空腹桁架刚度分析及合理高度的确定
徐立１，
丁晓红２
（１．杭州市余杭区房管所，浙江杭州３１１１００；２．安徽省城乡规划设计研究院，安徽合肥２３００２２）
摘要：根据结构等效的原则将空腹桁架等代为实腹梁，指出空腹桁架的变形主要由弯曲变形和剪切变形组成，深入研究了结构主要几何参数对结构刚度的影响规律。推导了空腹桁架最大刚度时桁架高度的确定公式及满足变形要求的节间长度公式，提出了优化结构刚度的一螳措施。
关键词：空腹桁架；抗弯刚度；抗剪刚度；最大刚度；合理尺寸中图分类号：ＴＵ３２３．４
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７３—５７８１１２００８｝０５—０６２６＿０３
空腹桁架是目前应用较为广泛的结构之一，由于它
的结构构成中没有斜腹杆，可充分利用结构空间，因而
大量地被用于高层建筑的转换层、其它要求开设门窗洞口等的大跨度建筑中［１‘３］。同时由空腹桁架双向或三向
１空腹桁架与实腹梁的刚度等代
将空腹桁架等代为实腹梁，等代的前提是空腹桁架的网格数不可太少，通常不小于５［７］。等代后实腹梁的高度与桁架高度相同，等代实腹梁考虑弯曲刚度Ｅ１、抗剪刚度Ｃ。
某一空腹桁架与等代后的实腹梁如图１所示。
交叉布置形成的空腹网架由于具有整体ｆＩ生强、刚度好的
特点，也被广泛应用于建筑的屋顶和楼层中［４－６｜。
空腹桁架就其构成而言，属于梁单元，交汇于节点的杆件少，但受力较复杂。杆件除了承受轴向力以外，还承受弯矩和剪力的作用。桁架上、下弦的轴向力由整体弯矩产生，杆件端部的弯矩由整体剪力产生。因此在竖向荷载的作用下，上、下弦中部的轴向压、拉力最大，边部杆件端部的弯矩和剪力最大。结构的变形由剪切变形和弯曲变形两部分组成。
在空腹桁架的设计中，首先要求确定桁架的主要
从空腹桁架上截取一典型节间，则该节间对应的等代
实腹梁元为ａ×＾。如图２所示。
Ａｌ
（
（ａ）空腹桁架
几何尺寸，如节间长度、桁架的高度、上、下弦的截面
以及腹杆的截面等。在结构几何确定的基础上进行变形和承载能力的验算。如果验算不满足要求，则需重新调整结构的几何，再行验算，直至满足为止。在
（［二二二二二］
Ｕ
（ｂ）等代实腹梁
图１空腹桁架与等代的实腹梁
Ａｌ
空腹桁架的设计之初，如能合理地选取结构的主要几
何，使结构获得最大的刚度，减少重复验算次数，提高
设计效率，对空腹桁架的设计具有重要的指导意义。
本文根据刚度等效的原则将空腹桁架等代为实
腹梁，分析了空腹桁架的变形组成成分以及桁架的主要几何参数对结构刚度的影响规律，推导了桁架具有
口Ｈ
田
圈２两构件典型节问
口１
《ｌ口－．２
（ｂ）空腹桁架典型节间
（ａ）实腹梁典型节间
最大刚度时，桁架高度的确定公式及满足变形要求的
节间长度公式。并为优化结构刚度、选择合理尺寸提出一些措施。
收稿日期：２００８－０４—２２
作者简介：徐立（１９７３一），男，浙江杭州人，杭州市余杭区房管所工程师；
在图１与图２中，ａ：节间的长度，即相邻竖腹杆
中心轴间的距离；ｈ：上弦杆截面形心到下弦杆截面
形心的距离；Ａ。、Ａｚ：上、下弦杆的截面面积；Ａ，ｔ、
丁晓红（１９６４一），女，安徽安庆人，安徽省城乡规划设计研究院高级工程师．
６２６
Ｉ工程与建设＇２００８年第２２卷第５期
Ａｖｚ：左、右竖腹杆的截面面积。
对于空腹桁架的典型节问与实腹梁的典型节问，在它们的两端分别作用单位弯矩，使其转角相等，则可以求算出等代实腹梁的抗弯刚度Ｅ１。
两节间材料、转角相同，则对应的抗弯刚度相同，即两节间截面惯性矩相同。
如令Ｊ１为空腹桁架典型节间的截面惯性矩；Ｊ为等代实腹梁的截面惯性矩；空腹桁架典型节间截面如图３建立坐标系：
ｙ。
ｔ
图３空腰桁架梗断面坐标
则截面惯性矩为
一
２２
Ａ，×ｈ
ｙ
Ａ———１３—＋———Ａ——ｚ—
ｒ—Ｉ，＋厶一笞＋（｜歹）２×Ａ。＋百ｂｚｈ］＋（ｈ－－ｙ）２×
Ａ：一笞＋学＋希瓮姘
㈣
（１）式中因空腹桁架高度较高，一般ｈ，、ｈｚ远小
于ｈ，且是高阶次幂，故（１）式前两项可以忽略不计。
则等代实腹梁的截面惯性矩为
Ｉ＝１１＝蕊ＡｔＡｚ×＾２
（２）
当上下弦杆截面Ａｚ＝Ａ。＝Ａ时，则
Ｊ＝丢舢２
（３）
同理，对于空腹桁架与实腹梁的典型节间，在它们的两端作用单位剪力，使其剪切角度相等可以求出实腹梁的等代抗剪刚度Ｃ，即
ｃ＝赢—笔‰
ｃ４，
其中，ｉ，为上、下弦杆的抗弯线刚度；ｉ，。、ｉ让为左、右
竖腹杆的抗弯线刚度；如果左、右竖腹杆的抗弯线刚
度相等ｉｖ—ｉ，。＝ｉ袍，则实腹梁的等代抗剪刚度
皓揣
（５）
２主要几何参数对刚度的影响
在空腹桁架通过刚度等代成实腹梁以后，实腹梁
在横向荷载的作用下变形为
，一，警¨卜学出
㈣
令
优一ｌＭＭＰｄｓ；挖＝ＩＦ∥酽ｄｓ
优、咒可以通过结构力学的图乘法方便地求得。
若空腹桁架沿跨度方向节间尺寸及杆件截面没有变化，即沿跨度方向刚度不变，则（６）式可化为
，２裔＋警
（７）
将（３）、（５）式代入（７）式有
厂２志＋％掣灿勋（８）
Ｅ×去ｍ
２
甜ｚｖｎ
，一丽２ｍ×丢＋（面ｋｎ
Ｘ
ａ
ｘ矗＋丢矗）（９）
从（９）式可以看出桁架的挠度变形由弯曲变形和
剪切变形两部分组成，总的变形与杆件材料、截面大小及形式、桁架高、节间长度、以及所受外荷载的形式
等因素密切相关。
弯曲变形主要与上、下弦杆的截面面积和桁架的
高度有关，而剪切变形主要与上、下弦和竖腹杆的截
面惯性矩、桁架的高度以及节间的尺寸有关。对于杆件材料及外荷载形式确定的条件下，可以具体地分析
杆件几何因素对结构刚度的影响。２．１构件截面对结构刚度的影响
从（９）式可以看出，空腹桁架的变形随截面面积
和惯性矩的增大而减小，因此截面形式最好采用截面
比较开阔的形式，以获得较大的截面惯性矩，提高结
构的刚度。
２．２空腹桁架高ｈ对刚度的影响
从挠度变形（９）式中可看出，桁架的高度ｈ对弯
曲变形、剪切变形均有影响。增大，则弯曲变形呈二
次曲线递减，然而剪切变形则呈线性增大。因此一定
存在一个合理的桁架高度使得总的变形最小。为此
将（９）式对ｈ求导有
业ｄｈ一一Ｅ鲤Ａ×嘉＋盎＝ｏ
一＾３。２４口ｖ
”
求得驻点
＾确一√器×≯ｏ
ｈ＝ｈ。时，磐一鲁×击＞ｏ
ＩＴ程与建设》２００８年第２２卷第５期
６２７
即
ｈ铂一√瓣×署
ｆ一厶。
２．３节间长度ａ对刚度的影响
在空腹桁架其它尺寸不变的条件下，节间长度ｎ只影响剪切变形，考虑节间长度对结构刚度影响，将
图６竖腹杆变截面
（１０）
（４）根据结构内力分布情况，将整体剪力化为轴向力可以有效地提高结构的刚度。在空腹桁架中，整（１０）式代人（９）式可得
，一厩ｎ
Ｘ
ｋ×（署×署）专Ｘａ号＋搿姘
（１１）
从（１１）式可以看出，挠度变形随着节间长度ｎ的增长而递增。因此在确定口的长度时，应尽可能使其
满足使用开间的需要，同时也尽量使对应的ｈ。满足
对于总的变形要满足结构容许挠度要求，即
，≤［力
（１２）
为此，（１１）式可化为
（１４）式中，
．＝【一Ｊ１０８Ｌｆ－Ｉ＋１２括×￣／百巧ｒ千乏Ｚ夏７亍—厂；万×伊
因此，根据（１４）式和（１０）式确定节间长度和桁架（１）采用变截面的形式，改变上、下弦杆及竖腹
图４变截面形式
（２）空腹桁架支座端剪力最大，也可以采用不等（３）根据竖腹杆受力的变化情况可以采用变截６２８
Ｉ＇ｒ程与建设＇２００８年第２２卷第５期
圈７端部加设斜腹杆
在实际工程最好是以上几种措施的综合使用，选
根据刚度等效的原则将空腹桁架等代为实腹梁，（参考文献］
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建筑结构学报，２００２，２３（２）：６１－－６９．肖
南．大跨度多、高层跳层窄腹网架结构体系的静力特性及抗
震性能研究［Ｄ］．杭州：浙江大学土木工程学院。２００１．
人民交通出版社，２００６．
体剪力产生杆件的端部弯矩，因此在端部的节间加设斜腹杆可以减少整体的剪切变形，如图７所示。当然，也可以将边部的上、下弦杆和竖腹杆采用格构梁、柱的形式将整体剪力在杆件中产生的弯矩和剪力化
为轴向力来提高结构的刚度。
值小，但从建筑空间要求方面，则尽可能ｎ值大些，以结构的需要。
择合理的几何参数，以达到结构刚度优化的目的，
４结束语
分析了空腹桁架的变形组成成分以及桁架的主要几何参数对结构刚度的影响规律，推导了桁架具有最大
刚度时，桁架高度的确定公式及满足变形要求的节间
长度公式。并为优化结构刚度、选择合理尺寸提出一
些措施。在空腹桁架的设计之初，如能根据本文提出
的计算公式和提高结构刚度的措施合理地选取结构
高度，空腹桁架具有最大刚度并且自然满足结构变形
的要求。
的主要几何，可以减少重复验算的次数，提高设计
效率。
［１３赵两安．钢筋混凝土高层建筑结构设计［Ｍ］．北京：中国建筑工
Ｅ２－１徐培福，傅学怡．复杂高层建筑结构设计［Ｍ３．北京：中国建筑工
［３］范明均，钱国桢．介绍一种可在任意层设大空间的高层建筑新结
［４３董白．麟，马克俭．组合网架结构与空腹网架结构［Ｍ］．杭州：浙江
３优化结构刚度的措施
杆的线刚度，如图４所示。
Ｅｓ］肖南。董石麟．大跨度跳层空腹网架结构的简化分析方法ＥＪ］．
［６３
节间长度的措施来提高结构的刚度，如图５所示。
面的形式，如图６所示。
［７］董彳ｉ麟，罗尧治．新型空间结构的分析、设计与施工［Ｍ］．北京：
空腹桁架刚度分析及合理高度的确定
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
徐立， 丁晓红， XU Li， DING Xiao-hong
徐立,XU Li(杭州市余杭区房管所,浙江,杭州,311100)， 丁晓红,DING Xiao-hong(安徽省城乡规划设计研究院,安徽,合肥,230022)工程与建设
ENGINEERING AND CONSTRUCTION2008，22(5)0次
参考文献(7条)
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3. 范明均. 钱国桢 介绍一种可在任意层设大空间的高层建筑新结构 1996(02)4. 董石麟. 马克俭 组合网架结构与空腹网架结构 1992
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3.基于费氏空腹桁架比拟推导了四角修圆孔蜂窝梁的挠度计算公式，给出了有关参数的相应取值，其计算结果通过有限元分析得到了验证。
4.给出了四角修圆孔蜂窝梁屈曲分析中有关刚度的取值，并借鉴实腹梁相应公式求得其临界弯矩，同时进行了有限元分析。二者计算结果相互吻合
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3．基于费氏空腹桁架比拟推导了卧式似椭圆孔蜂窝梁的挠度计算公式，给出了有关参数的相应取值，其计算结果通过有限元分析得到了验证。 4．根据平衡法和能量法，推导了卧式似椭圆孔蜂窝梁在不同荷载工况下的弹性屈曲临界弯矩公式；给出了有关刚度的取值；也对上述临界弯矩进行了有限元分析。其计算结果相互吻合较好，说明推导公式能够满足精度要求。
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3.基于费氏空腹桁架比拟推导了六边形孔蜂窝梁的挠度计算公式，并将其应用于圆孔蜂窝梁的挠度计算，给出了有关参数的相应取值，其计算结果通过有限元分析得到了验证。
4.根据平衡法和能量法，推导了六边形孔和圆孔蜂窝梁在不同荷载工况下的弹性屈曲临界弯矩公式；给出了有关刚度的取值；也对上述临界弯矩进行了有限元分析。其计算结果相互吻合较好，说明推导公式能够满足精度要求。
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空腹桁架刚度分析及合理高度的确定
徐立１，
丁晓红２
（１．杭州市余杭区房管所，浙江杭州３１１１００；２．安徽省城乡规划设计研究院，安徽合肥２３００２２）
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文献标识码：Ａ
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在空腹桁架的设计中，首先要求确定桁架的主要
从空腹桁架上截取一典型节间，则该节间对应的等代
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Ａｌ
（
（ａ）空腹桁架
几何尺寸，如节间长度、桁架的高度、上、下弦的截面
以及腹杆的截面等。在结构几何确定的基础上进行变形和承载能力的验算。如果验算不满足要求，则需重新调整结构的几何，再行验算，直至满足为止。在
（［二二二二二］
Ｕ
（ｂ）等代实腹梁
图１空腹桁架与等代的实腹梁
Ａｌ
空腹桁架的设计之初，如能合理地选取结构的主要几
何，使结构获得最大的刚度，减少重复验算次数，提高
设计效率，对空腹桁架的设计具有重要的指导意义。
本文根据刚度等效的原则将空腹桁架等代为实
腹梁，分析了空腹桁架的变形组成成分以及桁架的主要几何参数对结构刚度的影响规律，推导了桁架具有
口Ｈ
田
圈２两构件典型节问
口１
《ｌ口－．２
（ｂ）空腹桁架典型节间
（ａ）实腹梁典型节间
最大刚度时，桁架高度的确定公式及满足变形要求的
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中心轴间的距离；ｈ：上弦杆截面形心到下弦杆截面
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６２６
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对于空腹桁架的典型节问与实腹梁的典型节问，在它们的两端分别作用单位弯矩，使其转角相等，则可以求算出等代实腹梁的抗弯刚度Ｅ１。
两节间材料、转角相同，则对应的抗弯刚度相同，即两节间截面惯性矩相同。
如令Ｊ１为空腹桁架典型节间的截面惯性矩；Ｊ为等代实腹梁的截面惯性矩；空腹桁架典型节间截面如图３建立坐标系：
ｙ。
ｔ
图３空腰桁架梗断面坐标
则截面惯性矩为
一
２２
Ａ，×ｈ
ｙ
Ａ———１３—＋———Ａ——ｚ—
ｒ—Ｉ，＋厶一笞＋（｜歹）２×Ａ。＋百ｂｚｈ］＋（ｈ－－ｙ）２×
Ａ：一笞＋学＋希瓮姘
㈣
（１）式中因空腹桁架高度较高，一般ｈ，、ｈｚ远小
于ｈ，且是高阶次幂，故（１）式前两项可以忽略不计。
则等代实腹梁的截面惯性矩为
Ｉ＝１１＝蕊ＡｔＡｚ×＾２
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Ｊ＝丢舢２
（３）
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ｃ４，
其中，ｉ，为上、下弦杆的抗弯线刚度；ｉ，。、ｉ让为左、右
竖腹杆的抗弯线刚度；如果左、右竖腹杆的抗弯线刚
度相等ｉｖ—ｉ，。＝ｉ袍，则实腹梁的等代抗剪刚度
皓揣
（５）
２主要几何参数对刚度的影响
在空腹桁架通过刚度等代成实腹梁以后，实腹梁
在横向荷载的作用下变形为
，一，警¨卜学出
㈣
令
优一ｌＭＭＰｄｓ；挖＝ＩＦ∥酽ｄｓ
优、咒可以通过结构力学的图乘法方便地求得。
若空腹桁架沿跨度方向节间尺寸及杆件截面没有变化，即沿跨度方向刚度不变，则（６）式可化为
，２裔＋警
（７）
将（３）、（５）式代入（７）式有
厂２志＋％掣灿勋（８）
Ｅ×去ｍ
２
甜ｚｖｎ
，一丽２ｍ×丢＋（面ｋｎ
Ｘ
ａ
ｘ矗＋丢矗）（９）
从（９）式可以看出桁架的挠度变形由弯曲变形和
剪切变形两部分组成，总的变形与杆件材料、截面大小及形式、桁架高、节间长度、以及所受外荷载的形式
等因素密切相关。
弯曲变形主要与上、下弦杆的截面面积和桁架的
高度有关，而剪切变形主要与上、下弦和竖腹杆的截
面惯性矩、桁架的高度以及节间的尺寸有关。对于杆件材料及外荷载形式确定的条件下，可以具体地分析
杆件几何因素对结构刚度的影响。２．１构件截面对结构刚度的影响
从（９）式可以看出，空腹桁架的变形随截面面积
和惯性矩的增大而减小，因此截面形式最好采用截面
比较开阔的形式，以获得较大的截面惯性矩，提高结
构的刚度。
２．２空腹桁架高ｈ对刚度的影响
从挠度变形（９）式中可看出，桁架的高度ｈ对弯
曲变形、剪切变形均有影响。增大，则弯曲变形呈二
次曲线递减，然而剪切变形则呈线性增大。因此一定
存在一个合理的桁架高度使得总的变形最小。为此
将（９）式对ｈ求导有
业ｄｈ一一Ｅ鲤Ａ×嘉＋盎＝ｏ
一＾３。２４口ｖ
”
求得驻点
＾确一√器×≯ｏ
ｈ＝ｈ。时，磐一鲁×击＞ｏ
ＩＴ程与建设》２００８年第２２卷第５期
６２７
即
ｈ铂一√瓣×署
ｆ一厶。
２．３节间长度ａ对刚度的影响
在空腹桁架其它尺寸不变的条件下，节间长度ｎ只影响剪切变形，考虑节间长度对结构刚度影响，将
图６竖腹杆变截面
（１０）
（４）根据结构内力分布情况，将整体剪力化为轴向力可以有效地提高结构的刚度。在空腹桁架中，整（１０）式代人（９）式可得
，一厩ｎ
Ｘ
ｋ×（署×署）专Ｘａ号＋搿姘
（１１）
从（１１）式可以看出，挠度变形随着节间长度ｎ的增长而递增。因此在确定口的长度时，应尽可能使其
满足使用开间的需要，同时也尽量使对应的ｈ。满足
对于总的变形要满足结构容许挠度要求，即
，≤［力
（１２）
为此，（１１）式可化为
（１４）式中，
．＝【一Ｊ１０８Ｌｆ－Ｉ＋１２括×￣／百巧ｒ千乏Ｚ夏７亍—厂；万×伊
因此，根据（１４）式和（１０）式确定节间长度和桁架（１）采用变截面的形式，改变上、下弦杆及竖腹
图４变截面形式
（２）空腹桁架支座端剪力最大，也可以采用不等（３）根据竖腹杆受力的变化情况可以采用变截６２８
Ｉ＇ｒ程与建设＇２００８年第２２卷第５期
圈７端部加设斜腹杆
在实际工程最好是以上几种措施的综合使用，选
根据刚度等效的原则将空腹桁架等代为实腹梁，（参考文献］
业出版社，１９９５．
业出版社．２００５．
构ＥＪ］．建筑结构学报。１９９６，１７（２）：７５－－７８．
大学出版社，１９９２．
建筑结构学报，２００２，２３（２）：６１－－６９．肖
南．大跨度多、高层跳层窄腹网架结构体系的静力特性及抗
震性能研究［Ｄ］．杭州：浙江大学土木工程学院。２００１．
人民交通出版社，２００６．
体剪力产生杆件的端部弯矩，因此在端部的节间加设斜腹杆可以减少整体的剪切变形，如图７所示。当然，也可以将边部的上、下弦杆和竖腹杆采用格构梁、柱的形式将整体剪力在杆件中产生的弯矩和剪力化
为轴向力来提高结构的刚度。
值小，但从建筑空间要求方面，则尽可能ｎ值大些，以结构的需要。
择合理的几何参数，以达到结构刚度优化的目的，
４结束语
分析了空腹桁架的变形组成成分以及桁架的主要几何参数对结构刚度的影响规律，推导了桁架具有最大
刚度时，桁架高度的确定公式及满足变形要求的节间
长度公式。并为优化结构刚度、选择合理尺寸提出一
些措施。在空腹桁架的设计之初，如能根据本文提出
的计算公式和提高结构刚度的措施合理地选取结构
高度，空腹桁架具有最大刚度并且自然满足结构变形
的要求。
的主要几何，可以减少重复验算的次数，提高设计
效率。
［１３赵两安．钢筋混凝土高层建筑结构设计［Ｍ］．北京：中国建筑工
Ｅ２－１徐培福，傅学怡．复杂高层建筑结构设计［Ｍ３．北京：中国建筑工
［３］范明均，钱国桢．介绍一种可在任意层设大空间的高层建筑新结
［４３董白．麟，马克俭．组合网架结构与空腹网架结构［Ｍ］．杭州：浙江
３优化结构刚度的措施
杆的线刚度，如图４所示。
Ｅｓ］肖南。董石麟．大跨度跳层空腹网架结构的简化分析方法ＥＪ］．
［６３
节间长度的措施来提高结构的刚度，如图５所示。
面的形式，如图６所示。
［７］董彳ｉ麟，罗尧治．新型空间结构的分析、设计与施工［Ｍ］．北京：
空腹桁架刚度分析及合理高度的确定
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
徐立， 丁晓红， XU Li， DING Xiao-hong
徐立,XU Li(杭州市余杭区房管所,浙江,杭州,311100)， 丁晓红,DING Xiao-hong(安徽省城乡规划设计研究院,安徽,合肥,230022)工程与建设
ENGINEERING AND CONSTRUCTION2008，22(5)0次
参考文献(7条)
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本文的研究对象为柱支承空心无梁楼盖。 本文的主要贡献如下：
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3.基于费氏空腹桁架比拟推导了四角修圆孔蜂窝梁的挠度计算公式，给出了有关参数的相应取值，其计算结果通过有限元分析得到了验证。
4.给出了四角修圆孔蜂窝梁屈曲分析中有关刚度的取值，并借鉴实腹梁相应公式求得其临界弯矩，同时进行了有限元分析。二者计算结果相互吻合
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3．基于费氏空腹桁架比拟推导了卧式似椭圆孔蜂窝梁的挠度计算公式，给出了有关参数的相应取值，其计算结果通过有限元分析得到了验证。 4．根据平衡法和能量法，推导了卧式似椭圆孔蜂窝梁在不同荷载工况下的弹性屈曲临界弯矩公式；给出了有关刚度的取值；也对上述临界弯矩进行了有限元分析。其计算结果相互吻合较好，说明推导公式能够满足精度要求。
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1.提出了确定蜂窝梁等效抗弯刚度的方法，该方法根据纯弯蜂窝梁有限元分析结果反算刚度，具有简捷、准确、经济、高效等优点；提出了蜂窝梁等效抗弯刚度的合理表达式，并通过大量有限元分析，得到了多种不同孔况下式中腹板刚度折减系数表，还对六边形孔和圆孔情形给出了该系数的计算公式。在此基础上指出了既有挠度算法中隐含的刚度取值的不足。
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3.基于费氏空腹桁架比拟推导了六边形孔蜂窝梁的挠度计算公式，并将其应用于圆孔蜂窝梁的挠度计算，给出了有关参数的相应取值，其计算结果通过有限元分析得到了验证。
4.根据平衡法和能量法，推导了六边形孔和圆孔蜂窝梁在不同荷载工况下的弹性屈曲临界弯矩公式；给出了有关刚度的取值；也对上述临界弯矩进行了有限元分析。其计算结果相互吻合较好，说明推导公式能够满足精度要求。
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下载时间：2010年8月8日