２００８年第２期・北京测绘・
区域高程异常内插方法研究
沈京湘，王鹤，郎刚，陈平川
（中航勘察设计研究院，北京１０００９８）
【摘要】介绍了部分高程异常内插的方法。结合一个具体的实例，在２ｋｍｘ２ｋｍ的小范围内采用多项式拟合内插的方法进行高程异常的逼近．运用ＧＰＳ；＇ｇ准获得的数据进行检查，通过分析，应该采用５参数内插的方法，取得了２．８ｃｍ的精度；并据此进行高程异常内插分析，运用ＭＡＴＬＡＢ编写程序对几种插值方法进行讨论。
【关键词】高程异常；曲面拟合；规则格网；插值；似大地水准面【中图分类号】Ｐ２２８．４
【文献标识码】Ｂ
【文章编号】１００７—３０００（２００８）０２－４
ＧＰｓ（Ｇｌｏｂａｌ
Ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ
Ｓｙｓｔｅｍ）的出现是测量
在实际测量中，高程异常一般是通过ＧＰＳ水准［２１的方法来获得。在工程上进行大地高、正常高
技术上的一次革命。它在带来方便的同时，也带给我们更高的精度。目前，ＧＰＳ测量相对精度可
的转化时，正常高％的精度取决于高程异常考
的精度，所以获得高精度的高程异常数据对正常高的确定意义重大。
以达到了ｌ酽一１０４米川；在高程测量方面，ＧＰＳ提
供的是相对参考椭球面的大地高凰。，但是我国高程系统采用的是相对于似大地水准面的正常
高风（正常高、大地高的关系如图１），因此需要把ＧＰＳ提供的大地高巩。转化为正常高％，采
用的公式是：
ＨＲ＝／／Ａｏ－－毫
（１）
１高程异常拟合方法
由于地面起伏的连续性、地壳的均衡性，必然导致大地水准面的均衡性，而高程异常是参考椭球面与大地水准面之间的垂直距离，这就使高程异常同样具有均衡性，所以可以用一个连续的数学模型来描述高程异常的变化。常用的方法有多项式模型、多面函数模型、有限元模型、加权平均值模型、人工神经网络方法等，在这只介绍多项式曲面拟合模型。
多项式曲面拟合将高程异常看作是一定范围内坐标的曲面函数，认为高程异常在此范围内变化平缓。采用的函数模型【３・４ｌ为：
ｓｆ＝ａｏ＋ａｒｘ＋ａａｙ＋ａ３ｘ％ｍｙａ＋ａｓｘｙ＋’・。
经常采用的是
面
（２）四参数拟合：乒ｎ０＋口傅＋ｏ巧．＋蟛，，（３）五参数拟合：乒ａ０＋鲫＋缈蚴冉伍矿六参数拟合：ｆ＝Ⅱｆ）＋国ｘ＋ｔｒｚｙ＋ａ矿＋ａ４ｙａ＋ａｃｒｙ（４）
图１大地高与正常高的关系
考为高程异常，是指似大地水准面与参考椭球面之间的垂直距离，考有正有负。
２高程异常曲面的插值过程
在面积不是很大的区域，运用ＧＰＳ水准测量
【收稿日期】２００８－０２－－０４
【作者简介】沈京湘（１９６３一）男ｊＥ京人，工程师，主要从事测绘工作。
・北京测绘・
２００８年第２期
的方法得到多点的高程异常值，这些点应该分布于测区的适当位置。在分析地形之后选择一些特征点来对该地区的高程异常曲面进行拟合，得到该地区高程异常毒关于坐标ｘ，ｙ的函数；之后，运用ＭＡＴＬＡＢ编写程序，获得一系列的规则格网点的高程异常值，然后运用数学插值的方法来解求任意点的高程异常值，即高程异常曲面的精化；如果拟合结果的精度合适，则可以由该地区任意点的ＧＰＳ大地高通过公式（１）反算出其正常高，从而为各种工程建设服务。
运用ＭＡＴＬＡＢ编写程序获得网格数据，采用
的数学插值方法ｌ＂是：
ｎｅａｒｅｓｔ：最近点插值，根据已知两点间的插值点与两点之间的位置远近来进行插值计算，插值点的数值取与其距离较近的点的值。
ｌｉｎｅａｒ：线性插值法，把相邻的数据点用直线连接，按所成的曲线进行插值计算。
ｃｕｂｉｃ：三次多项式插值法，用已知的数据点构造出三次多项式，然后再进行插值计算。
ｂｉｌｉｎｅａｒ：双线性插值法，构造一个双线性曲面，然后利用离每个插值点最近的四个点的坐标来进行插值。
ｂｉｃｕｂｉｃ：双ｉ次插值多项式，又名样条函数内插，它是用格网数据点值内插格网内任何一点的数值，它是以一个方格网为分块单元，由分块四角点构成一个双ｉ次曲面来描述格网点的数值，它能保证曲面交界处光滑。
ｓｐｌｉｎｅ：样条插值，使插值函数既是低阶分段函数，又是光滑的函数。避免了高次插值函数计算量大，剧烈振荡，数值稳定性差和分段线性插值在分段点上仅连续而不光滑（导数不连续）的缺点。
３多项式拟合高程异常曲面和规则格网
内插分析
在进行小区域高程异常曲面拟合时，考虑到高程异常曲面的均衡性，可以利用多项式曲面拟合方法来进行高程异常曲面的逼近。在拟合的过程中，当然已知点数量越多越好，但是兼顾实际测量工作中的经济效益，不可能测量获得很多的点位，来进行最小二乘曲面的拟合，因此我们希望可以对整个测区分布位置适当的点来进行ＧＰＳ水准测量，获得这些点的高程异常值，再利用多项式拟合的方法来确定整个区域的高程异
常曲面。下面以某个实验场的数据进行说明。
该实验场处于地势平坦的大兴地区，通过ＧＰＳ水准的方法获得２１点的大地高和正常高。这些点的分布如图２。
：：：
●
：
：ＩⅦ５
…
舟
；
●Ｇ严
；卤－．ＩＵ
Ｕ’
４
ｋ缀氘盖≯７一
：卡印８１
●
●
：睾Ｇ０∞
：
●
午口ＳＣ
一．Ｊ．Ｚ。…＂’一
喜∞Ａｄ
ＬｆＹｌ＇ｔＯ
．卡带００７５
赢岬
鲁
Ｇ￥０１：
Ｍ１２
专
伽
ｘ
１０ｊ
图２点位分布图表１点位拟合结果单位（ｍ）
点号
四参数
五参数
六参数
ＩＶ０ｌ－０．００７８０．０３４４－０．３７８７ＩＶ０２０．０１４８－０．００２３０．７６７５ＩＶ０３－０．００６５－０．０１１９０．４７８３ＧＳ０４Ｏ．０００１０．０２０３－０．１３７２ＩＶ０４０．０１３７０．０３８４－０．１０３２Ｇ０７８－０．００３Ｏ．０００７０．３９５８Ｇ０７５Ｏ．００４０．０００８０．４９２８Ｇ０７６－０．０１７４－０．０２７９０．５０４７Ｃ，０８４－０．０２７９－０．０２４３０．２３９１Ｇ０９３—０．０２７８－－０．０１５１Ｏ．００８７Ｇ０８１－０．０２８６－０．００８４－－０．１９８９Ｇ０２７－０．０２３２－０．０００ｌ－０．２６９９Ｇ００６－０．０２１２０．００３４－０．０８３７Ｇ０３６－０．０４３２－０．０１５３－－０．０１４４Ｇ０３７
－０．００２７０．０２９６－０．０２１４最大误差－０．０４３２０．０３８４０．７６７５中误差
０．０１６９
Ｏ．０２０７
０．３４１７
为了进行高程异常曲面的拟合，首先将２１点的高程异常解算出来；为了得到较好的拟合结果，采用分布于测区边缘和中心附近的点进行拟
２００８年第２期
・北京测绘・
在进行似大地水准面的精化时，经常采用规则格网内插的方法，运用规则高程异常格网数值进行内插计算时，由于地面的高低起伏，以及区域的范围大小，不可能采用一个完整的数学模型来进行高程异常曲面的拟合，同时也不可能对大范围的高程异常进行内插计算。由上面的实例可以看出，在小范围内，运用数学拟合的方法，可以获得３．８ｃｍ的精度。下面讨论高程异常插值的问题，运用ＭＡＴＬＡＢ编写程序来进行插值的相关计算，并且探讨在保持４ｃｍ精度的情况下，内插规则格网的密度问题。
当采用正方形格网进行内插时，运用ＭＡＴＬＡＢ编写程序，得到计算结果见表２。
表２计算结果
单位（ｍ）
ｓｐｌｉｎｅ０．０４０１２５１×１２５ｌ
ｂｉｌｉｎｅａｒ０．０４０１２８６×１２８６
ｌｉｎｅａｒ０．０４０１２８６×１２８６
合，分别运用四点、五点、六点进行曲面拟合，即解求公式（２）、（３）、（４）的参数，再把其余的点作为检验点，用于检验拟合的精度，获得了拟合结果残差的最大值以及标准差，计算结果列于表１。（四点拟合采用的是ＧＳ０１，ＧＳ０２，ＧＳ０３，ＩＶ０５；五点拟合采用的是ＧＳ０１，ＧＳ０２，ＧＳ０３，ＩＶ０５，Ｇ０１２；六点拟合采用的是ＧＳ０１，ＧＳ０２，ＧＳ０３，ＩＶ０５，
Ｇ０１２，Ｇ０３３）
从表中数据可以看出，以最大误差、两倍中误差为限差作为拟合优劣的标准，采用五参数多项式拟合可以取得比较好的结果，并且采用的参数越多、多项式次数越高将带来拟合结果的越来越不稳定，即中误差越来越大。
插值方法最大误差格网大小
ｂｉｃｕｂｉｃ０．０３８１２５０×１２５０
ｎｅａｒｅｓｔｃｕｂｉｃ０．０３８１２５０×１２５０
０．０４０６６×６６
误差／ｍ
０．０４
０．０３
Ｏ．０２
０．０１
Ｏ
—Ｏ．Ｏｌ一０．０２－ｏ．０３
－ｏ．０４
图３不同拟合方法的误差曲线
从这个表可以看出，当采用最大点位误差不大于０．０４ｍ时，ｎｅａｒｅｓｔ方法最差，而其他的方法可以将格网的长度放大到１２５０ｍ。在数据处理过程中，发现ｌｉｎｅａｒ与ｂｉｌｉｎｅａｒ、ｃｕｂｉｃ与ｂｉｃｕｂｉｃ的插值结果非常接近，所以只讨论ｂｉｌｉｎｅａｒ，ｂｉｃｕｂｉｃ，ｓｐｌｉｎｅ，ｎｅａｒｅｓｔ这四种方法。
在经过数据处理计算之后，绘制图３，可以看出，ｂｉｃｕｂｉｃ，ｂｉｌｉｎｅａｒ，ｓｐｌｉｎｅ在５００ｍｘ５００ｍ，６００ｍ×
４００ｍ，４００ｍ
Ｘ
计算时有一些波动，而ｓｐｌｉｎｅ，ｂｉｃｕｂｉｃ的插值结果最稳定，在三种情况下所有点的点位误差都没有变化，所以在进行高程异常曲面的内插计算时，应该采用这两种方法。
４结论
（１）在进行高程异常曲面的拟合时，并非采用多点高程异常值进行多参数多项式的拟合效果好，因为高次多项式的不稳定性，在进行高次多项式拟合时，点位误差可能会很大。当把最大点位误差作为评价标准时，应该采用五参数多项式拟合的方法，这样得到的拟合结果的误差比较
６００ｍ的插值误差比较均匀；ｎｅａｒｅｓｔ
方法不适合内插分析，由于该方法本身的原因，在格网变化时会得到相差悬殊的结果；ｂｉｌｉｎｅａｒ法在
・北京测绘・２００８年第２期
（２）在保持４ｃｍ精度的情况下，进行高程异
【３】孔祥元，郭际明，刘宗泉・大地测量学基础【Ｍ】・武汉：武
妻翌型篓窒竺皇孽翌兰＝ｓｔ耋凳黧。．冒要孽嗍值格网的宽度不可．能无限夸，学格粤竺警堡兰犁＿’盖蔷ｉ茹：嚣：≯。“。５
ｎ“ｕ“”～“”“’
一定的长度时，在有些地方会出现插值点周围没有足够的已知点数据而导致插值失败的情况，而
【５】王玉富．’温孟曲线的二维插值法优化
～真田．潍坊学院学报，２００４，４（４）：６ｌ－６３
（上接第４９页）
Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ
ｏｆＳｕｒｖｅｙｉｎｇ
ＨＵ
Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ
Ｄａｇｕ０１．ＬＩ
ｗｉｔｈ
Ｊｉａｎ２
Ｅｘｃｅｌｂａｓｅｄ
ｏｎ
ＶＢＡ
１．ＲｅａｌＥｓｔａｔｅ２．Ｔｈｅ
Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ
ａｎｄ
Ｍａｐｐｉｎｇ
ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＧｕａｎｇｚｈｏｕ
Ｍｕｎｉｃｉｐａｌｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，５ａｎｄ
Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ
１００３０；
Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ＆Ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ
ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＸｉｎ
ｊｉａｎｇＰｒｏｄｕｃｔｉｏｎ
ｗｉｔｈ
Ｃｏｒｐｓ，Ｕｒｕｍｃｈｉ，Ｘｉｎｊｉａｎｇ，８３０００２
ｈａｓ
ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ，ｈｉ：ｇｈｇｅｎｅｒａｌｌｙ
ｂａｓｅｄ
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ
ｏｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅａｎｄ
ｗｉｄｅ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＩ
ｓｕｒｖｅｙｉｎｇｐｒｏｇｒａｍｓ
ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ
Ｅｘｃｅｌ
ｂａｓｅｄｐｒｏｇｒａｍｓ
ｏｎＶＢＡ
ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ
ｉｎｔｈｅａｎｄ
ｔｈｅ
ｃｈａｒａｃｔｅｒｓ．Ｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ
ｐａｐｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｓｅｖｅｒａｌ
ｔｏ
ｒａｄｉａｎｓａｚｉｍｕｔｈ
ｔｏ
ｏｆｓｕｃｈｈａｓｂｅｅｎ
ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ
ａｎｄ
ｔｈｉｓ
ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ
ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ
ｈｏｗ
ｔｏ
ｗｉｔｈＥｘｃｅｌ
ｔｏ
ｕｓｅ
ＶＢＡ
ｒｅｌａｔｉｖｅｄｅｔａｉｌｅｄｒｅｐｒｅｓｅｎｔ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｓ
ｕｓｅ
ｄｅｇｒｅｅｓ，ｍｉｎｕｔｅｓ，ｓｅｃｏｎｄｓｔｏ
ａｎｇｌｅｓ，ａｎｄｈｏｗ
ｔｏ
ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ
ａｎｇｌｅｓ，ａｎｄｈｏｗ
ｒｅａｌｉｚｅｔｈｅｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ
ｂｅｔｗｅｅｎ
ＳＯＵｒｃｅ
ｔｈｅｍ，
ｏｆ
ａｎｄ
ｈｏｗｒｅａｌｉｚｅｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｉｎｖｅｒｓｅ
ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｉｓ
ｐａｐｅｒｏｆｆｅｒｓ
ｔｈｅ
ｃｅｄｅｓ
ｔｈｅｓｅｔｈｒｅｅＶＢＡ
Ｋｅｙ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．
Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ；Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ｗｏｒｄｓ：ＶＢＡ；Ｅｘｃｅｌ
２００８年第２期・北京测绘・
区域高程异常内插方法研究
沈京湘，王鹤，郎刚，陈平川
（中航勘察设计研究院，北京１０００９８）
【摘要】介绍了部分高程异常内插的方法。结合一个具体的实例，在２ｋｍｘ２ｋｍ的小范围内采用多项式拟合内插的方法进行高程异常的逼近．运用ＧＰＳ；＇ｇ准获得的数据进行检查，通过分析，应该采用５参数内插的方法，取得了２．８ｃｍ的精度；并据此进行高程异常内插分析，运用ＭＡＴＬＡＢ编写程序对几种插值方法进行讨论。
【关键词】高程异常；曲面拟合；规则格网；插值；似大地水准面【中图分类号】Ｐ２２８．４
【文献标识码】Ｂ
【文章编号】１００７—３０００（２００８）０２－４
ＧＰｓ（Ｇｌｏｂａｌ
Ｐｏｓｉｔｉｏｎｉｎｇ
Ｓｙｓｔｅｍ）的出现是测量
在实际测量中，高程异常一般是通过ＧＰＳ水准［２１的方法来获得。在工程上进行大地高、正常高
技术上的一次革命。它在带来方便的同时，也带给我们更高的精度。目前，ＧＰＳ测量相对精度可
的转化时，正常高％的精度取决于高程异常考
的精度，所以获得高精度的高程异常数据对正常高的确定意义重大。
以达到了ｌ酽一１０４米川；在高程测量方面，ＧＰＳ提
供的是相对参考椭球面的大地高凰。，但是我国高程系统采用的是相对于似大地水准面的正常
高风（正常高、大地高的关系如图１），因此需要把ＧＰＳ提供的大地高巩。转化为正常高％，采
用的公式是：
ＨＲ＝／／Ａｏ－－毫
（１）
１高程异常拟合方法
由于地面起伏的连续性、地壳的均衡性，必然导致大地水准面的均衡性，而高程异常是参考椭球面与大地水准面之间的垂直距离，这就使高程异常同样具有均衡性，所以可以用一个连续的数学模型来描述高程异常的变化。常用的方法有多项式模型、多面函数模型、有限元模型、加权平均值模型、人工神经网络方法等，在这只介绍多项式曲面拟合模型。
多项式曲面拟合将高程异常看作是一定范围内坐标的曲面函数，认为高程异常在此范围内变化平缓。采用的函数模型【３・４ｌ为：
ｓｆ＝ａｏ＋ａｒｘ＋ａａｙ＋ａ３ｘ％ｍｙａ＋ａｓｘｙ＋’・。
经常采用的是
面
（２）四参数拟合：乒ｎ０＋口傅＋ｏ巧．＋蟛，，（３）五参数拟合：乒ａ０＋鲫＋缈蚴冉伍矿六参数拟合：ｆ＝Ⅱｆ）＋国ｘ＋ｔｒｚｙ＋ａ矿＋ａ４ｙａ＋ａｃｒｙ（４）
图１大地高与正常高的关系
考为高程异常，是指似大地水准面与参考椭球面之间的垂直距离，考有正有负。
２高程异常曲面的插值过程
在面积不是很大的区域，运用ＧＰＳ水准测量
【收稿日期】２００８－０２－－０４
【作者简介】沈京湘（１９６３一）男ｊＥ京人，工程师，主要从事测绘工作。
・北京测绘・
２００８年第２期
的方法得到多点的高程异常值，这些点应该分布于测区的适当位置。在分析地形之后选择一些特征点来对该地区的高程异常曲面进行拟合，得到该地区高程异常毒关于坐标ｘ，ｙ的函数；之后，运用ＭＡＴＬＡＢ编写程序，获得一系列的规则格网点的高程异常值，然后运用数学插值的方法来解求任意点的高程异常值，即高程异常曲面的精化；如果拟合结果的精度合适，则可以由该地区任意点的ＧＰＳ大地高通过公式（１）反算出其正常高，从而为各种工程建设服务。
运用ＭＡＴＬＡＢ编写程序获得网格数据，采用
的数学插值方法ｌ＂是：
ｎｅａｒｅｓｔ：最近点插值，根据已知两点间的插值点与两点之间的位置远近来进行插值计算，插值点的数值取与其距离较近的点的值。
ｌｉｎｅａｒ：线性插值法，把相邻的数据点用直线连接，按所成的曲线进行插值计算。
ｃｕｂｉｃ：三次多项式插值法，用已知的数据点构造出三次多项式，然后再进行插值计算。
ｂｉｌｉｎｅａｒ：双线性插值法，构造一个双线性曲面，然后利用离每个插值点最近的四个点的坐标来进行插值。
ｂｉｃｕｂｉｃ：双ｉ次插值多项式，又名样条函数内插，它是用格网数据点值内插格网内任何一点的数值，它是以一个方格网为分块单元，由分块四角点构成一个双ｉ次曲面来描述格网点的数值，它能保证曲面交界处光滑。
ｓｐｌｉｎｅ：样条插值，使插值函数既是低阶分段函数，又是光滑的函数。避免了高次插值函数计算量大，剧烈振荡，数值稳定性差和分段线性插值在分段点上仅连续而不光滑（导数不连续）的缺点。
３多项式拟合高程异常曲面和规则格网
内插分析
在进行小区域高程异常曲面拟合时，考虑到高程异常曲面的均衡性，可以利用多项式曲面拟合方法来进行高程异常曲面的逼近。在拟合的过程中，当然已知点数量越多越好，但是兼顾实际测量工作中的经济效益，不可能测量获得很多的点位，来进行最小二乘曲面的拟合，因此我们希望可以对整个测区分布位置适当的点来进行ＧＰＳ水准测量，获得这些点的高程异常值，再利用多项式拟合的方法来确定整个区域的高程异
常曲面。下面以某个实验场的数据进行说明。
该实验场处于地势平坦的大兴地区，通过ＧＰＳ水准的方法获得２１点的大地高和正常高。这些点的分布如图２。
：：：
●
：
：ＩⅦ５
…
舟
；
●Ｇ严
；卤－．ＩＵ
Ｕ’
４
ｋ缀氘盖≯７一
：卡印８１
●
●
：睾Ｇ０∞
：
●
午口ＳＣ
一．Ｊ．Ｚ。…＂’一
喜∞Ａｄ
ＬｆＹｌ＇ｔＯ
．卡带００７５
赢岬
鲁
Ｇ￥０１：
Ｍ１２
专
伽
ｘ
１０ｊ
图２点位分布图表１点位拟合结果单位（ｍ）
点号
四参数
五参数
六参数
ＩＶ０ｌ－０．００７８０．０３４４－０．３７８７ＩＶ０２０．０１４８－０．００２３０．７６７５ＩＶ０３－０．００６５－０．０１１９０．４７８３ＧＳ０４Ｏ．０００１０．０２０３－０．１３７２ＩＶ０４０．０１３７０．０３８４－０．１０３２Ｇ０７８－０．００３Ｏ．０００７０．３９５８Ｇ０７５Ｏ．００４０．０００８０．４９２８Ｇ０７６－０．０１７４－０．０２７９０．５０４７Ｃ，０８４－０．０２７９－０．０２４３０．２３９１Ｇ０９３—０．０２７８－－０．０１５１Ｏ．００８７Ｇ０８１－０．０２８６－０．００８４－－０．１９８９Ｇ０２７－０．０２３２－０．０００ｌ－０．２６９９Ｇ００６－０．０２１２０．００３４－０．０８３７Ｇ０３６－０．０４３２－０．０１５３－－０．０１４４Ｇ０３７
－０．００２７０．０２９６－０．０２１４最大误差－０．０４３２０．０３８４０．７６７５中误差
０．０１６９
Ｏ．０２０７
０．３４１７
为了进行高程异常曲面的拟合，首先将２１点的高程异常解算出来；为了得到较好的拟合结果，采用分布于测区边缘和中心附近的点进行拟
２００８年第２期
・北京测绘・
在进行似大地水准面的精化时，经常采用规则格网内插的方法，运用规则高程异常格网数值进行内插计算时，由于地面的高低起伏，以及区域的范围大小，不可能采用一个完整的数学模型来进行高程异常曲面的拟合，同时也不可能对大范围的高程异常进行内插计算。由上面的实例可以看出，在小范围内，运用数学拟合的方法，可以获得３．８ｃｍ的精度。下面讨论高程异常插值的问题，运用ＭＡＴＬＡＢ编写程序来进行插值的相关计算，并且探讨在保持４ｃｍ精度的情况下，内插规则格网的密度问题。
当采用正方形格网进行内插时，运用ＭＡＴＬＡＢ编写程序，得到计算结果见表２。
表２计算结果
单位（ｍ）
ｓｐｌｉｎｅ０．０４０１２５１×１２５ｌ
ｂｉｌｉｎｅａｒ０．０４０１２８６×１２８６
ｌｉｎｅａｒ０．０４０１２８６×１２８６
合，分别运用四点、五点、六点进行曲面拟合，即解求公式（２）、（３）、（４）的参数，再把其余的点作为检验点，用于检验拟合的精度，获得了拟合结果残差的最大值以及标准差，计算结果列于表１。（四点拟合采用的是ＧＳ０１，ＧＳ０２，ＧＳ０３，ＩＶ０５；五点拟合采用的是ＧＳ０１，ＧＳ０２，ＧＳ０３，ＩＶ０５，Ｇ０１２；六点拟合采用的是ＧＳ０１，ＧＳ０２，ＧＳ０３，ＩＶ０５，
Ｇ０１２，Ｇ０３３）
从表中数据可以看出，以最大误差、两倍中误差为限差作为拟合优劣的标准，采用五参数多项式拟合可以取得比较好的结果，并且采用的参数越多、多项式次数越高将带来拟合结果的越来越不稳定，即中误差越来越大。
插值方法最大误差格网大小
ｂｉｃｕｂｉｃ０．０３８１２５０×１２５０
ｎｅａｒｅｓｔｃｕｂｉｃ０．０３８１２５０×１２５０
０．０４０６６×６６
误差／ｍ
０．０４
０．０３
Ｏ．０２
０．０１
Ｏ
—Ｏ．Ｏｌ一０．０２－ｏ．０３
－ｏ．０４
图３不同拟合方法的误差曲线
从这个表可以看出，当采用最大点位误差不大于０．０４ｍ时，ｎｅａｒｅｓｔ方法最差，而其他的方法可以将格网的长度放大到１２５０ｍ。在数据处理过程中，发现ｌｉｎｅａｒ与ｂｉｌｉｎｅａｒ、ｃｕｂｉｃ与ｂｉｃｕｂｉｃ的插值结果非常接近，所以只讨论ｂｉｌｉｎｅａｒ，ｂｉｃｕｂｉｃ，ｓｐｌｉｎｅ，ｎｅａｒｅｓｔ这四种方法。
在经过数据处理计算之后，绘制图３，可以看出，ｂｉｃｕｂｉｃ，ｂｉｌｉｎｅａｒ，ｓｐｌｉｎｅ在５００ｍｘ５００ｍ，６００ｍ×
４００ｍ，４００ｍ
Ｘ
计算时有一些波动，而ｓｐｌｉｎｅ，ｂｉｃｕｂｉｃ的插值结果最稳定，在三种情况下所有点的点位误差都没有变化，所以在进行高程异常曲面的内插计算时，应该采用这两种方法。
４结论
（１）在进行高程异常曲面的拟合时，并非采用多点高程异常值进行多参数多项式的拟合效果好，因为高次多项式的不稳定性，在进行高次多项式拟合时，点位误差可能会很大。当把最大点位误差作为评价标准时，应该采用五参数多项式拟合的方法，这样得到的拟合结果的误差比较
６００ｍ的插值误差比较均匀；ｎｅａｒｅｓｔ
方法不适合内插分析，由于该方法本身的原因，在格网变化时会得到相差悬殊的结果；ｂｉｌｉｎｅａｒ法在
・北京测绘・２００８年第２期
（２）在保持４ｃｍ精度的情况下，进行高程异
【３】孔祥元，郭际明，刘宗泉・大地测量学基础【Ｍ】・武汉：武
妻翌型篓窒竺皇孽翌兰＝ｓｔ耋凳黧。．冒要孽嗍值格网的宽度不可．能无限夸，学格粤竺警堡兰犁＿’盖蔷ｉ茹：嚣：≯。“。５
ｎ“ｕ“”～“”“’
一定的长度时，在有些地方会出现插值点周围没有足够的已知点数据而导致插值失败的情况，而
【５】王玉富．’温孟曲线的二维插值法优化
～真田．潍坊学院学报，２００４，４（４）：６ｌ－６３
（上接第４９页）
Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ
ｏｆＳｕｒｖｅｙｉｎｇ
ＨＵ
Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ
Ｄａｇｕ０１．ＬＩ
ｗｉｔｈ
Ｊｉａｎ２
Ｅｘｃｅｌｂａｓｅｄ
ｏｎ
ＶＢＡ
１．ＲｅａｌＥｓｔａｔｅ２．Ｔｈｅ
Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ
ａｎｄ
Ｍａｐｐｉｎｇ
ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＧｕａｎｇｚｈｏｕ
Ｍｕｎｉｃｉｐａｌｉｔｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ，５ａｎｄ
Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ
１００３０；
Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ＆Ｄｅｓｉｇｎｉｎｇ
ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＸｉｎ
ｊｉａｎｇＰｒｏｄｕｃｔｉｏｎ
ｗｉｔｈ
Ｃｏｒｐｓ，Ｕｒｕｍｃｈｉ，Ｘｉｎｊｉａｎｇ，８３０００２
ｈａｓ
ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ，ｈｉ：ｇｈｇｅｎｅｒａｌｌｙ
ｂａｓｅｄ
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ
ｏｎ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅａｎｄ
ｗｉｄｅ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎＩ
ｓｕｒｖｅｙｉｎｇｐｒｏｇｒａｍｓ
ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ
Ｅｘｃｅｌ
ｂａｓｅｄｐｒｏｇｒａｍｓ
ｏｎＶＢＡ
ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ
ｉｎｔｈｅａｎｄ
ｔｈｅ
ｃｈａｒａｃｔｅｒｓ．Ｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ
ｐａｐｅｒｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｓｅｖｅｒａｌ
ｔｏ
ｒａｄｉａｎｓａｚｉｍｕｔｈ
ｔｏ
ｏｆｓｕｃｈｈａｓｂｅｅｎ
ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ
ａｎｄ
ｔｈｉｓ
ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ
ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ
ｈｏｗ
ｔｏ
ｗｉｔｈＥｘｃｅｌ
ｔｏ
ｕｓｅ
ＶＢＡ
ｒｅｌａｔｉｖｅｄｅｔａｉｌｅｄｒｅｐｒｅｓｅｎｔ
ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ
ｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｉｓｃｕｓｓｅｓ
ｕｓｅ
ｄｅｇｒｅｅｓ，ｍｉｎｕｔｅｓ，ｓｅｃｏｎｄｓｔｏ
ａｎｇｌｅｓ，ａｎｄｈｏｗ
ｔｏ
ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ
ａｎｇｌｅｓ，ａｎｄｈｏｗ
ｒｅａｌｉｚｅｔｈｅｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ
ｂｅｔｗｅｅｎ
ＳＯＵｒｃｅ
ｔｈｅｍ，
ｏｆ
ａｎｄ
ｈｏｗｒｅａｌｉｚｅｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｉｎｖｅｒｓｅ
ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ｔｈｉｓ
ｐａｐｅｒｏｆｆｅｒｓ
ｔｈｅ
ｃｅｄｅｓ
ｔｈｅｓｅｔｈｒｅｅＶＢＡ
Ｋｅｙ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．
Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ；Ｆｕｎｃｔｉｏｎ
ｗｏｒｄｓ：ＶＢＡ；Ｅｘｃｅｌ