湖北大学
硕士学位论文
大数定律与中心极限定理的若干应用
姓名：吴丽雯
申请学位级别：硕士
专业：基础数学
指导教师：刘莉
20080501
摘要
大数定律是概率论中的重要内容，它以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性，它是随机现象统计规律性的具体表现，在数学应用及经济生活中有着较为重要的作用，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律，并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性，但对于它们的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少。
本文就不同条件下存在的大数定律与中心极限定理做了具体的分析，介绍了几种较为常见的大数定律，并结合它们存在的条件的不同，分析了它们各种适用的数学模型的特征，列举了它们在经济生活、数学分析、信息论等各个不同领域的应用，将理论具体化，将可行的结论用于具体的数学模型中，以使得枯燥的数学理论与实际想结合，使大家对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有了更深的认识。关键词：大数定律；随机变量序列：中心极限定理；应用；熵
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｔｈｅｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，ｂｙｓｔｒｉｃｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｆｏｒｍｉｔｅｘｐｒｅｓｓｅｓｔｈｅｍｏｓｔｂａｓｉｃｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｔｈｅｒａｎｄｏｍｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ…・・・・一ｔｈｅｓｔａｔｉｏｎａｒｙｏｆａｖｅｒａｇｅｒｅｓｕｌｔｓ．Ｉｔｉｓｔｈｅｃｏｎｃｒｅｔｅｍａｎｉｆｅｓｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒａｎｄｏｍｐｈｅｎ－ｏｍｅｎｏｎｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌａｎｄｒｕｌｅｓ．Ｉｔｉｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，ｍａｎｙｌｉｔｅｒ－ａｔｕｒｅｓｈａｖｅｇｉｖｅｎｔｈｅｄｉｓｓｉｍｉｌａｒｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓ，ａｎｄｈａｖｅｏｂｔ—ａｉｎｅｄｔｈｅａｓｔｒｉｎｇｅｎｔｕｓｉｎｇｔｈｅｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｃｅｎｔｒａｌｌｉｍｉｔｉｎｇｔｈｅｏｒｅｍｓ，ｂｕｔｔｈｅｒｅｈａｓｎｏｍａｎｙｒｅｓｕｌｔｓｉｎｐｒａｃｔｉｃａｌｌｉｆｅａｎｄａｐｐｌｉｃａｂｌｅｓｃｏｐｅ．Ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅａｎａｌｙｚｅｓｔ－ｈｅｓｏｍｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｃｅｎｔｒａｌｌｉｍｉｔｉｎｇｔｈｅｏｒｅｍｓ，ｉｎｔｒｏｄ・ｕｃｅｓｓｅｖｅｒａｌｋｉｎｄｓｏｆｌａｗｓｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓ，ａｎｄａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｕｎｄｅｒｄｉｆ－ｆｃｒｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｅｎｕｍｅｒａｔｅｓｓｏｍｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｅｃｏｎｏｍｉｃｌｉｆｅ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙａｎｄＳＯｏｎ．Ｉｔｍａｋｅｓｔｈｅｏｒｙｃｏｎｃｒｅｔｅｌｙ，ｃｏｎｓｉｄ—ｅｒｓｓｏｍｅｃｏｎｃｒｅｔｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ，ａｎｄＳＯｍａｋｅｓｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙｒｅａｌｉｔｙ．Ｔｈ－ＵＳｗｅｃａｎｈａｖｅｄｅｅｐｅｒｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｏｎｔｈｅｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｌｉ－ｍｉｔｉｎｇｔｈｅｏｒｅｍ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｔｈｅｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓ；ｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅｓ；ｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｌｉｍｉｔｉｎｇｔｈｅｏｒｅｍ；Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｅｎｔｒｏｐｙⅡ
湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明
原创性声明
本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
论文作者签名：昊两炙
日期：加暑年５月多１日
学位论文使用授权说明
本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：
按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。（保密论文在解密后遵守此规定）
作者签名：昊砀芰日期：加苦。Ｓ．多｝指导教师签名；如ｆ翻日期：嘲．㈦
１引言
１引言
概率论与数理统计是研究现实世界随机现象统计规律的科学，是近代数学的重要组成部分。它在自然科学及经济工作中都有着广泛的应用。而大数定律和中心极限定理则概率论中的两类具有极大意义的重要定理，是概率论与数理统计之间承前启后的重要纽带，大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值，它是“算术平均值法则＂的基本理论，在现实生活中，经常可见这一类型的数学模型。例如：在分析天平上秤重量为ａ的物品，若以ｘ１，ｘ，，屯，…，ｚ。表示ｎ次重复称量的结果，经验告诉我们，当ｎ充分大时，它们的算术平均值１开
三ｙｘ，与ａ的偏差就越小。这种思想，不仅在整个概率论中起着重要的作用，而且在其以篇。
他数学领域里面也占据着相当重要的地位；中心极限定理比大数定律更为详细具体，它以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体分布如何，样本均值总是服从或是近似的服从正态分布。正是这个结论使得正态分布在数理统计和误差分析中占用特殊的地位，是正态分布得以广泛应用的理论基础。
现在，大数定律与中心极限定理的相关模型已经被国内外为广大学者研究，特别是应用在实际生活中，如保险业得以存在并不断发展壮大的两个基石中的一个就是大数定理。许多学者在此领域里已经研究出了许多具有价值的成果，如文献【１，２】中讨论了在统计方面的应用，文献【３，４】讨论了在信息论中的应用，文献１６】讨论了在分析、数论等方面的应用。在许多数学领域中，广大学者对某些具有特定类型的数学模型，都能利用大数定律与中心极限定理的思考方式总结其代表性的性质及结论，使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程，方便了研究，但是，很多模型由于存在的条件不同，就需要考虑在各种条件下的大数定律与中心极限定理它们所适用的范围和对不同模型的处理方式。很多科研成果虽然给出了存在条件，由于讨论目的及撰写方式的不同，自然缺少一些较为体系的应用模式，使得这些成果不能较好的发挥其真正的作用。而对大数定律与中心极限定理的应用问题的推广是一项非常有价值的研究方向，通过对这些问题的应用推广，不仅能加深对大数定律与中心极限定律的理解，而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中。下面就是列举的一些能用大数定律与中心极限定理解决的实例，希望能通过这些实例，加深大家对大数定律以及中心极限定理的理解。第１页共１６页
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２相关定义及定理
２．１相关定义，
定义１设￡Ｑ一９２９．・．）为概论空间（Ｑ，Ｆ，尸）上定义的随机变量序列（或简称随机序
！鲤Ｐ｛陵一纠苫占｝。ｏ或！鲤Ｐ｛ｌ幺一纠墨ｅ｝－Ｉ，
舰Ｐ艟叫＜十１或掣艟叫斗。
掣辟器＜ｚ卜拙乞
Ｐ忙口ｌ≥ｓ）ｓ７０－２或尸忙口ｌ＜￡）之１—７０＂２
２相关定义及定理
Ｐ翻≥￡）ｓ专Ｅ蝌）。
２．３常用的大数定律
伯努利大数定律设纵是厅重贝努利实验中事件彳出现的次数，又４在每次实验中出现的概率为Ｐ，则对任意￡＞０，总有：
、！鲤Ｐ睁ｐＩ＜Ｆ）１１．
泊松大数定律如果在一个独立实验序列中，事件Ａ在第ｋ次实验中出现的概率等于ｐ。，以纵记在前以次实验中事件４出现的次数，则对任意￡＞０，都有：。ｌｉ．．ｍ。ＰＪｌｕ＇ｕ忍，一兰鱼二剁＜Ｆ）‘１・
！鲤Ｐ｛ｌ昙骞岛一丢砉Ｅ袅Ｊ＜￡｝。１．切比雪夫大数定律设毛，邑…是一列两两不相苯的随机变量，且它们的方差都有界，即存在常数Ｃ＞０，使有Ｄ袅ｓＣ（ｉ一１，２，…），则对任意ｓ＞０，有：
。马尔可夫大数定律对于随机变量序列毛，’最．．．，．如果砉。（耋岛）＿。成享：？贝！对任意￡＞０，都有：
！塑Ｐ｛Ｉ昙喜岛一ｉ善ｎＥ舅Ｉ＜ｓ｝。１・
辛钦大数定律设岛，邑…是相互独立的随机变量序列，它们服从相同的分布，且有有限的数学期望Ｅ（舅）一口，则对任意的占＞０，有：
‘酬鬻－口Ｉ＜Ｆ）＝１．。
２．４几个大数定律的关系及适用场合
２．４．１各个大数定律之间的关系第３页共１６页
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１、伯努利大数定律是泊松大数定律的特例。在泊松大数定律的条件中，如果Ｐ。１Ｐ，则泊松大数定律也就是伯努利大数定律。伯努利大数定律证明了事件在完全相同条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松大数定律表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随着ｎ的无限增大，在１１次独立试验中，事件Ａ的频率趋于稳定在各次试验中Ａ出现的概率的算术平均值附近。
２、泊松大数定律是切比雪夫大数定律的特例。在泊松大数定律的条件中Ｄ岛一Ｐ。ｑ．墨１，因此也满足切比雪夫大数定律的条件。
３、切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例。在切比雪夫大数定律的条件中Ｄ最ｓＣ（ｆ一１，２，…），由随机变量序列的两两不相关性可知：
砉。（砉氧）一万１善。（氧）ｓ詈一。
故也满足马尔可夫大数定律的条件。
因此，伯努利大数定律、泊松大数定律也都是马尔可夫大数定律的特例。
４、伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情形。．
在伯努利大数定律中，可以定义随机变量
。
白４皂ｆ１，第ｉ次试验出现Ａ
１０，第ｉ沃试验不出现Ａ
则｛色’独立同分布，都服从伯努利分布：
尸饿一１｝一Ｐ，Ｐ信一ｏ｝一口，
并且Ｅ（皇）一Ｐ，因此满足辛钦大数定律的条件。
但是，辛钦大数定律不是泊松大数定律和切比雪夫大数定律的推广，因为辛钦大数定律必须要求同分布。
‘２．４．２大数定律适用条件的分析
‘
辛钦大数定律和伯努利大数定律都要求随机变量序列有独立性、同分布和有有限的数学期望。
泊松大数定律和切比雪夫大数定律对条件有所放松，不要求同分布，但要求有某种独立性。
马尔可夫大数定律对条件作了进一步放松，它不要求同分布，也不要求有独立性，第４页共１６页
２相关定义及定理
只要求满足一种关于二阶矩即方差的条件。
在这些大数定律中，只有辛钦大数定律不要求方差存在的条件。并且，所给出条件中满足条件的一定服从大数定律，但是不满足这些条件的并不一定就不服从大数定律，我们可以根据各种不同的数学模型，利用大数定律收敛的思想，得到许多类似于这些大数定律的结论，方便更多的数学研究。
２．４．３几个大数定律的应用场合分析
伯努利大数定律只适用于伯努利实验（掷硬币模型的一般化），讲的是频率收敛与概率。
泊松大数定律适用于泊松实验（会磨损的掷硬币模型），在实验中，每次还是有两种结果，但概率会发生变化。
切比雪夫大数定律适用于两两不相关的序列（常用的是独立序列）并且有有界的方差，与前面两种大数定律适用的特殊试验，应用范围大为扩展。
马尔可夫大数定律则扩展到了一般的序列，只要满足马尔可夫条件，非常一般化，因此很多大数定律的验证，通常考虑到是否满足马尔可夫条件。
辛钦大数定律适用于独立同分布，经常用于数理统计中的应用。
２．５不同条件下的中心极限定理
“
棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理设随机变量｛色）服从二项分布曰Ｏ，ｐ），则对于任’意区间【口，ｂ】，总有
…ｌｉｍＰ｝ｓ斋＜６一去ｅ｛舭
从而当色一Ｂ（ｎ，Ｐ）时，就有Ｐ卜编＜６｝．ｊｆ去ｊ出
一币ｐ）一西（口）．
则Ｐ仁墨￡≮６）＝Ｐ．ａ－ｒｉｐ；歹ｓ了器＜丽ｂ－ｎｐ｝第５页共１６页
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砷Ｉ如ｂ－。ｎ—ｐ万Ｈ巅％）．
林德贝格一莱维定理设｛邑＞为相互独立的同分布随机变量序列，且有有限的期望和方差，即：
Ｅ（袅）－∥，Ｄ（袅）ｔ口２乒０（ｎ一１，２，…），
则随机变量仉一鱼｝的分布函数ｃｏ），对任意的ｘ∈（一曲，＋∞），都有：罗舅一刀肛
ｌｉｍ只Ｏ）一ｌｉｍＰ
ｎ－－●ｏｏ疗—●∞挲忙矗
罗最一这个定理说明，在定理条件下，当ｎ很大时，随机变量豫。－皇｝ｎ／ａ近似服从正
态分布Ⅳ（ｏ，１），或者说，当ｎ很大时，独立同分布的随机变量的和∑岛近似服从正态分
Ｐ降“悻气
’舰毒瓢殷飞阐ｍ。，’
其中曩ｏ）为色的分布函数，口ｊ。Ｅ候），见２√善Ｄ候），则｛色）月艮从中心极限定理，第６页共１６页
３定理的应用
熙Ｐ｛去砉（和ｆ）＜加拙一譬出．
３定理的应用
３．１在生产生活中的应用
例＇某种仪器测量已知量彳时，设ｎ次独立得到的测量数据为毛，ｘ：，…，‘，如果仪器无系统误差，问：当刀充分大时，能否取三罗Ｏ；一彳）２作为仪器测量误差的方差ｎ篇
的近似值？
解把鼍视为万个独立同分布的随机变量毛（ｆ一１，２，…ｎ）的观察值，则Ｅ纯）一Ｊ￡ｌ，Ｄ＠）一仃２（ｆ－１，２，－．－ｎ）。仪器第ｆ次测量的误差鼍一彳的数学期望Ｅ瓴－Ａ）一Ｊ￡ｌ－Ａ，方差Ｄ“一Ａ）一仃２．
设Ｖ—Ｏ。一彳）２（ｉ一１’２＇…＂），则×也相互独立且同分布。在仪器无系统误差时，Ｅ“－Ａ）一０，即有∥一Ａ；
．Ｅ（Ｋ）一Ｅ【（ｔ一彳）‘】一Ｅ【“一戤）‘】
”
＝Ｄ纯）。∥２（ｆ．Ｌ２，…刀）．
由切比雪夫大数定理可知：
烛Ｐ艟枷２㈩吐
即
辫艟瓴－Ａ）－ａ２Ｈ“
从而确定，当ｎ＿．∞时，随机变量三罗Ｏ，一彳）２依概率收敛于仃２，故当玎充分大时，我ｎ箭
们可以取三罗＠；一彳）２作为仪器测量误差的方差。．－
以舒
倒２现有一大批种子．苴中自种占１／６．今存其中仟洗６０００粒．试计笪技必种子中第７页共１６页
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艮种所占的比例与１／６之差小于１％的概翠是多少？
解设取出的种子中良种的粒数为ｘ，则Ｘ一口Ｏ，ｐ），于是
ＥＸ一印－６０００×吾一１０００
ＤＸ一印（１一ｐ）・６０。ｏ×ｉ１×吾一吾舢。ｏ
方法一要估计的规律为，
尸｛岳一爿＜爿２Ｐ仁一１０００｜＜６０），
相当于在切比雪夫不等式中取艿一６０，于是
Ｐ｛ｒ－６盖ｏ，一剖＜志｝｜Ｐ仁一１０００Ｉ＜６。）小万ＤＸ，
由题意有１一罂：１一兰×１０００×—Ｌ：０．７６８５，即用切比雪夫不等式估计此概率不小于６０２６３６００
０．７６８５。
方法二由拉普拉斯中心极限定理，对于二项分布．Ｂ（６０００，匀可用正态分布Ｏ
』ｖｏｏｏｏ，导×１０００）近似，于是所求概率为Ｏ
，Ｐ崎一爿＜南｝＿Ｐ｛９４０＜Ｘ＜１０６０｝
棚Ｊ麓一西
一２①（２．０７８５）－１
一０．９６２５．
从本例可以看出，用切比雪夫不等式所求出的概率不小于０．７６８５，而用中心极限定理得出的概率近似等于０．９６３５，因此，由切比雪夫不等式所取的的下限是十分粗糙的，但由于它的要求比较低，只需要知道Ｘ的期望和方差，故应用起来较为方便，但是要能得到较为精确的概率时，中心极限定理还是起到重要的作用。
例３某单位有２００台电话分机，每台有５％的时间要使用外线通话，假定每台分机是否使用外线是独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能９０％以上的概率保证分机用外线时不等待７第８页共１６页
３定理的应用
解设有Ｘ部分机同时使用外线，则有Ｘ—Ｂ（刀，ｐ）＝Ｂ（２００，０．０５），易知刀一２００，Ｐ－０．０５，ｎｐ＝１０，４—ｎｐ（１—－Ｐ）１３．０８．
设有Ⅳ条外线，由题意有Ｐ忸ｓⅣ）≥０．９，由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理有：
Ｐ仁≤Ⅳ）＝ＰＩｌ√印Ｘ（１－ｒｉ—ｐｐ）＿√印Ｎ（１－ｎ—ｐ葛｝
砷Ｎ－ｒｉｐ万】
砷【等３１．０８】．Ｉ
查表有ｍ（１．２８）ｔｏ．９，故由乌岩苫１．２８ｊ｜１］Ｎ≥１３．９４。取Ⅳ一１４，即至少要装１４条外线。
３．２在数学分析中的应用
数学分析中应用概率论的思想是非常美妙的构思，证明清晰明了。作者在文献【６】中利用非齐次马氏链强大数定律构造了一类奇异单调函数，而非借助于传统的Ｃａｎｔｏｒ展示。尤其多项式逼近连续函数中也容易注意到近似多项式富有意义的构造。下面类似的方法可以用来较易地构造一些熟悉的分析结果。’
例４；用概率方法证明维尔斯特拉斯（Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ）定理：
设厂Ｏ）在闭区间【口，６】上是连续的，则存在一列多项式且＠），Ｂ：＠），…，一致收敛于函数厂Ｏ），工∈陋，ｂ】ｏ
证明不妨设ａ１１０，ｂ－１。可引入新的变量“：石ｉｌｌｐ－ａ）ｕ＋口，使Ｕ∈【Ｏ，１】，那么
由ｆ（ｘ）在ｋ，ｂ】上连续可知，Ｏ）在【０，１】上一致连续且有界。即对于任意￡＞０，存在６＞ｏ，只要ｋ，一ｚ：Ｊ＜６，总有ｌ，ｏ，）一／（ｘ：）Ｉ＜导，其中＿，ｘ：∈【ｏ，１ｌ，此外，对于任意ｚ∈【０’１】，有ｌ，Ｏ）Ｊｓ七（ｋ为常数）。
设随机变量皇，色…￡服从二项分布，则可建立多项式：第９页共１６页
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口。ｏ）．可０邑）
＝多，（竺）ｃ？ｘ４０一石）…，筋ｎ
其中工∈【ｏ，１】，参数以≥１。显然或（ｏ）一厂（ｏ），Ｂ。（１）－ｆＯ）。由贝努利大数定律知：
！姆ｐ．［１专｝一工ｌ＜Ｆ｝一１，ｚ∈ｒ。，１，。
”（１一石）“＿肼下面证明只ｏ）一巧Ｆ￡）一致收敛于ｆ（ｘ），ｚ∈【ｏ，１】ｏ由于∑ｎ１－－赢＝ｂ，ＣＴｘ
故有：，
瓯＠）一厂Ｏ）
＝丸厂（竺）一ｆ（ｘ）］Ｃ？ｘｍ（１一ｘ）“堋笳撑
’
墨妻旧Ｈ＠枉弘矽“
２Ｉ封钾中川叫一＋酣即卡川叫一
＜三＋勉．∑ｑｚ”０一ｚ）一Ｉ！一ｊｌ。６。
＝主＋獬睁州．
而对于任意ｚ∈【ｏ，１】，巫山ｘ，可见存在Ⅳ，使当刀＞时，Ｐ引盐一ｘｌ≥６｝ｓ—≥，而对于任意ｚ∈【ｏ，１】，曼—ｂｘ，可见存在Ⅳ，使当＂Ｎｎ时，Ｐ｛Ｉ益ｎ—ｘ卜６｝ｓ云，ｌＩｌＩ仳从而，当刀＞Ⅳ时，对于一切石∈【０，１】，有：
慨＠）一，＠）ｌ＜三＋三４ｋ一２ｋ主＋主＝￡．
即瓯Ｏ）关于ｚ∈【０，１】一致收敛于厂＠）。
在数学分析中，极限的证明通常也是比较困难的，方法较多，在这里，我们同样也可以运用概率的方法，根据所求的极限构造适当的概率模型，利用大数定律与中心极限第１０页共１６页
３定理的应用
上的连续函数，并且满足条件：存在常数ｃ＞０，使０ｓ厂Ｏ）＜ｃｇ＠）。邮硼酣ｌ一－…妒舞膜懈一叫
证明设随机变量氧，色…￡相互独立且服从均匀分布，且ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）为【ａ，ｂ】（ｏｓ４＜６）上的连续函数，易知｛，（邑）｝和ｋ（色））均为独立同分布的随机变量序列。
取
蟹。一丢骞，（每），；。一丢砉ｇ（岛）・
于是，由辛钦大数定律有：
吼山髟（￡）。亡０，ｏ№（捍－－，，００）ａ
考。山％（￡）一ｉ≥ａｆｇｏ诳（厅＿．∞）ｏ：
Ｄ一．，４
Ｄ一棚
设ｈ（ｒ／。，ｇ－．）。罢÷，Ｙ。－正’厂（蚤），ｚ。．Ｅｇ（氧）．
下面证明‰矗）一芒依概率收敛于‰石）＝器ｉ．’一一ｏ＼，，
由已知ｏ‘厂Ｇ）＜昭（ｘ），二＞０，有ｇ＠）＞三厂Ｏ）苫０，则％（￡）＞０，因此＾（ｙ，ｚ）在点ＪＩｌ（ｙｏ，ｚｏ）处连续，即：对于任意￡＞０，存在６＞０，当１），－ｙｏＩ＜６和ｋ—ｚ。Ｉ＜６时，有
ｌｈ（ｙ，ｚ）－ｈ（ｙｏ，‰）Ｉ＜占．
于是
Ｐ｛ｈ（ｒｌ。，考。）一ｈ（ｙｏ，Ｚｏ）ｌ＜Ｆ｝
．之Ｐ切。一ｙ。Ｉ＜６，胁－Ｚｏ］＜・６｝
乏１一尸｛，７。一夕。ｌ乏６）一尸｛；。一ｚ。ｌ≥６Ｊ．
故有
ｌｉｍＰ｛ｈ（ｒＩｏ，考。）一ｈ（ｙｏ，Ｚｏ）＜占｝－－１，…第１ｌ页共１６页
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一。Ｉ胁％（袅）ｌ辫悟铡“卜Ｉ
因此矗铆。，幺）。蚤依概率收敛于
地∥加器一甓．
＝…ｌｉｍ（ｂ叫”卜ｆ而１条潞，…呶＝…ｌｉｍ（ｂ叫屯［黼】
＝ｌｉｍ（ｂ一口）４Ｅ昙喜飚，＾’＋∞昙套鹏，
＝ｌｉｍ（ｂ一口）”Ｅ（刍．，．厂
＇矗
而ｂ—ａ一１，即ｌｉｍ（ｂ一口）疗一１，所以有：
Ｈ—●∞
…出。：上ｏｒｆ一（ｘ）ｄｘ．．Ｊｃｇｏ皿
由上面推导过程，可知当０＜ｂ一口＜１时，ｌｉｍ（ｂ一口）”－０，则！鲤ｆ—ｆ尝詈若等ｔ…出。＝。．
当ｂ—ａ＞１时，ｌｉｍ（ｂ一口）“一００，贝ＩＪ
＾‘●∞第１２页共１６页
３定理的应用
因此，我们有如下结论：
推论若，Ｏ），ｇＯ）为ｋ，６】上的连续函数，并且满足条件：存在常数ｃ＞０，使０ｓ厂Ｇ）＜ｃｇＯ），则：
坦鲥…ｆ篆器ｔ…妣２ｆｇｏ渺’０’
００，０＜ｂ一口＜１，ｂ－ａ一１＇ｂ－ａ＞１’
此外，我们还可以根据函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的不同，得到不同的极限情况。
例如：分别取ｆ（ｘ）・工２，ｇ（ｘ）一ｘ或是ｆ（ｘ）一ｘ２，ｇ＠）－１，就可以得到文献【１０】和【１２】中的相关结论。
３．３在信息论中的应用
渐近等分性在信源编码问题中有重要的作用，而信源序列的渐近等分性质便是大数定律在信息论中的较好应用。
信息论中，由大数定律的收敛特征，有：
引理１如果｛ｘ，，１墨ｊ『ｓ刀，是独立随机变量序列，｛＾，１ｓ，ｓ以）是Ｂｏｒｅｌ可测函数，则｛，，僻ｆⅪｓｊ『ｓ以＇也是独立随机变量序列。
引理２如果｛ｘ。，ｎ２ｑ是独立同分布的随机变量序列，并且Ｅ（｜ｘ。１）＜∞，ｌＲｓ。＝罗鼍，则有：ｌｉｍＳ．一Ｅ伐）ａ．ｅ爿“’。ｎ
并且，设｛Ｘ。，ｎ２ｑ是一信源在Ｓａ仕２＇…，ｍ’中取值，其联合分布为：
ｖ（ｘｌ＝ｘ１，…，Ｘ。。Ｘｎ）＝ｐ（Ｘｌ，…，ｘ。），Ｘｊ∈Ｓ，１ｓｉ
则我们称一－－１ｌｏｇｐ（Ｘ，，…，Ｘ。）为｛彳。，以苫ｑ在时刻咒的相对熵密度。ｓ刀，
渐近等分性的一般表述是一Ｉｌｏｇｐ（Ｘｌ，．一，Ｘ。）在某种意义下收敛到信源的熵率Ｈ。僻），其中日。（ｘ）＝。ｌｉ．．ｍ。ｌ咒Ｈ（ｘｔ，…，ｘｎ），Ｈ（Ｘｌ，．一，Ｘ一）为以为随机向量的联合熵。这是信息论中的一个重要问题，并且已有了深刻的结论【４】。下面就一简捷事例加以说明强大数定律在这方面的应用。第１３页共１６页
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例６证明：Ｘ。，Ｘ：，…，Ｘ。为独立ｌ司分布的随机过程，并且有公共的分布Ｐ０），则：
。ｌｉ．．ｒａ。一１以１。ｇｐ，（ｘｌ，…，ｘ。）＝日（墨）口卫．
其中Ｈ（Ｘ。）一Ｘ㈣是单个随机变量的公共熵。
证明由于Ｘ。，Ｘ：，…，Ｘ。为独立同分布的随机过程，由引理１易知
１０９ｉ去专，“一Ｌ２，…‘）也是独立同分布的随机变量序列。故由引理２有：‘
…ｌｉｒａ一砉ｌｏｇｐ，．（舻’＾）刮沛孝善ｌｏｇ丽１９４．－．ｑｔＪ月’ｏ嚣露留口．１五：＇
＝Ｅ，ｌ。ｇ厕１
＝日（墨）口名。
４结束语一
大数定律与中心极限定理的理论与实用价值远不只于此，在概率理论的迅速发展下，由它们的收敛思想所衍生出的各种大数定律有着更深的应用价值，在此我们只就基础的收敛理论作了具体分析，希望能起到抛砖引玉的作用，将概率论中最中心的思想一一大数定律与中心极限定律更为详尽的介绍给大家，加深大家对整个概率理论的认识。第１４页共１６页
参考文献
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致谢
致谢
学位论文是在我的导师刘莉教授的悉心指导下完成的，在本文的选题与写作过程中，她给予了耐心细致的指导，导师的博闻强识、对待科学的严谨的态度以及严格要求自己的态度都深深熏陶着我，这使我在今后的学习和工作中受益非浅。在此，我向导师表达深深的敬意和衷心的感谢！
其次，我还要感谢我的各位的同学，在论文的整理写作过程中，得到了她们的大力支持和帮助。
最后，还要感谢我的父母和亲人，是他们对我在学习和生活上提供了无微不至的关心和鼓励，谢谢他们！
吴丽雯
二００八年五月湖北大学
第１６页共１６页
大数定律与中心极限定理的若干应用
作者：
学位授予单位：吴丽雯湖北大学
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引用本文格式：吴丽雯 大数定律与中心极限定理的若干应用[学位论文]硕士 2008
湖北大学
硕士学位论文
大数定律与中心极限定理的若干应用
姓名：吴丽雯
申请学位级别：硕士
专业：基础数学
指导教师：刘莉
20080501
摘要
大数定律是概率论中的重要内容，它以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性，它是随机现象统计规律性的具体表现，在数学应用及经济生活中有着较为重要的作用，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律，并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性，但对于它们的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少。
本文就不同条件下存在的大数定律与中心极限定理做了具体的分析，介绍了几种较为常见的大数定律，并结合它们存在的条件的不同，分析了它们各种适用的数学模型的特征，列举了它们在经济生活、数学分析、信息论等各个不同领域的应用，将理论具体化，将可行的结论用于具体的数学模型中，以使得枯燥的数学理论与实际想结合，使大家对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有了更深的认识。关键词：大数定律；随机变量序列：中心极限定理；应用；熵
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｔｈｅｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｐｒｏｂｌｅｍｓｉｎｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，ｂｙｓｔｒｉｃｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｆｏｒｍｉｔｅｘｐｒｅｓｓｅｓｔｈｅｍｏｓｔｂａｓｉｃｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｔｈｅｒａｎｄｏｍｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ…・・・・一ｔｈｅｓｔａｔｉｏｎａｒｙｏｆａｖｅｒａｇｅｒｅｓｕｌｔｓ．Ｉｔｉｓｔｈｅｃｏｎｃｒｅｔｅｍａｎｉｆｅｓｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒａｎｄｏｍｐｈｅｎ－ｏｍｅｎｏｎｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌａｎｄｒｕｌｅｓ．Ｉｔｉｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｔｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，ｍａｎｙｌｉｔｅｒ－ａｔｕｒｅｓｈａｖｅｇｉｖｅｎｔｈｅｄｉｓｓｉｍｉｌａｒｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓ，ａｎｄｈａｖｅｏｂｔ—ａｉｎｅｄｔｈｅａｓｔｒｉｎｇｅｎｔｕｓｉｎｇｔｈｅｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｃｅｎｔｒａｌｌｉｍｉｔｉｎｇｔｈｅｏｒｅｍｓ，ｂｕｔｔｈｅｒｅｈａｓｎｏｍａｎｙｒｅｓｕｌｔｓｉｎｐｒａｃｔｉｃａｌｌｉｆｅａｎｄａｐｐｌｉｃａｂｌｅｓｃｏｐｅ．Ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅａｎａｌｙｚｅｓｔ－ｈｅｓｏｍｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｃｅｎｔｒａｌｌｉｍｉｔｉｎｇｔｈｅｏｒｅｍｓ，ｉｎｔｒｏｄ・ｕｃｅｓｓｅｖｅｒａｌｋｉｎｄｓｏｆｌａｗｓｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓ，ａｎｄａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｕｎｄｅｒｄｉｆ－ｆｃｒｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｅｎｕｍｅｒａｔｅｓｓｏｍｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｅｃｏｎｏｍｉｃｌｉｆｅ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙａｎｄＳＯｏｎ．Ｉｔｍａｋｅｓｔｈｅｏｒｙｃｏｎｃｒｅｔｅｌｙ，ｃｏｎｓｉｄ—ｅｒｓｓｏｍｅｃｏｎｃｒｅｔｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ，ａｎｄＳＯｍａｋｅｓｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙｒｅａｌｉｔｙ．Ｔｈ－ＵＳｗｅｃａｎｈａｖｅｄｅｅｐｅｒｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｏｎｔｈｅｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｌｉ－ｍｉｔｉｎｇｔｈｅｏｒｅｍ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｔｈｅｌａｗｏｆｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｓ；ｒａｎｄｏｍｖａｒｉａｂｌｅｓ；ｔｈｅｃｅｎｔｒａｌｌｉｍｉｔｉｎｇｔｈｅｏｒｅｍ；Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ；ｅｎｔｒｏｐｙⅡ
湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明
原创性声明
本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。
论文作者签名：昊两炙
日期：加暑年５月多１日
学位论文使用授权说明
本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：
按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。（保密论文在解密后遵守此规定）
作者签名：昊砀芰日期：加苦。Ｓ．多｝指导教师签名；如ｆ翻日期：嘲．㈦
１引言
１引言
概率论与数理统计是研究现实世界随机现象统计规律的科学，是近代数学的重要组成部分。它在自然科学及经济工作中都有着广泛的应用。而大数定律和中心极限定理则概率论中的两类具有极大意义的重要定理，是概率论与数理统计之间承前启后的重要纽带，大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值，它是“算术平均值法则＂的基本理论，在现实生活中，经常可见这一类型的数学模型。例如：在分析天平上秤重量为ａ的物品，若以ｘ１，ｘ，，屯，…，ｚ。表示ｎ次重复称量的结果，经验告诉我们，当ｎ充分大时，它们的算术平均值１开
三ｙｘ，与ａ的偏差就越小。这种思想，不仅在整个概率论中起着重要的作用，而且在其以篇。
他数学领域里面也占据着相当重要的地位；中心极限定理比大数定律更为详细具体，它以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体分布如何，样本均值总是服从或是近似的服从正态分布。正是这个结论使得正态分布在数理统计和误差分析中占用特殊的地位，是正态分布得以广泛应用的理论基础。
现在，大数定律与中心极限定理的相关模型已经被国内外为广大学者研究，特别是应用在实际生活中，如保险业得以存在并不断发展壮大的两个基石中的一个就是大数定理。许多学者在此领域里已经研究出了许多具有价值的成果，如文献【１，２】中讨论了在统计方面的应用，文献【３，４】讨论了在信息论中的应用，文献１６】讨论了在分析、数论等方面的应用。在许多数学领域中，广大学者对某些具有特定类型的数学模型，都能利用大数定律与中心极限定理的思考方式总结其代表性的性质及结论，使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程，方便了研究，但是，很多模型由于存在的条件不同，就需要考虑在各种条件下的大数定律与中心极限定理它们所适用的范围和对不同模型的处理方式。很多科研成果虽然给出了存在条件，由于讨论目的及撰写方式的不同，自然缺少一些较为体系的应用模式，使得这些成果不能较好的发挥其真正的作用。而对大数定律与中心极限定理的应用问题的推广是一项非常有价值的研究方向，通过对这些问题的应用推广，不仅能加深对大数定律与中心极限定律的理解，而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中。下面就是列举的一些能用大数定律与中心极限定理解决的实例，希望能通过这些实例，加深大家对大数定律以及中心极限定理的理解。第１页共１６页
湖北大学硕士学位论文
２相关定义及定理
２．１相关定义，
定义１设￡Ｑ一９２９．・．）为概论空间（Ｑ，Ｆ，尸）上定义的随机变量序列（或简称随机序
！鲤Ｐ｛陵一纠苫占｝。ｏ或！鲤Ｐ｛ｌ幺一纠墨ｅ｝－Ｉ，
舰Ｐ艟叫＜十１或掣艟叫斗。
掣辟器＜ｚ卜拙乞
Ｐ忙口ｌ≥ｓ）ｓ７０－２或尸忙口ｌ＜￡）之１—７０＂２
２相关定义及定理
Ｐ翻≥￡）ｓ专Ｅ蝌）。
２．３常用的大数定律
伯努利大数定律设纵是厅重贝努利实验中事件彳出现的次数，又４在每次实验中出现的概率为Ｐ，则对任意￡＞０，总有：
、！鲤Ｐ睁ｐＩ＜Ｆ）１１．
泊松大数定律如果在一个独立实验序列中，事件Ａ在第ｋ次实验中出现的概率等于ｐ。，以纵记在前以次实验中事件４出现的次数，则对任意￡＞０，都有：。ｌｉ．．ｍ。ＰＪｌｕ＇ｕ忍，一兰鱼二剁＜Ｆ）‘１・
！鲤Ｐ｛ｌ昙骞岛一丢砉Ｅ袅Ｊ＜￡｝。１．切比雪夫大数定律设毛，邑…是一列两两不相苯的随机变量，且它们的方差都有界，即存在常数Ｃ＞０，使有Ｄ袅ｓＣ（ｉ一１，２，…），则对任意ｓ＞０，有：
。马尔可夫大数定律对于随机变量序列毛，’最．．．，．如果砉。（耋岛）＿。成享：？贝！对任意￡＞０，都有：
！塑Ｐ｛Ｉ昙喜岛一ｉ善ｎＥ舅Ｉ＜ｓ｝。１・
辛钦大数定律设岛，邑…是相互独立的随机变量序列，它们服从相同的分布，且有有限的数学期望Ｅ（舅）一口，则对任意的占＞０，有：
‘酬鬻－口Ｉ＜Ｆ）＝１．。
２．４几个大数定律的关系及适用场合
２．４．１各个大数定律之间的关系第３页共１６页
湖北大学硕士学位论文
１、伯努利大数定律是泊松大数定律的特例。在泊松大数定律的条件中，如果Ｐ。１Ｐ，则泊松大数定律也就是伯努利大数定律。伯努利大数定律证明了事件在完全相同条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松大数定律表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随着ｎ的无限增大，在１１次独立试验中，事件Ａ的频率趋于稳定在各次试验中Ａ出现的概率的算术平均值附近。
２、泊松大数定律是切比雪夫大数定律的特例。在泊松大数定律的条件中Ｄ岛一Ｐ。ｑ．墨１，因此也满足切比雪夫大数定律的条件。
３、切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例。在切比雪夫大数定律的条件中Ｄ最ｓＣ（ｆ一１，２，…），由随机变量序列的两两不相关性可知：
砉。（砉氧）一万１善。（氧）ｓ詈一。
故也满足马尔可夫大数定律的条件。
因此，伯努利大数定律、泊松大数定律也都是马尔可夫大数定律的特例。
４、伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情形。．
在伯努利大数定律中，可以定义随机变量
。
白４皂ｆ１，第ｉ次试验出现Ａ
１０，第ｉ沃试验不出现Ａ
则｛色’独立同分布，都服从伯努利分布：
尸饿一１｝一Ｐ，Ｐ信一ｏ｝一口，
并且Ｅ（皇）一Ｐ，因此满足辛钦大数定律的条件。
但是，辛钦大数定律不是泊松大数定律和切比雪夫大数定律的推广，因为辛钦大数定律必须要求同分布。
‘２．４．２大数定律适用条件的分析
‘
辛钦大数定律和伯努利大数定律都要求随机变量序列有独立性、同分布和有有限的数学期望。
泊松大数定律和切比雪夫大数定律对条件有所放松，不要求同分布，但要求有某种独立性。
马尔可夫大数定律对条件作了进一步放松，它不要求同分布，也不要求有独立性，第４页共１６页
２相关定义及定理
只要求满足一种关于二阶矩即方差的条件。
在这些大数定律中，只有辛钦大数定律不要求方差存在的条件。并且，所给出条件中满足条件的一定服从大数定律，但是不满足这些条件的并不一定就不服从大数定律，我们可以根据各种不同的数学模型，利用大数定律收敛的思想，得到许多类似于这些大数定律的结论，方便更多的数学研究。
２．４．３几个大数定律的应用场合分析
伯努利大数定律只适用于伯努利实验（掷硬币模型的一般化），讲的是频率收敛与概率。
泊松大数定律适用于泊松实验（会磨损的掷硬币模型），在实验中，每次还是有两种结果，但概率会发生变化。
切比雪夫大数定律适用于两两不相关的序列（常用的是独立序列）并且有有界的方差，与前面两种大数定律适用的特殊试验，应用范围大为扩展。
马尔可夫大数定律则扩展到了一般的序列，只要满足马尔可夫条件，非常一般化，因此很多大数定律的验证，通常考虑到是否满足马尔可夫条件。
辛钦大数定律适用于独立同分布，经常用于数理统计中的应用。
２．５不同条件下的中心极限定理
“
棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理设随机变量｛色）服从二项分布曰Ｏ，ｐ），则对于任’意区间【口，ｂ】，总有
…ｌｉｍＰ｝ｓ斋＜６一去ｅ｛舭
从而当色一Ｂ（ｎ，Ｐ）时，就有Ｐ卜编＜６｝．ｊｆ去ｊ出
一币ｐ）一西（口）．
则Ｐ仁墨￡≮６）＝Ｐ．ａ－ｒｉｐ；歹ｓ了器＜丽ｂ－ｎｐ｝第５页共１６页
湖北大学硕士学位论文
砷Ｉ如ｂ－。ｎ—ｐ万Ｈ巅％）．
林德贝格一莱维定理设｛邑＞为相互独立的同分布随机变量序列，且有有限的期望和方差，即：
Ｅ（袅）－∥，Ｄ（袅）ｔ口２乒０（ｎ一１，２，…），
则随机变量仉一鱼｝的分布函数ｃｏ），对任意的ｘ∈（一曲，＋∞），都有：罗舅一刀肛
ｌｉｍ只Ｏ）一ｌｉｍＰ
ｎ－－●ｏｏ疗—●∞挲忙矗
罗最一这个定理说明，在定理条件下，当ｎ很大时，随机变量豫。－皇｝ｎ／ａ近似服从正
态分布Ⅳ（ｏ，１），或者说，当ｎ很大时，独立同分布的随机变量的和∑岛近似服从正态分
Ｐ降“悻气
’舰毒瓢殷飞阐ｍ。，’
其中曩ｏ）为色的分布函数，口ｊ。Ｅ候），见２√善Ｄ候），则｛色）月艮从中心极限定理，第６页共１６页
３定理的应用
熙Ｐ｛去砉（和ｆ）＜加拙一譬出．
３定理的应用
３．１在生产生活中的应用
例＇某种仪器测量已知量彳时，设ｎ次独立得到的测量数据为毛，ｘ：，…，‘，如果仪器无系统误差，问：当刀充分大时，能否取三罗Ｏ；一彳）２作为仪器测量误差的方差ｎ篇
的近似值？
解把鼍视为万个独立同分布的随机变量毛（ｆ一１，２，…ｎ）的观察值，则Ｅ纯）一Ｊ￡ｌ，Ｄ＠）一仃２（ｆ－１，２，－．－ｎ）。仪器第ｆ次测量的误差鼍一彳的数学期望Ｅ瓴－Ａ）一Ｊ￡ｌ－Ａ，方差Ｄ“一Ａ）一仃２．
设Ｖ—Ｏ。一彳）２（ｉ一１’２＇…＂），则×也相互独立且同分布。在仪器无系统误差时，Ｅ“－Ａ）一０，即有∥一Ａ；
．Ｅ（Ｋ）一Ｅ【（ｔ一彳）‘】一Ｅ【“一戤）‘】
”
＝Ｄ纯）。∥２（ｆ．Ｌ２，…刀）．
由切比雪夫大数定理可知：
烛Ｐ艟枷２㈩吐
即
辫艟瓴－Ａ）－ａ２Ｈ“
从而确定，当ｎ＿．∞时，随机变量三罗Ｏ，一彳）２依概率收敛于仃２，故当玎充分大时，我ｎ箭
们可以取三罗＠；一彳）２作为仪器测量误差的方差。．－
以舒
倒２现有一大批种子．苴中自种占１／６．今存其中仟洗６０００粒．试计笪技必种子中第７页共１６页
湖北大学硕士学位论文
艮种所占的比例与１／６之差小于１％的概翠是多少？
解设取出的种子中良种的粒数为ｘ，则Ｘ一口Ｏ，ｐ），于是
ＥＸ一印－６０００×吾一１０００
ＤＸ一印（１一ｐ）・６０。ｏ×ｉ１×吾一吾舢。ｏ
方法一要估计的规律为，
尸｛岳一爿＜爿２Ｐ仁一１０００｜＜６０），
相当于在切比雪夫不等式中取艿一６０，于是
Ｐ｛ｒ－６盖ｏ，一剖＜志｝｜Ｐ仁一１０００Ｉ＜６。）小万ＤＸ，
由题意有１一罂：１一兰×１０００×—Ｌ：０．７６８５，即用切比雪夫不等式估计此概率不小于６０２６３６００
０．７６８５。
方法二由拉普拉斯中心极限定理，对于二项分布．Ｂ（６０００，匀可用正态分布Ｏ
』ｖｏｏｏｏ，导×１０００）近似，于是所求概率为Ｏ
，Ｐ崎一爿＜南｝＿Ｐ｛９４０＜Ｘ＜１０６０｝
棚Ｊ麓一西
一２①（２．０７８５）－１
一０．９６２５．
从本例可以看出，用切比雪夫不等式所求出的概率不小于０．７６８５，而用中心极限定理得出的概率近似等于０．９６３５，因此，由切比雪夫不等式所取的的下限是十分粗糙的，但由于它的要求比较低，只需要知道Ｘ的期望和方差，故应用起来较为方便，但是要能得到较为精确的概率时，中心极限定理还是起到重要的作用。
例３某单位有２００台电话分机，每台有５％的时间要使用外线通话，假定每台分机是否使用外线是独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能９０％以上的概率保证分机用外线时不等待７第８页共１６页
３定理的应用
解设有Ｘ部分机同时使用外线，则有Ｘ—Ｂ（刀，ｐ）＝Ｂ（２００，０．０５），易知刀一２００，Ｐ－０．０５，ｎｐ＝１０，４—ｎｐ（１—－Ｐ）１３．０８．
设有Ⅳ条外线，由题意有Ｐ忸ｓⅣ）≥０．９，由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理有：
Ｐ仁≤Ⅳ）＝ＰＩｌ√印Ｘ（１－ｒｉ—ｐｐ）＿√印Ｎ（１－ｎ—ｐ葛｝
砷Ｎ－ｒｉｐ万】
砷【等３１．０８】．Ｉ
查表有ｍ（１．２８）ｔｏ．９，故由乌岩苫１．２８ｊ｜１］Ｎ≥１３．９４。取Ⅳ一１４，即至少要装１４条外线。
３．２在数学分析中的应用
数学分析中应用概率论的思想是非常美妙的构思，证明清晰明了。作者在文献【６】中利用非齐次马氏链强大数定律构造了一类奇异单调函数，而非借助于传统的Ｃａｎｔｏｒ展示。尤其多项式逼近连续函数中也容易注意到近似多项式富有意义的构造。下面类似的方法可以用来较易地构造一些熟悉的分析结果。’
例４；用概率方法证明维尔斯特拉斯（Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ）定理：
设厂Ｏ）在闭区间【口，６】上是连续的，则存在一列多项式且＠），Ｂ：＠），…，一致收敛于函数厂Ｏ），工∈陋，ｂ】ｏ
证明不妨设ａ１１０，ｂ－１。可引入新的变量“：石ｉｌｌｐ－ａ）ｕ＋口，使Ｕ∈【Ｏ，１】，那么
由ｆ（ｘ）在ｋ，ｂ】上连续可知，Ｏ）在【０，１】上一致连续且有界。即对于任意￡＞０，存在６＞ｏ，只要ｋ，一ｚ：Ｊ＜６，总有ｌ，ｏ，）一／（ｘ：）Ｉ＜导，其中＿，ｘ：∈【ｏ，１ｌ，此外，对于任意ｚ∈【０’１】，有ｌ，Ｏ）Ｊｓ七（ｋ为常数）。
设随机变量皇，色…￡服从二项分布，则可建立多项式：第９页共１６页
湖北大学硕士学位论文
口。ｏ）．可０邑）
＝多，（竺）ｃ？ｘ４０一石）…，筋ｎ
其中工∈【ｏ，１】，参数以≥１。显然或（ｏ）一厂（ｏ），Ｂ。（１）－ｆＯ）。由贝努利大数定律知：
！姆ｐ．［１专｝一工ｌ＜Ｆ｝一１，ｚ∈ｒ。，１，。
”（１一石）“＿肼下面证明只ｏ）一巧Ｆ￡）一致收敛于ｆ（ｘ），ｚ∈【ｏ，１】ｏ由于∑ｎ１－－赢＝ｂ，ＣＴｘ
故有：，
瓯＠）一厂Ｏ）
＝丸厂（竺）一ｆ（ｘ）］Ｃ？ｘｍ（１一ｘ）“堋笳撑
’
墨妻旧Ｈ＠枉弘矽“
２Ｉ封钾中川叫一＋酣即卡川叫一
＜三＋勉．∑ｑｚ”０一ｚ）一Ｉ！一ｊｌ。６。
＝主＋獬睁州．
而对于任意ｚ∈【ｏ，１】，巫山ｘ，可见存在Ⅳ，使当刀＞时，Ｐ引盐一ｘｌ≥６｝ｓ—≥，而对于任意ｚ∈【ｏ，１】，曼—ｂｘ，可见存在Ⅳ，使当＂Ｎｎ时，Ｐ｛Ｉ益ｎ—ｘ卜６｝ｓ云，ｌＩｌＩ仳从而，当刀＞Ⅳ时，对于一切石∈【０，１】，有：
慨＠）一，＠）ｌ＜三＋三４ｋ一２ｋ主＋主＝￡．
即瓯Ｏ）关于ｚ∈【０，１】一致收敛于厂＠）。
在数学分析中，极限的证明通常也是比较困难的，方法较多，在这里，我们同样也可以运用概率的方法，根据所求的极限构造适当的概率模型，利用大数定律与中心极限第１０页共１６页
３定理的应用
上的连续函数，并且满足条件：存在常数ｃ＞０，使０ｓ厂Ｏ）＜ｃｇ＠）。邮硼酣ｌ一－…妒舞膜懈一叫
证明设随机变量氧，色…￡相互独立且服从均匀分布，且ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）为【ａ，ｂ】（ｏｓ４＜６）上的连续函数，易知｛，（邑）｝和ｋ（色））均为独立同分布的随机变量序列。
取
蟹。一丢骞，（每），；。一丢砉ｇ（岛）・
于是，由辛钦大数定律有：
吼山髟（￡）。亡０，ｏ№（捍－－，，００）ａ
考。山％（￡）一ｉ≥ａｆｇｏ诳（厅＿．∞）ｏ：
Ｄ一．，４
Ｄ一棚
设ｈ（ｒ／。，ｇ－．）。罢÷，Ｙ。－正’厂（蚤），ｚ。．Ｅｇ（氧）．
下面证明‰矗）一芒依概率收敛于‰石）＝器ｉ．’一一ｏ＼，，
由已知ｏ‘厂Ｇ）＜昭（ｘ），二＞０，有ｇ＠）＞三厂Ｏ）苫０，则％（￡）＞０，因此＾（ｙ，ｚ）在点ＪＩｌ（ｙｏ，ｚｏ）处连续，即：对于任意￡＞０，存在６＞０，当１），－ｙｏＩ＜６和ｋ—ｚ。Ｉ＜６时，有
ｌｈ（ｙ，ｚ）－ｈ（ｙｏ，‰）Ｉ＜占．
于是
Ｐ｛ｈ（ｒｌ。，考。）一ｈ（ｙｏ，Ｚｏ）ｌ＜Ｆ｝
．之Ｐ切。一ｙ。Ｉ＜６，胁－Ｚｏ］＜・６｝
乏１一尸｛，７。一夕。ｌ乏６）一尸｛；。一ｚ。ｌ≥６Ｊ．
故有
ｌｉｍＰ｛ｈ（ｒＩｏ，考。）一ｈ（ｙｏ，Ｚｏ）＜占｝－－１，…第１ｌ页共１６页
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一。Ｉ胁％（袅）ｌ辫悟铡“卜Ｉ
因此矗铆。，幺）。蚤依概率收敛于
地∥加器一甓．
＝…ｌｉｍ（ｂ叫”卜ｆ而１条潞，…呶＝…ｌｉｍ（ｂ叫屯［黼】
＝ｌｉｍ（ｂ一口）４Ｅ昙喜飚，＾’＋∞昙套鹏，
＝ｌｉｍ（ｂ一口）”Ｅ（刍．，．厂
＇矗
而ｂ—ａ一１，即ｌｉｍ（ｂ一口）疗一１，所以有：
Ｈ—●∞
…出。：上ｏｒｆ一（ｘ）ｄｘ．．Ｊｃｇｏ皿
由上面推导过程，可知当０＜ｂ一口＜１时，ｌｉｍ（ｂ一口）”－０，则！鲤ｆ—ｆ尝詈若等ｔ…出。＝。．
当ｂ—ａ＞１时，ｌｉｍ（ｂ一口）“一００，贝ＩＪ
＾‘●∞第１２页共１６页
３定理的应用
因此，我们有如下结论：
推论若，Ｏ），ｇＯ）为ｋ，６】上的连续函数，并且满足条件：存在常数ｃ＞０，使０ｓ厂Ｇ）＜ｃｇＯ），则：
坦鲥…ｆ篆器ｔ…妣２ｆｇｏ渺’０’
００，０＜ｂ一口＜１，ｂ－ａ一１＇ｂ－ａ＞１’
此外，我们还可以根据函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的不同，得到不同的极限情况。
例如：分别取ｆ（ｘ）・工２，ｇ（ｘ）一ｘ或是ｆ（ｘ）一ｘ２，ｇ＠）－１，就可以得到文献【１０】和【１２】中的相关结论。
３．３在信息论中的应用
渐近等分性在信源编码问题中有重要的作用，而信源序列的渐近等分性质便是大数定律在信息论中的较好应用。
信息论中，由大数定律的收敛特征，有：
引理１如果｛ｘ，，１墨ｊ『ｓ刀，是独立随机变量序列，｛＾，１ｓ，ｓ以）是Ｂｏｒｅｌ可测函数，则｛，，僻ｆⅪｓｊ『ｓ以＇也是独立随机变量序列。
引理２如果｛ｘ。，ｎ２ｑ是独立同分布的随机变量序列，并且Ｅ（｜ｘ。１）＜∞，ｌＲｓ。＝罗鼍，则有：ｌｉｍＳ．一Ｅ伐）ａ．ｅ爿“’。ｎ
并且，设｛Ｘ。，ｎ２ｑ是一信源在Ｓａ仕２＇…，ｍ’中取值，其联合分布为：
ｖ（ｘｌ＝ｘ１，…，Ｘ。。Ｘｎ）＝ｐ（Ｘｌ，…，ｘ。），Ｘｊ∈Ｓ，１ｓｉ
则我们称一－－１ｌｏｇｐ（Ｘ，，…，Ｘ。）为｛彳。，以苫ｑ在时刻咒的相对熵密度。ｓ刀，
渐近等分性的一般表述是一Ｉｌｏｇｐ（Ｘｌ，．一，Ｘ。）在某种意义下收敛到信源的熵率Ｈ。僻），其中日。（ｘ）＝。ｌｉ．．ｍ。ｌ咒Ｈ（ｘｔ，…，ｘｎ），Ｈ（Ｘｌ，．一，Ｘ一）为以为随机向量的联合熵。这是信息论中的一个重要问题，并且已有了深刻的结论【４】。下面就一简捷事例加以说明强大数定律在这方面的应用。第１３页共１６页
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例６证明：Ｘ。，Ｘ：，…，Ｘ。为独立ｌ司分布的随机过程，并且有公共的分布Ｐ０），则：
。ｌｉ．．ｒａ。一１以１。ｇｐ，（ｘｌ，…，ｘ。）＝日（墨）口卫．
其中Ｈ（Ｘ。）一Ｘ㈣是单个随机变量的公共熵。
证明由于Ｘ。，Ｘ：，…，Ｘ。为独立同分布的随机过程，由引理１易知
１０９ｉ去专，“一Ｌ２，…‘）也是独立同分布的随机变量序列。故由引理２有：‘
…ｌｉｒａ一砉ｌｏｇｐ，．（舻’＾）刮沛孝善ｌｏｇ丽１９４．－．ｑｔＪ月’ｏ嚣露留口．１五：＇
＝Ｅ，ｌ。ｇ厕１
＝日（墨）口名。
４结束语一
大数定律与中心极限定理的理论与实用价值远不只于此，在概率理论的迅速发展下，由它们的收敛思想所衍生出的各种大数定律有着更深的应用价值，在此我们只就基础的收敛理论作了具体分析，希望能起到抛砖引玉的作用，将概率论中最中心的思想一一大数定律与中心极限定律更为详尽的介绍给大家，加深大家对整个概率理论的认识。第１４页共１６页
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致谢
致谢
学位论文是在我的导师刘莉教授的悉心指导下完成的，在本文的选题与写作过程中，她给予了耐心细致的指导，导师的博闻强识、对待科学的严谨的态度以及严格要求自己的态度都深深熏陶着我，这使我在今后的学习和工作中受益非浅。在此，我向导师表达深深的敬意和衷心的感谢！
其次，我还要感谢我的各位的同学，在论文的整理写作过程中，得到了她们的大力支持和帮助。
最后，还要感谢我的父母和亲人，是他们对我在学习和生活上提供了无微不至的关心和鼓励，谢谢他们！
吴丽雯
二００八年五月湖北大学
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大数定律与中心极限定理的若干应用
作者：
学位授予单位：吴丽雯湖北大学
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引用本文格式：吴丽雯 大数定律与中心极限定理的若干应用[学位论文]硕士 2008