一. 椭圆定义的应用
2
()A -3，0()B ：x -3+y =64的内部与其相内切，P 例：已知动圆过定点，且在定圆
2
求动圆圆心P 的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式． 解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点
P 到两定点，
0)和定圆圆心B (3，0)距离之和恰好等于定圆半径， 即定点A (-3，
即+=PM +PB =BM =8．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点， 半长轴为
练：已知动圆P 过定点A(-1,0),并且在定圆B:(x-1)^2+y^2=16的内部与其相内切求动圆圆心P 的轨迹C 的方程.
x 2y 2
+=122
b =4-3=74，半短轴长为的椭圆的方程：167．
二．焦半径及焦三角的应用
x 2y 2
+2=1(a >b >0), 2
证明：已知椭圆方程为a b 两焦点分别为F 1, F 2, 设焦点三角
形PF 1F 2中∠F 1PF 2=θ, 则
(2c ) 2=F 1F 2
2
2
S ∆F 1PF 2=b 2tan
2
θ
2。
2
=PF 1+PF 2-2PF 1PF 2cos θ=(PF
1+PF 2) -2PF 1PF 2(1+cos θ)
∴PF 1PF 2=
(PF 1+PF 2) 2-4c 2
2(1+cos θ)
4a 2-4c 22b 2==
2(1+cos θ) 1+cos θ
∴S ∆F 1PF 2
1b 2θ=PF 1PF 2sin θ==b 2tan 21+cos θ2
x 2y 2
+2=1(a >b >0) 2F F 例：若1、2是椭圆a b 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
∠F 1PF 2=θ，求椭圆的面积。
解：设
PF 1=m
，
PF 2=n
，由余弦定理得
m 2+n 2-2mn cos θ=F 1F 2
2
=4c 2
①
由椭圆定义得 m +n =2a ②
2(a 2-c 2) 2b 2
mn ==
1+cos θ1+cos θ由①得：
∴
S ∆F 1PF 2=
1sin θθmn sin θ=b 2=b 2tan 21+cos θ2
练：已知F 1、F 2是椭圆
x 2y 2
+=1(a >b >0) a 2b 2的两个焦点，椭圆上一点P
使
∠F 1PF 2=90︒，求椭圆离心率e 的取值范围。
思路：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑 不妨设短轴一端点为B 则S ∆F PF =b tan 45︒=b ≤
1
2
22
S ∆F 1BF 2=
1
⨯2c ⨯b =bc 2
2
⇒b ≤c ⇒b 2≤c 2
c 2⇒e =2
⇒a 2-c 2≤c 2a
1
≥2
故
22
≤e ＜1
三．三角换元
x 2y 2
+2=12(a >b >0) 与x 轴正向交于点A ，a b 例：椭圆若这个椭圆上总存在点P ，
使OP ⊥AP (O 为坐标原点) ，求其离心率e 的取值范围．
分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把OP ⊥AP ，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
⎧x =a cos θ
⎨
解：设椭圆的参数方程是⎩y =b sin θ(a >b >0)
则椭圆上的点P (a cos θ, b sin θ) ，A (a , 0) ，
b sin θb sin θ
⋅=-1
∵OP ⊥AP ，∴a cos θa cos θ-a ，
b 2
cos θ=222222
(a -b ) cos θ-a cos θ+b =0cos θ=1a -b 2即，解得或
，
∵-1
b 2
-1
cos θ=1b =a -c a -b ∴（舍去），，又
a 222
0
0
x 2y 2
练：已知椭圆+ = 1 和直线l ：4x －5y ＋40＝0，试推断椭圆上是否
259
存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？
四．弦长公式的应用
224x +y =1及直线y =x +m ． 例：已知椭圆
41
（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？
2（2）若直线被椭圆截得的弦长为5，求直线的方程．
222
y =x +m 4x +y =14x +(x +m )=1， 解：（1）把直线方程代入椭圆方程得
2
即5x
2
+2mx +m 2-1=0．∆=(2m )-4⨯5⨯m -1=-16m +20≥0，解得
2
2
2
()
-
≤m ≤22．
2m
5，
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x 1，x 2，由（1）得
m 2-1x 1x 2=
5．
m 2-12⎛2m ⎫
+1⋅ -=⎪-4⨯
55⎝5⎭
2
2
x 1+x 2=-
根据弦长公式得 ：
y =x ．
．解得m =0．方程为
练：已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点
π
F 1作倾斜角为3的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．
五．点差法
⎛11⎫x 22P ⎪+y =1
例：已知椭圆2，求过点⎝22⎭且被P 平分的弦所在的直线方程． ⎛11⎫
P ⎪
设过⎝22⎭的直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由题意得 ⎧x 122
⎪+y 1=1，⎪22⎪x 22
⎨+y 2=1，⎪2
⎪x 1+x 2=1，⎪
⎩y 1+y 2=1.
①②③④
⑤
2
x 12-x 22
+y 12-y 2=0
①－②得2．
将③、④代入⑤得
y 1-y 211=--
x 1-x 22，即直线的斜率为2．
所求直线方程为2x +4y -3=0． 说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
x 2y 2
+=1
P (4, 2) 练：已知是直线l 被椭圆369所截得的线段的中点，求直线l 的
方程．
一. 椭圆定义的应用
2
()A -3，0()B ：x -3+y =64的内部与其相内切，P 例：已知动圆过定点，且在定圆
2
求动圆圆心P 的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式． 解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点
P 到两定点，
0)和定圆圆心B (3，0)距离之和恰好等于定圆半径， 即定点A (-3，
即+=PM +PB =BM =8．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点， 半长轴为
练：已知动圆P 过定点A(-1,0),并且在定圆B:(x-1)^2+y^2=16的内部与其相内切求动圆圆心P 的轨迹C 的方程.
x 2y 2
+=122
b =4-3=74，半短轴长为的椭圆的方程：167．
二．焦半径及焦三角的应用
x 2y 2
+2=1(a >b >0), 2
证明：已知椭圆方程为a b 两焦点分别为F 1, F 2, 设焦点三角
形PF 1F 2中∠F 1PF 2=θ, 则
(2c ) 2=F 1F 2
2
2
S ∆F 1PF 2=b 2tan
2
θ
2。
2
=PF 1+PF 2-2PF 1PF 2cos θ=(PF
1+PF 2) -2PF 1PF 2(1+cos θ)
∴PF 1PF 2=
(PF 1+PF 2) 2-4c 2
2(1+cos θ)
4a 2-4c 22b 2==
2(1+cos θ) 1+cos θ
∴S ∆F 1PF 2
1b 2θ=PF 1PF 2sin θ==b 2tan 21+cos θ2
x 2y 2
+2=1(a >b >0) 2F F 例：若1、2是椭圆a b 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且
∠F 1PF 2=θ，求椭圆的面积。
解：设
PF 1=m
，
PF 2=n
，由余弦定理得
m 2+n 2-2mn cos θ=F 1F 2
2
=4c 2
①
由椭圆定义得 m +n =2a ②
2(a 2-c 2) 2b 2
mn ==
1+cos θ1+cos θ由①得：
∴
S ∆F 1PF 2=
1sin θθmn sin θ=b 2=b 2tan 21+cos θ2
练：已知F 1、F 2是椭圆
x 2y 2
+=1(a >b >0) a 2b 2的两个焦点，椭圆上一点P
使
∠F 1PF 2=90︒，求椭圆离心率e 的取值范围。
思路：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑 不妨设短轴一端点为B 则S ∆F PF =b tan 45︒=b ≤
1
2
22
S ∆F 1BF 2=
1
⨯2c ⨯b =bc 2
2
⇒b ≤c ⇒b 2≤c 2
c 2⇒e =2
⇒a 2-c 2≤c 2a
1
≥2
故
22
≤e ＜1
三．三角换元
x 2y 2
+2=12(a >b >0) 与x 轴正向交于点A ，a b 例：椭圆若这个椭圆上总存在点P ，
使OP ⊥AP (O 为坐标原点) ，求其离心率e 的取值范围．
分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把OP ⊥AP ，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
⎧x =a cos θ
⎨
解：设椭圆的参数方程是⎩y =b sin θ(a >b >0)
则椭圆上的点P (a cos θ, b sin θ) ，A (a , 0) ，
b sin θb sin θ
⋅=-1
∵OP ⊥AP ，∴a cos θa cos θ-a ，
b 2
cos θ=222222
(a -b ) cos θ-a cos θ+b =0cos θ=1a -b 2即，解得或
，
∵-1
b 2
-1
cos θ=1b =a -c a -b ∴（舍去），，又
a 222
0
0
x 2y 2
练：已知椭圆+ = 1 和直线l ：4x －5y ＋40＝0，试推断椭圆上是否
259
存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？
四．弦长公式的应用
224x +y =1及直线y =x +m ． 例：已知椭圆
41
（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？
2（2）若直线被椭圆截得的弦长为5，求直线的方程．
222
y =x +m 4x +y =14x +(x +m )=1， 解：（1）把直线方程代入椭圆方程得
2
即5x
2
+2mx +m 2-1=0．∆=(2m )-4⨯5⨯m -1=-16m +20≥0，解得
2
2
2
()
-
≤m ≤22．
2m
5，
（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x 1，x 2，由（1）得
m 2-1x 1x 2=
5．
m 2-12⎛2m ⎫
+1⋅ -=⎪-4⨯
55⎝5⎭
2
2
x 1+x 2=-
根据弦长公式得 ：
y =x ．
．解得m =0．方程为
练：已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点
π
F 1作倾斜角为3的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．
五．点差法
⎛11⎫x 22P ⎪+y =1
例：已知椭圆2，求过点⎝22⎭且被P 平分的弦所在的直线方程． ⎛11⎫
P ⎪
设过⎝22⎭的直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由题意得 ⎧x 122
⎪+y 1=1，⎪22⎪x 22
⎨+y 2=1，⎪2
⎪x 1+x 2=1，⎪
⎩y 1+y 2=1.
①②③④
⑤
2
x 12-x 22
+y 12-y 2=0
①－②得2．
将③、④代入⑤得
y 1-y 211=--
x 1-x 22，即直线的斜率为2．
所求直线方程为2x +4y -3=0． 说明：
（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
x 2y 2
+=1
P (4, 2) 练：已知是直线l 被椭圆369所截得的线段的中点，求直线l 的
方程．