旋转壳体结构的弯矩分配法

李金华范少杰

(交通部一航院天津300222)

摘要简要介绍旋转壳体结构的弯矩分配法及其在唐山港1号泊位大容量中心锥形库底水泥筒仓设计中

的应用实例。

关键词壳体弯矩分配筒仓

近年来随着散粮、散装水泥等专业化码

具有卓越的力学性能。

本文根据工程实践，介绍一种简便实用、适宜于手算的旋转壳体工程分析方法——弯矩分配法。 1 计算基本原则

1.1 旋转壳体的主要符号(图1)

头的建设和发展，大容量的粮仓、水泥仓、水池以及灯塔、水塔广泛地应用，这些建、构筑物大都由圆板、圆环、圆筒、球壳、圆锥壳等几种基本构件构成。其几何构成均为由母线(经线)绕轴旋转而成的旋转壳体。此类结构

(b )

(a) (b) (c)

图1 旋转壳体的主要符号

Rt一沿壳面经线方向的主曲率半径；

Rz一沿壳面纬线方向的主曲率半径； r一由旋转轴至壳体中曲面的水平距离； (半径)，r—R2sin θ；

θ—径向切线与水平线的夹角； δ一壳体厚度；

T ϕ—壳体环向截面单位长度上的经向力；

M ϕ—壳体环向截面单位长度上的

经向弯矩；

M θ—壳体径向截面单位长度上的环向

弯矩；

当R 1=R 2时，为球面壳。当R 1=∞,R 2 =r时，为圆筒壳，当为圆锥壳时，R 1=∞,R 2 =0～r；

经向截面单位长度上的环向弯矩通常较小，钢筋混凝土结构忽略不计。

T θ一壳体径向截面单位长度上的环向力；

M θ≈1/6M ϕ，一般可

收稿日期：1996一08—21

假设壳体上的应力沿其厚度均匀分布，且壳体截面上经向弯矩

M ϕ，环向弯矩M θ及剪

力S为O。按此假设进行计算的理论称为无矩理论或薄膜理论，所得内力，称之为无矩状态内力或薄膜内力。

如果壳体上的内力

M ϕ，M θ及S不假设为

O，按此条件进行计算的理论，称为有矩理论。各旋转壳体相交部位为一圆周，可先在相交部位切开，分解成若干旋转壳，进行分析计算。相交部位称为结线。 1．2壳体的结构特征

(1)在轴对称荷载作用下的旋转壳，可看成无数根曲粱(经线)支承在无数个紧密连接的环上，并把这些环看成曲梁的弹性地基。这样，就可以按弹性地基上的梁进行计算。此时，弹性地基的基床系数为： β=

E δ

(1) 2

(2)壳体的圆柱刚度 D =

E 3

(2)

12(1−μ) (3)刚度特征系数

α=(β/4D (3) 钢筋混凝土壳体刚度特征系数

α=1. 31

R ×δ (4)

2式中：E一壳体材料弹性模量

μ—泊松比，钢筋混凝土结构μ=1/6； 1．3 壳体内力分布状态

壳体内力，按距离相交线边缘远近可分为三种状态：结线处内力；边绿效应影响范围内的内力；远离结线处内力。

在边缘附近，按无矩理论和有矩理论计算，二者差异较大，宜按有矩理论进行分析，可采用力法、位移法、弯矩分配法等方法进行分析。由于旋转壳的分配弯矩衰减很快，用弯矩分配法只需将结线处不平衡弯矩分配一次即可。

旋转壳由于边缘力在边缘以外部分引起的内力和变形，通常称之为边缘效应，为距离

该边缘的距离X的函数f(x)，且f(x)呈迅速衰减的阻尼波形(具有负高斯曲率者，如双曲线冷却塔除外)，其波形与壳体的结构特征值有

关。例如筒壳，其波长λ=

2π

=4.8

δ；

每经过一个波长，其边缘效应仅剩下1／23．14。

理论分析表明，当筒壳高度H>

，即

αH>π时，顶部的边界条件对底部外力引起的边缘效应影响极微。一般情况下，αH≥3 时，考虑顶部边界条件的影响同不考虑顶部边界条件的影响，相差不超过5％。这样的筒壳称为“长壳”；αH

(2)结线附近内力，在结线处内力求得后，即可按有关壳体计算公式计算边缘效应，

再加上无矩状态内力即为真实内力。 (3)远离结线处内力，可按无矩理论计算，又称为薄膜内力。

壳体上无矩状态下的某点变形，如图2 所示，包括壳体法向位移w ，经向位移γ，及经向转角ϕ。位移可用其分量表示，水平经向位移ξ和垂直位移η。

图2旋转壳体变形示意

对于任意形式的旋转壳、其刚度系数α为变数时，可以用“代替球壳”(即在所计算的

港工技术 1997. N O 4

图3“代替球壳”示意

边缘处内切的球壳)的α值进行计算，理论分析表明，在相同荷载作用下．二者引起的边缘效应误差很少。

但应用图3所示，“代替球壳”计算时．必须注意：

(1)壳体不能太扁(30°≤θ≤90°) (2)不能用于具有负高斯曲率的壳体 (3)不能用于短壳。 2 壳体结构的弯矩分配法 2．1 壳体的边缘刚度

K M

ϕ——边缘转角时的抗弯刚度(ϕ=1，ξ=0时，所需要的边缘径向弯矩值)；

K H

ϕ——边缘转角时的抗推刚度(ϕ=1，ξ=O 时所需要的边缘水平径向推力值) K H

ξ——边缘水平径向位移时的抗推刚度(ϕ=0，ξ=1时可需要的边缘水平径向推力值)； K M ξ——边缘水平径向位移时的抗弯刚度(ϕ=0，ξ=1时可需要的边缘径向弯矩) 其中：K H

ϕ=K ξ； ϕ—边缘转角；

ξ——边缘水平径向位移。 2．2力的正负号

如图4所示，水平径向力H和径向位移ξ向里为正；使壳体左半部顺时针旋转(右半部逆时针旋转)的径向弯矩M和径向转角ϕ为正；径向力T ϕ，及环向力T θ，拉力是正。反之，为负。 2.3 固端弯矩

和固端水平径向力

在外荷载作用下，旋转壳固端弯矩M

和

固端力H F

为

图4 力的正负号示意

=−ΦM

P K ϕ−ξ

K ξ

(5)

=±T h

ϕcos θ−ξ

k ξ−ϕ

K ϕ (6)

2.4 边缘无径向位移时的弯矩分配法几个壳体交于结线i，其中：

(1)、第j个壳体的最后边缘弯矩为 M j =M F

j −D j •∑M j (7) M

P K ϕJ

j =∑K M (8)

式中:

F j

一第j 个壳体的固端弯矩；

∑M F

j —交于该结线的所有壳体的固端弯矩之和，即此处的不平衡力矩。

K M ϕJ

第i个壳体边缘转角时的抗弯刚度。

一第i个壳体在该节线处的分配系数

(2)第j个壳体边缘水平径向力,包括： a·无矩状态下外荷载引起的水平径向力

=±T ϕ•cos θ (9)

其正负号选用，参照图5，根据T ϕ的正负号和经线切线的倾斜方向而定。 b．外荷作用下无矩状态水平径向位移ξP

为抵抗此位移ξP

，假设有水平径向力H 1作

用，并引起水平径向位移

H 1ξ

、则有ξP

·ξH

=0，由此可得抵抗ξP

的水平径向力

H ξ

p β

=-=-

(10)

2αsin 2

•ξ c·边缘弯矩鸩作用下，壳体边缘不但有转角，而且有水平径向位移，为抵抗此水平

港工技术 1997. N O 4

图 5 旋转壳体内力示意

径向位移，假设有水平径向力H 2作用，并引起水平径向位移

H 2

•ξ

，则应有

M j

±H 2ξH

=0；由此可得：

ξM

•M

(11)

sin θM

综合上述情况，可得在无侧移的情况下，第j个壳体的最后边缘力

，如图5所示为

H 0

+H 1

±T ϕcos θ−

2αsin

ξp

sin θ

(12)

2·5 边缘有侧移的变矩分配法此时，计算须分成二步。

第一步：结线被放松但无侧移。先求无侧移时的边缘力和边缘弯矩；此时在结线处将有不平衡水平径向力，即为各构件边缘水平径向力之和。

H=∑H j (13) 第二步：消除结线处不平衡水平径向力。 (1)

先求结线单位水平径向位移(ξ=1)

时的固端弯矩。第j个构件边缘单位水平径向位移引起的侧移固端弯矩为：

c M

M j

=ξ•K ξJ =

K ξ

(14)

结线不平衡弯矩为:

∑M

C M

=∑K ξJ (15)

(2)放松结线。求ξ=1时的边缘弯矩，第 j个构件的边缘弯矩为：

/C M M j

=M j −D j •∑M C

j =

K ξJ

−D j

∑K ξ

(6)

参照式(12)，可得第j个构件在结线侧移ξ=1时的边缘水平径向力为：

H /

j =

2αsin 2

sin θ

(17)

第二项的正负号取决于构件和结线的相互位置。

使结线侧移ξ=1所需的水平径向力为:

H /=∑H /

j (18) (3)求修正弯矩和修正水平径向力。根据位移方程，可得H +H /

ξ=0，求出在

作用下的结点水平位移ξ，求出修正弯矩

和修正水平力，进而可得第j个壳体的边缘弯矩和边缘水平径向力:

M 0

j =M j +M j ξ (19) H 0/

j =

H j +H j ξ (20)

3 壳体计算主要公式

3．1 旋转薄壳的刚度(见表1) 3．2 壳体的内力和变形

各种壳体的内力和变形可参见有关书籍和手册。

对于球壳和筒壳中间纬圈的内力和变形见表2。

4 工程实例(京唐港1号泊位水泥筒仓工程如图6所示) 4．1 计算条件

水泥重度)，：16kN／m 3

，混凝土强度等级C25，泊桑比μ=0．167 侧压力系数

k =tg 2

(45°−30°/2) =O. 333 (1)仓壁

R 1=8．175m；t 1=0．35m；H 1≈26m；储料的有效高度h 1=22．5m； (2)圆锥

θ=60，t 2=0.5m，R 2=8.175／sin60°=9.44m H 2=8.175／tg30°=14.16m，S=16. 35m(斜长) (3)环梁

港工技术 1997. N O 4

表1 旋转薄壳的刚度

壳体形式及部位

K ϕ

K ξ

K ϕ

K ξ

球边缘刚度

β/2αβ/2αβ/2αβ/2α

βαsin

±β

/2αsin θ

±β

/2α

sin θ

2 壳筒壳

任意中间纬圈刚度

边缘刚度任意中间纬圈刚厦

2βαsin θ

3 4

β/α

2β/α

±β/2α

1．球壳边缘刚度公式可根据“代替球壳”的原则应用于锥壳；

2．表中公式有两个符号者：壳体在汁算结点之上时，用上面的符号；6-。用下面的符号。 3．下标“0”表示属于边缘的。

表2 球壳和筒壳中间纬圈的弯矩、力、和变形

表3双曲线三角函数表

−αs

cos(αs )

−αs

sin(αs )

−

0 1．0000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1Z 注：自变数αS=

0．6238 0．3224 0．1178 0 - 0．0537- 0．0671 -0．0591 -0．0432 - 0．0270 - 0．0139 - 0．0051

O 0．2584 0．3224 0．2844 0．2079 0．1297 0．0671 0．0245 0 - 0．0011- 0．0139 - 0．0123 - 0．0090

1．0000 0．8822 0．6448 0．4022 0．2079 0．0760 0

- 0．0346 0．0432 - 0．0281 - 0．0278 - O．0174 - 0．0090

1．0000 0．3654 O

- 0．1666 - 0．2079 -0．1834 - O．1342 - 0．0836 - 0．0432 - 0．0259

O 0．0072 0．0090

n π

，式中α见式-3 及-4，S为距边缘处距离；π为圆周率；②n >12时，近似地取各8

值为零。

港工技术 1997. N O 4

图6水泥筒仓示意（单位：mm）

B×h=1.0m×2.5m，R 4=7．85m； (4)筒壁

R 3=8.05m，t 3=0.6m，H 3=5.2m；注：R ——至壳壁的中心半径； t——壳壁的厚度；

H ——仓壁、筒壁的高度； 4．2 求解基床系数系数和刚度特征系数 (1)仓壁

β=10. 35E

R 2=

8. 175

=00524E；

α1. 31

1. 31

•1

8. 175×0. 35

=0. 7745；

α1H 1=20. 173＞π(属于长壳) (2)锥体

0. 52

9. 44

=00561E；

α2=

1. 31

R =

1. 312

•t

. 44×0. 5

=0. 603

α2S=9.86＞π(属于长壳)； (3)筒壁 β=

30. 6E

=O.00926E； 3

8. 05

α1. 31

1. 31

R 596；

•t

. 06×0. 6

=0. α3

=3.1≈π (属于长壳)

4．3 无矩状态内力和变形 (1)仓壁

①自重作用下 q 1

=0.35×25=8.75 kN／m。

径向力 T (1)

(1)

11=q

=-227.5+8.75S (1)

kN／m

环向力 T (2)

12=0；

转角 ϕ(1)

q 1

•μ

•R

=34. 1/E Rad

)

位移 ξ

(1)

•11

=−

x (1μ

=887/E+8.75S (1)

/E m；

•R

②仓顶荷载作用下P =4000k N ；径向力 T (1)

400

21=−q =−2π•R =78kN/m；

环向力 T (1)

22=0；转角 ϕ(1)

=0；

位移 ξ

(1)

q ×μ

•R

=−304/E m；

③仓壁水平压力作用下(储料) 径向力 T (1)

31=0；

环向力 T (1)

)

32=ξ

(1)

R 1=kr (225−S (1) R 1=

980-44S (1)

；

转角 ϕ(1)

=1017/E ；

位移 ξ

(1)

•x

=−

ξ=

101

(2288−102S (1)

)

港工技术 1997. N O 4

仓壁底部的内力和变形

径向力 T 1=T 11+T 21+T 31=305.5+8.755S ；环向力 T 2=T 12+T 22+T 32==980一44S ；位移

(1)

径向力

(2)

−N •x

cos θ

sin θ

−

p •x

2•sin θ

=-2000+122.6S ；环向力 T 22=−P N •x 位移 ξ转角 ϕ

(2)

cos θ

(1)

=ξ+ξ+ξ

(1)(1)(1)

=-10/E(2407—105S )

(1)

sin θ

+O=-1331+81S

(2)

转角 ϕ=ϕ+ϕ+ϕ==l050/E

(1)(1)(1)

=16310/E；

(2)锥体(漏斗)

①自重作用下 q =0.5×25=12.5kN/m；

3540

E •(14. 16−S •sin 60)

；

漏斗锥体底部的内力和变形：径向力 T 1=2118+129.65S ；环向力 T 2=-1390+84.6S ；

(2)

径向力 T 11=

(2)

(1)

−q •x

(2)

2•sin θ

(2)

=−118+7S ；

(2)

环问力 T 12=q •x •ctg θ=-59+3.6S ；位移 ξ

(2)

位移 ξ转角

(2)

=16953/E；

(1−

2•cos θ

•g •θcos θ=643/E；

(2)

=−

3060

E •(14. 16−0. 866S )

2；

转角

(2)

2⎡12

+μ−(2+μ) •θ]•tg θ •cos 2⎢⎣2•x

(3)环梁无矩状态下内力和变形近似为零； (4)筒壁无矩状态下内力和变形近似为零； 4.4 刚度和分配系数

483. 4

E •(14. 16−0. 866S

环梁的截面积

=b ×h =2. 5㎡

②储料垂直荷载作用

构件仓壁锥壳环粱筒壁结点总刚度

公式

环梁的惯性矩 I h =1.3m

K ϕ

值

公式

K ξ

值 0.00677E

K ϕK ξ

公式

M H

值

β/2α

0.00564E 0.0128E 0.021E 0.02187E 0.01631E

β/α

β/2α

0.00437E 0.0089E ____

β/2α

β/αsin θ

0.0124E 0.04E 0.0155E 0.07467E

αsin θ

E I h /R 2 E I h /R 2

____

β/2α

β/α

β/2α

-0.013E 0.0027E

∑= ∑= ∑=

分配系数：仓壁 D m =

0. 00564

=0. 092；

0. 06131

0. 0128

=0. 209； 0. 6131

筒壁 D m =

0. 02187

=0. 356

0. 6131

4.5 固端弯矩和结点不平衡弯矩

(1)仓壁的固端弯矩

锥壳 D m =

0. 021

环梁 D m ==0. 343

0. 6131

F 1

=−K ϕ•θ−K ξ•ξ

(1)

=99. 3kN·m

港工技术 1997. N O 4

(2)锥壳的固端弯矩

各水平径向力、结点不平衡水平径向力为：

=−K ϕ•θ

(2)

−K ξ•W

(2)

=148 kN.m；

/=∑/=164.5-1059-195.5+O+54.8

H H n

=-1035.2kN/m；

(2) 消除结点不平衡水平径向力

①先求结点单位水平径向位移时固端弯矩 C

仓壁： M 1=0.00437E；

锥壳： M 2=-0.0089E；

环梁： M 3=0；

C 筒壁： M 4=-0.013E；

(3)环梁固端弯矩

M 3=99.3kN.m(由仓壁偏心产生的)； (4)筒壁固端弯矩

M 4=61.1kN.m(由仓壁及环梁产生的) (5)结点不平衡弯矩

F F

∑M

=99.3-148-99.3+61.1= -86.9kN·m；

4．6 弯矩分配

(1)结点放松，但不计侧移 M n =M n −D n ∑M

仓壁：M 1=-99.3-0.092×(-86.9)=

107.3kN.m；

锥壳：

结点不平衡弯矩： C

=(0.00437+0.0089-0.013)E≈0； ∑M n

②放松结点、求单位水平径向位移的弯矩 M n =

M 2=-148-0. 209×(-86. 9)

=-129.8kN.m；

D n •∑M n

仓壁： M 1=0.00437E；锥壳： M 2=0.0089E；环梁： M 3=0；

筒壁： M 4=-0.013E；

环梁： M 3=-99.3-0.343 ×(-86.9)

=69.5kN.m；

筒壁： M 4=61.1-0.356×(-86.9)

=92kN.m；

此时的水平

径向力

H n =H 0+

H 1+H 2=±T 1×

cos θ−

2αn •sin θ

×ξ±仓壁：

sin θ

/1/

•M n ； =164.5kN/m

锥壳：H 2=-1059-195.5

=-1254.5kN/m；

环梁：H 3=54.8kN/m；

图7 内力图(单位：kN．m)

港工技术 1997. N O 4

结点单位水平径向位移时的水平径向力

H 1=164.5+0.00676E×13750E

=257．5kN／m

−1

H n =

2•αn •sin θ

sin θ

； n

仓壁： H 1=0.00676E；锥壳： H 2=0.0124E；环梁：

H 3=

=0. 04057E ；

筒壁： H 4==0.01554E；

使结点侧移ξ=1所需水平径向力： H =∑H n =0.07527E ； ③求修正弯矩和修正水平径向力 H +H •ξ=0；

−1

M =-7.4kN.m/m；

H =-1059-25=-1 084Kn/m；环梁： M =-69. 5k N. m /m ； H =−557.8Kn/m；筒壁： M =-86. 8k N. m /m ； H =268.5kN/m；

锥壳：

4.7 环梁的弯矩、拉力

M =M 3R 3=-69.5×7.85=-545.6kN.m； T =

H •R

=557.8×7.85=4378.7Kn；

−1035−1

ξ=−=−=13750E ；

0. 07527E H 第n个基本构件的最后(考虑侧移影响)的边缘弯矩和边缘水平径向力: M n =M n +M n •ξ； H n =仓壁：

内力图见图7

参考文献

1 瓦·凡·符拉索夫.壳体的一般理论．北京：人民教育出版社．1960，7

2 李炳威．壳体结构的工程分析方法．北京：人民交通出版社，1997

．

H +H

•ξ；

M 1=107.3+0.00437E×13750E

−1

=167. 4k N ·m /m ；

Bending Moment Distribution Method for

Rotation Shel l Structure Li Jinhua and Fan Shaojie

(FDINE’Tianjin 300222)

Abstract

The bending moment distribution method for rotationshell structure and

anexample of the application in the design of large capacity concrete silo at the#1 Basin ofTangshan Port，which bottom being in the shape of central cone was briefly introduced in the paper·

Keywords shell bending moment silo。

The First Design Institute of Navigation Engineering，the Ministry of Communications

旋转壳体结构的弯矩分配法

李金华范少杰

(交通部一航院天津300222)

摘要简要介绍旋转壳体结构的弯矩分配法及其在唐山港1号泊位大容量中心锥形库底水泥筒仓设计中

的应用实例。

关键词壳体弯矩分配筒仓

近年来随着散粮、散装水泥等专业化码

具有卓越的力学性能。

本文根据工程实践，介绍一种简便实用、适宜于手算的旋转壳体工程分析方法——弯矩分配法。 1 计算基本原则

1.1 旋转壳体的主要符号(图1)

(b )

(a) (b) (c)

图1 旋转壳体的主要符号

Rt一沿壳面经线方向的主曲率半径；

Rz一沿壳面纬线方向的主曲率半径； r一由旋转轴至壳体中曲面的水平距离； (半径)，r—R2sin θ；

θ—径向切线与水平线的夹角； δ一壳体厚度；

T ϕ—壳体环向截面单位长度上的经向力；

M ϕ—壳体环向截面单位长度上的

经向弯矩；

M θ—壳体径向截面单位长度上的环向

弯矩；

当R 1=R 2时，为球面壳。当R 1=∞,R 2 =r时，为圆筒壳，当为圆锥壳时，R 1=∞,R 2 =0～r；

经向截面单位长度上的环向弯矩通常较小，钢筋混凝土结构忽略不计。

T θ一壳体径向截面单位长度上的环向力；

M θ≈1/6M ϕ，一般可

收稿日期：1996一08—21

假设壳体上的应力沿其厚度均匀分布，且壳体截面上经向弯矩

M ϕ，环向弯矩M θ及剪

力S为O。按此假设进行计算的理论称为无矩理论或薄膜理论，所得内力，称之为无矩状态内力或薄膜内力。

如果壳体上的内力

M ϕ，M θ及S不假设为

E δ

(1) 2

(2)壳体的圆柱刚度 D =

E 3

(2)

12(1−μ) (3)刚度特征系数

α=(β/4D (3) 钢筋混凝土壳体刚度特征系数

α=1. 31

R ×δ (4)

2式中：E一壳体材料弹性模量

μ—泊松比，钢筋混凝土结构μ=1/6； 1．3 壳体内力分布状态

壳体内力，按距离相交线边缘远近可分为三种状态：结线处内力；边绿效应影响范围内的内力；远离结线处内力。

旋转壳由于边缘力在边缘以外部分引起的内力和变形，通常称之为边缘效应，为距离

该边缘的距离X的函数f(x)，且f(x)呈迅速衰减的阻尼波形(具有负高斯曲率者，如双曲线冷却塔除外)，其波形与壳体的结构特征值有

关。例如筒壳，其波长λ=

2π

=4.8

δ；

每经过一个波长，其边缘效应仅剩下1／23．14。

理论分析表明，当筒壳高度H>

，即

(2)结线附近内力，在结线处内力求得后，即可按有关壳体计算公式计算边缘效应，

再加上无矩状态内力即为真实内力。 (3)远离结线处内力，可按无矩理论计算，又称为薄膜内力。

壳体上无矩状态下的某点变形，如图2 所示，包括壳体法向位移w ，经向位移γ，及经向转角ϕ。位移可用其分量表示，水平经向位移ξ和垂直位移η。

图2旋转壳体变形示意

对于任意形式的旋转壳、其刚度系数α为变数时，可以用“代替球壳”(即在所计算的

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图3“代替球壳”示意

边缘处内切的球壳)的α值进行计算，理论分析表明，在相同荷载作用下．二者引起的边缘效应误差很少。

但应用图3所示，“代替球壳”计算时．必须注意：

(1)壳体不能太扁(30°≤θ≤90°) (2)不能用于具有负高斯曲率的壳体 (3)不能用于短壳。 2 壳体结构的弯矩分配法 2．1 壳体的边缘刚度

K M

ϕ——边缘转角时的抗弯刚度(ϕ=1，ξ=0时，所需要的边缘径向弯矩值)；

K H

ϕ——边缘转角时的抗推刚度(ϕ=1，ξ=O 时所需要的边缘水平径向推力值) K H

ϕ=K ξ； ϕ—边缘转角；

ξ——边缘水平径向位移。 2．2力的正负号

和固端水平径向力

在外荷载作用下，旋转壳固端弯矩M

和

固端力H F

为

图4 力的正负号示意

=−ΦM

P K ϕ−ξ

K ξ

(5)

=±T h

ϕcos θ−ξ

k ξ−ϕ

K ϕ (6)

2.4 边缘无径向位移时的弯矩分配法几个壳体交于结线i，其中：

(1)、第j个壳体的最后边缘弯矩为 M j =M F

j −D j •∑M j (7) M

P K ϕJ

j =∑K M (8)

式中:

F j

一第j 个壳体的固端弯矩；

∑M F

j —交于该结线的所有壳体的固端弯矩之和，即此处的不平衡力矩。

K M ϕJ

第i个壳体边缘转角时的抗弯刚度。

一第i个壳体在该节线处的分配系数

(2)第j个壳体边缘水平径向力,包括： a·无矩状态下外荷载引起的水平径向力

=±T ϕ•cos θ (9)

其正负号选用，参照图5，根据T ϕ的正负号和经线切线的倾斜方向而定。 b．外荷作用下无矩状态水平径向位移ξP

为抵抗此位移ξP

，假设有水平径向力H 1作

用，并引起水平径向位移

H 1ξ

、则有ξP

·ξH

=0，由此可得抵抗ξP

的水平径向力

H ξ

p β

=-=-

(10)

2αsin 2

•ξ c·边缘弯矩鸩作用下，壳体边缘不但有转角，而且有水平径向位移，为抵抗此水平

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图 5 旋转壳体内力示意

径向位移，假设有水平径向力H 2作用，并引起水平径向位移

H 2

•ξ

，则应有

M j

±H 2ξH

=0；由此可得：

ξM

•M

(11)

sin θM

综合上述情况，可得在无侧移的情况下，第j个壳体的最后边缘力

，如图5所示为

H 0

+H 1

±T ϕcos θ−

2αsin

ξp

sin θ

(12)

2·5 边缘有侧移的变矩分配法此时，计算须分成二步。

第一步：结线被放松但无侧移。先求无侧移时的边缘力和边缘弯矩；此时在结线处将有不平衡水平径向力，即为各构件边缘水平径向力之和。

H=∑H j (13) 第二步：消除结线处不平衡水平径向力。 (1)

先求结线单位水平径向位移(ξ=1)

时的固端弯矩。第j个构件边缘单位水平径向位移引起的侧移固端弯矩为：

c M

M j

=ξ•K ξJ =

K ξ

(14)

结线不平衡弯矩为:

∑M

C M

=∑K ξJ (15)

(2)放松结线。求ξ=1时的边缘弯矩，第 j个构件的边缘弯矩为：

/C M M j

=M j −D j •∑M C

j =

K ξJ

−D j

∑K ξ

(6)

参照式(12)，可得第j个构件在结线侧移ξ=1时的边缘水平径向力为：

H /

j =

2αsin 2

sin θ

(17)

第二项的正负号取决于构件和结线的相互位置。

使结线侧移ξ=1所需的水平径向力为:

H /=∑H /

j (18) (3)求修正弯矩和修正水平径向力。根据位移方程，可得H +H /

ξ=0，求出在

作用下的结点水平位移ξ，求出修正弯矩

和修正水平力，进而可得第j个壳体的边缘弯矩和边缘水平径向力:

M 0

j =M j +M j ξ (19) H 0/

j =

H j +H j ξ (20)

3 壳体计算主要公式

3．1 旋转薄壳的刚度(见表1) 3．2 壳体的内力和变形

各种壳体的内力和变形可参见有关书籍和手册。

对于球壳和筒壳中间纬圈的内力和变形见表2。

4 工程实例(京唐港1号泊位水泥筒仓工程如图6所示) 4．1 计算条件

水泥重度)，：16kN／m 3

，混凝土强度等级C25，泊桑比μ=0．167 侧压力系数

k =tg 2

(45°−30°/2) =O. 333 (1)仓壁

R 1=8．175m；t 1=0．35m；H 1≈26m；储料的有效高度h 1=22．5m； (2)圆锥

θ=60，t 2=0.5m，R 2=8.175／sin60°=9.44m H 2=8.175／tg30°=14.16m，S=16. 35m(斜长) (3)环梁

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表1 旋转薄壳的刚度

壳体形式及部位

K ϕ

K ξ

K ϕ

K ξ

球边缘刚度

β/2αβ/2αβ/2αβ/2α

βαsin

±β

/2αsin θ

±β

/2α

sin θ

2 壳筒壳

任意中间纬圈刚度

边缘刚度任意中间纬圈刚厦

2βαsin θ

3 4

β/α

2β/α

±β/2α

1．球壳边缘刚度公式可根据“代替球壳”的原则应用于锥壳；

2．表中公式有两个符号者：壳体在汁算结点之上时，用上面的符号；6-。用下面的符号。 3．下标“0”表示属于边缘的。

表2 球壳和筒壳中间纬圈的弯矩、力、和变形

表3双曲线三角函数表

−αs

cos(αs )

−αs

sin(αs )

−

0 1．0000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1Z 注：自变数αS=

0．6238 0．3224 0．1178 0 - 0．0537- 0．0671 -0．0591 -0．0432 - 0．0270 - 0．0139 - 0．0051

O 0．2584 0．3224 0．2844 0．2079 0．1297 0．0671 0．0245 0 - 0．0011- 0．0139 - 0．0123 - 0．0090

1．0000 0．8822 0．6448 0．4022 0．2079 0．0760 0

- 0．0346 0．0432 - 0．0281 - 0．0278 - O．0174 - 0．0090

1．0000 0．3654 O

- 0．1666 - 0．2079 -0．1834 - O．1342 - 0．0836 - 0．0432 - 0．0259

O 0．0072 0．0090

n π

，式中α见式-3 及-4，S为距边缘处距离；π为圆周率；②n >12时，近似地取各8

值为零。

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图6水泥筒仓示意（单位：mm）

B×h=1.0m×2.5m，R 4=7．85m； (4)筒壁

R 3=8.05m，t 3=0.6m，H 3=5.2m；注：R ——至壳壁的中心半径； t——壳壁的厚度；

H ——仓壁、筒壁的高度； 4．2 求解基床系数系数和刚度特征系数 (1)仓壁

β=10. 35E

R 2=

8. 175

=00524E；

α1. 31

1. 31

•1

8. 175×0. 35

=0. 7745；

α1H 1=20. 173＞π(属于长壳) (2)锥体

0. 52

9. 44

=00561E；

α2=

1. 31

R =

1. 312

•t

. 44×0. 5

=0. 603

α2S=9.86＞π(属于长壳)； (3)筒壁 β=

30. 6E

=O.00926E； 3

8. 05

α1. 31

1. 31

R 596；

•t

. 06×0. 6

=0. α3

=3.1≈π (属于长壳)

4．3 无矩状态内力和变形 (1)仓壁

①自重作用下 q 1

=0.35×25=8.75 kN／m。

径向力 T (1)

(1)

11=q

=-227.5+8.75S (1)

kN／m

环向力 T (2)

12=0；

转角 ϕ(1)

q 1

•μ

•R

=34. 1/E Rad

)

位移 ξ

(1)

•11

=−

x (1μ

=887/E+8.75S (1)

/E m；

•R

②仓顶荷载作用下P =4000k N ；径向力 T (1)

400

21=−q =−2π•R =78kN/m；

环向力 T (1)

22=0；转角 ϕ(1)

=0；

位移 ξ

(1)

q ×μ

•R

=−304/E m；

③仓壁水平压力作用下(储料) 径向力 T (1)

31=0；

环向力 T (1)

)

32=ξ

(1)

R 1=kr (225−S (1) R 1=

980-44S (1)

；

转角 ϕ(1)

=1017/E ；

位移 ξ

(1)

•x

=−

ξ=

101

(2288−102S (1)

)

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仓壁底部的内力和变形

径向力 T 1=T 11+T 21+T 31=305.5+8.755S ；环向力 T 2=T 12+T 22+T 32==980一44S ；位移

(1)

径向力

(2)

−N •x

cos θ

sin θ

−

p •x

2•sin θ

=-2000+122.6S ；环向力 T 22=−P N •x 位移 ξ转角 ϕ

(2)

cos θ

(1)

=ξ+ξ+ξ

(1)(1)(1)

=-10/E(2407—105S )

(1)

sin θ

+O=-1331+81S

(2)

转角 ϕ=ϕ+ϕ+ϕ==l050/E

(1)(1)(1)

=16310/E；

(2)锥体(漏斗)

①自重作用下 q =0.5×25=12.5kN/m；

3540

E •(14. 16−S •sin 60)

；

漏斗锥体底部的内力和变形：径向力 T 1=2118+129.65S ；环向力 T 2=-1390+84.6S ；

(2)

径向力 T 11=

(2)

(1)

−q •x

(2)

2•sin θ

(2)

=−118+7S ；

(2)

环问力 T 12=q •x •ctg θ=-59+3.6S ；位移 ξ

(2)

位移 ξ转角

(2)

=16953/E；

(1−

2•cos θ

•g •θcos θ=643/E；

(2)

=−

3060

E •(14. 16−0. 866S )

2；

转角

(2)

2⎡12

+μ−(2+μ) •θ]•tg θ •cos 2⎢⎣2•x

(3)环梁无矩状态下内力和变形近似为零； (4)筒壁无矩状态下内力和变形近似为零； 4.4 刚度和分配系数

483. 4

E •(14. 16−0. 866S

环梁的截面积

=b ×h =2. 5㎡

②储料垂直荷载作用

构件仓壁锥壳环粱筒壁结点总刚度

公式

环梁的惯性矩 I h =1.3m

K ϕ

值

公式

K ξ

值 0.00677E

K ϕK ξ

公式

M H

值

β/2α

0.00564E 0.0128E 0.021E 0.02187E 0.01631E

β/α

β/2α

0.00437E 0.0089E ____

β/2α

β/αsin θ

0.0124E 0.04E 0.0155E 0.07467E

αsin θ

E I h /R 2 E I h /R 2

____

β/2α

β/α

β/2α

-0.013E 0.0027E

∑= ∑= ∑=

分配系数：仓壁 D m =

0. 00564

=0. 092；

0. 06131

0. 0128

=0. 209； 0. 6131

筒壁 D m =

0. 02187

=0. 356

0. 6131

4.5 固端弯矩和结点不平衡弯矩

(1)仓壁的固端弯矩

锥壳 D m =

0. 021

环梁 D m ==0. 343

0. 6131

F 1

=−K ϕ•θ−K ξ•ξ

(1)

=99. 3kN·m

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(2)锥壳的固端弯矩

各水平径向力、结点不平衡水平径向力为：

=−K ϕ•θ

(2)

−K ξ•W

(2)

=148 kN.m；

/=∑/=164.5-1059-195.5+O+54.8

H H n

=-1035.2kN/m；

(2) 消除结点不平衡水平径向力

①先求结点单位水平径向位移时固端弯矩 C

仓壁： M 1=0.00437E；

锥壳： M 2=-0.0089E；

环梁： M 3=0；

C 筒壁： M 4=-0.013E；

(3)环梁固端弯矩

M 3=99.3kN.m(由仓壁偏心产生的)； (4)筒壁固端弯矩

M 4=61.1kN.m(由仓壁及环梁产生的) (5)结点不平衡弯矩

F F

∑M

=99.3-148-99.3+61.1= -86.9kN·m；

4．6 弯矩分配

(1)结点放松，但不计侧移 M n =M n −D n ∑M

仓壁：M 1=-99.3-0.092×(-86.9)=

107.3kN.m；

锥壳：

结点不平衡弯矩： C

=(0.00437+0.0089-0.013)E≈0； ∑M n

②放松结点、求单位水平径向位移的弯矩 M n =

M 2=-148-0. 209×(-86. 9)

=-129.8kN.m；

D n •∑M n

仓壁： M 1=0.00437E；锥壳： M 2=0.0089E；环梁： M 3=0；

筒壁： M 4=-0.013E；

环梁： M 3=-99.3-0.343 ×(-86.9)

=69.5kN.m；

筒壁： M 4=61.1-0.356×(-86.9)

=92kN.m；

此时的水平

径向力

H n =H 0+

H 1+H 2=±T 1×

cos θ−

2αn •sin θ

×ξ±仓壁：

sin θ

/1/

•M n ； =164.5kN/m

锥壳：H 2=-1059-195.5

=-1254.5kN/m；

环梁：H 3=54.8kN/m；

图7 内力图(单位：kN．m)

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结点单位水平径向位移时的水平径向力

H 1=164.5+0.00676E×13750E

=257．5kN／m

−1

H n =

2•αn •sin θ

sin θ

； n

仓壁： H 1=0.00676E；锥壳： H 2=0.0124E；环梁：

H 3=

=0. 04057E ；

筒壁： H 4==0.01554E；

使结点侧移ξ=1所需水平径向力： H =∑H n =0.07527E ； ③求修正弯矩和修正水平径向力 H +H •ξ=0；

−1

M =-7.4kN.m/m；

H =-1059-25=-1 084Kn/m；环梁： M =-69. 5k N. m /m ； H =−557.8Kn/m；筒壁： M =-86. 8k N. m /m ； H =268.5kN/m；

锥壳：

4.7 环梁的弯矩、拉力

M =M 3R 3=-69.5×7.85=-545.6kN.m； T =

H •R

=557.8×7.85=4378.7Kn；

−1035−1

ξ=−=−=13750E ；

0. 07527E H 第n个基本构件的最后(考虑侧移影响)的边缘弯矩和边缘水平径向力: M n =M n +M n •ξ； H n =仓壁：

内力图见图7

参考文献

1 瓦·凡·符拉索夫.壳体的一般理论．北京：人民教育出版社．1960，7

2 李炳威．壳体结构的工程分析方法．北京：人民交通出版社，1997

．

H +H

•ξ；

M 1=107.3+0.00437E×13750E

−1

=167. 4k N ·m /m ；

Bending Moment Distribution Method for

Rotation Shel l Structure Li Jinhua and Fan Shaojie

(FDINE’Tianjin 300222)

Abstract

The bending moment distribution method for rotationshell structure and

anexample of the application in the design of large capacity concrete silo at the#1 Basin ofTangshan Port，which bottom being in the shape of central cone was briefly introduced in the paper·

Keywords shell bending moment silo。

The First Design Institute of Navigation Engineering，the Ministry of Communications

旋转壳体结构的弯矩分配法

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