比q=2，1a n =q n -m 。 a m
2．B
【解析】解：因为根据数列的前几项可知，根号下的数字是等差数列，因此是这个数列的第7项，选B
3．B
【解析】
试题分析：因为，三角形的三个内角A 、B 、C 成等差数列，所以，由三角形内角和定理， B=60°，A+C=120°，tan (A +
C )=B 。
考点：本题主要考查等差数列的概念，三角形内角和定理，特殊角的函数值。
点评：简单题，本题具有一定综合性，解答思路明确，涉及三角形问题，要注意挖掘“隐含条件”。
4．B
【解析
】411411x y 459+=(+) (x +y ) =(+5+=) +⨯=, x y 2x y 2y x 222
42941, y =时，+取得最小值 332x y 当且仅当x =
5．D
【解析】略
6．A
【解析】
考点：余弦定理．
222222分析：先根据a =b+bc+c，求得bc=-（b +c-a ）代入余弦定理中可求得cosA ，进而求得A ．
c 2+b 2-a 2
解：根据余弦定理可知cosA= 2b c
∵a =b+bc+c，
222∴bc=-（b +c-a ）
∴cosA=-2221 2
∴A=120°
故选A
答案第1页，总16页
7．A
【解析】
试题分析：由tan A tan B >1⇒tan A >0, tan B >0, 所以角A ，B 均锐角， 又由sin A sin B >1⇒cos(A +B ) >0⇒cos C >0，所以角C 也是锐角，所以三角形ABC cos A cos B
是锐角三角形，
故选A.
考点：1、两角和与差的三角函数；2、三角形形的判定.
8．C
【解析】
试题分析：因为a 3＋a 4＋a 5＝12，所以由等差数列的性质得3a 4＝12，即a 4＝4，
所以S 7 ＝7(a 1+a 7)=7a 4=28。 2
考点：等差数列的性质；等差数列前n 项和的性质。
n (a 1+a n )=na 中。 点评：熟练掌握等差数列前n 项和的性质：S n =2
9．A
【解析】略
10．A
【解析】考查了解三角形计算
11．C
【解析】略
12．C 【解析】此题考查等差数列的通项公式和前n 项和是S n ，考查方程思想在解决数列问题中的应用；由已知得⎨
13．C ⎧a 1+a 2=5⎧d =110⨯(10-1) ⇒⎨⇒S 10=10⨯2+⨯1=65，选C 2⎩a 3+a 4=9⎩a 1=2
113a +2b 21⨯3a ⨯2b ≤⨯() =， 6626
11当且仅当3a =2b 时，即a =，b =是等号成立， 32
1所以ab 的最大值为。 6【解析】ab =
14．B
【解析】由已知可得2a+b=4,因此4≥2
仅当a=1,b=2时取等号.
15．B
【解析】略
答案第2页，总16页 , 所以0
16．A
【解析】略 17．A 【解析】
试题分析：由a , b , c 成等比数列，得b 2=ac ，又c =2a ，则b 2=2a 2，
a 2+c 2-b 23a 23
cos B ==2=，选A ．
2ac 4a 4
考点：等比中项、余弦定理
18．D
【解析】b =2a sin B ,sin B =2sin A sin B ,sin A =19．D
【解析】略 20．C
【解析】解：因为
1
, A =300或1500 2
选C 21．A 【解析】
考点：等比数列的性质． 专题：计算题．
分析：根据条件，确定等比数列的公比，再求数列的首项即可． 解答：解：设等比数列的公比为q （q ＞0）， ∵a 3a 7=4a 4, a 2=2，∴2q ⋅2q =4⋅4q ∴q =4，∴q=2．
2
2
54
a 2=2, ∴a 1=1，
故选 A．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的运用，解题的关键是根据条件，确定等比数列的公比，属于中档题． 22．B 【解析】
当x ∈(1,2) 时，不等式x +mx +4
2
⎧∆=m 2-16>0⎧m >4或m
m ≤-5 ⎨1+m +4≤0∴⎨
⎪4+2m +4≤0⎪m ≤-4⎩⎩
所以m 的取值范围为(-∞, -5]，故选择B 。
23．7 【解析】
试题分析：设三角形的三边分别为x -2，x ，x +2，
x 2+(x -2) 2-(x +2)1
x =5，由余弦定理得cos120︒=化简得，所以，x 2-5x =0，=-，
2x (x -2) 2
∠A 所对的边a =7，故答案为7.
考点：等差数列，余弦定理的应用. 24．30
【解析】
由已知得：25．①②
【解析】
试题分析：对于①, 因为ab >0，a >b ，则
2
1
，A =30． bc sin A =
2bc cos A ，∴tan A =
211b -a 11
-=，所以
22
若a >b , c >d ，则-c b -d 为a >|b |≥0，所以a >b 成立；对于③，
不一定成立；对于④，若a =-2，b =-1，m =3，则②．
考点：本题考查了对不等式的基本性质的掌握． 26．-2010
【解析】由数列{a n }为等差数列，则数列⎨
a a +m
⎧S n ⎫
⎬也为等差数列且公差为1，首项为2010，n ⎩⎭
所以
S 2010
=-2010+2009⨯1，所以S 2010=-2010 2010
3
27．
【解析】
试题分析：因为在等差数列
{a n }
中a 1+a 9=2a 5=a 4+a 6，所以a 4+a 6=
π
6
，
则
tan(a 4+a 6) =
考点：等差数列的基本性质，正切函数值的计算. 28．-2
【解析】 x >0∴x +
4x ≥=4(x =2是“=”成立）
∴-(x +41
x ) ≤-4, ∴2-x -x
≤-2
29．-1 【
解
析
】
由
等
比
数
列
的
前
n
项和
S n =3n +a
，a 1=S 13=
+, a
2
a =
2
S -61S , =
3
a =a 22=S 1-a 18, S a ∴
. 3==a 1-.
30． 18
【解析】 a 2004和a 2005是方程4x 2-8x +3=0的两根，故有：
⎧⎪1⎧⎪a 2004=a =3⎨
23或⎪⎪2004⎨2
（舍）。∴q =3. ⎪⎩a =2⎪⎪⎩a =1⎪200520052a a 23
2006+2007=a 2005(q +q ) =2
⨯(3+32) =18.
31．
【解析】c=
72，得a 2＋b 2－2abcos600
=(722
) ① 由S 33103△ABC =2，得2absin60=32② „„ 6分
得
由
32．略 【解析】
解：若a =0时, 则不等式的解集是(-∞, 2];-------------------4分
2
-----------------------6分 a
2
若0
a
若a =1时, 则不等式的解集是R; ------------------------------10分
2
若a >1时, 则不等式的解集是(-∞, ]⋃[2, +∞) -----------------12分
a
当a >0时, 相应方程的根是x =2, x =33．（1）A =【解析】
试题分析：（1
）由条件a cos C sin C -b -c =0及正弦定理，进行边角的统一，可得到
π
3
；（2）b =c =2.
sin A cos C A sin C -sin B -sin C =0，注意到sin C =sin(A +B ) ，因此，可将等式
继续变形为A -cos A ) ⋅sin C =
sin C A -cos A =1，由利用辅助角公式可变形为sin(A -可得
π
6
) =
1πππ
，因此A -=，A =；（2）由（1）及∆
ABC
3266
1ππ22222
bc sin =⇒bc =4，再根据余弦定理a =b +c -abc ⋅cos ⇒b +c =8，233联立方程即可解得b =c =2.
（
1
）
由
正
弦
定
理
及
a cos c +sin c -b -c =0可得
：
sin A cos C A sin C -sin B -sin C =0，
即sin A cos C A sin C -sin(A +C ) -sin C =0⇒A -cos A ) ⋅sin C =sin C ， 又∵C ∈
(0,π) A -cos A =1 3分
1πππ
，∴A -=，A =； 7分
36266
π1π
由（1）A =
及S ∆ABC
，∴bc sin =⇒bc =4，
323
即sin(A -
π
) =
又由余弦定理及a =2, A =分，
π
3
222
：a =b +c -abc ⋅cos
π
3
⇒b 2+c 2=8 10
联立方程，即可得(b -c ) 2=0⇒b =c =2 14分 考点：1. 正弦定理与余弦定理解三角形；2. 三角恒等变形. 34．公比为2±1.
⎧41a =, ⎪16a a ⎪
【解析】设各项为正数的等比数列的前四项为3, ,aq,aq 3. 由题意得⎨
a q q ⎪+aq =2, ⎪⎩q
1⎧
a =, ⎪
2 解之, 得⎨ ⎪q =2±1. ⎩
∴公比为2±1.
35．解：由S △ABC =bc sin A ， 得12＝⨯48sin A ,
22
∴sin A =∴A ＝60°或A ＝120°.
由bc ＝48，b-c ＝2得, b =8, c =6.
当A ＝60°时，a =8+6-2⨯8⨯6⨯=
52, ∴a =
2
2
2
当A ＝120°时，a =8+6-2⨯8⨯6⨯(-
) =148, ∴a =2
2
2
2
【解析】略
n
36．（1）a n ＝2－1. （2）10 【解析】
试题分析：（1）由a n =S n -S n -1将前n 项和化为通项公式a n 关系式，利用等比数列定义证明；（2）有一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的新数列的和，通常将和式两边乘公比，再两式相减，得新等比数列，此法称错位相消法.
*
试题解析：(1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n－1)(n≥2，n∈N) ．两式相减，得a n ＝2a n －1＋1.
*
所以a n ＋1＝2(an －1＋1)(n≥2，n∈N) ，所以数列{an ＋1}为等比数列．
n n
因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2，所以a n ＝2－1.
(2)因为b n ＝(2n＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n＋1)²2.
23n －1n
所以T n ＝3³2＋5³2＋7³2＋„＋(2n－1)²2＋(2n＋1)²2， ①
23n n ＋1
2T n ＝3³2＋5³2＋„＋(2n－1)²2＋(2n＋1)²2， ②
23n n ＋1
①－②，得－T n ＝3³2＋2(2＋2＋„＋2) －(2n＋1)²2
2－2n ＋1n ＋2n ＋1n ＋1
＝6－(2n＋1)²2＝－2＋2－(2n＋1)²2＝－2－(2n－1)²2.
1－2所以T n ＝2＋(2n－1)²2
n ＋1
2
n ＋1
n
.
n ＋1
T n －22＋ 2n －1 ²2若>2 010，则2n －12n －1
10
11
>2 010，即2
n ＋1
>2 010.
由于2＝1 024,2＝2 048，所以n ＋1≥11，即n≥10. T n －2所以满足不等式的n 的最小值是10.
2n －1考点：等比数列的定义及判断方法；错位相消法. 37．(1) {x |x >2或x
(2) ①当a >1时, 解集为{x |x >a 或x 1或x
【解析】本试题主要是考查了一元二次不等式的解集的求解。
2
（1）因为当a=2时，不等式为x -3x +2>0 ∴解集为{x |x >2或x
（2）因为x 2-(1+a ) x +a >0⇒(x -a )(x -1) >0，那么由于根的大小不定，需要对根分类讨论得到结论。
2
解:(1)当a =2时, 不等式为x -3x +2>0 ∴解集为{x |x >2或x
(2)x -(1+a ) x +a >0⇒(x -a )(x -1) >0 ①当a >1时, 解集为{x |x >a 或x
③当a 1或x
2
b 1b 2-b 2b 3+b 3b 4-... +b 2n -1b 2n -b 2n b 2n +1=
b 2(b 1-b 3) +b 4(b 3-b 5) +... +b 2n (b 2n -1-b 2n +1)
k ≥
（3）
3． 32
【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的综合运用 （1）由S 1=a 1=1, S 2=a 1+a 2=1+a 2，得
⎧3tS n -(2t +3) S n -1=3t
⎨
又⎩3tS n -1-(
2t +3) S n -2=3t 两式相减得3ta n -(2t +3) a n -1=0
因此得证。
（2
后求解和式
（3）根据通项公式的裂项求和得到结论。 解：（1）由S 1=a 1=1, S 2=a 1+a 2=1+a 2，得
⎧3tS n -(2t +3) S n -1=3t
⎨
又⎩3tS n -1-(2
t +3) S n -2=3t 两式相减得3ta n -(2t +3) a n -1=0
{a }因此，数列n 是首项为1
（2
1b 2-b 2b 3+b 3b 4-... +b 2n -1b 2n -b 2n b 2n +1
=
b 2(b 1-b 3) +b 4(b 3-b 5) +... +b 2n (b 2n -1-b 2n
+1)
c n =log 3a 1+log 3a 2+⋅⋅⋅+log 3a n =-(1+2+⋅⋅⋅n ) =-
n (n +1)
． 2
（3）故
1211=-=-2(-) ． c n n (n +1) n n +1
111111112n
． ++⋅⋅⋅=-2[(1-) +(-) +⋅⋅⋅(-)]=-
c 1c 2c n 223n n +1n +1
2n -72n 1*
。化简得k ≥对任意n ∈N 恒成立． 的前n 项和为-n
2n +1c n
T n =
所以数列{
设d n =
2n -72(n +1) -72n -79-2n
d -d =-=，则„„． n +1n
2n 2n +12n 2n
当n ≥5, d n +1≤d n ,{d n }为单调递减数列，1≤n d n ,{d n }为单调递增数列． 当n ≥5, c n +1≤c n , {c n }为单调递减数列，当1≤n c n , {c n }为单调递增数列．
213=d 4
321632
2n -73*
k ≥n ∈N 所以，要使k ≥对任意恒成立，．
2n 32
n
39．（1）a n =n +1（2）
4n +4
【解析】（1）当n =1时， a 1=2
n 2+3n (n -1)+3(n -1)1当n ≥2时， a n =S n -S n -1=-=n +1
22
数列{a n }的通项公式为a n =n +1
2
（2）b n =
111⎛11⎫
== -⎪
a 2n -1a 2n +12n 2n +22⎝2n 2n +2⎭
1⎛111111⎫1⎛11⎫n
T n = -+-+ -=-=⎪ ⎪
2⎝24462n 2n +2⎭2⎝22n +2⎭4n +4
点睛：本题求a n 利用到S n -S n -1=a n ，然后结合数列通项公式的特点，考虑对n 分奇偶两种情况，结合等差数列和等比数列的求和公式即可求解 40．（1）a n =2n +1, S n =
n (3+2n +1)
2
=n 2+2n ; （2）T n =
n
.
32n +3【解析】试题分析：（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为a 1, d 的形式，联立方程组求解出a 1, d ，利用等差数列的公式，可求得通项公式和前n 项和. （2）由于b n 是两个等差数列相乘的倒数，故利用裂项求和法来求其前n 项和. 试题解析： （1）a 3+a 7=22 ∴a 5=11 ∴d =2
a n =2n +1
S n =
n (3+2n +1)
2
=n 2+2n
（2）b n =
1
2n +12n +3
1⎛11⎫b n = -⎪
2⎝2n +12n +3⎭
∴T n =
1⎛11⎫n
-= ⎪
2⎝32n +3⎭32n +341．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
可得出；求通项公式的过，为等差数列与等比数列的积，
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用与间的关系
程中注意讨论当的情况；（Ⅱ）观察所给数列
则可使用错位相减法．错位相减的过程中等式两边同乘以等差数列的公比． 试题解析：（Ⅰ）因为
所以
当
时
，
，满足上式．故
.
，
.
当
时，
（Ⅱ）因
为. 所
以
①
，其前项和
：
两边乘以4得：
„„„„②
由①②得：
所以．
点睛：本题主要考查等差数列和等比数列及错位相减法求数列的前项和. 错位相减法求数列
前项和一般在一个等比数列和一个等差数列对应项相乘所构成的数列中使用. 使用错位相减法求和时要注意, 要能够判别题目类型, 特别是等比数列公比为负数的情况. 在写与的表达式时应特别注意将两式错项对齐, 以便下一步正确推导出42．（1）见解析；（2）
.
，设等差数列
的公差为
，则的表达式.
【解析】试题分析：（1
）根据等比数列的性质
，可得得或. 分类讨论
当当
时，由时，由
，可得，可得
；
，则 ；
（2）由数列的公差不为0，可得，则由错位相减法可求数列
的公差为，则
的前项和.
，
试题解析：（1）由题得，，设等差数列
化简，得或.
当∴即当
时，
，
；
时，由
，得
，即，
，得，
；
（2）由题意可知，∴
，①
，②
①-②，得∴
.
，
点睛：本题考查等比中项的性质，等差数列的通项公式及前项和公式、错位相减法等知识，属容易题，解题时注意运算的准确性
43．（1）a n =n (n +1)（2）t ∈(-∞,0)⋃(2, +∞) 【解析】⑴a 2=6， a 3=12
当n ≥2时， a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+ ⋯+(a n -a n -1)
=2(1+2+3+⋯+n ) =n (n +1)
当n =1时， a 1=2也满足上式
∴a n =n (n +1)
(2)
b n =
1111
+++⋯+a n +1a n +2a n +3a 2n
=
1
n +1n +2+
1
n +2n +3
+⋯+
=
1
2n 2n +111111111-+-+⋯+-- = n +1n +2n +2n +32n 2n +1n +12n +1
b n +1-b n ==
111⎫111⎫⎛1⎛1
-- -=+-+⎪ ⎪
n +22n +3⎝n +12n +1⎭n +22n +1⎝n +12n +3⎭
3n +33n +4-
2n +5n +22n +5n +3
∴b n +1
∴(b n )max =b 1=∴t 2-2t +
1 6
111
>b n ⇔t 2-2t +> ⇔t 2-2t >0 ⇔t 2 666
∴t ∈(-∞,0)⋃(2, +∞)
点睛：考察数列累加法求通项共识，当出现相邻两项的差是一个关于n 的表达式便可用此方
法解答，第二问中用到了裂项相消求和，同时注意将恒成立问题转化为最值问题，而最值问题就得先分析单调性，然后解出对应不等式则可得出结论。
n 2+n 1112n
44．（Ⅰ）a n = ; （Ⅱ）+. +⋯+=
2a 1a 2a n n +1
【解析】（Ⅰ）根据题意，由等比数列{b n }的通项公式及前n 项和公式，建立关于首项和公比的方程，求数列{a n }的首项a 1=b 1，再用迭加法求出数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得
⎧1⎫121⎫⎛1
=2=2 -，再采用裂项相消法，即可求出数列⎨⎬的前n 项和. ⎪a n n +n ⎝n n +1⎭⎩a n ⎭
b 1=1, b 1q 2=4, 试题解析：（Ⅰ）根据题意，设{b n }的公比为q ，所以{解得 {2
q =2. b 1+b 1q +b 1q =7,
又a n +1-a n =n +1，
所以a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+⋯+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1
=n +(n +1)+⋯+2+1=
n (n +1)2
n 2+n
=．
2
（Ⅱ）因为
121⎫⎛1=2=2 -⎪， a n n +n ⎝n n +1⎭
所以
⎡⎛1⎫⎛11⎫1111⎫⎛11⎫⎤1⎫2n ⎛1⎛
+++=2⎢ 1-⎪+ -⎪+⋯+ -⎪+ -=21-⎪⎥ ⎪=a 1a 2a n ⎝n -1n ⎭⎝n n +1⎭⎦⎝n +1⎭n +1⎣⎝2⎭⎝23⎭
．
点睛：此题主要考查裂项求和法在求数列前n 项和、等比数列通过公式及前n 项和公式的应用能力，属于中低档题型，也是高频考点. 裂项求和法是根据数列的通项公式特点，将其拆成两项之差（如本题中
121⎫⎛1
，在求和中叠加后就可消掉中间项，剩=2=2 -⎪）
a n n +n ⎝n n +1⎭
n
下首尾两项，从而达到求前n 项和公式.
45．（1）a n =3n -2， b n =2n -1 ；（2）①T n =(3n -5)⋅2+5；②m ≥【解析】试题分析：（1）利用a n ={
3
. 32
S 1
，化简后可得a n 为等差数列，由此求得数列a n
S n -S n -1
的通项公式，求得b 1, b 2后，利用等比数列通项公式，可求得b n 的通项公式. （2）①由于c n 是一个等差数列乘以一个等比数列，故用错位相减求和法求其前n 项和. ②利用分离常数法将原不等式分离常数，再利用差比较法可求得m 的取值范围. 试题解析：
2
（1）a n +1=6S n +9n +1
2a n =6S n -1+9(n -1)+1
∴a n +1-a n =6a n +9(n ≥2)
2
2
2
∴a n +1=(a n +3)又各项为正
2
∴a n +1=a n +3(n ≥2) ∴a 2开始成等差
又a 2=4 42=6a 1+9+1
a 1=1
∴a 2-a 1=3
∴{a n }为公差为3的等差数列 ∴a n =3n -2
b 1=1 b 3=4
∴b n =2n -1 （2）c n =(3n -2)⋅2
1
n -1
n -1
①T n =1⋅2+4⋅2+ +(3n -2)⋅2
2T n =1⋅21+4⋅21+ +(3n -2)⋅2n
12n -1
-(3n -2)⋅2n ∴-T n =1+32+2+ +2
()
-T n =1+62n -1-1-(3n -2)⋅2n
()
-T n =(5-3n )⋅2n -5 T n =(3n -5)⋅2n +5
②(3n -5)⋅2⋅m ≥6n -31n +35恒成立
n
2
6n 2-31n +35(3n -5)(2n -7)2n -7
∴m ≥ ==n n n
23n -5⋅23n -52
2n -7
恒成立 n
22n -7
设k n = n
2
2n -52n -79-2n
k n +1-k n =n +1-=n +1
22n 2
即m ≥
当n ≤4时， k n +1
n ≥5时， k n +1
∴k n max =k 5=∴m ≥
33
= 2532
3. 32
点睛：本题主要考查数列通项公式的求法，考查数列求和的基本方法错位相减法，考查不等式恒成立问题的解决策略. 由于a n 和S n 的关系式题目给定，故利用a n ={
S 1
可求得
S n -S n -1
a n 的通项公式. 求出b n 的通项公式后通过观察可发现c n 的通项是一个等差数列乘以一个等
比数列，故用错位相减求和法求T n .