勾股定理
知识点一：勾股定理
勾股定理: . 勾股数： . 常见勾股数：3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25。 要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
例1、若Rt ABC 中，∠C =90且a=5,b=12,则
︒
例2、Rt △ABC 中，若c=10,a∶b=3∶4, 则a= ,b= . 例3、如图，由Rt△ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ，
则正方形M 与正方形N 的面积之和为_____cm 2
4、下列各组数：①0.3，0.4，0.5；②9，12，16；③4，5，6；④8a ，15a ，17a （a ≠0）； ⑤9，40，41。其中是勾股数的有（ ）组
A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
练习
1、在△ABC 中，∠C=90°, c=37,a=12，则b=（ ）
A 、50 B 、35 C 、34 D 、26
2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ） A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、10
22
3、若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, a =144, b =25, 则c =（ ）
2
A 、169 B、119 C、169或119 D、13或25
知识点二：勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理： 例1、三角形的三边长ａ, ｂ, ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ) 2－ｃ2, 则此三角形是 ( ).
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、等边三角形
例2、在△ABC 中，若AB=2,AC=2,BC=2,则∠B= 。
练习
1、 已知a 、b 、c
是三角形的三边长，如果满足(a -6) 2c -10
A ：底与边不相等的等腰三角形 B：等边三角形 C ：钝角三角形 D：直角三角形
=0，则三角形的形状是（ ）
2、△ABC 中，若a ∶b ∶c=1∶∶2, 则∠A ∶∠B ∶∠.
知识点三：运用勾股定理和勾股定理的逆定理解生活中的实际问题
①勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，其作用：已知两边求第三边; 证明三角形中某些线段的平方关系; 作长为m 的线段。
②勾股定理的逆定理常用来判断一个三角形是否为直角三角形。
例1、有一个小孩站在距他1米且比他高50厘米的向日葵旁边，当风吹倒向日葵时， 向日葵的顶处正好可以碰到他的头顶，那么你能计算出向日葵和小孩的高度吗？ 练习
1、一艘轮船以16km/h速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开一个半小时后相距 。
综合练习
1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ）
A ．26 B．18 C．20 D．21
2、在下列数组中，能构成一个直角三角形的有（ ） ①10，20，25；②10，24，25；③9，80，81；④8；15；17
A 、4组 B 、3组 C 、2组 D 、1组
3、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’, 则△A ’B ’C ’为( ) A、 直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定 4、如图所示，以Rt ABC 的三边向 外作正方形，其面积分别 为S 1, S 2, S 3, 且S 1=4, S 2=8, 则S 3=；
5、如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°， AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天凿隧道0.3公里， 问几天才能把隧道AB 凿通？
S 3
S 1S 2
6、有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.
勾股定理作业
1、在Rt △ABC 中，斜边AB=2,则AB 2+BC 2+CA 2=.
2、. 如图一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （ ） A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里 D 、40海里
3、一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ） A.4 B.8 C.10 D.12
4、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ） A 、40 B 、80 C 、40或360 D 、80或360
5、要登上12米高的建筑物，为了安全起见，要使梯子的底端离建筑物5米，则至少需要米长的梯子。
6、在四边形ABCD 中，∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12. ①AD ⊥BD 吗？为什么？②求四边形ABCD 的面积。
7、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
(1)求DC 的长。 (2)求AB 的长。
A
D
B C
A B
勾股定理
知识点一：勾股定理
勾股定理: . 勾股数： . 常见勾股数：3、4、5； 6、8、10； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25。 要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
例1、若Rt ABC 中，∠C =90且a=5,b=12,则
︒
例2、Rt △ABC 中，若c=10,a∶b=3∶4, 则a= ,b= . 例3、如图，由Rt△ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ，
则正方形M 与正方形N 的面积之和为_____cm 2
4、下列各组数：①0.3，0.4，0.5；②9，12，16；③4，5，6；④8a ，15a ，17a （a ≠0）； ⑤9，40，41。其中是勾股数的有（ ）组
A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
练习
1、在△ABC 中，∠C=90°, c=37,a=12，则b=（ ）
A 、50 B 、35 C 、34 D 、26
2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ） A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、10
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3、若一个直角三角形的三边分别为a 、b 、c, a =144, b =25, 则c =（ ）
2
A 、169 B、119 C、169或119 D、13或25
知识点二：勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理： 例1、三角形的三边长ａ, ｂ, ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ) 2－ｃ2, 则此三角形是 ( ).
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、等边三角形
例2、在△ABC 中，若AB=2,AC=2,BC=2,则∠B= 。
练习
1、 已知a 、b 、c
是三角形的三边长，如果满足(a -6) 2c -10
A ：底与边不相等的等腰三角形 B：等边三角形 C ：钝角三角形 D：直角三角形
=0，则三角形的形状是（ ）
2、△ABC 中，若a ∶b ∶c=1∶∶2, 则∠A ∶∠B ∶∠.
知识点三：运用勾股定理和勾股定理的逆定理解生活中的实际问题
①勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，其作用：已知两边求第三边; 证明三角形中某些线段的平方关系; 作长为m 的线段。
②勾股定理的逆定理常用来判断一个三角形是否为直角三角形。
例1、有一个小孩站在距他1米且比他高50厘米的向日葵旁边，当风吹倒向日葵时， 向日葵的顶处正好可以碰到他的头顶，那么你能计算出向日葵和小孩的高度吗？ 练习
1、一艘轮船以16km/h速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开一个半小时后相距 。
综合练习
1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ）
A ．26 B．18 C．20 D．21
2、在下列数组中，能构成一个直角三角形的有（ ） ①10，20，25；②10，24，25；③9，80，81；④8；15；17
A 、4组 B 、3组 C 、2组 D 、1组
3、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍，得△A ’B ’C ’, 则△A ’B ’C ’为( ) A、 直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定 4、如图所示，以Rt ABC 的三边向 外作正方形，其面积分别 为S 1, S 2, S 3, 且S 1=4, S 2=8, 则S 3=；
5、如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出∠A=40°∠B ＝50°， AB ＝5公里，BC ＝4公里，若每天凿隧道0.3公里， 问几天才能把隧道AB 凿通？
S 3
S 1S 2
6、有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.
勾股定理作业
1、在Rt △ABC 中，斜边AB=2,则AB 2+BC 2+CA 2=.
2、. 如图一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （ ） A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里 D 、40海里
3、一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ） A.4 B.8 C.10 D.12
4、已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ） A 、40 B 、80 C 、40或360 D 、80或360
5、要登上12米高的建筑物，为了安全起见，要使梯子的底端离建筑物5米，则至少需要米长的梯子。
6、在四边形ABCD 中，∠C=90°,AB=13,BC=4,CD=3,AD=12. ①AD ⊥BD 吗？为什么？②求四边形ABCD 的面积。
7、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
(1)求DC 的长。 (2)求AB 的长。
A
D
B C
A B