弹性力学
对于均匀、各向同性材料，可以证明只有两个独立弹性常数，3各常数之间存在关系：G =
E
。
2(1+μ)
广义胡克定律的体积式：体积应变：θ=εx +εy +εz ；体积应力：
Θ=σx +σy +σz ，则：θ=
1-2ν
Θ。 E
各向同性体的体积改变定律：σm =
E
θ=K θ. 其中体积模量：
3(1-ν2)
K =
E
3(1-2ν)
弹性力学解的唯一性定理：弹性体在给定体力、面力和约束条件的情况下而
处于平衡时，体内各点的应力分量、应变分量的解是唯一的。
塑性力学
从物理上看，塑性变形过程属于不可逆过程，并且必然伴随机械能的耗散。研究塑性力学问题主要采用宏观的方法，即联系介质力学的方法，它不去探究材料塑性变形的内在机理，而是从材料的宏观塑性行为中抽象出力学模型，并建立相应的数学物理方程来予以描述，应力平衡方程和应变位移间的几何关系是与材料性质无关的，因此对弹性力学与塑性力学都一样，弹性力学与塑性力学的差别主要表现在应力与应变的物理关系的不同。屈服条件以及塑性的本构关系是塑性力学物理方程的具体内容，具有：
（1）应力与应变关系（本构关系）呈非线性，其非线性性质与具体材料有关； （2）应力与应变之间没有一一对应的关系，它与加载历史有关；
（3）变形体中存在弹性区和塑性区，分析问题时需要找出其分界限。在弹性区，
加载与卸载均服从广义胡克定律；在塑性区，加载过程要使用塑性阶段的应力应变关系，而卸载过程中，则使用广义胡克定律。
这些特点带来了研究、处理问题方法上的不同，塑性力学首先要解决的问题是在实验资料的基础上确立塑性本构关系，进而与平衡和几何关系一起去建立塑
性边值问题，再次是根据不同的具体情况寻求数学计算方法求解塑性边值问题。
塑性变形的特点：
（1）应力-应变关系的非线性；
（2）应力与应变间不存在单值对应关系，同一个应力可以对应不同的应变，反过来也是如此，这种非单值性具体来说是一种路径相关性；
（3）由于塑性应变不可恢复，所以外力所做的塑性功具有不可逆性，或耗散性，在一个加载卸载的循环中外力做功恒大于零，这一部分能量被材料的塑性变形所消耗。
应力张量的分解：
描述一点应力状态的应力张量σij 可进行下列张量分解表示：
⎡σx τxy τxz ⎤⎡σm
⎢⎥σij =⎢τyx σy τyz ⎥=⎢⎢0
⎢τzx τzy σz ⎥⎢⎣⎦⎣0
0⎤⎡σx -σm
⎢0⎥+⎥⎢τyx σm ⎥⎦⎢⎣τzx
σm
τxy τxz ⎤
⎥
σy -σm τyz ⎥ τzy σz -σm ⎥⎦
引入克罗内克尔符号δij ，则有：
⎡σm
应力球张量：σm δi j =⎢⎢0
⎢⎣0
0⎤
0⎥⎥ σm ⎥⎦
σm
⎡σx -σm
⎢
应力偏量：S i j =⎢τyx
⎢τzx ⎣τxy τxz ⎤
⎥
σy -σm τyz ⎥ τzy σz -σm ⎥⎦
则:σi j =σm δij +S ij , 物体内任一点处的应力张量可以分解为应力球量和应力偏量。应力球张量只能引起微元体的体积改变，而不能引起其形状的改变。
应力偏张量表示实际应力状态对其平均应力的偏离，它引起微元形畸变。试验证明，材料屈服后产生的塑性变形基本上是畸变变形，即应力偏量引起材料塑性变形。
应力偏张量S ij 也是一种应力状态，其主方向与应力主方向相同，它同样也存在不变量。
罗德参数：μσ=
2σ2-σ1-σ3
σ1-σ3
对于单向拉伸：σ2=σ3=0，σ1>0，μσ=-1； 纯剪：σ2=0，σ1>0，σ3=-σ1
在塑性流动理论中，认为应力状态不是简单地决定与应变状态，而是决定于应变增量、应变速率。
全量应变：微元体在某一变形过程终了时的应变大小，称为全量应变。是相对位移δu 、δv 、δw 产生的。
应变增量：以物体在变形过程中某一瞬时的形状尺寸为原始状态，在此基础上产生的无限小位移增量du 导致的应变称为应变增量d ε。在无限小时间间隔dt 内，变形体内各点的位移增量的分量为：du i =u i dt ，对应位移增量du i ，有应变增量d εij 。d εij 与du i 之间的关系，也即几何方程，形式上和应变与位移的关系一样，是一个二阶对称张量。与应变张量一样，有主方向。
应变速率：
d εij dt
表示单位时间内的应变，叫做应变速率张量，以εij 表示，
1⎛∂u i ∂u j
εij = +
2 ∂x ⎝j ∂x i
∙
∙
⎫
⎪⎪⎭
屈服条件和屈服面：在复杂应力状态下，初始弹性状态的界限称为屈服条件。如果以σij 作为坐标轴，屈服条件用F (σij ) =0表示；则应力空间中F (σij ) =0将表示一个曲面，称为屈服曲面。
应力空间：以σ1, σ2, σ3作为坐标轴的空间，称为应力空间。由初始各向同性假定，屈服曲线不随坐标轴的改变而变化。若（s 1, s 2, s 3）是屈服曲线上的一点，则（s 1, s 3, s 2）也必是屈服曲线上的一点。进一步假设材料拉伸和压缩时的屈服极限相等，若此，若（s 1, s 2, s 3）是屈服曲线上一点，则（-s 1, -s 2, -s 3）也是屈服曲线上一点，则屈服曲线有6条对称线，只需实验确定π平面上30 范围内的屈服曲线，然后利用对称性，就可以确定整个屈服曲线。
Tresca 屈服条件：最大剪应力达到某一极限值k 时，材料发生屈服，这就是
材料力学中的第三强度理论。该理论假设材料一旦达到屈服，就算达到强度极限了。其在π平面上是正六角形，在主应力空间中是一个正六边形柱面，柱面的母线平行于等倾线。k 的确定方法：简单拉伸试验来定：k =
σs
2
; 用纯剪试验来定:
k =τs 。
在π平面上，如果在简单拉伸时，两种屈服条件重合，则Tresca 六边形将内接于Mises 圆。并有：
Mises:J =
'
2
σs 2
3
; Tresca :τmax =
σs
2
纯剪实验时，两种屈服条件重合，则Tresca 六边形将外切于Mises 圆，并有：
' Mises:J 2=τs 2；Tresca :τmax =τs 。
加载方式：
1. 简单加载：简单加载是指加载过程中应力张量各分量与某一参数t 成比例增大，这样在加载过程中，不但各应力分量成比例地增大，且应力主轴方向保持不变，这时应变分量也成比例增大，应变主轴也保持不变，故也是“简单变形”的情况。
2. 复杂加载：复杂加载是指加载过程中应力分量之间无一定关系，这时应力分量的比值和应力主轴的方向就随着荷载变化而改变。
加载准则：
1．理想塑性材料的加卸载准则：理想塑性材料的加载面和屈服面是一样的，由于屈服面不能扩大，d σ不能指向屈服面外。总之，只要应力增量保持在屈服面上就称为加载，返到屈服面以内就称为卸载。
2. 理想塑性材料的加卸载准则：对于强化材料，加载面在应力空间中将不断变化，与理想塑性不同之处是加载面允许向外扩张。
增量理论：塑性本构关系与弹性本构关系的最大区别在于应力与应变之间一般不再存在一一对应关系，只能建立应力与应变增量之间的关系，这种用增量形式表示的塑性本构关系称为增量理论或流动理论。
p
ε3i
列维-米塞斯增量理论：εij p =λs i j , λ=
2σi
⋅
⋅
⋅
⋅
理想弹塑性材料的普朗特-罗伊斯增量理论：这一理论是针对理想弹塑性材料建立的，并且认为小弹塑性变形时，即弹性应变与塑性应变相比属于同量级时，弹性应变不能忽略，本构方程中应当计入弹性应变部分。
1⋅3εi p
e i j =s i j +s i j
2G 2σi
⋅
⋅
强化材料的增量本构关系：引用沿着应变路径L 积分的等效塑性应变总量
⎰
L
d εi p 来描述强化程度，即有函数E的关系式：σi =E(⎰d εi p ) 这一函数E也可以
L
由单一曲线假设的单向拉伸或纯剪切实验加以确定。
形变理论（全量本构关系）
全量理论（形变理论）该理论认为应力和应变之间存在一一对应的关系，因为由应力σij 和应变的终值（全量）εij 建立起来的塑性本构方程称为全量理论，或成为形变理论。
全量理论的应力与应变关系可写成：s i j =系称为伊留申理论。
简单加载定理：简单加载是指单元体的应力张量各分量之间的比值保持不变，按同一参数单调增长。不满足这一条件的称为复杂加载。
⋅
2σi (εi ) E
e i j , σkk =εkk ，这组关3εi 1-2ν
弹性力学
对于均匀、各向同性材料，可以证明只有两个独立弹性常数，3各常数之间存在关系：G =
E
。
2(1+μ)
广义胡克定律的体积式：体积应变：θ=εx +εy +εz ；体积应力：
Θ=σx +σy +σz ，则：θ=
1-2ν
Θ。 E
各向同性体的体积改变定律：σm =
E
θ=K θ. 其中体积模量：
3(1-ν2)
K =
E
3(1-2ν)
弹性力学解的唯一性定理：弹性体在给定体力、面力和约束条件的情况下而
处于平衡时，体内各点的应力分量、应变分量的解是唯一的。
塑性力学
从物理上看，塑性变形过程属于不可逆过程，并且必然伴随机械能的耗散。研究塑性力学问题主要采用宏观的方法，即联系介质力学的方法，它不去探究材料塑性变形的内在机理，而是从材料的宏观塑性行为中抽象出力学模型，并建立相应的数学物理方程来予以描述，应力平衡方程和应变位移间的几何关系是与材料性质无关的，因此对弹性力学与塑性力学都一样，弹性力学与塑性力学的差别主要表现在应力与应变的物理关系的不同。屈服条件以及塑性的本构关系是塑性力学物理方程的具体内容，具有：
（1）应力与应变关系（本构关系）呈非线性，其非线性性质与具体材料有关； （2）应力与应变之间没有一一对应的关系，它与加载历史有关；
（3）变形体中存在弹性区和塑性区，分析问题时需要找出其分界限。在弹性区，
加载与卸载均服从广义胡克定律；在塑性区，加载过程要使用塑性阶段的应力应变关系，而卸载过程中，则使用广义胡克定律。
这些特点带来了研究、处理问题方法上的不同，塑性力学首先要解决的问题是在实验资料的基础上确立塑性本构关系，进而与平衡和几何关系一起去建立塑
性边值问题，再次是根据不同的具体情况寻求数学计算方法求解塑性边值问题。
塑性变形的特点：
（1）应力-应变关系的非线性；
（2）应力与应变间不存在单值对应关系，同一个应力可以对应不同的应变，反过来也是如此，这种非单值性具体来说是一种路径相关性；
（3）由于塑性应变不可恢复，所以外力所做的塑性功具有不可逆性，或耗散性，在一个加载卸载的循环中外力做功恒大于零，这一部分能量被材料的塑性变形所消耗。
应力张量的分解：
描述一点应力状态的应力张量σij 可进行下列张量分解表示：
⎡σx τxy τxz ⎤⎡σm
⎢⎥σij =⎢τyx σy τyz ⎥=⎢⎢0
⎢τzx τzy σz ⎥⎢⎣⎦⎣0
0⎤⎡σx -σm
⎢0⎥+⎥⎢τyx σm ⎥⎦⎢⎣τzx
σm
τxy τxz ⎤
⎥
σy -σm τyz ⎥ τzy σz -σm ⎥⎦
引入克罗内克尔符号δij ，则有：
⎡σm
应力球张量：σm δi j =⎢⎢0
⎢⎣0
0⎤
0⎥⎥ σm ⎥⎦
σm
⎡σx -σm
⎢
应力偏量：S i j =⎢τyx
⎢τzx ⎣τxy τxz ⎤
⎥
σy -σm τyz ⎥ τzy σz -σm ⎥⎦
则:σi j =σm δij +S ij , 物体内任一点处的应力张量可以分解为应力球量和应力偏量。应力球张量只能引起微元体的体积改变，而不能引起其形状的改变。
应力偏张量表示实际应力状态对其平均应力的偏离，它引起微元形畸变。试验证明，材料屈服后产生的塑性变形基本上是畸变变形，即应力偏量引起材料塑性变形。
应力偏张量S ij 也是一种应力状态，其主方向与应力主方向相同，它同样也存在不变量。
罗德参数：μσ=
2σ2-σ1-σ3
σ1-σ3
对于单向拉伸：σ2=σ3=0，σ1>0，μσ=-1； 纯剪：σ2=0，σ1>0，σ3=-σ1
在塑性流动理论中，认为应力状态不是简单地决定与应变状态，而是决定于应变增量、应变速率。
全量应变：微元体在某一变形过程终了时的应变大小，称为全量应变。是相对位移δu 、δv 、δw 产生的。
应变增量：以物体在变形过程中某一瞬时的形状尺寸为原始状态，在此基础上产生的无限小位移增量du 导致的应变称为应变增量d ε。在无限小时间间隔dt 内，变形体内各点的位移增量的分量为：du i =u i dt ，对应位移增量du i ，有应变增量d εij 。d εij 与du i 之间的关系，也即几何方程，形式上和应变与位移的关系一样，是一个二阶对称张量。与应变张量一样，有主方向。
应变速率：
d εij dt
表示单位时间内的应变，叫做应变速率张量，以εij 表示，
1⎛∂u i ∂u j
εij = +
2 ∂x ⎝j ∂x i
∙
∙
⎫
⎪⎪⎭
屈服条件和屈服面：在复杂应力状态下，初始弹性状态的界限称为屈服条件。如果以σij 作为坐标轴，屈服条件用F (σij ) =0表示；则应力空间中F (σij ) =0将表示一个曲面，称为屈服曲面。
应力空间：以σ1, σ2, σ3作为坐标轴的空间，称为应力空间。由初始各向同性假定，屈服曲线不随坐标轴的改变而变化。若（s 1, s 2, s 3）是屈服曲线上的一点，则（s 1, s 3, s 2）也必是屈服曲线上的一点。进一步假设材料拉伸和压缩时的屈服极限相等，若此，若（s 1, s 2, s 3）是屈服曲线上一点，则（-s 1, -s 2, -s 3）也是屈服曲线上一点，则屈服曲线有6条对称线，只需实验确定π平面上30 范围内的屈服曲线，然后利用对称性，就可以确定整个屈服曲线。
Tresca 屈服条件：最大剪应力达到某一极限值k 时，材料发生屈服，这就是
材料力学中的第三强度理论。该理论假设材料一旦达到屈服，就算达到强度极限了。其在π平面上是正六角形，在主应力空间中是一个正六边形柱面，柱面的母线平行于等倾线。k 的确定方法：简单拉伸试验来定：k =
σs
2
; 用纯剪试验来定:
k =τs 。
在π平面上，如果在简单拉伸时，两种屈服条件重合，则Tresca 六边形将内接于Mises 圆。并有：
Mises:J =
'
2
σs 2
3
; Tresca :τmax =
σs
2
纯剪实验时，两种屈服条件重合，则Tresca 六边形将外切于Mises 圆，并有：
' Mises:J 2=τs 2；Tresca :τmax =τs 。
加载方式：
1. 简单加载：简单加载是指加载过程中应力张量各分量与某一参数t 成比例增大，这样在加载过程中，不但各应力分量成比例地增大，且应力主轴方向保持不变，这时应变分量也成比例增大，应变主轴也保持不变，故也是“简单变形”的情况。
2. 复杂加载：复杂加载是指加载过程中应力分量之间无一定关系，这时应力分量的比值和应力主轴的方向就随着荷载变化而改变。
加载准则：
1．理想塑性材料的加卸载准则：理想塑性材料的加载面和屈服面是一样的，由于屈服面不能扩大，d σ不能指向屈服面外。总之，只要应力增量保持在屈服面上就称为加载，返到屈服面以内就称为卸载。
2. 理想塑性材料的加卸载准则：对于强化材料，加载面在应力空间中将不断变化，与理想塑性不同之处是加载面允许向外扩张。
增量理论：塑性本构关系与弹性本构关系的最大区别在于应力与应变之间一般不再存在一一对应关系，只能建立应力与应变增量之间的关系，这种用增量形式表示的塑性本构关系称为增量理论或流动理论。
p
ε3i
列维-米塞斯增量理论：εij p =λs i j , λ=
2σi
⋅
⋅
⋅
⋅
理想弹塑性材料的普朗特-罗伊斯增量理论：这一理论是针对理想弹塑性材料建立的，并且认为小弹塑性变形时，即弹性应变与塑性应变相比属于同量级时，弹性应变不能忽略，本构方程中应当计入弹性应变部分。
1⋅3εi p
e i j =s i j +s i j
2G 2σi
⋅
⋅
强化材料的增量本构关系：引用沿着应变路径L 积分的等效塑性应变总量
⎰
L
d εi p 来描述强化程度，即有函数E的关系式：σi =E(⎰d εi p ) 这一函数E也可以
L
由单一曲线假设的单向拉伸或纯剪切实验加以确定。
形变理论（全量本构关系）
全量理论（形变理论）该理论认为应力和应变之间存在一一对应的关系，因为由应力σij 和应变的终值（全量）εij 建立起来的塑性本构方程称为全量理论，或成为形变理论。
全量理论的应力与应变关系可写成：s i j =系称为伊留申理论。
简单加载定理：简单加载是指单元体的应力张量各分量之间的比值保持不变，按同一参数单调增长。不满足这一条件的称为复杂加载。
⋅
2σi (εi ) E
e i j , σkk =εkk ，这组关3εi 1-2ν