2014年华约自主招生数学试题
1. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5是正整数, 任取四个其和组成的集合为{44,45,46,47},求这五个数.
1
2. 乒乓球比赛, 五局三胜制. 任一局甲胜的概率是p (p >) , 甲赢得比赛的概率是q , 求p 为
2
多少时, q -p 取得最大值.
π
3.
函数f (x ) =x -sin x )sin(x +) -2a sin x +b (a >0) 的最大值为1, 最小值为-4, 求
4
a , b 的值.
4.(1)证明y =f (g (x )) 的反函数为y =g -1(f -1(x )) ;
(2)F (x ) =f (-x ), G (x ) =f -1(x ) , 若G (x ) 的反函数是F (x ) , 证明f (x ) 为奇函数.
x 2y 2
5. 已知椭圆2+2=1与圆x 2+y 2=b 2, 过椭圆上一点M 作圆的两切线, 切点分别为P , Q ,
a b
直线PQ 与x , y 轴分别交于点E , F , 求S ∆EOF 的最小值.
6. 已知数列{a n }满足:a 1=0, a n +1=np n +qa n .(1)若q =1, 求a n ;(2)若|p |
x
7. 已知n ∈N *, x ≤n , 求证:n -n (1-) n e x ≤x 2.
n
华约参考答案:
1. 【解】五个数任取四个应该可以得到C 54=5个不同的和, 现条件中只有4个不同的和, 故必有两个和值相同. 而这五个和值之和为4(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5) , 是4的倍数, 所以这个相同
44+45+46+46+47
=57, 故这五个数
4
分别为57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13. 2. 【解】若共比赛了3局, 则甲赢得比赛的概率为p 3;
的和值只可能是46, 从而有x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=
若共赛了4局, 则最后一局甲胜, 甲赢得比赛的概率为C 32p 3(1-p ) ; 若共比赛了5局, 则最后一局甲胜, 甲赢比赛的概率为C 42p 3(1-p ) 2, 因此
32
q =p 3+C 32p (1-p ) +C 4p (13-p ) ,
所以q -p =p 3+C 32p 3(1-p ) +C 42p 3(1-p ) 2-p =6p 5-15p 4+10p 3-p , p >
1
; 2
1
, 则f '(p ) =30p 4-60p 3+30p 2-1, 2
1
即f '(p ) =30p 4-60p 3+30p 2-1=30[p 2(p 2-2p +1) -],
30
1
所以f '(p ) =30[p 2(p -1) 2-]=30(p 2-p p 2-p +,
301
又因为p ∈(,1) , 所以p 2
故p 2-p
2 设f (p ) =6p 5-15p 4+10p 3-p , p > 所以令f '(p ) =0时,
即p 2-p =0,
得p =
=
1; 211
又因为p ∈(,1) ,
所以取p =+,
22111易知当p ∈(, +时
, f '(p ) >0, p ∈(+时, f '(p )
222所以当p =
1+时, f (p ) 有唯一极大值, 也是最大值. 23. 【解】易知f (x ) =(cos2x -sin 2x ) -2a sin x +b =-sin 2x -2a sin x +b + 则问题等价于g (t ) =-t 2-2ax +b +
1
, 令t =sin x , 2
1
在[-1,1]上的最大值和最小值分别为1和-4. 2
①当对称轴t =-a ≤-1, 即a ≥1时, 则g (t ) 在[-1,1]上递减, 则 ⎧
g (-1) =2a +b ⎪⎪ ⎨
⎪g (1) =-2a +b ⎪⎩
1
212
5=1, ⎧
⎪a =, , 解得⎨4
⎪=-4⎩b =-1
1⎧2
g (-a ) =a +b +=1⎪⎪2②当对称轴-11⎪g (1)=-2a +b -=-4
⎪2⎩
消去b 得a 2+2a -4=0,
解得a =-1±(0,1), 舍去.
5
综上①②可知, a =, b =-1为所求.
4
4. 【解】(1)证明:由反函数定义可知y =f (g (x )) 的反函数为x =f (g (y )) , 故
f -1(x ) =f -1(f (g (y ))) =g (y ) , 从而g -1(f -1(x )) =g -1(g (y )) =y , 所以y =g -1(f -1(x )) 为y =f (g (x )) 的反函数. (2)由G (x ) 的反函数是F (x ) , 故G (F (x )) =G (G -1(x )) =x ,
则f (x ) =f (G (F (x ))), 又因为G (x ) =f -1(x ) , 所以G (F (x )) =f -1(-F (x )) ,
代入得f (x ) =f (G (F (x ))), =f (f -1(-F (x ))) =-F (x ) =-f (-x ) , 所以f (x ) 为奇函数. 5. 【解】设M (a cos θ, b sin θ)(θ∈[0,2π)) , 直线PQ 为点M 关于圆x 2+y 2=b 2的切点弦, 其
b 2b
方程为(a cos θ) x +(b sin θ) y =b , 从而x E =, , y F =
a cos θsin θ
1b 3b 3
于是S ∆EOF =|x E |⋅|x F |=≥,
2a |sin 2θ|a
2
, ) 时, 上述等号成立. 6. 【解】(1)当q =1时, a n +1-a n =np n , 则a n -a n -1=(n -1) p n -1(n ≥2) 由累加法得a n =a n -a n -1+a n -1-a n -2+ +a 2-a 1+a 1(n ≥2) ,
当且仅当M ( 即a n =p +2p 2+3p 3+ +(n -1) p n -1(n ≥2) ……(1)
n (n -1)
; 当n =1时, a 1=0也适合; 22
②当p ≠1时, pa n =p +2p 3+ +(n -1) p n ……(2)
①当p =1时, a n =
由(1)-(2)得a n -pa n =p +p 2+p 3+ +p n -1-(n -1) p n ,
p (1-p n -1)
-(n -1) p n
(n -1) p n +1-np n +p 1-p
所以a n =, 当n =1时, a 1=0也适合; =
1-p (1-p ) 2⎧n (n -1)
⎪⎪2
于是a n =⎨n +1n
⎪(n -1) p -np +p ⎪(1-p ) 2⎩
p =1
.
p ≠1
(2)由|a n +1|=|np n +qa n |≤|np n |+|qa n |≤n |p |n +|a n |, 所以|a n +1|-|a n |≤n |p |n , 于是|a n |-|a n -1|≤(n -1) |p |n -1(n ≥2)
由累加法得a n =a n -a n -1+a n -1-a n -2+ +a 2-a 1+a 1(n ≥2)
(n -1) |p |n +1-n |p |n +|p |
故|a n |≤|p |+2|p |+ +(n -1) |p |=, 2
(1-|p |)
2
n -1
而(n -1) |p |n +1-n |p |n ≤(n -1) |p |n -n |p |=-|p |n
x
x n
7. 【证明】原不等式等价于n -x ≤n ((1-) ⋅e ) n .
n
当x 2≥n , 上述不等式左边非正, 不等式成立;
当x 2-1) ,
2
x
x n x x n x 2n x 2n
从而n ((1-) ⋅e ) ≥n ((1-) ⋅(1+)) =n (1-2) ≥n (1-n ⋅2) =n -x 2, 即证.
n n n n n
|p |
, 显然a 1=0也成立.
(1-|p |)2
2014年华约自主招生数学试题
1. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5是正整数, 任取四个其和组成的集合为{44,45,46,47},求这五个数.
1
2. 乒乓球比赛, 五局三胜制. 任一局甲胜的概率是p (p >) , 甲赢得比赛的概率是q , 求p 为
2
多少时, q -p 取得最大值.
π
3.
函数f (x ) =x -sin x )sin(x +) -2a sin x +b (a >0) 的最大值为1, 最小值为-4, 求
4
a , b 的值.
4.(1)证明y =f (g (x )) 的反函数为y =g -1(f -1(x )) ;
(2)F (x ) =f (-x ), G (x ) =f -1(x ) , 若G (x ) 的反函数是F (x ) , 证明f (x ) 为奇函数.
x 2y 2
5. 已知椭圆2+2=1与圆x 2+y 2=b 2, 过椭圆上一点M 作圆的两切线, 切点分别为P , Q ,
a b
直线PQ 与x , y 轴分别交于点E , F , 求S ∆EOF 的最小值.
6. 已知数列{a n }满足:a 1=0, a n +1=np n +qa n .(1)若q =1, 求a n ;(2)若|p |
x
7. 已知n ∈N *, x ≤n , 求证:n -n (1-) n e x ≤x 2.
n
华约参考答案:
1. 【解】五个数任取四个应该可以得到C 54=5个不同的和, 现条件中只有4个不同的和, 故必有两个和值相同. 而这五个和值之和为4(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5) , 是4的倍数, 所以这个相同
44+45+46+46+47
=57, 故这五个数
4
分别为57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13. 2. 【解】若共比赛了3局, 则甲赢得比赛的概率为p 3;
的和值只可能是46, 从而有x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=
若共赛了4局, 则最后一局甲胜, 甲赢得比赛的概率为C 32p 3(1-p ) ; 若共比赛了5局, 则最后一局甲胜, 甲赢比赛的概率为C 42p 3(1-p ) 2, 因此
32
q =p 3+C 32p (1-p ) +C 4p (13-p ) ,
所以q -p =p 3+C 32p 3(1-p ) +C 42p 3(1-p ) 2-p =6p 5-15p 4+10p 3-p , p >
1
; 2
1
, 则f '(p ) =30p 4-60p 3+30p 2-1, 2
1
即f '(p ) =30p 4-60p 3+30p 2-1=30[p 2(p 2-2p +1) -],
30
1
所以f '(p ) =30[p 2(p -1) 2-]=30(p 2-p p 2-p +,
301
又因为p ∈(,1) , 所以p 2
故p 2-p
2 设f (p ) =6p 5-15p 4+10p 3-p , p > 所以令f '(p ) =0时,
即p 2-p =0,
得p =
=
1; 211
又因为p ∈(,1) ,
所以取p =+,
22111易知当p ∈(, +时
, f '(p ) >0, p ∈(+时, f '(p )
222所以当p =
1+时, f (p ) 有唯一极大值, 也是最大值. 23. 【解】易知f (x ) =(cos2x -sin 2x ) -2a sin x +b =-sin 2x -2a sin x +b + 则问题等价于g (t ) =-t 2-2ax +b +
1
, 令t =sin x , 2
1
在[-1,1]上的最大值和最小值分别为1和-4. 2
①当对称轴t =-a ≤-1, 即a ≥1时, 则g (t ) 在[-1,1]上递减, 则 ⎧
g (-1) =2a +b ⎪⎪ ⎨
⎪g (1) =-2a +b ⎪⎩
1
212
5=1, ⎧
⎪a =, , 解得⎨4
⎪=-4⎩b =-1
1⎧2
g (-a ) =a +b +=1⎪⎪2②当对称轴-11⎪g (1)=-2a +b -=-4
⎪2⎩
消去b 得a 2+2a -4=0,
解得a =-1±(0,1), 舍去.
5
综上①②可知, a =, b =-1为所求.
4
4. 【解】(1)证明:由反函数定义可知y =f (g (x )) 的反函数为x =f (g (y )) , 故
f -1(x ) =f -1(f (g (y ))) =g (y ) , 从而g -1(f -1(x )) =g -1(g (y )) =y , 所以y =g -1(f -1(x )) 为y =f (g (x )) 的反函数. (2)由G (x ) 的反函数是F (x ) , 故G (F (x )) =G (G -1(x )) =x ,
则f (x ) =f (G (F (x ))), 又因为G (x ) =f -1(x ) , 所以G (F (x )) =f -1(-F (x )) ,
代入得f (x ) =f (G (F (x ))), =f (f -1(-F (x ))) =-F (x ) =-f (-x ) , 所以f (x ) 为奇函数. 5. 【解】设M (a cos θ, b sin θ)(θ∈[0,2π)) , 直线PQ 为点M 关于圆x 2+y 2=b 2的切点弦, 其
b 2b
方程为(a cos θ) x +(b sin θ) y =b , 从而x E =, , y F =
a cos θsin θ
1b 3b 3
于是S ∆EOF =|x E |⋅|x F |=≥,
2a |sin 2θ|a
2
, ) 时, 上述等号成立. 6. 【解】(1)当q =1时, a n +1-a n =np n , 则a n -a n -1=(n -1) p n -1(n ≥2) 由累加法得a n =a n -a n -1+a n -1-a n -2+ +a 2-a 1+a 1(n ≥2) ,
当且仅当M ( 即a n =p +2p 2+3p 3+ +(n -1) p n -1(n ≥2) ……(1)
n (n -1)
; 当n =1时, a 1=0也适合; 22
②当p ≠1时, pa n =p +2p 3+ +(n -1) p n ……(2)
①当p =1时, a n =
由(1)-(2)得a n -pa n =p +p 2+p 3+ +p n -1-(n -1) p n ,
p (1-p n -1)
-(n -1) p n
(n -1) p n +1-np n +p 1-p
所以a n =, 当n =1时, a 1=0也适合; =
1-p (1-p ) 2⎧n (n -1)
⎪⎪2
于是a n =⎨n +1n
⎪(n -1) p -np +p ⎪(1-p ) 2⎩
p =1
.
p ≠1
(2)由|a n +1|=|np n +qa n |≤|np n |+|qa n |≤n |p |n +|a n |, 所以|a n +1|-|a n |≤n |p |n , 于是|a n |-|a n -1|≤(n -1) |p |n -1(n ≥2)
由累加法得a n =a n -a n -1+a n -1-a n -2+ +a 2-a 1+a 1(n ≥2)
(n -1) |p |n +1-n |p |n +|p |
故|a n |≤|p |+2|p |+ +(n -1) |p |=, 2
(1-|p |)
2
n -1
而(n -1) |p |n +1-n |p |n ≤(n -1) |p |n -n |p |=-|p |n
x
x n
7. 【证明】原不等式等价于n -x ≤n ((1-) ⋅e ) n .
n
当x 2≥n , 上述不等式左边非正, 不等式成立;
当x 2-1) ,
2
x
x n x x n x 2n x 2n
从而n ((1-) ⋅e ) ≥n ((1-) ⋅(1+)) =n (1-2) ≥n (1-n ⋅2) =n -x 2, 即证.
n n n n n
|p |
, 显然a 1=0也成立.
(1-|p |)2