椭圆
一、椭圆定义
2a （ 大于1、椭圆第一定义：平面内一动点到两定点F 1，F 2的距离和等于常数
F 1F 2=2c ）点的集合叫椭圆；即P ={M |
注：当
MF 1
+MF 2=2a }
12
a >c 时轨迹为椭圆；当a =c 时轨迹为线段F F ；当a
2、椭圆第二定义：平面内一动点到一定点的距离与动点到一定直线距离之比是一常数
e ，
(0
1、椭圆标准方程、图形、焦点坐标、顶点坐标、长短轴、离心率、准线方程、参数方程； 2、注：在椭圆中总有a >b >0，且满足
a 2=b 2+c 2；
三、 常见题型及知识总结
1、 椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；
x 2y 2
椭圆+=1(a >b >0) 上一点P (x 0, y 0) 和焦点F 1(-c ,0) ，F 2(c ,0) 为顶点的
a b
P 为短轴端点时α最大，且 ∆PFF 12中，∠FPF 12=α，则当
①
PF 1+PF 2=2a ；
2
②4c =③S ∆PF F
PF 1+PF 2-2PF 1PF 2cos α；
=
α1
PF 1PF 2sin α=b 2⋅tan 。（b 短轴长）
22
22
12
x 2y 2
2、直线与椭圆的位置关系：直线y =k x +b 与椭圆2+2=1(a >b >0) 交于
a b
AB =1-x 2A (x ) 1, y 1) , B (x 2, y
2两点，则
x 2y 2
3、椭圆的中点弦：设A (x 是椭圆2+2=1(a >b >0) 上不同两点，1, y 1), B (x 2, y 2)
a b
M (x 0, y 0) 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且k AB
b 2x 0
=-2；
a y 0
弦长公式中蕴含着设而不求的思想，用点差法求弦长所在直线的斜率很方便； 4、椭圆的离心率
范围：0
c
，a 2=b 2+a
c 2。
x 2y 2
5、椭圆的焦半径:若P (x 0, y 0) 是离心率为e 的椭圆2+2=1(a >b >0) 上任一点，焦点
a b
为F 1(-c ,0) ，F 2(c ,0) ，则焦半径PF 1=a +ex 0，PF 1=a -ex 0； 6、椭圆标准方程的求法
⑴定义法：根据椭圆定义，确定a ，b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程；
⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出a ，b ，从而求出标准方程；
⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为Ax 2+By 2四、 常见题型
椭圆方程的常见题型
1、点P 到定点F (4,0)的距离和它到定直线x =10的距离之比为1:2，则点P 的轨迹方程为 ；
2
2
2
2
=1；
x 2
+y 2=1上的动点，则AQ 中点M 的轨迹方程2、已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆4
是 ；
3、平面内一点M 到两定点F 2(0,-5) 、F 2(0,5)的距离之和为10，则M 的轨迹为（ ） Ａ 椭圆 Ｂ 圆 Ｃ 直线 Ｄ 线段 4、经过点(2,-3) 且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同焦点的椭圆为（ ）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 Ｂ +=1 Ｃ +=1 Ｄ +=1 Ａ
[1**********]105M 5、已知圆x +y =1，从这个圆上任意一点P 向y 轴做垂线段PP 1，则线段PP 1的中点
的轨迹方程是（ ）
2
2
x 2y 222
-y =1 Ｄ x +=1 Ａ 4x +y =1 Ｂ x +4y =1 Ｃ 44
2
2
2
2
6、设一动点P 到直线x =3的距离与它到点A (1,0)的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是 （ ）
x 2y 2x 2y 2(x +1) 2y 2x 2y 2+=1 Ｄ ++=1 Ｂ-=1 Ｃ =1 Ａ
32323223
7、动圆P 与圆C 1:(x +4) 2+y 2=81内切与圆C 2:(x -4) 2+y 2=1外切，求动圆圆心的P 的轨迹方程。
8、已知动圆C 过点A (-2,0) ，且与圆C 2:(x -2) 2+y 2=64相内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ；
9、已知椭圆的焦点在y 轴上，焦距等于4
，并且经过点P (2,-，则椭圆方程为 ；
10、已知中心在原点，两坐标轴为对称轴的椭圆过点A (-
标准方程为 ；
11、设A , B 是两个定点，且|AB |=2，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．
35
, ) ，B ，则该椭圆的22
2a ，则M 的轨迹是； 12、若平面内一动点M 到两定点F 1，F 2之和为常数
13、已知椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程； 14、已知椭圆的焦距是2
，且过点P (，求其标准方程；
椭圆定义的应用
1、已知F 若椭圆长轴长是10，F 2是椭圆的两个焦点，AB 是经过焦点F 1的弦且AB =8，1、求F 2A +F 1B 的值；
２、已知Ａ、AB =4，若点Ｐ的轨迹是以Ａ，Ｂ为焦点的椭圆，则PA +PB 的值可能为（ ）
Ａ ２ Ｂ ３ Ｃ ４ Ｄ ５
x 2y 20
+=1的两个焦点为F 1、F 2，３、椭圆Ｐ为椭圆上一点，若∠F 求∆F 1PF 21PF 2=90，259
的面积。
x 2y 2
+=1上的点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，４、设Ｐ是椭圆，若PF 1=2，则PF 2= 499x 2y 2
+=1上一点Ｍ到焦点F 1的距离为２，Ｎ是MF 1中点，则ON =（ ） 5、椭圆
259
Ａ ２ Ｂ 6 Ｃ ４ Ｄ
3 2
y 2
=1上有一点P ，F 1、F 2分别是椭圆的上下焦点，若PF 1=2PF 2，则6、在椭圆x +9
2
PF 2；
x 2y 2
+=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若7、已知F 1、F 2为椭圆
259
F 2A +F 2B =12，则AB =
x 2y 2
=1的两个焦点，8、设F P 是椭圆上的点，且PF 1：PF 2=4：求∆F 3，F 2为椭圆+1、1PF 2
496
的面积。
m >n >0是方程mx +ny =1表示焦点在y 轴上的椭圆的9、（2009陕西）
22
x 2y 2
+=1表示椭圆，则的取值范围为 ； 10、若方程
k -25-k
x 2
+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，11、（2006全国2）已知∆ABC 的顶点在椭圆且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则∆ABC 的周长是 ；
椭圆与向量有关题型
x 2
例1（2009全国卷理）已知椭圆C ：+y 2=1的右焦点为F ，右准线为l ，A ∈l ，线
段AF 交C 于点B ，若FA =3FB ，则AF ；
x 2y 2例2（2010全国卷2）已知椭圆C ：2+2=1(a >b >
0) 的离心率为，过右焦点F 且
a b 2
A B 斜率为k (k >0) 的直线与C 相交于、两点，且AF =3FB ，则k 为 ；
1、（2008
x 2
湖南株洲）已知椭圆+y 2=1的焦点为F 1、F 2，点
M 在该椭圆上，且
MF 1⋅MF 2=0，则点M 到y 轴的距离为 ；
x 2y 2
P 为椭圆上一点，2、（09上海）已知F 1、F 2是椭圆2+2=1(a >b >0) 的两个焦点，
a b
9b =； 且PF 1F 2的面积为，则1⊥PF 2，若∆PF
x 2y 2
3、已知椭圆C ：+=1的右焦点为F ，右准线为l ，A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，
3
若FA =3FB ，则AF ；
椭圆的离心率问题
x 2y 2
F 1、F 2分别是椭圆2+2=1(a >b >0) 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，例1、以OF 1
a b
为半径的圆与该椭圆的两个交点，且∆F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为；
例2、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60，求椭圆的离心率
的取值范围；
x 2y 21、（2007湖南理）设F 1、F 2分别是椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点，若在其右
a b
准线上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是
x 2y 2
2、在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆2+2=1(a >b >0) 的焦距为2C ，以点O 为圆心，
a b
a 2
a 为半径作圆Ｍ，若过点P (,0) 所作圆Ｍ的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率
c
为 ；
x 2y 2
3、已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，A (-a ,0), B (0,b ) 为椭圆的两个顶点，
a b
若F 到AB
，则椭圆的离心率为 ； x 2y 2
4、已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左右焦点分别为F 1、F 2，且F 1F 2=2c ，点A 在椭
a b
2
圆上，AF 1⋅F 1F 2=0，AF 1⋅AF 2=c ，则椭圆的离心率为 ；
5、已知F 1、F 2，是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于Ａ、Ｂ两点，若∆ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为；
x 2y 26、（2010四川理）椭圆2+2=1(a >b >0) 的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A 。
a b
在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率取值范围
是 ； 7、（2010全国卷1）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线
交Ｃ于点D ，且BF =2FD ，则C 的离心率为 ；
x 2y 2
8、（2010南京二模）以椭圆2+2=1(a >b >0) 的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与
a b
该椭圆的右准线交于A 、B 两点，已知∆O AB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ；
x 2y 2
9、已知A B C 分别为椭圆2+2=1(a >b >0) 的右顶点、上顶点、和左焦点，若
a b ∠ABC =900，则该椭圆的离心率为；
x 2y 23a
10（2012年新课标）设F 1F 2是椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点, P 为直线x =
2a b
E 的离心率为 上一点, ∆F 2PF 1是底角为30的等腰三角形, 则
A ．
（ ） D ．
1
2
B ．
2 3
C ．
3 44 5
x 2y 2
11（2012江西）椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B, 左、右焦点分别是F 1,F 2.
a b
若|AF1|,|F1F 2|,|F1B|成等比数列, 则此椭圆的离心率为_______________.
椭圆的焦点三角形
1、（2009
x 2y 2
北京）椭圆+=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若PF 1=4，则
92
PF 2=∠F 1PF 2的大小为
x 2y 2
+=1上的一点，F 1和F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30 ，则∆F 1PF 2的面积2、P 是椭圆
2516
等于 （ ）
(A )
163
(B ) 4(2-) (C ) 16(2+3) (D )
3
x 2y 2
+=1上的一点，F 1和F 2为左右焦点，若∠F 1PF 2=60 。 3、P 是椭圆
259
（1）求∆F （2）求点P 的坐标。 1PF 2的面积；
焦半径问题
x 2y 2１（2010东莞）椭圆点P 在椭圆上，如果线段PF 1+=1的左右焦点分别为F 1、F 2，
的中点在y 轴上，那么PF 1是的PF 2的倍；
椭圆的中点弦问题
例1、已知椭圆ax +by =1(a >b >0) 与直线x +y -1=0相交于A 、B 两点，C 是AB
2
2
的中点，若AB =，OC
的斜率为
，求椭圆方程。 2
x 2y 2
+=1于A 、B 两点，AB 中点的坐标是(2,1)，则直线l 的方程为 1、直线l 交椭圆
1612
x 2y 2
+=1，2、已知椭圆的方程是则以点P (-2,1) 为中点的弦所在的直线方程是． 164
x 2y 2
P 在椭圆Ｃ上，且3、椭圆Ｃ：2+2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点
a b 414
PF 1⊥F 1F 2，PF 1=, PF 2=。
33
（I ）求椭圆Ｃ的方程；
（II ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x -2y =0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程。
直线与椭圆的关系题型
x 2y 2
例1、（2010辽宁）设椭圆Ｃ：2+2=1(a >b >0)的右焦点为Ｆ，过F 的直线 l 与椭
a b
圆Ｃ相交于Ａ、B 两点，直线l 的倾斜角为60，AF =2FB 。
⑴ 求椭圆C 的离心率；. ⑵ 如果AB =
15
，求椭圆C 的方程。 4
x 2y 2例2、（2011北京卷）已知椭圆G :2+2=1(a >b >
0) 的离心率为，右焦点为
a b 3
（），斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为
P (-3,2) 。
（I ）求椭圆G 的方程； （II ）求∆PAB 的面积。
3x 2y 2
1、（2011陕西卷）设椭圆C: 2+2=1(a >b >0)过点（0，4），离心率为
5a b
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为
4
的直线被C 所截线段的中点坐标。 5
x 2y 2
2、（2011天津）设椭圆2+2=1(a >b >0) 的左右焦点分别为F 1、F 2，点P (a , b ) 满足
a b
PF 2=FF 12。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A 、B 两点，若直线PF
2与圆(x +1) 2+(y 2=16相
交于M 、N 两点，且MN =
5
AB ，求椭圆的方程。 8
x 2
+y 2=1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同3、（2012陕西卷）已知椭圆C 1：4
的离心率。
（1）求椭圆C 2的方程；
A B （2）设为坐标原点，点、分别在椭圆C 1和C 2上，OB =2OA ，求直线AB 的方程。
4、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l ：y =kx +m 与椭圆C 相交于不同的A 、B 两点，（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
椭圆
一、椭圆定义
2a （ 大于1、椭圆第一定义：平面内一动点到两定点F 1，F 2的距离和等于常数
F 1F 2=2c ）点的集合叫椭圆；即P ={M |
注：当
MF 1
+MF 2=2a }
12
a >c 时轨迹为椭圆；当a =c 时轨迹为线段F F ；当a
2、椭圆第二定义：平面内一动点到一定点的距离与动点到一定直线距离之比是一常数
e ，
(0
1、椭圆标准方程、图形、焦点坐标、顶点坐标、长短轴、离心率、准线方程、参数方程； 2、注：在椭圆中总有a >b >0，且满足
a 2=b 2+c 2；
三、 常见题型及知识总结
1、 椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；
x 2y 2
椭圆+=1(a >b >0) 上一点P (x 0, y 0) 和焦点F 1(-c ,0) ，F 2(c ,0) 为顶点的
a b
P 为短轴端点时α最大，且 ∆PFF 12中，∠FPF 12=α，则当
①
PF 1+PF 2=2a ；
2
②4c =③S ∆PF F
PF 1+PF 2-2PF 1PF 2cos α；
=
α1
PF 1PF 2sin α=b 2⋅tan 。（b 短轴长）
22
22
12
x 2y 2
2、直线与椭圆的位置关系：直线y =k x +b 与椭圆2+2=1(a >b >0) 交于
a b
AB =1-x 2A (x ) 1, y 1) , B (x 2, y
2两点，则
x 2y 2
3、椭圆的中点弦：设A (x 是椭圆2+2=1(a >b >0) 上不同两点，1, y 1), B (x 2, y 2)
a b
M (x 0, y 0) 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且k AB
b 2x 0
=-2；
a y 0
弦长公式中蕴含着设而不求的思想，用点差法求弦长所在直线的斜率很方便； 4、椭圆的离心率
范围：0
c
，a 2=b 2+a
c 2。
x 2y 2
5、椭圆的焦半径:若P (x 0, y 0) 是离心率为e 的椭圆2+2=1(a >b >0) 上任一点，焦点
a b
为F 1(-c ,0) ，F 2(c ,0) ，则焦半径PF 1=a +ex 0，PF 1=a -ex 0； 6、椭圆标准方程的求法
⑴定义法：根据椭圆定义，确定a ，b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程；
⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出a ，b ，从而求出标准方程；
⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为Ax 2+By 2四、 常见题型
椭圆方程的常见题型
1、点P 到定点F (4,0)的距离和它到定直线x =10的距离之比为1:2，则点P 的轨迹方程为 ；
2
2
2
2
=1；
x 2
+y 2=1上的动点，则AQ 中点M 的轨迹方程2、已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆4
是 ；
3、平面内一点M 到两定点F 2(0,-5) 、F 2(0,5)的距离之和为10，则M 的轨迹为（ ） Ａ 椭圆 Ｂ 圆 Ｃ 直线 Ｄ 线段 4、经过点(2,-3) 且与椭圆9x 2+4y 2=36有共同焦点的椭圆为（ ）
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
+=1 Ｂ +=1 Ｃ +=1 Ｄ +=1 Ａ
[1**********]105M 5、已知圆x +y =1，从这个圆上任意一点P 向y 轴做垂线段PP 1，则线段PP 1的中点
的轨迹方程是（ ）
2
2
x 2y 222
-y =1 Ｄ x +=1 Ａ 4x +y =1 Ｂ x +4y =1 Ｃ 44
2
2
2
2
6、设一动点P 到直线x =3的距离与它到点A (1,0)的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是 （ ）
x 2y 2x 2y 2(x +1) 2y 2x 2y 2+=1 Ｄ ++=1 Ｂ-=1 Ｃ =1 Ａ
32323223
7、动圆P 与圆C 1:(x +4) 2+y 2=81内切与圆C 2:(x -4) 2+y 2=1外切，求动圆圆心的P 的轨迹方程。
8、已知动圆C 过点A (-2,0) ，且与圆C 2:(x -2) 2+y 2=64相内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ；
9、已知椭圆的焦点在y 轴上，焦距等于4
，并且经过点P (2,-，则椭圆方程为 ；
10、已知中心在原点，两坐标轴为对称轴的椭圆过点A (-
标准方程为 ；
11、设A , B 是两个定点，且|AB |=2，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．
35
, ) ，B ，则该椭圆的22
2a ，则M 的轨迹是； 12、若平面内一动点M 到两定点F 1，F 2之和为常数
13、已知椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程； 14、已知椭圆的焦距是2
，且过点P (，求其标准方程；
椭圆定义的应用
1、已知F 若椭圆长轴长是10，F 2是椭圆的两个焦点，AB 是经过焦点F 1的弦且AB =8，1、求F 2A +F 1B 的值；
２、已知Ａ、AB =4，若点Ｐ的轨迹是以Ａ，Ｂ为焦点的椭圆，则PA +PB 的值可能为（ ）
Ａ ２ Ｂ ３ Ｃ ４ Ｄ ５
x 2y 20
+=1的两个焦点为F 1、F 2，３、椭圆Ｐ为椭圆上一点，若∠F 求∆F 1PF 21PF 2=90，259
的面积。
x 2y 2
+=1上的点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，４、设Ｐ是椭圆，若PF 1=2，则PF 2= 499x 2y 2
+=1上一点Ｍ到焦点F 1的距离为２，Ｎ是MF 1中点，则ON =（ ） 5、椭圆
259
Ａ ２ Ｂ 6 Ｃ ４ Ｄ
3 2
y 2
=1上有一点P ，F 1、F 2分别是椭圆的上下焦点，若PF 1=2PF 2，则6、在椭圆x +9
2
PF 2；
x 2y 2
+=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若7、已知F 1、F 2为椭圆
259
F 2A +F 2B =12，则AB =
x 2y 2
=1的两个焦点，8、设F P 是椭圆上的点，且PF 1：PF 2=4：求∆F 3，F 2为椭圆+1、1PF 2
496
的面积。
m >n >0是方程mx +ny =1表示焦点在y 轴上的椭圆的9、（2009陕西）
22
x 2y 2
+=1表示椭圆，则的取值范围为 ； 10、若方程
k -25-k
x 2
+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，11、（2006全国2）已知∆ABC 的顶点在椭圆且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则∆ABC 的周长是 ；
椭圆与向量有关题型
x 2
例1（2009全国卷理）已知椭圆C ：+y 2=1的右焦点为F ，右准线为l ，A ∈l ，线
段AF 交C 于点B ，若FA =3FB ，则AF ；
x 2y 2例2（2010全国卷2）已知椭圆C ：2+2=1(a >b >
0) 的离心率为，过右焦点F 且
a b 2
A B 斜率为k (k >0) 的直线与C 相交于、两点，且AF =3FB ，则k 为 ；
1、（2008
x 2
湖南株洲）已知椭圆+y 2=1的焦点为F 1、F 2，点
M 在该椭圆上，且
MF 1⋅MF 2=0，则点M 到y 轴的距离为 ；
x 2y 2
P 为椭圆上一点，2、（09上海）已知F 1、F 2是椭圆2+2=1(a >b >0) 的两个焦点，
a b
9b =； 且PF 1F 2的面积为，则1⊥PF 2，若∆PF
x 2y 2
3、已知椭圆C ：+=1的右焦点为F ，右准线为l ，A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，
3
若FA =3FB ，则AF ；
椭圆的离心率问题
x 2y 2
F 1、F 2分别是椭圆2+2=1(a >b >0) 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，例1、以OF 1
a b
为半径的圆与该椭圆的两个交点，且∆F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为；
例2、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60，求椭圆的离心率
的取值范围；
x 2y 21、（2007湖南理）设F 1、F 2分别是椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点，若在其右
a b
准线上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是
x 2y 2
2、在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆2+2=1(a >b >0) 的焦距为2C ，以点O 为圆心，
a b
a 2
a 为半径作圆Ｍ，若过点P (,0) 所作圆Ｍ的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率
c
为 ；
x 2y 2
3、已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，A (-a ,0), B (0,b ) 为椭圆的两个顶点，
a b
若F 到AB
，则椭圆的离心率为 ； x 2y 2
4、已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左右焦点分别为F 1、F 2，且F 1F 2=2c ，点A 在椭
a b
2
圆上，AF 1⋅F 1F 2=0，AF 1⋅AF 2=c ，则椭圆的离心率为 ；
5、已知F 1、F 2，是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于Ａ、Ｂ两点，若∆ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率为；
x 2y 26、（2010四川理）椭圆2+2=1(a >b >0) 的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A 。
a b
在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率取值范围
是 ； 7、（2010全国卷1）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线
交Ｃ于点D ，且BF =2FD ，则C 的离心率为 ；
x 2y 2
8、（2010南京二模）以椭圆2+2=1(a >b >0) 的右焦点为圆心的圆经过原点O ，且与
a b
该椭圆的右准线交于A 、B 两点，已知∆O AB 是正三角形，则该椭圆的离心率是 ；
x 2y 2
9、已知A B C 分别为椭圆2+2=1(a >b >0) 的右顶点、上顶点、和左焦点，若
a b ∠ABC =900，则该椭圆的离心率为；
x 2y 23a
10（2012年新课标）设F 1F 2是椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点, P 为直线x =
2a b
E 的离心率为 上一点, ∆F 2PF 1是底角为30的等腰三角形, 则
A ．
（ ） D ．
1
2
B ．
2 3
C ．
3 44 5
x 2y 2
11（2012江西）椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B, 左、右焦点分别是F 1,F 2.
a b
若|AF1|,|F1F 2|,|F1B|成等比数列, 则此椭圆的离心率为_______________.
椭圆的焦点三角形
1、（2009
x 2y 2
北京）椭圆+=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若PF 1=4，则
92
PF 2=∠F 1PF 2的大小为
x 2y 2
+=1上的一点，F 1和F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30 ，则∆F 1PF 2的面积2、P 是椭圆
2516
等于 （ ）
(A )
163
(B ) 4(2-) (C ) 16(2+3) (D )
3
x 2y 2
+=1上的一点，F 1和F 2为左右焦点，若∠F 1PF 2=60 。 3、P 是椭圆
259
（1）求∆F （2）求点P 的坐标。 1PF 2的面积；
焦半径问题
x 2y 2１（2010东莞）椭圆点P 在椭圆上，如果线段PF 1+=1的左右焦点分别为F 1、F 2，
的中点在y 轴上，那么PF 1是的PF 2的倍；
椭圆的中点弦问题
例1、已知椭圆ax +by =1(a >b >0) 与直线x +y -1=0相交于A 、B 两点，C 是AB
2
2
的中点，若AB =，OC
的斜率为
，求椭圆方程。 2
x 2y 2
+=1于A 、B 两点，AB 中点的坐标是(2,1)，则直线l 的方程为 1、直线l 交椭圆
1612
x 2y 2
+=1，2、已知椭圆的方程是则以点P (-2,1) 为中点的弦所在的直线方程是． 164
x 2y 2
P 在椭圆Ｃ上，且3、椭圆Ｃ：2+2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，点
a b 414
PF 1⊥F 1F 2，PF 1=, PF 2=。
33
（I ）求椭圆Ｃ的方程；
（II ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x -2y =0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程。
直线与椭圆的关系题型
x 2y 2
例1、（2010辽宁）设椭圆Ｃ：2+2=1(a >b >0)的右焦点为Ｆ，过F 的直线 l 与椭
a b
圆Ｃ相交于Ａ、B 两点，直线l 的倾斜角为60，AF =2FB 。
⑴ 求椭圆C 的离心率；. ⑵ 如果AB =
15
，求椭圆C 的方程。 4
x 2y 2例2、（2011北京卷）已知椭圆G :2+2=1(a >b >
0) 的离心率为，右焦点为
a b 3
（），斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为
P (-3,2) 。
（I ）求椭圆G 的方程； （II ）求∆PAB 的面积。
3x 2y 2
1、（2011陕西卷）设椭圆C: 2+2=1(a >b >0)过点（0，4），离心率为
5a b
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为
4
的直线被C 所截线段的中点坐标。 5
x 2y 2
2、（2011天津）设椭圆2+2=1(a >b >0) 的左右焦点分别为F 1、F 2，点P (a , b ) 满足
a b
PF 2=FF 12。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A 、B 两点，若直线PF
2与圆(x +1) 2+(y 2=16相
交于M 、N 两点，且MN =
5
AB ，求椭圆的方程。 8
x 2
+y 2=1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同3、（2012陕西卷）已知椭圆C 1：4
的离心率。
（1）求椭圆C 2的方程；
A B （2）设为坐标原点，点、分别在椭圆C 1和C 2上，OB =2OA ，求直线AB 的方程。
4、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线l ：y =kx +m 与椭圆C 相交于不同的A 、B 两点，（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。