格网数字高程模型
武汉大学测绘学院 潘正风
一．格网DEM （Digital Elevation Model）生成
1．由离散点求格网点高程
若网格点的坐标为 x 0，y 0，在搜索圆内某数据点的坐标为 x i ，y i ，该点到网格点的距离为:
D i =则网格点的高程为
x i -x 02+y i -y 02
i
i
(z D )(z /D )∑z = 或 z = D 1/D i
2
i
i
2i
2．由三角网转换成格网DEM
按线性插值计算格网点高程： z =z 1-
(x -x 1)(y 21z 31-y 31z 21)+(y -y 1)(z 21x 31-z 31x 21)
x 21y 31-x 31y 21
式中，x 21=x 2-x 1，x 31=x 3-x 1，y 21=y 2-y 1，y 31=y 3-y 1，z 21=z 2-z 1，z 31=z 3-z 1。
3．等高线内插法
二．数字高程模型的应用 1．计算单点高程
x ⎫⎛y ⎫x ⎛y ⎫x y x ⎫y ⎛⎛
z P = 1-⎪ 1-⎪z A + 1-⎪z B +⋅z C + 1-⎪z D
L ⎝L ⎭L L ⎝L ⎭⎝L ⎭⎝L ⎭L
2．计算地表面积
地表面积的计算即为各网格的表面积之和。引入一个高程点，构成4个表面空间三角形，三角形面积为：
A =P P -S 1P -S 2P -S 3 式中，P =
1
(S 1+S 2+S 3)，S i =∆x 2+∆y 2+∆z 2。 2
3．计算体积
按四棱柱或三棱柱体积计算
V 3=
h 1+h 2+h 3
A 3 3h 1+h 2+h 3+h 4
A 4
4
V 4=
4．绘制剖面图
5．坡度计算
使用3×3的格网窗口，每个窗口中心为一个高程点。窗口在DEM 数据矩阵中连续移动后完成整幅图的计算工作。
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪ α= ⎪+ ⎪ ∂x ∂y ⎝⎭⎝⎭z i +1, j -z i -1, j z i , j +1-z i , j -1⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
式中， ⎪=， 。 ∂y ⎪⎪=2∆y ∂x 2∆x ⎝⎭ij ⎝⎭ij
2
2
三．地面模型透视图
真透视立体图如下图所示，制图区域的通过X 和Y 方向比例分割的两组射线在透视变换中都在远处交于一点（左、右消失点）。
1．平面网格的透视变换
从右消失点到Y 比例分割的直线方程可写成： y -y R =m 1(x -x R ) 或 -m 1x +y +m 1x R -y R =0 写成一般式：
A 1x +B 1y +C 1=0
式中，m 1=
y R
，k =1，2，…，N 。
x R +k -1Y SCAL
从左消失点到X 比例分割的直线方程可写成： y -y L =m 2(x -x L ) 或 -m 2x +y +m 2x L -y L =0 写成一般式：
A 2x +B 2y +C 2=0 式中，m 2=
-y L
，j =1，2，…，M 。
x L +j -1X SCAL
则二直线交点的坐标为： x =
-B 2C 1+B 1C 2
A 1B 2-A 2B 1-A 1C 2+A 2C 1
A 1B 2-A 2B 1
y =
式中，A 1=-m 1，A 2=-m 2，B 1=1，B 2=1，C 1=m 1x R -y R ，C 2=m 2x L -y L 。
Y 比例分割因子和X 比例分割因子为： Y SCAL =
AD
N -1cos αAB
M -1cos β
X SCAL =
式中，AB 为投影前矩形制图区域的宽度，AD 为投影前矩形制图区域的高度。
2．高程值的透视变换
高程透视变换的步骤为：首先选取一个控制高程起伏的比例因子Z SCAL ，可以作为网格原点的高程透视变换比例因子。而对于第k 条线上起始点的高程透视变换比例因子为： z k =
y L -y 12+x L -x 12
y +x
2
L
2L
⋅Z SCAL
每个点的高程透视变换比例因子为： z CORR =z k ⋅
x
R
-x j +y R -y j 22
2
x R -x 1+y R -y 12
式中，x 1，
y 1为第k 条线上起始点的透视坐标，x j ，y j 为第k 条线上第j 点的透视坐标。
于是，任一点经高程修正后的y G 为：
y G (jk )=y (jk )+z CO RR (jk )⋅z (jk )
式中，y (jk )透视变换后第k 条线上第j 点的y 值，z CORR (jk )为第k 条线上第j 点的高程透视变换比例因子，z (jk )为第k 条线上第j 点的z 观测值。
3．隐藏线处理
如果前面的透视剖面线的高程y 坐标值大于后面出现的透视剖面线某些部分的y 坐标值，后面的剖面线上的那些部分就要被遮盖，这就是隐藏线。
绘制立体图时，将最大的y 值存放起来，当绘下一个剖面线时y 值大于对应的y 值就绘，并用新值代替，小于则不绘。
计算透视变换制图区域X 方向的最大距离，以便插值存放y 值。
x max =(y L -m 4x L )/(y R /x R -m 4)
式中，m 3=y R /[x R +(N -1)Y SCAL ]，m 4=-y L /x L +(M -1)X SCAL ]
选择适当数量的存储单元，如1000个，这样对应于X 轴的每个分割单位大小为： X INC =(X max -X min )/999
4．绘制立体图
格网数字高程模型
武汉大学测绘学院 潘正风
一．格网DEM （Digital Elevation Model）生成
1．由离散点求格网点高程
若网格点的坐标为 x 0，y 0，在搜索圆内某数据点的坐标为 x i ，y i ，该点到网格点的距离为:
D i =则网格点的高程为
x i -x 02+y i -y 02
i
i
(z D )(z /D )∑z = 或 z = D 1/D i
2
i
i
2i
2．由三角网转换成格网DEM
按线性插值计算格网点高程： z =z 1-
(x -x 1)(y 21z 31-y 31z 21)+(y -y 1)(z 21x 31-z 31x 21)
x 21y 31-x 31y 21
式中，x 21=x 2-x 1，x 31=x 3-x 1，y 21=y 2-y 1，y 31=y 3-y 1，z 21=z 2-z 1，z 31=z 3-z 1。
3．等高线内插法
二．数字高程模型的应用 1．计算单点高程
x ⎫⎛y ⎫x ⎛y ⎫x y x ⎫y ⎛⎛
z P = 1-⎪ 1-⎪z A + 1-⎪z B +⋅z C + 1-⎪z D
L ⎝L ⎭L L ⎝L ⎭⎝L ⎭⎝L ⎭L
2．计算地表面积
地表面积的计算即为各网格的表面积之和。引入一个高程点，构成4个表面空间三角形，三角形面积为：
A =P P -S 1P -S 2P -S 3 式中，P =
1
(S 1+S 2+S 3)，S i =∆x 2+∆y 2+∆z 2。 2
3．计算体积
按四棱柱或三棱柱体积计算
V 3=
h 1+h 2+h 3
A 3 3h 1+h 2+h 3+h 4
A 4
4
V 4=
4．绘制剖面图
5．坡度计算
使用3×3的格网窗口，每个窗口中心为一个高程点。窗口在DEM 数据矩阵中连续移动后完成整幅图的计算工作。
⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
⎪ α= ⎪+ ⎪ ∂x ∂y ⎝⎭⎝⎭z i +1, j -z i -1, j z i , j +1-z i , j -1⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫
式中， ⎪=， 。 ∂y ⎪⎪=2∆y ∂x 2∆x ⎝⎭ij ⎝⎭ij
2
2
三．地面模型透视图
真透视立体图如下图所示，制图区域的通过X 和Y 方向比例分割的两组射线在透视变换中都在远处交于一点（左、右消失点）。
1．平面网格的透视变换
从右消失点到Y 比例分割的直线方程可写成： y -y R =m 1(x -x R ) 或 -m 1x +y +m 1x R -y R =0 写成一般式：
A 1x +B 1y +C 1=0
式中，m 1=
y R
，k =1，2，…，N 。
x R +k -1Y SCAL
从左消失点到X 比例分割的直线方程可写成： y -y L =m 2(x -x L ) 或 -m 2x +y +m 2x L -y L =0 写成一般式：
A 2x +B 2y +C 2=0 式中，m 2=
-y L
，j =1，2，…，M 。
x L +j -1X SCAL
则二直线交点的坐标为： x =
-B 2C 1+B 1C 2
A 1B 2-A 2B 1-A 1C 2+A 2C 1
A 1B 2-A 2B 1
y =
式中，A 1=-m 1，A 2=-m 2，B 1=1，B 2=1，C 1=m 1x R -y R ，C 2=m 2x L -y L 。
Y 比例分割因子和X 比例分割因子为： Y SCAL =
AD
N -1cos αAB
M -1cos β
X SCAL =
式中，AB 为投影前矩形制图区域的宽度，AD 为投影前矩形制图区域的高度。
2．高程值的透视变换
高程透视变换的步骤为：首先选取一个控制高程起伏的比例因子Z SCAL ，可以作为网格原点的高程透视变换比例因子。而对于第k 条线上起始点的高程透视变换比例因子为： z k =
y L -y 12+x L -x 12
y +x
2
L
2L
⋅Z SCAL
每个点的高程透视变换比例因子为： z CORR =z k ⋅
x
R
-x j +y R -y j 22
2
x R -x 1+y R -y 12
式中，x 1，
y 1为第k 条线上起始点的透视坐标，x j ，y j 为第k 条线上第j 点的透视坐标。
于是，任一点经高程修正后的y G 为：
y G (jk )=y (jk )+z CO RR (jk )⋅z (jk )
式中，y (jk )透视变换后第k 条线上第j 点的y 值，z CORR (jk )为第k 条线上第j 点的高程透视变换比例因子，z (jk )为第k 条线上第j 点的z 观测值。
3．隐藏线处理
如果前面的透视剖面线的高程y 坐标值大于后面出现的透视剖面线某些部分的y 坐标值，后面的剖面线上的那些部分就要被遮盖，这就是隐藏线。
绘制立体图时，将最大的y 值存放起来，当绘下一个剖面线时y 值大于对应的y 值就绘，并用新值代替，小于则不绘。
计算透视变换制图区域X 方向的最大距离，以便插值存放y 值。
x max =(y L -m 4x L )/(y R /x R -m 4)
式中，m 3=y R /[x R +(N -1)Y SCAL ]，m 4=-y L /x L +(M -1)X SCAL ]
选择适当数量的存储单元，如1000个，这样对应于X 轴的每个分割单位大小为： X INC =(X max -X min )/999
4．绘制立体图