等差数列等比数列常见结论

一、等差数列常见结论

1，

判断给定的数列{a n }是等差数列的方法

（1）定义法：a n +1-a n =d 是常数(n ∈N *) ⇔数列{a n }是等差数列；（2）通项公式法：a n =kn +b (k , b 是常数) ⇔数列{a n }是等差数列；（3）前n 项和法：数列{a n }的前n 项和

S n =An 2+Bn (A , B 是常数,A 2+B 2≠0) ⇔数列{a n }是等差数列；

（4）等差中项法：a n +a n +2=2a n +1(n ∈N *) ⇔数列{a n }是等差数列； 2，等差数列的通项公式的推广和公差的公式：

a n =a m +(n -m ) d (n , m ∈N ) ⇒d =

a n -a m

3， 4， 5， 6， 7，

若A 是a 与b

若数列{a n }，{b n }都是等差数列且项数相同，则

{kb n },{a n +b n },{a n -b n },{pa n +qb n }都是等差数列；

n -m

的等差中项⇔2A =a +b

(n , m ∈N , n ≠m ) ；

等差数列{a n }中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；等差数列{a n }中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；若数列{a n }是等差数列，且项数m , n , p , q (m , n , p , q ∈N *) 满足m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q ，反之也成立；当p =q 时，a m +a n =2a p ，即a p 是a m 和a n 的等差中项；

若数列{a n }是等差数列的充要条件是前n 项和公式S n =f (n ) ，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即S n =An 2+Bn (A , B 是常数,A 2+B 2≠0) ；若数列{a n }的前n 项和s n =An 2+Bn +C (A , B 是常数,C ≠0) ，则数列{a n }从第二项起是等差数列；

S n n

}也是等差数列，其首项

8， 9，

10，若数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，则{

和{a n }的首项相同，公差是{a n }公差的；

11，若数列{a n }，{b n }都是等差数列，其前n 项和分别为S n , T n ，则

a n b n

S 2n -1T 2n -1

；

12，若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为x -d , x , x +d ；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为x -3d , x -d , x +d , x +3d ； 13，等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m , S 2m , S 3m , S 4m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分别为数列{a n }的前m 项,2m 项,3m 项,4m 项, „„的和，则S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等差数列（等差数列的片段和性质）；

14，等差数列{a n }中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为

S 奇，S 偶，则

S 奇S 偶

n +1n -1

；若项数n 为偶数，

S 奇S 偶

a n =

a n +1

；

15，在等差数列{a n }中，若公差d >0，则等差数列{a n }为递增数列；若公差

数列；

16，有关等差数列{a n }的前n 项和为S n 的最值问题：

（1）何时存在最大值和最小值

① 若a 1>0, d

② 若a 10，则前n 项和为S n 存在最小值（2）如何求最值

① 方法一：（任何数列都通用）通过⎨

⎧a n ≥0⎩a n +1≤0

解出n 可求前n 项和为S n 的

⎧a n ≤0

最大值；通过⎨解出n 可求前n 项和为S n 的最小值；

a ≥0⎩n +1

② 方法二：利用等差数列前n 项和S n 的表达式为关于n 的二次函数且常数

项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和S n 不存在最值）, 利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：

若对称轴n 正好取得正整数，则此时n 就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 就取靠近对称轴的那个正整数； ③ 利用等差数列的相关性质求解

16，用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于a n , n , S n , a 1, d 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”

二、等比数列常见结论

1，对等比数列定义的理解

（1）是从第二项开始，每一项与前一项的比

（2）每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为0 （3）等比数列中任何一项都不为0 （4）符号语言的描述：若数列{a n }中满足

列{a n }为等比数列；

2，当且仅当两个数a 和b

同号是才存在等比中项，且等比中项为G =3，若a , G , b 成等比数列，则G 2=ab

4，判断给定的数列{a n }是等比数列的方法（1）定义法：

a n +1a n

=q （不为

a n +1a n

=q （不为

0的常数），则数

0的常数）⇔数列{a n }为等比数列；

（2）中项法：a n a n +2=a n 2+1⇔数列{a n }为等比数列；

（3）前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n =A -A n q （A 是常数，

A ≠0, q ≠0, q ≠1）⇔

数列{a n }为等比数列；

5，等比数列通项公式的推广：若{a n }为等比数列，则a n =a m q n -m (n , m ∈N *) 6，若数列{a n }是等比数列，且项数m , n , p , q (m , n , p , q ∈N *) 满足m +n =p +q ，则

a m a n =a p a q ，反之也成立；当p =q 时，a m a n =a p 2，即a p 是a m 和a n 的等比中项；

7，等比数列{a n }中，若项数成等差数列，则对应的项也等比数列；

8，等比数列{a n }中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等比数列； 9，若数列{a n }，{b n }都是等比数列且项数相同，则{ka n }(k ≠0),{a n b n },{a n 2}，{

a n b n

}

都是等比数列；

10，若等比数列{a n }的公比q 为参数，则在求前n 项和S n 时应分q =1和q ≠1两种情况讨论，即

a 11-q

⎧na 1(q =1) ⎪n

S n =⎨a 1(-1q ) a 1-a n q

=(q ≠⎪

1-q ⎩1-q

；当q ≠1

时

S n =A (1-q )(A =

, A ≠0, q ≠0, q ≠1)

11，若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为, x , xq ；

12，（等比数列的片段和性质）公比不为-1的等比数列{a n }前n 项和为S n ，则

S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅⋅⋅⋅成等比数列； 13，用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于a n , n , S n , a 1, q 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”；

三、等差与等比数列

1，若正项数列{a n }为等比数列，则数列{loga a n }为等差数列； 2，若数列{a n

}为等差数列，则数列{b }为等比数列；

3，任意两数a , b 都存在等差中项为

a +b 2

，但不一定都存在等比中项，当且仅当

a , b

同号时才存在等比中项为

4，任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列；

四、例题分析

1，（10年全国Ⅱ理科4）如果等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=12，那么

a 1+a 2+... +a 7=

（）

A ，14 B，21 C，28 D，35

【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】a 3+a 4+a 5=3a 4=12, a 4=4, ∴a 1+a 2+ +a 7=【答案】C

2，（09年宁夏海南理科16）等差数列{a n }前n 项和为S n 。已知a m -1+a m +1-a 2m =0，

S 2m -1=38,则m=_______

7(a 1+a 7)

=7a 4=28

【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.

【解析】由a m -1+a m +1-a 2m =0

得到2a m -a m =0, a m =0, 2又S 2m -1=

(2m -1)(a 1+a 2m -1)

=(2m -1)a m =38∴m =10。

【答案】10

3，（11年广东理11）等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1=1，

a k +a 4=0

，则k = ______

d =-

【解析】方法1：由S 9=S 4得9+36d =4+6d ，求得

a k +a 4=1+(k -1) ⨯(-

) +1+3⨯(-

16) =0

，则

，解得k =10

，即

5a 7=0

方法2：由

a 10+a =2a =704

S 9=S 4

得

a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=0

，

a 7=0

，即

，即k =10【答案】10

4，（11年湖南卷理12）设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *) 的前n 项和，且a 1=1, a 4=7，则S 5=______

【命题意图】考查等差数列的通项公式的应用及等差数列求和【解析】由a 1=1, a 4=7可得a 1=1, d =2, a n =2n -1，所以S 5=【答案】25

a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，5，(2010年全国Ⅰ理4) 已知各项均为正数的等比数列{a n }，

(1+9) ⨯5

=25

。

则a a a =（）A

，，7 C， 6 D，

【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

=5，【解析】由等比数列的性质知a 1a 2a 3=(a 1a 3) a 2=a 2

a 7a 8a 9=(a 7a 9) a 8=a =

810, 所以a 2a 8=503,

所以a 4a 5a 6=(a 4a 6) a 5=a ==(506) 3=【答案】A

6，(2008宁夏，海南理科17) 已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2=1，a 5=-5。

（1）求{a n }的通项a n ；（2）求{a n }前n 项和S n 的最大值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式和等差数列前n 项和S n 最值的求法，着重考查方程思想和二次函数最值问题；

⎧a 1+d =1

【解析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎨，解出a 1=3，d =-2．

a +4d =-5⎩1

所以a n =a 1+(n -1) d =-2n +5．（Ⅱ）S n =na 1+

n (n -1) 2

d =-n +4n =4-(n -2) ．

所以n =2时，S n 取到最大值4．

7，已知数列{a n }是等差数列，且首项a 1

【命题意图】本题考查等差数列的等差数列前n 项和S n 最值的求法【解析】

方法一：因为S 9=S 12，所以9a 1+

∴S n =na 1+∴当n =

212

n (n -1) 2

9⨯82n -

d =12a 1+nd 2=d 2

12⨯11221nd 2

d ∴a 1=-10d 0 (d >0)

d =-10nd +

d 2

n -

且n ∈N , 即n =11或10时，前

n 项和S n 取最小值

方法二：因为S 9=S

a ，所以a 10+a 1+1

=0∴a

0且=11a 00

即

n =10或n =11前n 项和S n 取最小值

方法三：因为S 9=S 12，所以S n 的对称轴为n =

∴当n =

212

且n ∈N , 即n =11或10时，前

212

，开口向上，且d >0，

n 项和S n 取最小值

8，已知等差数列{a n }前n 项和为30，前n 项和为100，则前3n 项和为______ 【命题意图】本题考查等差数列的等差数列前n 项和S n 的公式及整体代换思想【

解

析

】方

法

一

：（特

殊

值法，

）则

设前

n =1

, 项

则和

S 1=a 1=30, S 2=a 1+a 2=100∴a 2=70∴公差d =40S 3=

S 2+

1a 3=0

4=0

方法二：利用等差数列前n 项和S n =na 1+设前

项和为S n =30，前

n (n -1) 2

和整体代换思想求解

项和为S 2n =100，所以

n (n -1) ⎧na +d =301⎪n (3n -1) ⎪2

两式相减得na 1+d =70 ⎨

2⎪2na +2n (2n -1) d =100

⎪⎩2

所以S 3n =3na 1+

3n (3n -1)

d =3[na 1+

n (3n -1)

d ]=210

方法三：利用等差数列的片段和性质

因为{a n }为等差数列，所以S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n 成等差数列，所以

2(100-30) =30+S 3n -100∴S 3n =210

方法四：利用等差数列前n 项和S n =An 2+Bn (A , B 是常数,A 2+B 2≠0) 求解，体现整体代换思想

⎧⎪S n =An +Bn =302

因为⎨两式相减得3An +Bn =70， 2

⎪⎩S 2n =4An +2Bn =100

所以S 3n =9An 2+3Bn =3(3An 2+Bn ) =210 方法五：利用等差数列中{因为{a n }为等差数列，所以

S n S 2n S 3n S S S S 10030, , 成等差数列，∴22n =n +3n 即-=3n 即S 3n =210n 2n 3n 2n n 3n n n 3n

S n n

}成等差数列求解

9，（2010重庆理1）在等比数列{a n }中，a 2010=8a 2007 ，则公比q 的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

【命题意图】考查等比数列通项公式或者等比数列通项公式的推广

a n =a m q

n -m

(n , m ∈N )

【解析】由

a 2010a 2007

=q =8 ∴q =2【答案】A

10，（2010福建理11）在等比数列{a n }中, 若公比q=4, 且前3项之和等于21, 则该数列的通项公式a n =．

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属基础题。【解析】由题意知a 1+4a 1+16a 1=21，解得a 1=1，所以通项a n =4n-1。【答案】4n-1

11，（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=72, 则

a 2+a 4+a 9【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属基础题。【解析】 {a n }是等差数列, 由S 9=72, 得∴S 9=9a 5, a 5=8

a 2+a 4+a 9=(a 2+a 9) +a 4=(a 5+a 6) +a 4=3a 5=24. 【答案】 24

12，（2009辽宁卷理）设等比数列{ a n }的前n 项和为S n ，若

S 9S 6

S 6S 3

=3 ，则

=（）A, 2 B, C, D,3

【命题意图】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用【解析】设公比为q ,则

S 9S 6

S 6S 3

(1+q ) S 3

S 3

＝1＋q 3＝3 ⇒ q3＝2

于是

1+q +q 1+q

1+2+41+2

【答案】B

S 5S 2

8a 2+a 5=0，13，（2010浙江理3）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，则

（） =

A ，11 B，5 C，-8 D，-11

【命题意图】本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题

【解析】通过8a 2+a 5=0，设公比为q ，将该式转化为8a 2+a 2q 3=0，解得q =-2，带入所求式可知【答案】选D ，

14，(2011年天津卷理科4) 已知{a n }为等差数列，其公差为-2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和, n ∈N *, 则S 10的值为（） A ．-110 B ．-90 C ．90 D ．110

【命题意图】本题考查了等差、等比数列的性质、通项公式以及等差数列的前n 项和公式

【解析】∵a 72=a 3∙a 9, d =-2，∴(a 1-12) 2=(a 1-4)(a 1-16) ，解之得a 1=20， ∴s 10=10⨯20+

10⨯92

(-2) =110

. 【答案】D.

15，(2011年高考重庆卷理科11) 在等差数列{a n }中，a 3+a 7=37，则

a 2+a 4+a 6+a 8=

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式

【解析】∴a 2+a 8=a 4+a 6=a 3+a 7=37，故a 2+a 4+a 6+a 8=2⨯37=74

五、反馈练习

1，（2010重庆文2）在等差数列{a n }中，a 1+a 9=10，则a 5的值为（）

A ，5 B，6 C，8 D，10 2，(2009安徽卷文）已知

为等差数列，

D ，7

，则

等于（）A ，-1 B ，1 C ， 3

3，（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n . 若a 4是a 3与a 7的等比中项, S 8=32, 则S 10等于（） A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4，（2009安徽卷理）已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，以

S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是（）A ，21 B ，20 C ，19 D ，185，（2009湖南卷文）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=3，a 6=11，则S 7等于( )A．13 B．35 C．49 D． 63

6，（2009福建卷理）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3 =6，a 1=4，则公差d 等于（）A ．1 B C.- 2 D 3

7，（2009厦门一中模拟文）在等差数列{a n }中， a 2+a 8=4, 则其前9项的和S 9等于（） A．18 B 27 C 36 D 9 8，（2009福建卷理）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3 =6，a 1=4，则公差d 等于（）A ．1 B C.- 2 D 3

9，（2009辽宁卷文）已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1, a 3＝0, 则公差d ＝（）A. －2 B.－

D.2

10，（2009四川卷文）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是（）

A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 11，（2008天津）若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7=( ) A.12 B.13 C.14 D.15

12，（2008陕西）已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（）A ．64 B．100 C ．110 13，（2008广东）记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=（）A ．16

B．24

D ．120

，S 4=20，则S 6=

C．36 D ．48

a 2=2，a 5=14，（2008浙江）已知{a n }是等比数列，

，则a 1a 2+a 2a 3+ +a n a n +1=

（） A.16（1-4-n ） B.6（1-2-n ）

323

（1-4-n ） D.

323

（1-2-n ）

15，（2008四川）已知等比数列(a n )中a 2=1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A (-∞, -1]

B. (-∞, 0) (1, +∞)

C. [3, +∞) D.(-∞, -1] [3, +∞)

16，（2007安徽）等差数列{a n }的前n 项和为S x 若a 2=1, a 3=3, 则S 4＝（） A ．12 B．10 C．8 D．6

17，（2007辽宁）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则

a 7+a 8+a 9=（

）A ．63 B．45 C．36 D．27

18，(2007湖南) 在等比数列{a n }（n ∈N *）中，若a 1=1，a 4=

2-前10项和为（）A ．

，则该数列的

2- B．

2- C．

2- D．

19，（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=5a 3则.

S 9S 5

20，（2010辽宁文14）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3=3，S 6=24，则a 9= 。

21，（山东省潍坊市2008年高三教学质量检测）设等差数列{a n }的前n 项和为

S n ，若a 6+a 14=20，则S 19=______________．

22，（11年北京海淀区二模）已知数列{a n }满足

a 1=t , a n +1-a n +2=0(t ∈N , n ∈N )

，设数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t ) ，则

f (t ) _____________．

23，（11年江苏徐州4月月考）设等差数列{a n },{b n }前n 项和分别为S n , T n ，且对任意的自然数n 都有

S n T n

=2n -34n -3

，则

a 9b 5+b 7

a 3b 8+b 4

的值等于_____________．

24，在等比数列{a n }中，a 2=2, a 6=8, 则a 10=_____________．

25，（10年山东青岛模拟）已知等比数列{a n }中，前n 项和为S n =x ⋅3n -1-则x ____________．

26，(2007全国I) 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则{a n }的公比为

27，（2007江西）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12=21，则

a 2+a 5+a 8+a 11=16

，

28，已知等差数列{a n }中，a 1>0, S 5=S 13，则这个数列前n 项和S n 何时取最大值？

29，（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分10分）已知等差数列{a n }中，

a 3a 7=-16, a 4+a 6=0, 求{a n }前

n 项和S n

30，（2010浙江文19）（本题满分14分）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6+15=0。（Ⅰ）若S 5=5，求S 6及a 1；

（Ⅱ）求d 的取值范围。

31，（2010北京文16）（本小题共13分）已知{a n }为等差数列，且a 3=-6， a 6=0。（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n }满足b 1=-8，b 2=a 1+a 2+a 3，求{b n }的前n 项和公式S n

32，(2011年高考福建卷理科16) （本小题满分13分）已知等比数列{an }的公比

q=3，前3项和S 3=

133

（I ）求数列{an }的通项公式；

（II ）若函数f (x ) =A sin(2x +ϕ)(A >0, 0

且最大值为a 3，求函数f (x ) 的解析式。

处取得最大值，

【参考答案】【1】A 【2】B 【3】C 【4】B 【5】C 【6】C 【7】A 【8】C 【9】B 【10】B 【11】B 【12】B 【13】D 【14】C 【15】D 【16】 B 【17】B

⎧(t +1) 2

(t 是奇数) ⎪19⎪4

【18】B 【19】9【20】 15 【21】190 【22】f (t ) =⎨2【23】

41⎪t +2t (t 是偶数)

⎪⎩4

【24】32【25】

【26】【27】7【28】当n =9时前n 项和S n 取最大值

【29】S n =-8n +n (n -1)=n (n -9)，或S n =8n -n (n -1)=-n (n -9)【30】（Ⅰ）S 6=-3, a 1=

7（Ⅱ）d ≥d ≤-【31】（Ⅰ）a n =-10+(n -1) ⋅2=2n -12（Ⅱ）S n =【32】（I ）a n =

13⨯3

n -1

b 1(1-q ) 1-q

=4(1-3)

n -2

（II ）f (x ) 的解析式为f (x ) =3sin(2x +

)

等差数列等比数列常见结论

一、等差数列常见结论

1，

判断给定的数列{a n }是等差数列的方法

S n =An 2+Bn (A , B 是常数,A 2+B 2≠0) ⇔数列{a n }是等差数列；

（4）等差中项法：a n +a n +2=2a n +1(n ∈N *) ⇔数列{a n }是等差数列； 2，等差数列的通项公式的推广和公差的公式：

a n =a m +(n -m ) d (n , m ∈N ) ⇒d =

a n -a m

3， 4， 5， 6， 7，

若A 是a 与b

若数列{a n }，{b n }都是等差数列且项数相同，则

{kb n },{a n +b n },{a n -b n },{pa n +qb n }都是等差数列；

n -m

的等差中项⇔2A =a +b

(n , m ∈N , n ≠m ) ；

S n n

}也是等差数列，其首项

8， 9，

10，若数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，则{

和{a n }的首项相同，公差是{a n }公差的；

11，若数列{a n }，{b n }都是等差数列，其前n 项和分别为S n , T n ，则

a n b n

S 2n -1T 2n -1

；

14，等差数列{a n }中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为

S 奇，S 偶，则

S 奇S 偶

n +1n -1

；若项数n 为偶数，

S 奇S 偶

a n =

a n +1

；

15，在等差数列{a n }中，若公差d >0，则等差数列{a n }为递增数列；若公差

数列；

16，有关等差数列{a n }的前n 项和为S n 的最值问题：

（1）何时存在最大值和最小值

① 若a 1>0, d

② 若a 10，则前n 项和为S n 存在最小值（2）如何求最值

① 方法一：（任何数列都通用）通过⎨

⎧a n ≥0⎩a n +1≤0

解出n 可求前n 项和为S n 的

⎧a n ≤0

最大值；通过⎨解出n 可求前n 项和为S n 的最小值；

a ≥0⎩n +1

② 方法二：利用等差数列前n 项和S n 的表达式为关于n 的二次函数且常数

项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和S n 不存在最值）, 利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：

16，用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于a n , n , S n , a 1, d 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”

二、等比数列常见结论

1，对等比数列定义的理解

（1）是从第二项开始，每一项与前一项的比

（2）每一项与前一项的比试同一个常数，且这个常数不为0 （3）等比数列中任何一项都不为0 （4）符号语言的描述：若数列{a n }中满足

列{a n }为等比数列；

2，当且仅当两个数a 和b

同号是才存在等比中项，且等比中项为G =3，若a , G , b 成等比数列，则G 2=ab

4，判断给定的数列{a n }是等比数列的方法（1）定义法：

a n +1a n

=q （不为

a n +1a n

=q （不为

0的常数），则数

0的常数）⇔数列{a n }为等比数列；

（2）中项法：a n a n +2=a n 2+1⇔数列{a n }为等比数列；

（3）前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n =A -A n q （A 是常数，

A ≠0, q ≠0, q ≠1）⇔

数列{a n }为等比数列；

a m a n =a p a q ，反之也成立；当p =q 时，a m a n =a p 2，即a p 是a m 和a n 的等比中项；

7，等比数列{a n }中，若项数成等差数列，则对应的项也等比数列；

a n b n

}

都是等比数列；

10，若等比数列{a n }的公比q 为参数，则在求前n 项和S n 时应分q =1和q ≠1两种情况讨论，即

a 11-q

⎧na 1(q =1) ⎪n

S n =⎨a 1(-1q ) a 1-a n q

=(q ≠⎪

1-q ⎩1-q

；当q ≠1

时

S n =A (1-q )(A =

, A ≠0, q ≠0, q ≠1)

11，若三个数成等比数列，通常可设这三个数分别为, x , xq ；

12，（等比数列的片段和性质）公比不为-1的等比数列{a n }前n 项和为S n ，则

三、等差与等比数列

1，若正项数列{a n }为等比数列，则数列{loga a n }为等差数列； 2，若数列{a n

}为等差数列，则数列{b }为等比数列；

3，任意两数a , b 都存在等差中项为

a +b 2

，但不一定都存在等比中项，当且仅当

a , b

同号时才存在等比中项为

4，任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列；

四、例题分析

1，（10年全国Ⅱ理科4）如果等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=12，那么

a 1+a 2+... +a 7=

（）

A ，14 B，21 C，28 D，35

【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】a 3+a 4+a 5=3a 4=12, a 4=4, ∴a 1+a 2+ +a 7=【答案】C

2，（09年宁夏海南理科16）等差数列{a n }前n 项和为S n 。已知a m -1+a m +1-a 2m =0，

S 2m -1=38,则m=_______

7(a 1+a 7)

=7a 4=28

【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.

【解析】由a m -1+a m +1-a 2m =0

得到2a m -a m =0, a m =0, 2又S 2m -1=

(2m -1)(a 1+a 2m -1)

=(2m -1)a m =38∴m =10。

【答案】10

3，（11年广东理11）等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1=1，

a k +a 4=0

，则k = ______

d =-

【解析】方法1：由S 9=S 4得9+36d =4+6d ，求得

a k +a 4=1+(k -1) ⨯(-

) +1+3⨯(-

16) =0

，则

，解得k =10

，即

5a 7=0

方法2：由

a 10+a =2a =704

S 9=S 4

得

a 5+a 6+a 7+a 8+a 9=0

，

a 7=0

，即

，即k =10【答案】10

4，（11年湖南卷理12）设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *) 的前n 项和，且a 1=1, a 4=7，则S 5=______

【命题意图】考查等差数列的通项公式的应用及等差数列求和【解析】由a 1=1, a 4=7可得a 1=1, d =2, a n =2n -1，所以S 5=【答案】25

a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，5，(2010年全国Ⅰ理4) 已知各项均为正数的等比数列{a n }，

(1+9) ⨯5

=25

。

则a a a =（）A

，，7 C， 6 D，

【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

=5，【解析】由等比数列的性质知a 1a 2a 3=(a 1a 3) a 2=a 2

a 7a 8a 9=(a 7a 9) a 8=a =

810, 所以a 2a 8=503,

所以a 4a 5a 6=(a 4a 6) a 5=a ==(506) 3=【答案】A

6，(2008宁夏，海南理科17) 已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2=1，a 5=-5。

（1）求{a n }的通项a n ；（2）求{a n }前n 项和S n 的最大值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式和等差数列前n 项和S n 最值的求法，着重考查方程思想和二次函数最值问题；

⎧a 1+d =1

【解析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎨，解出a 1=3，d =-2．

a +4d =-5⎩1

所以a n =a 1+(n -1) d =-2n +5．（Ⅱ）S n =na 1+

n (n -1) 2

d =-n +4n =4-(n -2) ．

所以n =2时，S n 取到最大值4．

7，已知数列{a n }是等差数列，且首项a 1

【命题意图】本题考查等差数列的等差数列前n 项和S n 最值的求法【解析】

方法一：因为S 9=S 12，所以9a 1+

∴S n =na 1+∴当n =

212

n (n -1) 2

9⨯82n -

d =12a 1+nd 2=d 2

12⨯11221nd 2

d ∴a 1=-10d 0 (d >0)

d =-10nd +

d 2

n -

且n ∈N , 即n =11或10时，前

n 项和S n 取最小值

方法二：因为S 9=S

a ，所以a 10+a 1+1

=0∴a

0且=11a 00

即

n =10或n =11前n 项和S n 取最小值

方法三：因为S 9=S 12，所以S n 的对称轴为n =

∴当n =

212

且n ∈N , 即n =11或10时，前

212

，开口向上，且d >0，

n 项和S n 取最小值

8，已知等差数列{a n }前n 项和为30，前n 项和为100，则前3n 项和为______ 【命题意图】本题考查等差数列的等差数列前n 项和S n 的公式及整体代换思想【

解

析

】方

法

一

：（特

殊

值法，

）则

设前

n =1

, 项

则和

S 1=a 1=30, S 2=a 1+a 2=100∴a 2=70∴公差d =40S 3=

S 2+

1a 3=0

4=0

方法二：利用等差数列前n 项和S n =na 1+设前

项和为S n =30，前

n (n -1) 2

和整体代换思想求解

项和为S 2n =100，所以

n (n -1) ⎧na +d =301⎪n (3n -1) ⎪2

两式相减得na 1+d =70 ⎨

2⎪2na +2n (2n -1) d =100

⎪⎩2

所以S 3n =3na 1+

3n (3n -1)

d =3[na 1+

n (3n -1)

d ]=210

方法三：利用等差数列的片段和性质

因为{a n }为等差数列，所以S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n 成等差数列，所以

2(100-30) =30+S 3n -100∴S 3n =210

方法四：利用等差数列前n 项和S n =An 2+Bn (A , B 是常数,A 2+B 2≠0) 求解，体现整体代换思想

⎧⎪S n =An +Bn =302

因为⎨两式相减得3An +Bn =70， 2

⎪⎩S 2n =4An +2Bn =100

所以S 3n =9An 2+3Bn =3(3An 2+Bn ) =210 方法五：利用等差数列中{因为{a n }为等差数列，所以

S n S 2n S 3n S S S S 10030, , 成等差数列，∴22n =n +3n 即-=3n 即S 3n =210n 2n 3n 2n n 3n n n 3n

S n n

}成等差数列求解

9，（2010重庆理1）在等比数列{a n }中，a 2010=8a 2007 ，则公比q 的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

【命题意图】考查等比数列通项公式或者等比数列通项公式的推广

a n =a m q

n -m

(n , m ∈N )

【解析】由

a 2010a 2007

=q =8 ∴q =2【答案】A

10，（2010福建理11）在等比数列{a n }中, 若公比q=4, 且前3项之和等于21, 则该数列的通项公式a n =．

11，（2009全国卷Ⅰ理）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=72, 则

a 2+a 4+a 9【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属基础题。【解析】 {a n }是等差数列, 由S 9=72, 得∴S 9=9a 5, a 5=8

a 2+a 4+a 9=(a 2+a 9) +a 4=(a 5+a 6) +a 4=3a 5=24. 【答案】 24

12，（2009辽宁卷理）设等比数列{ a n }的前n 项和为S n ，若

S 9S 6

S 6S 3

=3 ，则

=（）A, 2 B, C, D,3

【命题意图】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用【解析】设公比为q ,则

S 9S 6

S 6S 3

(1+q ) S 3

S 3

＝1＋q 3＝3 ⇒ q3＝2

于是

1+q +q 1+q

1+2+41+2

【答案】B

S 5S 2

8a 2+a 5=0，13，（2010浙江理3）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，则

（） =

A ，11 B，5 C，-8 D，-11

【命题意图】本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题

【解析】通过8a 2+a 5=0，设公比为q ，将该式转化为8a 2+a 2q 3=0，解得q =-2，带入所求式可知【答案】选D ，

【命题意图】本题考查了等差、等比数列的性质、通项公式以及等差数列的前n 项和公式

【解析】∵a 72=a 3∙a 9, d =-2，∴(a 1-12) 2=(a 1-4)(a 1-16) ，解之得a 1=20， ∴s 10=10⨯20+

10⨯92

(-2) =110

. 【答案】D.

15，(2011年高考重庆卷理科11) 在等差数列{a n }中，a 3+a 7=37，则

a 2+a 4+a 6+a 8=

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式

【解析】∴a 2+a 8=a 4+a 6=a 3+a 7=37，故a 2+a 4+a 6+a 8=2⨯37=74

五、反馈练习

1，（2010重庆文2）在等差数列{a n }中，a 1+a 9=10，则a 5的值为（）

A ，5 B，6 C，8 D，10 2，(2009安徽卷文）已知

为等差数列，

D ，7

，则

等于（）A ，-1 B ，1 C ， 3

6，（2009福建卷理）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3 =6，a 1=4，则公差d 等于（）A ．1 B C.- 2 D 3

9，（2009辽宁卷文）已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1, a 3＝0, 则公差d ＝（）A. －2 B.－

D.2

10，（2009四川卷文）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是（）

A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 11，（2008天津）若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7=( ) A.12 B.13 C.14 D.15

B．24

D ．120

，S 4=20，则S 6=

C．36 D ．48

a 2=2，a 5=14，（2008浙江）已知{a n }是等比数列，

，则a 1a 2+a 2a 3+ +a n a n +1=

（） A.16（1-4-n ） B.6（1-2-n ）

323

（1-4-n ） D.

323

（1-2-n ）

15，（2008四川）已知等比数列(a n )中a 2=1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A (-∞, -1]

B. (-∞, 0) (1, +∞)

C. [3, +∞) D.(-∞, -1] [3, +∞)

16，（2007安徽）等差数列{a n }的前n 项和为S x 若a 2=1, a 3=3, 则S 4＝（） A ．12 B．10 C．8 D．6

17，（2007辽宁）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则

a 7+a 8+a 9=（

）A ．63 B．45 C．36 D．27

18，(2007湖南) 在等比数列{a n }（n ∈N *）中，若a 1=1，a 4=

2-前10项和为（）A ．

，则该数列的

2- B．

2- C．

2- D．

19，（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=5a 3则.

S 9S 5

20，（2010辽宁文14）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3=3，S 6=24，则a 9= 。

21，（山东省潍坊市2008年高三教学质量检测）设等差数列{a n }的前n 项和为

S n ，若a 6+a 14=20，则S 19=______________．

22，（11年北京海淀区二模）已知数列{a n }满足

a 1=t , a n +1-a n +2=0(t ∈N , n ∈N )

，设数列{a n }的前n 项和的最大值为f (t ) ，则

f (t ) _____________．

23，（11年江苏徐州4月月考）设等差数列{a n },{b n }前n 项和分别为S n , T n ，且对任意的自然数n 都有

S n T n

=2n -34n -3

，则

a 9b 5+b 7

a 3b 8+b 4

的值等于_____________．

24，在等比数列{a n }中，a 2=2, a 6=8, 则a 10=_____________．

25，（10年山东青岛模拟）已知等比数列{a n }中，前n 项和为S n =x ⋅3n -1-则x ____________．

26，(2007全国I) 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则{a n }的公比为

27，（2007江西）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12=21，则

a 2+a 5+a 8+a 11=16

，

28，已知等差数列{a n }中，a 1>0, S 5=S 13，则这个数列前n 项和S n 何时取最大值？

29，（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分10分）已知等差数列{a n }中，

a 3a 7=-16, a 4+a 6=0, 求{a n }前

n 项和S n

30，（2010浙江文19）（本题满分14分）设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6+15=0。（Ⅰ）若S 5=5，求S 6及a 1；

（Ⅱ）求d 的取值范围。

32，(2011年高考福建卷理科16) （本小题满分13分）已知等比数列{an }的公比

q=3，前3项和S 3=

133

（I ）求数列{an }的通项公式；

（II ）若函数f (x ) =A sin(2x +ϕ)(A >0, 0

且最大值为a 3，求函数f (x ) 的解析式。

处取得最大值，

【参考答案】【1】A 【2】B 【3】C 【4】B 【5】C 【6】C 【7】A 【8】C 【9】B 【10】B 【11】B 【12】B 【13】D 【14】C 【15】D 【16】 B 【17】B

⎧(t +1) 2

(t 是奇数) ⎪19⎪4

【18】B 【19】9【20】 15 【21】190 【22】f (t ) =⎨2【23】

41⎪t +2t (t 是偶数)

⎪⎩4

【24】32【25】

【26】【27】7【28】当n =9时前n 项和S n 取最大值

【29】S n =-8n +n (n -1)=n (n -9)，或S n =8n -n (n -1)=-n (n -9)【30】（Ⅰ）S 6=-3, a 1=

7（Ⅱ）d ≥d ≤-【31】（Ⅰ）a n =-10+(n -1) ⋅2=2n -12（Ⅱ）S n =【32】（I ）a n =

13⨯3

n -1

b 1(1-q ) 1-q

=4(1-3)

n -2

（II ）f (x ) 的解析式为f (x ) =3sin(2x +

)

等差数列等比数列常见结论

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