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自适应控制理论基础
一 二 三
李雅普洛夫稳定性理论 动态系统的正实性 超稳定性理论
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一 李雅普洛夫稳定性理论
1. 2. 3. 4.
李雅普洛夫意义下的稳定性 李雅普洛夫第一法 李雅普洛夫第二法 线性定常系统李雅普洛夫稳定性分析
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1. 李雅普洛夫意义下的稳定性
平衡状态
满足
x = f ( x, t )
xe = f ( xe , t ) = 0
即 x不再随时间变化 对线性定常系统： 其平衡状态满足
x = Ax
Ax e = 0
当A 非奇异，只有唯一零解（即零状态）； 当A 奇异，有无穷多个平衡点。 对非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。
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李雅普洛夫意义下的稳定性
李雅普洛夫意义下的稳定性
对平衡状态xe，初始状态 x0， x0 xe ≤ δ , t = t0 若对任意规定ε，在 t →∞过程 中，满足：
x(t ; x0 , t0 ) xe ≤ ε , t ≥ t0
则平衡点 xe 是在李雅普洛夫意 义下是稳定的。 稳定的 δ与ε有关，通常也与 t0有关。 如果δ与t0无关，则为一致稳定。 一致稳定
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李雅普洛夫意义下的稳定性
渐近稳定
设平衡点 xe 是在李雅普洛夫意义 下是稳定的，同时满足
lim x ( t ; x 0 , t 0 ) x e = 0
t→ ∞
则称该平衡状态是渐近稳定的。
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李雅普洛夫意义下的稳定性
大范围（全局）渐近稳定
当初始条件扩展至整个状态空间，平衡状态 均具有渐近稳定性，称为大范围（全局）渐 近稳定。 对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是 大范围渐近稳定的。 非线性系统的稳定性往往与初始条件有关。
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李雅普洛夫意义下的稳定性
不稳定性
如果对于某个实数ε> 0和任一实数 δ> 0，不管其多 么小，在S(δ)内总存在一个状态x0，使得由该状态 出发的轨迹超出S(ε)，则平衡状态xe称为是不稳定 的。
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2. 李雅普洛夫第一法
利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性，即间接法。 间接法
定理1 对线性定常系统 x = Ax , x (0) = x0 , t ≥ 0, 有：
系统的每一平衡状态是在李雅普洛夫意义下稳定的充要 条件为：A 的所有特征值均具有非正实部，且具有零实 非正实部 部的特征值为单根； 系统的唯一平衡状态 xe= 0 是渐近稳定的充要条件为：A 的所有特征值均具有负实部。 负实部
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3. 李雅普洛夫第二法
又称直接法，引入一个能量函数（即李雅普洛夫 直接法 函数），利用该函数及其导数函数的符号特征直接 函数 对平衡状态的稳定性做出判断。 能量函数总大于零； 对稳定系统，能量函数具有衰减特性，即能量函数 的导数应小于零。
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李雅普洛夫第二法
定理2 对连续时间非线性时变自由系统
x = f ( x, t ) , t ≥ t0
其中f (0, t ) = 0为系统的平衡状态。如果存在一个对x 和 t 具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t ), V(0,t ) = 0, 且 满足如下条件： V(x,t)正定且有界，即有 β x ≥ V ( x, t ) ≥ α x > 0 正定且有界 V(x,t)对时间 t 的导数负定且有界，即有V ( x, t ) ≤ r x
当 x → ∞时， α x → ∞ ,
V (x,t) → ∞
则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
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李雅普洛夫第二法
定理3 对定常系统 x = f ( x ) , t ≥ 0
其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量 函数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零x 满足： V(x)为正定的； V(x)的导数为负定的； 当 x → ∞时 , V ( x ) → ∞ 则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
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李雅普洛夫第二法
定理4 对定常系统 x = f ( x ) ,
t≥0
其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函 数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零x 满足： V(x)为正定的； V(x)的导数为半负定的； 对任意 x ∈ X , 当
V ( x (t ; x 0 ,0 ) )
不恒为0 ；
x → ∞时 , V ( x ) → ∞
则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
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李雅普洛夫第二法
定理 5 （不稳定判定） 对时变或定常系统，如
果存在一个具有连续一阶（偏）导数的标量函数V(x,t), 或V(x), （其中V(0,t) = 0, V(0) = 0），对于状态空间中围 绕原点的某个域的一切 x和一切 t > t0 满足： V(x,t)正定且有界，或V(x)为正定的； V(x,t)对时间 t 的导数正定且有界， V(x)的导数为正 定的； 则系统平衡状态为不稳定。
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李雅普洛夫第二法举例
【例1】设系统状态方程为
2 x1 = x2 x1 ( x12 + x2 ) 2 x2 = x1 x2 ( x12 + x2 )
【解】显然，原点为系统的唯一平衡状态 选一正定的标量函数
V ( x ) = x 12 + x 22
沿任意轨迹V(x)对时间的导数
2 V ( x ) = 2 x1 x1 + 2 x 2 x 2 = 2 ( x12 + x 2 ) 2
当 x → ∞时 , V ( x ) → ∞
即为负定的
故系统在原点处是大范围渐
近稳定的。
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李雅普洛夫第二法举例
【例2】设系统状态方程为
x1 = x2
x2 = x1 (1 + x2 ) 2 x2
【解】显然，原点为系统的唯一平衡状态 选一正定的标量函数 V(x) 对时间的导数为半负定 检验 V ( x(t ; x0 ,0)) 是否不恒为0
当 x → ∞时 , V ( x ) → ∞ 故系统在原点处是大范围渐近稳定的。
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4. 线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
线性定常连续系统渐近稳定性的判定
对系统
x = Ax ,
x (0) = x0 , t ≥ 0,
选择一正定二次型函数 P 为正定对称矩阵
V ( x ) = x Px
T
则有 令 则
V ( x ) = x T Px + x T Px = x T ( AT P + PA) x AT P + PA＝－Q V ( x ) = x T Qx
只要矩阵 Q 正定，则系统是大范围渐近稳定的。
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线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
定理 6 对线性定常系统
x = Ax
其渐近稳定的充要条件为： 存在一个正定对称矩阵P，使得由 ATP+PA=－Q 所确定 矩阵 Q 为正定矩阵。 其中，xTPx 即为系统的一个Liyapunov函数。 函数
定理 7 对上述线性定常系统，其渐近稳定的充要条件为：
对于任意给定的正定矩阵 Q ，存在唯一的正定对称矩 阵P，使 ATP+PA=－Q 成立。
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线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
【例2】设系统状态方程为： x1 求系统的Liyapunov函数 【解】设
4 x1 0 x = 8 12 x 2 2
p11 P= p21
p12 1 0 , 且p21 = p12 , Q = 0 1 p22
则由 ATP+PA=－Q 可解得
5 p11 = , 16
1 p12 = p21 = , 16
1 p22 = 16
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线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
显然，
5 1 16 16 P= 1 1 16 16
为正定矩阵 验证： 5 1 1 2 1 1 V ( x) = xT Px = x12 + x1 x2 + x2 = x12 + ( x1 + x2 ) 2 , 正定 16 8 16 4 16 1 1 V ( x) = x1 x1 + ( x1 + x2 )( x1 + x2 ) 2 8 2 = 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) 2 = ( x12 + x2 )， 负定 故系统渐近稳定
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线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
线性定常离散系统渐近稳定性的判定
设线性定常离散系统状态方程为：
x (k + 1) = Φx (k ) , x(0) = x0 , k = 0,1,2,... 取正定二次型函数
V ( x ( k )) = x T ( k ) Px ( k ) 则有 Δ V ( x ( k )) V ( x ( k＋ )) V ( x ( k )) ＝ 1－ ＝ x T ( k + 1) Px ( k + 1) x T ( k ) Px ( k ) = [Φ x ( k )]T P [Φx ( k )] x T ( k ) Px ( k ) 令 则 Φ T PΦ P = Q ΔV ( x ( k ))＝－ x T ( k )Qx ( k )
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线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
定理 8 对上述线性定常离散系统，
其渐近稳定 的充要条件为： 对于任意给定的正定矩阵 Q ，存在唯一的 正定对称矩阵P，使 ΦTP Φ －P =－Q 成立。
相关概念及分析求解方法同连续系统
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二 动态系统的正实性
正实函数与正实矩阵 正定积分核 线性定常连续系统的正实性 线性定常离散系统的正实性
1. 2. 3. 4.
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1. 正实函数与正实矩阵
定义1 (正实函数) 复变量 s = σ+ jω的有理函数 正实函数
h(s) 若满足： 当s 为实数时，h(s)是实的； 对于所有Re s > 0 的 s ，Re[h(s)] >= 0; 0 则h(s) 称为正实函数。
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正实函数与正实矩阵
定义2 (正实函数) 复变量 s = σ+ jω的有理函数h(s) 若 正实函数
满足： 当s 为实数时，h(s)是实的； h(s)在右半开平面 Re s > 0 上没有极点； h(s)在虚轴上如果存在极点，则是相异的（即无重极 点），且其留数为正或零； 对于任意实数ω ,当s = jω不是 h(s) 的极点时，有 Re[h(j ω)] >= 0; 0 则h(s) 称为正实函数。
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正实函数与正实矩阵
定义3 (严格正实函数) 复变量 s = σ+ jω的有 严格正实函数
理函数h(s) 若满足：
当s 为实数时，h(s)是实的； h(s)在右半闭平面 Re s > 0 上没有极点； 对于任意实数ω , 均有Re[h(j ω)] >= 0; 0 则h(s) 称为严格正实函数。
严格正实函数在虚轴上无极点。
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正实函数举例
【例1】
1 W ( s) = , a>0 s+a
a jω W ( jω ) = 2 a +ω2 a Re[W ( jω )] = 2 >0 2 a +ω
故W(s) 为严格正实的。
W(s) 极点为s＝－a，a > 0，且
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正实函数举例
【例2】
1 W (s) = 2 , a0 > 0 , a1 > 0 s + a1s + a0
可以验证，W(s) 在右半平面无极点，
a0 ω 2 ja1ω W ( jω ) = (a0 ω 2 ) 2 + (a1ω ) 2 a0 ω 2 Re[W ( jω )] = (a0 ω 2 ) 2 + (a1ω ) 2
可知，当ω2> a0时， Re[h(jω)]
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正实函数举例
【例3】
b1s + b0 W (s) = 2 s + a1s + a0 其系数均为正实数
同【例2】，W(s) 在右半平面无极点，
a0 b0 + ( a1b1 b0 )ω 2 + jω [b1 ( a 0 ω 2 ) a1b0 ] W ( jω ) = ( a0 ω 2 ) 2 + ( a1ω ) 2 a 0 b0 + ( a1b1 b0 )ω 2 Re[W ( jω )] = ( a 0 ω 2 ) 2 + ( a1ω ) 2
当b1 > = b0 / a1时， Re[h(jω)] > 0，W(s) 为严格正实函数 当b1
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正实函数判定引理
定理 1 设h(s) = M(s)/N(s) , 如满足：
M(s)与N(
s) 都具有实系数； M(s)与N(s) 都是古尔维茨多项式； 古尔维茨多项式 M(s)与N(s) 的阶数之差不超过1； 1/ h(s) 仍为正实函数； 则h(s)为正实函数。
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正实函数矩阵
定义4 (Hermite 矩阵) 复变量 s = σ+ jω的矩阵函数 矩阵
H(s) 若满足：H ( s ) = H
T
(s ) ,
s 为 s 的共轭
则H(s)为Hermite矩阵。 矩阵
Hermite矩阵的性质： 矩阵 为一方阵，且对角元素为实数； 其特征值恒为实数； 如果H(s)为 Hermite矩阵，x 为具有复数分量的向 矩阵 量，则以下二次型函数恒为实数：
xT Hx ,
x 为 x 的共轭
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正实函数矩阵
定义5 (正实函数矩阵) 复变量 m × m维实有理函 正实函数矩阵 数矩阵H(s) 为正实函数矩阵，则应满足：
H(s) 的所有元在右半开平面上都是解析的， Re s > 0 上H(s) 没有极点； 即在
H(s) 的任何元在虚轴上如存在极点，则是相异的，其 留数矩阵为半正定Hermite矩阵； 矩阵 对于非H(s) 的任何元的极点的所有实ω 值，矩阵 H(jω)+ H T(-jω)为半正定Hermite矩阵； 矩阵
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正实函数矩阵
定义6 (严格正实函数矩阵) 复变量 m × m维实 正实函数矩阵 有理函数矩阵H(s) 为严格正实函数矩阵，则 应满足：
H(s) 的所有元在右半开平面上都是解析的， 即在Re s > 0 上H(s) 没有极点； 对于所有实ω 值，矩阵H(jω) + HT(-jω)为正定 Hermite矩阵。 矩阵
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2. 正定积分核
定义 如果对于每个区间[t0, t1]及在区间上分段
连续的所有向量函数 f (t)，方阵K(t, τ)使下式成 立，即
η ( t 0 , t1 ) =
∫
t1
t0
f ( t )[ ∫ K ( t , τ ) f (τ ) d τ ] dt ≥ 0 ,
T t0
t
...( 1)
则 K(t, τ) 称为正定积分核。
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正定积分核
正定积分核的物理解释
∫
t
可理解为系统脉冲传递函数为 K(t, τ)、输入为f (t)的系统输出，故不等式（1） 的左端可解释为系统输入输出内积的积分；
t0
K (t ,τ ) f (τ )dτ
当K(t, τ)正定时，该积分值为正或零。
正定积分核的充要条件
对存在拉氏变换的一类核K(t－τ)是正定核的充 要条件为：其拉氏变换式是 s 的正实传递函数矩 阵。
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3. 线性定常连续系统的正实性
对线性定常连续系统 x = Ax + Bu
y = Cx + Du
其传递函数矩阵为
(1)
其中, （A, B）完全可控，（ A, C）完全可观测
H(s) =C(sI – A)－1 B＋D 显然，H(s)为s 的实有理函数矩阵。 如果H(s) 为正实函数矩阵，则系统（1）
称为正实的。 正实的
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线性定常连续系统的正实性
定理 2 （Kalman -Yacubovic- Popov正实引理） 正实引理
对线性定常连续系统（1），系统为正实，即H(s) 为正实 函数矩阵的充要条件是： 存在实矩阵K、L 和实正定对称矩阵P，满足：
PA + AT P = LLT ,
B T P + K T LT = C ,
K T K = D + DT
其中，当 PA + ATP = －LLT－Q, 且Q = QT > 0 时，则H(s) 为严格正实函数矩阵，即系统（1）是严格正实的。 严格正实函数矩阵
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线性定常连续系统的正实性
定理 2 的说明
上述关系在D = 0时也同样成立。即在D = 0 时，如 上述关系满足，则连续系统的传函是正实的或严格 正实的。 因Q > 0，故即使 L = 0，作为充分条件，上述关系 式同样成立，并可简化为：
ATP + PA = －Q BTP = C
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线性定常连续系统的正实性举例
【例】求以下函数为严格正实的条件
c1 s + c0 h( s ) = 2 +d s + a1 s + a0 其中 a0 、 a1已知，且 f ( s )的极点位于左半平面。
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4. 线性定常离散系统的正实性
离散正实函数
在离散系统中，脉冲传递函数为h(z) z 与 s 的对应关系 离散正实函数定义 如果对│z│>= 1 的所有z，有Re h(z) >=0，则h(z)是 正实的。 并且，如果有使 h(ρz) 为正实的 0
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线性定常离散系统的正实性
离散正实函数的判定
定理3 h(z)是正实的充要条件为： h(z)在 z 平面单位圆外无极点； 单位圆上的极点是单重的，且其留数为正； 对除单位圆上的极点外的 z = ejω的所有ω， 均 有Re h(ejω) >= 0。 定理4 h(z)是严格正实的充要条件为： h(z)在 z 平面单位圆外和单位圆上均无极点； 对于z = ejω的所有ω，均有Re h(ejω) >= 0。
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线性定常离散系统的正实性
关于h(z)正实性判定的说明
h(z)是s 的超越函数，要计算 Re h(ejω) >= 0 一般非 常复杂； 考虑到s 与z 的一些基本对应关系，通过引入一个 双线性变换
1+ w z = 1 w
就可应用连续正实函数判定方法。 h(z)正实性判定举例（…）
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线性定常离散系统的正实性
对线性定常离散系统
x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu ( k ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k )
其传递函数矩阵为 H(z) =C(zI – A)－1 B＋D 显然，H(z)为z 的实有理函数矩阵。 如果H(z) 为正实函数矩阵，则系统（2）称为正
实的。 正实的
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( 2)
且（ A, B ）完全可控，（ A, C ）完全可观。
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线性定常离散系统的正实性
离散正实矩阵
定义1 称H(z) 为正实的，如果 H(z)的所有元在单位圆外是解析的，即在单位 圆外无极点； 在单位圆上， H(z)的任何元均无重极点，相应 的留数矩阵为半正定的Hermite矩阵； Hermite H(z)在除单位圆上的极点外的所有ω， 矩阵
H ( z ) + H T ( z ) = H ( e jω ) + H T ( e j ω )
是半正定的Hermite矩阵。 Hermite
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线性定常离散系统的正实性
定义2 称H(z) 为严格正实的，如果：
H(z)的所有元在单位圆外是解析的； 对所有ω， 矩阵
H ( z ) + H T ( z ) = H ( e jω ) + H T ( e jω )
是正定的Hermite矩阵。 Hermite
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线性定常离散系统的正实性
离散正定矩阵核
定义 设F(k, l)是离散矩阵核，如果对于每个区间 [k0,k1]，以及区间上有界的所有离散向量f( k)，均有
l = k0
∑
k1
f T ( k )[ ∑ F ( k , l ) f ( l ) ≥ 0 ,
l = k0
k
k1 ≥ k 0
则称 F(k, l) 为离散正定矩阵核。 对于存在 z 变换的一类离散核F(k－l) ，它是离散正 定矩阵核的充要条件为其 z 变换是一个正实函数矩 充要条件 阵。
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线性定常离散系统的正实性
定理 5 （离散系统正实引理）对线性定常离散
系统（2），系统为正实，即H(z) 为正实函数矩阵的 充要条件是： 存在实矩阵K、L 和实正定对称矩阵P，满足
A PA P = LL Q
T T
B T PA + K T LT = C B T PB + K T K = D + D T
其中，Q = QT > 0 时，则H(s)为严格正实函数矩，即系统 （2）是严格正实的。
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线性定常离散系统的正实性
关于定理 5 的说明
在上述关系式中，一般均有BTPB > 0 ，因而不允许 D=0。故对于离散系统，如果D = 0，则系统将不是 正实的。 因P > 0、 Q > 0，故即使 K = 0 、L = 0，作为充分 条件，上述关系式同样成立，并可简化为： ATPA － P = －Q BTPA = C BTPB = D +DT
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线性定常离散系统的正实性举例
【例】
c1 z + c0 h( z ) = 2 +d z + a1 z + a0 其中 a0 、 a1已知，且 h ( z )的极点位于单位圆内。
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三 超稳定性理论
1. 2. 3.
4. 5.
绝对稳定性问题 超稳定概念 连续系统的超稳定性
离散系统的超稳定性 超稳定方块
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1. 绝对稳定性问题
绝对稳
定性问题（针对一类非线性反馈系统）
前向通道（方块）：线性定常系统 反馈通道（方块）：无惯性（或时变的）非线性环节
反馈通道的输出为： w = (v )
且有 0 ≤ v ( v ) = wv ≤ kv (0) = 0
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绝对稳定性问题
上述系统要求反馈方块在每一瞬间的输入与 输出的乘积均大于零。 输出的乘积均大于零 研究这类系统的稳定性问题，称为绝对稳定 性问题，即：当平衡点 x = 0 全局渐近稳定 性问题 时，系统前向方块的线性部分应满足什么条 件？
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2. 超稳定概念
超稳定性问题
将绝对稳定性中非线性部分的条件放宽，即输入 输出特性用积分不等式（即Popov积分不等式） 积分不等式 表示：
η ( t 0 , t1 ) =
或
∫
t1
t0
w T (τ ) v (τ ) d τ ≥ 0 ,
t1 ≥ t 0 t1 ≥ t 0
η ( t 0 , t1 ) =
∫
t1
t0
w T (τ ) v (τ ) d τ ≥ － r02 ,
将满足 Popov积分不等式条件的稳定性问题称为超稳 定性问题，超稳定性问题是绝对稳定性问题的推广。 定性问题
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超稳定概念
对于上述系统 设线性前向方块为
x = Ax + Bu = Ax Bw y = Cx + Du = Cx Dw (1)
其中, （A, B）完全可控，（A, C）完全可观测
非线性时变反馈方块为：
w = (v)
且
η ( t 0 , t1 ) =
∫
t1
t0
w T (τ ) v (τ ) d τ ≥ － r02 ,
t1 ≥ t 0 , （2）
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超稳定概念
定义 1 对上述反馈系统，如果式（1）的解满足
x (t ) ≤ K ( x (t0 ) + r0 ) , t ≥ t0 , K > 0
则系统是超稳定的。 超稳定的
定义 2 对上述反馈系统，如果系统是超稳定的，且对
有界w (t)，有
lim x ( t ) = 0
t→ ∞
则系统是渐近超稳定的。
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3. 连续系统的超稳定性
定理 1 对上述由线性方块与满足Popov积分 不等式的非线性反馈方块组成的反馈系统， 其（渐近）超稳定的充要条件是其线性方块 （渐近）超稳定 的传递函数矩阵： H(s) =C(sI – A)－1 B＋D 是（严格）正实的。 （严格）正实的 【证】
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4. 离散系统的超稳定性
对离散系统
前向线性方块：
x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu ( k ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k ) ( 3) 且（ A, B ）完全可控，（ A, C ）完全可观。
反馈方块为：
w ( k ) = (v, k , l ) , 且
k≥l
η (k0 , k N ) =
k = k0
∑
kN
w T ( k ) v ( k ) ≥ － r02 ,
k N ≥ k 0 , （4）
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离散系统的超稳定性
定理 2
对上述由线性方块与满足Popov积 分不等式的非线性反馈方块组成的反馈系 统，其（渐近）超稳定的充要条件是其线 （渐近）超稳定 性方块的传递函数矩阵： H(z) =C(zI – A)－1 B＋D 是（严格）正实的。 （严格）正实的
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5. 超稳定方块
超稳定方块
不论线性或非线性方块，只要其输入输出的内积 满足Popov积分不等式：
η (t0 , t1 ) = ∫ wT (τ )v(τ )dτ ≥－r02 , t1 ≥ t0 ,
t0
t1
则该方块称为超稳定方块。 超稳定方块
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超稳定方块
传递函数矩阵为正实的线性系统方块是超稳定 方块。 【证】 考虑线性连续系统（1），由正实定理，存在正定
对称阵P，使下式成立
PA + AT P = LLT , B T P + K T LT = C , K T K = D + DT d T ( x Px) = xT Px + xT Px = x( AT P + PA) x + u T BT Px + xT PT Bu dt = xT LLT x + u T (C K T LT ) x + xT (C T LK )u
= ( LT x + Ku )T ( LT x + Ku ) + 2u T y 1 d T 1 T 即 u y ＝ ( x Px) + L x + Ku 2 dt 2
T
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2
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超稳定方块
对上式积分，得
1 T 1 T ∫t0 u (t ) y (t ) dt = 2 x (t1 ) Px (t1 ) 2 x (t 0 ) Px (t 0 ) 2 1 t1 T + ∫ L x (t ) + Ku (t ) dt 2 t2 t1 1 T T 可得 u (t ) y (t ) dt ≥ x (t 0 ) Px (t 0 ) ≡－ r02 ∫t0 2
t1 T
故正实的线性系统方块是超稳定方块
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超稳定方块的组合
两个超稳定方块 H1、H2的并联组合，也是超稳 定方块。
∫ ∫
t1
t0 t1
2 u1 (τ ) y1 (τ ) d τ ≥－ r01 T 2 u 2 (τ ) y 2 (τ ) d τ ≥－ r02 T
t0
由 u = u1 = u2 ,
y = y1 + y2
可得
t1 T t0
∫
t1
t0
u (τ ) y (τ ) d τ =
T
∫
t1
t0
u (τ ) y1 (τ ) d τ + ∫ u 2 (τ ) y 2 (τ ) d τ
T 1
2 ≥－ r01 r02 ≡ r02 － 2
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超稳定方块
两个超稳定方块 H1、H2的反馈并联组合，也是 超稳定方块。
其中 u = u1 y2 , ＋
y = y1 = u2
T
∫u
t0
t1
T
(τ ) y (τ )dτ = ∫ (u (τ ) + y2 (τ )) y1 (τ )dτ
t0 T 1 T 1 t1 T t0
t1
2 2 = ∫ u (τ ) y1 (τ )dτ + ∫ u2 (τ ) y2 (τ )dτ ≥ －r01－r02 ≡ r02 t0
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t1
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自适应控制理论基础
一 二 三
李雅普洛夫稳定性理论 动态系统的正实性 超稳定性理论
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一 李雅普洛夫稳定性理论
1. 2. 3. 4.
李雅普洛夫意义下的稳定性 李雅普洛夫第一法 李雅普洛夫第二法 线性定常系统李雅普洛夫稳定性分析
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1. 李雅普洛夫意义下的稳定性
平衡状态
满足
x = f ( x, t )
xe = f ( xe , t ) = 0
即 x不再随时间变化 对线性定常系统： 其平衡状态满足
x = Ax
Ax e = 0
当A 非奇异，只有唯一零解（即零状态）； 当A 奇异，有无穷多个平衡点。 对非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。
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李雅普洛夫意义下的稳定性
李雅普洛夫意义下的稳定性
对平衡状态xe，初始状态 x0， x0 xe ≤ δ , t = t0 若对任意规定ε，在 t →∞过程 中，满足：
x(t ; x0 , t0 ) xe ≤ ε , t ≥ t0
则平衡点 xe 是在李雅普洛夫意 义下是稳定的。 稳定的 δ与ε有关，通常也与 t0有关。 如果δ与t0无关，则为一致稳定。 一致稳定
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李雅普洛夫意义下的稳定性
渐近稳定
设平衡点 xe 是在李雅普洛夫意义 下是稳定的，同时满足
lim x ( t ; x 0 , t 0 ) x e = 0
t→ ∞
则称该平衡状态是渐近稳定的。
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李雅普洛夫意义下的稳定性
大范围（全局）渐近稳定
当初始条件扩展至整个状态空间，平衡状态 均具有渐近稳定性，称为大范围（全局）渐 近稳定。 对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是 大范围渐近稳定的。 非线性系统的稳定性往往与初始条件有关。
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李雅普洛夫意义下的稳定性
不稳定性
如果对于某个实数ε> 0和任一实数 δ> 0，不管其多 么小，在S(δ)内总存在一个状态x0，使得由该状态 出发的轨迹超出S(ε)，则平衡状态xe称为是不稳定 的。
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2. 李雅普洛夫第一法
利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性，即间接法。 间接法
定理1 对线性定常系统 x = Ax , x (0) = x0 , t ≥ 0, 有：
系统的每一平衡状态是在李雅普洛夫意义下稳定的充要 条件为：A 的所有特征值均具有非正实部，且具有零实 非正实部 部的特征值为单根； 系统的唯一平衡状态 xe= 0 是渐近稳定的充要条件为：A 的所有特征值均具有负实部。 负实部
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3. 李雅普洛夫第二法
又称直接法，引入一个能量函数（即李雅普洛夫 直接法 函数），利用该函数及其导数函数的符号特征直接 函数 对平衡状态的稳定性做出判断。 能量函数总大于零； 对稳定系统，能量函数具有衰减特性，即能量函数 的导数应小于零。
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李雅普洛夫第二法
定理2 对连续时间非线性时变自由系统
x = f ( x, t ) , t ≥ t0
其中f (0, t ) = 0为系统的平衡状态。如果存在一个对x 和 t 具有连续一阶偏导数的标量函数V(x,t ), V(0,t ) = 0, 且 满足如下条件： V(x,t)正定且有界，即有 β x ≥ V ( x, t ) ≥ α x > 0 正定且有界 V(x,t)对时间 t 的导数负定且有界，即有V ( x, t ) ≤ r x
当 x → ∞时， α x → ∞ ,
V (x,t) → ∞
则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
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李雅普洛夫第二法
定理3 对定常系统 x = f ( x ) , t ≥ 0
其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量 函数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零x 满足： V(x)为正定的； V(x)的导数为负定的； 当 x → ∞时 , V ( x ) → ∞ 则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
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李雅普洛夫第二法
定理4 对定常系统 x = f ( x ) ,
t≥0
其中f (0) = 0，如果存在一个具有连续一阶导数的标量函 数V(x), V(0) = 0, 对于状态空间的一切非零x 满足： V(x)为正定的； V(x)的导数为半负定的； 对任意 x ∈ X , 当
V ( x (t ; x 0 ,0 ) )
不恒为0 ；
x → ∞时 , V ( x ) → ∞
则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。
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李雅普洛夫第二法
定理 5 （不稳定判定） 对时变或定常系统，如
果存在一个具有连续一阶（偏）导数的标量函数V(x,t), 或V(x), （其中V(0,t) = 0, V(0) = 0），对于状态空间中围 绕原点的某个域的一切 x和一切 t > t0 满足： V(x,t)正定且有界，或V(x)为正定的； V(x,t)对时间 t 的导数正定且有界， V(x)的导数为正 定的； 则系统平衡状态为不稳定。
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李雅普洛夫第二法举例
【例1】设系统状态方程为
2 x1 = x2 x1 ( x12 + x2 ) 2 x2 = x1 x2 ( x12 + x2 )
【解】显然，原点为系统的唯一平衡状态 选一正定的标量函数
V ( x ) = x 12 + x 22
沿任意轨迹V(x)对时间的导数
2 V ( x ) = 2 x1 x1 + 2 x 2 x 2 = 2 ( x12 + x 2 ) 2
当 x → ∞时 , V ( x ) → ∞
即为负定的
故系统在原点处是大范围渐
近稳定的。
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李雅普洛夫第二法举例
【例2】设系统状态方程为
x1 = x2
x2 = x1 (1 + x2 ) 2 x2
【解】显然，原点为系统的唯一平衡状态 选一正定的标量函数 V(x) 对时间的导数为半负定 检验 V ( x(t ; x0 ,0)) 是否不恒为0
当 x → ∞时 , V ( x ) → ∞ 故系统在原点处是大范围渐近稳定的。
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4. 线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
线性定常连续系统渐近稳定性的判定
对系统
x = Ax ,
x (0) = x0 , t ≥ 0,
选择一正定二次型函数 P 为正定对称矩阵
V ( x ) = x Px
T
则有 令 则
V ( x ) = x T Px + x T Px = x T ( AT P + PA) x AT P + PA＝－Q V ( x ) = x T Qx
只要矩阵 Q 正定，则系统是大范围渐近稳定的。
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线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
定理 6 对线性定常系统
x = Ax
其渐近稳定的充要条件为： 存在一个正定对称矩阵P，使得由 ATP+PA=－Q 所确定 矩阵 Q 为正定矩阵。 其中，xTPx 即为系统的一个Liyapunov函数。 函数
定理 7 对上述线性定常系统，其渐近稳定的充要条件为：
对于任意给定的正定矩阵 Q ，存在唯一的正定对称矩 阵P，使 ATP+PA=－Q 成立。
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线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
【例2】设系统状态方程为： x1 求系统的Liyapunov函数 【解】设
4 x1 0 x = 8 12 x 2 2
p11 P= p21
p12 1 0 , 且p21 = p12 , Q = 0 1 p22
则由 ATP+PA=－Q 可解得
5 p11 = , 16
1 p12 = p21 = , 16
1 p22 = 16
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线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
显然，
5 1 16 16 P= 1 1 16 16
为正定矩阵 验证： 5 1 1 2 1 1 V ( x) = xT Px = x12 + x1 x2 + x2 = x12 + ( x1 + x2 ) 2 , 正定 16 8 16 4 16 1 1 V ( x) = x1 x1 + ( x1 + x2 )( x1 + x2 ) 2 8 2 = 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) 2 = ( x12 + x2 )， 负定 故系统渐近稳定
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线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
线性定常离散系统渐近稳定性的判定
设线性定常离散系统状态方程为：
x (k + 1) = Φx (k ) , x(0) = x0 , k = 0,1,2,... 取正定二次型函数
V ( x ( k )) = x T ( k ) Px ( k ) 则有 Δ V ( x ( k )) V ( x ( k＋ )) V ( x ( k )) ＝ 1－ ＝ x T ( k + 1) Px ( k + 1) x T ( k ) Px ( k ) = [Φ x ( k )]T P [Φx ( k )] x T ( k ) Px ( k ) 令 则 Φ T PΦ P = Q ΔV ( x ( k ))＝－ x T ( k )Qx ( k )
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线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析
定理 8 对上述线性定常离散系统，
其渐近稳定 的充要条件为： 对于任意给定的正定矩阵 Q ，存在唯一的 正定对称矩阵P，使 ΦTP Φ －P =－Q 成立。
相关概念及分析求解方法同连续系统
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二 动态系统的正实性
正实函数与正实矩阵 正定积分核 线性定常连续系统的正实性 线性定常离散系统的正实性
1. 2. 3. 4.
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1. 正实函数与正实矩阵
定义1 (正实函数) 复变量 s = σ+ jω的有理函数 正实函数
h(s) 若满足： 当s 为实数时，h(s)是实的； 对于所有Re s > 0 的 s ，Re[h(s)] >= 0; 0 则h(s) 称为正实函数。
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正实函数与正实矩阵
定义2 (正实函数) 复变量 s = σ+ jω的有理函数h(s) 若 正实函数
满足： 当s 为实数时，h(s)是实的； h(s)在右半开平面 Re s > 0 上没有极点； h(s)在虚轴上如果存在极点，则是相异的（即无重极 点），且其留数为正或零； 对于任意实数ω ,当s = jω不是 h(s) 的极点时，有 Re[h(j ω)] >= 0; 0 则h(s) 称为正实函数。
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正实函数与正实矩阵
定义3 (严格正实函数) 复变量 s = σ+ jω的有 严格正实函数
理函数h(s) 若满足：
当s 为实数时，h(s)是实的； h(s)在右半闭平面 Re s > 0 上没有极点； 对于任意实数ω , 均有Re[h(j ω)] >= 0; 0 则h(s) 称为严格正实函数。
严格正实函数在虚轴上无极点。
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正实函数举例
【例1】
1 W ( s) = , a>0 s+a
a jω W ( jω ) = 2 a +ω2 a Re[W ( jω )] = 2 >0 2 a +ω
故W(s) 为严格正实的。
W(s) 极点为s＝－a，a > 0，且
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正实函数举例
【例2】
1 W (s) = 2 , a0 > 0 , a1 > 0 s + a1s + a0
可以验证，W(s) 在右半平面无极点，
a0 ω 2 ja1ω W ( jω ) = (a0 ω 2 ) 2 + (a1ω ) 2 a0 ω 2 Re[W ( jω )] = (a0 ω 2 ) 2 + (a1ω ) 2
可知，当ω2> a0时， Re[h(jω)]
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正实函数举例
【例3】
b1s + b0 W (s) = 2 s + a1s + a0 其系数均为正实数
同【例2】，W(s) 在右半平面无极点，
a0 b0 + ( a1b1 b0 )ω 2 + jω [b1 ( a 0 ω 2 ) a1b0 ] W ( jω ) = ( a0 ω 2 ) 2 + ( a1ω ) 2 a 0 b0 + ( a1b1 b0 )ω 2 Re[W ( jω )] = ( a 0 ω 2 ) 2 + ( a1ω ) 2
当b1 > = b0 / a1时， Re[h(jω)] > 0，W(s) 为严格正实函数 当b1
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正实函数判定引理
定理 1 设h(s) = M(s)/N(s) , 如满足：
M(s)与N(
s) 都具有实系数； M(s)与N(s) 都是古尔维茨多项式； 古尔维茨多项式 M(s)与N(s) 的阶数之差不超过1； 1/ h(s) 仍为正实函数； 则h(s)为正实函数。
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正实函数矩阵
定义4 (Hermite 矩阵) 复变量 s = σ+ jω的矩阵函数 矩阵
H(s) 若满足：H ( s ) = H
T
(s ) ,
s 为 s 的共轭
则H(s)为Hermite矩阵。 矩阵
Hermite矩阵的性质： 矩阵 为一方阵，且对角元素为实数； 其特征值恒为实数； 如果H(s)为 Hermite矩阵，x 为具有复数分量的向 矩阵 量，则以下二次型函数恒为实数：
xT Hx ,
x 为 x 的共轭
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正实函数矩阵
定义5 (正实函数矩阵) 复变量 m × m维实有理函 正实函数矩阵 数矩阵H(s) 为正实函数矩阵，则应满足：
H(s) 的所有元在右半开平面上都是解析的， Re s > 0 上H(s) 没有极点； 即在
H(s) 的任何元在虚轴上如存在极点，则是相异的，其 留数矩阵为半正定Hermite矩阵； 矩阵 对于非H(s) 的任何元的极点的所有实ω 值，矩阵 H(jω)+ H T(-jω)为半正定Hermite矩阵； 矩阵
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正实函数矩阵
定义6 (严格正实函数矩阵) 复变量 m × m维实 正实函数矩阵 有理函数矩阵H(s) 为严格正实函数矩阵，则 应满足：
H(s) 的所有元在右半开平面上都是解析的， 即在Re s > 0 上H(s) 没有极点； 对于所有实ω 值，矩阵H(jω) + HT(-jω)为正定 Hermite矩阵。 矩阵
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2. 正定积分核
定义 如果对于每个区间[t0, t1]及在区间上分段
连续的所有向量函数 f (t)，方阵K(t, τ)使下式成 立，即
η ( t 0 , t1 ) =
∫
t1
t0
f ( t )[ ∫ K ( t , τ ) f (τ ) d τ ] dt ≥ 0 ,
T t0
t
...( 1)
则 K(t, τ) 称为正定积分核。
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正定积分核
正定积分核的物理解释
∫
t
可理解为系统脉冲传递函数为 K(t, τ)、输入为f (t)的系统输出，故不等式（1） 的左端可解释为系统输入输出内积的积分；
t0
K (t ,τ ) f (τ )dτ
当K(t, τ)正定时，该积分值为正或零。
正定积分核的充要条件
对存在拉氏变换的一类核K(t－τ)是正定核的充 要条件为：其拉氏变换式是 s 的正实传递函数矩 阵。
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3. 线性定常连续系统的正实性
对线性定常连续系统 x = Ax + Bu
y = Cx + Du
其传递函数矩阵为
(1)
其中, （A, B）完全可控，（ A, C）完全可观测
H(s) =C(sI – A)－1 B＋D 显然，H(s)为s 的实有理函数矩阵。 如果H(s) 为正实函数矩阵，则系统（1）
称为正实的。 正实的
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线性定常连续系统的正实性
定理 2 （Kalman -Yacubovic- Popov正实引理） 正实引理
对线性定常连续系统（1），系统为正实，即H(s) 为正实 函数矩阵的充要条件是： 存在实矩阵K、L 和实正定对称矩阵P，满足：
PA + AT P = LLT ,
B T P + K T LT = C ,
K T K = D + DT
其中，当 PA + ATP = －LLT－Q, 且Q = QT > 0 时，则H(s) 为严格正实函数矩阵，即系统（1）是严格正实的。 严格正实函数矩阵
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线性定常连续系统的正实性
定理 2 的说明
上述关系在D = 0时也同样成立。即在D = 0 时，如 上述关系满足，则连续系统的传函是正实的或严格 正实的。 因Q > 0，故即使 L = 0，作为充分条件，上述关系 式同样成立，并可简化为：
ATP + PA = －Q BTP = C
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线性定常连续系统的正实性举例
【例】求以下函数为严格正实的条件
c1 s + c0 h( s ) = 2 +d s + a1 s + a0 其中 a0 、 a1已知，且 f ( s )的极点位于左半平面。
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4. 线性定常离散系统的正实性
离散正实函数
在离散系统中，脉冲传递函数为h(z) z 与 s 的对应关系 离散正实函数定义 如果对│z│>= 1 的所有z，有Re h(z) >=0，则h(z)是 正实的。 并且，如果有使 h(ρz) 为正实的 0
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线性定常离散系统的正实性
离散正实函数的判定
定理3 h(z)是正实的充要条件为： h(z)在 z 平面单位圆外无极点； 单位圆上的极点是单重的，且其留数为正； 对除单位圆上的极点外的 z = ejω的所有ω， 均 有Re h(ejω) >= 0。 定理4 h(z)是严格正实的充要条件为： h(z)在 z 平面单位圆外和单位圆上均无极点； 对于z = ejω的所有ω，均有Re h(ejω) >= 0。
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线性定常离散系统的正实性
关于h(z)正实性判定的说明
h(z)是s 的超越函数，要计算 Re h(ejω) >= 0 一般非 常复杂； 考虑到s 与z 的一些基本对应关系，通过引入一个 双线性变换
1+ w z = 1 w
就可应用连续正实函数判定方法。 h(z)正实性判定举例（…）
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线性定常离散系统的正实性
对线性定常离散系统
x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu ( k ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k )
其传递函数矩阵为 H(z) =C(zI – A)－1 B＋D 显然，H(z)为z 的实有理函数矩阵。 如果H(z) 为正实函数矩阵，则系统（2）称为正
实的。 正实的
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( 2)
且（ A, B ）完全可控，（ A, C ）完全可观。
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线性定常离散系统的正实性
离散正实矩阵
定义1 称H(z) 为正实的，如果 H(z)的所有元在单位圆外是解析的，即在单位 圆外无极点； 在单位圆上， H(z)的任何元均无重极点，相应 的留数矩阵为半正定的Hermite矩阵； Hermite H(z)在除单位圆上的极点外的所有ω， 矩阵
H ( z ) + H T ( z ) = H ( e jω ) + H T ( e j ω )
是半正定的Hermite矩阵。 Hermite
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线性定常离散系统的正实性
定义2 称H(z) 为严格正实的，如果：
H(z)的所有元在单位圆外是解析的； 对所有ω， 矩阵
H ( z ) + H T ( z ) = H ( e jω ) + H T ( e jω )
是正定的Hermite矩阵。 Hermite
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线性定常离散系统的正实性
离散正定矩阵核
定义 设F(k, l)是离散矩阵核，如果对于每个区间 [k0,k1]，以及区间上有界的所有离散向量f( k)，均有
l = k0
∑
k1
f T ( k )[ ∑ F ( k , l ) f ( l ) ≥ 0 ,
l = k0
k
k1 ≥ k 0
则称 F(k, l) 为离散正定矩阵核。 对于存在 z 变换的一类离散核F(k－l) ，它是离散正 定矩阵核的充要条件为其 z 变换是一个正实函数矩 充要条件 阵。
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线性定常离散系统的正实性
定理 5 （离散系统正实引理）对线性定常离散
系统（2），系统为正实，即H(z) 为正实函数矩阵的 充要条件是： 存在实矩阵K、L 和实正定对称矩阵P，满足
A PA P = LL Q
T T
B T PA + K T LT = C B T PB + K T K = D + D T
其中，Q = QT > 0 时，则H(s)为严格正实函数矩，即系统 （2）是严格正实的。
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线性定常离散系统的正实性
关于定理 5 的说明
在上述关系式中，一般均有BTPB > 0 ，因而不允许 D=0。故对于离散系统，如果D = 0，则系统将不是 正实的。 因P > 0、 Q > 0，故即使 K = 0 、L = 0，作为充分 条件，上述关系式同样成立，并可简化为： ATPA － P = －Q BTPA = C BTPB = D +DT
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线性定常离散系统的正实性举例
【例】
c1 z + c0 h( z ) = 2 +d z + a1 z + a0 其中 a0 、 a1已知，且 h ( z )的极点位于单位圆内。
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三 超稳定性理论
1. 2. 3.
4. 5.
绝对稳定性问题 超稳定概念 连续系统的超稳定性
离散系统的超稳定性 超稳定方块
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1. 绝对稳定性问题
绝对稳
定性问题（针对一类非线性反馈系统）
前向通道（方块）：线性定常系统 反馈通道（方块）：无惯性（或时变的）非线性环节
反馈通道的输出为： w = (v )
且有 0 ≤ v ( v ) = wv ≤ kv (0) = 0
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绝对稳定性问题
上述系统要求反馈方块在每一瞬间的输入与 输出的乘积均大于零。 输出的乘积均大于零 研究这类系统的稳定性问题，称为绝对稳定 性问题，即：当平衡点 x = 0 全局渐近稳定 性问题 时，系统前向方块的线性部分应满足什么条 件？
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2. 超稳定概念
超稳定性问题
将绝对稳定性中非线性部分的条件放宽，即输入 输出特性用积分不等式（即Popov积分不等式） 积分不等式 表示：
η ( t 0 , t1 ) =
或
∫
t1
t0
w T (τ ) v (τ ) d τ ≥ 0 ,
t1 ≥ t 0 t1 ≥ t 0
η ( t 0 , t1 ) =
∫
t1
t0
w T (τ ) v (τ ) d τ ≥ － r02 ,
将满足 Popov积分不等式条件的稳定性问题称为超稳 定性问题，超稳定性问题是绝对稳定性问题的推广。 定性问题
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超稳定概念
对于上述系统 设线性前向方块为
x = Ax + Bu = Ax Bw y = Cx + Du = Cx Dw (1)
其中, （A, B）完全可控，（A, C）完全可观测
非线性时变反馈方块为：
w = (v)
且
η ( t 0 , t1 ) =
∫
t1
t0
w T (τ ) v (τ ) d τ ≥ － r02 ,
t1 ≥ t 0 , （2）
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超稳定概念
定义 1 对上述反馈系统，如果式（1）的解满足
x (t ) ≤ K ( x (t0 ) + r0 ) , t ≥ t0 , K > 0
则系统是超稳定的。 超稳定的
定义 2 对上述反馈系统，如果系统是超稳定的，且对
有界w (t)，有
lim x ( t ) = 0
t→ ∞
则系统是渐近超稳定的。
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3. 连续系统的超稳定性
定理 1 对上述由线性方块与满足Popov积分 不等式的非线性反馈方块组成的反馈系统， 其（渐近）超稳定的充要条件是其线性方块 （渐近）超稳定 的传递函数矩阵： H(s) =C(sI – A)－1 B＋D 是（严格）正实的。 （严格）正实的 【证】
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4. 离散系统的超稳定性
对离散系统
前向线性方块：
x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu ( k ) y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k ) ( 3) 且（ A, B ）完全可控，（ A, C ）完全可观。
反馈方块为：
w ( k ) = (v, k , l ) , 且
k≥l
η (k0 , k N ) =
k = k0
∑
kN
w T ( k ) v ( k ) ≥ － r02 ,
k N ≥ k 0 , （4）
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离散系统的超稳定性
定理 2
对上述由线性方块与满足Popov积 分不等式的非线性反馈方块组成的反馈系 统，其（渐近）超稳定的充要条件是其线 （渐近）超稳定 性方块的传递函数矩阵： H(z) =C(zI – A)－1 B＋D 是（严格）正实的。 （严格）正实的
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5. 超稳定方块
超稳定方块
不论线性或非线性方块，只要其输入输出的内积 满足Popov积分不等式：
η (t0 , t1 ) = ∫ wT (τ )v(τ )dτ ≥－r02 , t1 ≥ t0 ,
t0
t1
则该方块称为超稳定方块。 超稳定方块
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超稳定方块
传递函数矩阵为正实的线性系统方块是超稳定 方块。 【证】 考虑线性连续系统（1），由正实定理，存在正定
对称阵P，使下式成立
PA + AT P = LLT , B T P + K T LT = C , K T K = D + DT d T ( x Px) = xT Px + xT Px = x( AT P + PA) x + u T BT Px + xT PT Bu dt = xT LLT x + u T (C K T LT ) x + xT (C T LK )u
= ( LT x + Ku )T ( LT x + Ku ) + 2u T y 1 d T 1 T 即 u y ＝ ( x Px) + L x + Ku 2 dt 2
T
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2
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超稳定方块
对上式积分，得
1 T 1 T ∫t0 u (t ) y (t ) dt = 2 x (t1 ) Px (t1 ) 2 x (t 0 ) Px (t 0 ) 2 1 t1 T + ∫ L x (t ) + Ku (t ) dt 2 t2 t1 1 T T 可得 u (t ) y (t ) dt ≥ x (t 0 ) Px (t 0 ) ≡－ r02 ∫t0 2
t1 T
故正实的线性系统方块是超稳定方块
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超稳定方块的组合
两个超稳定方块 H1、H2的并联组合，也是超稳 定方块。
∫ ∫
t1
t0 t1
2 u1 (τ ) y1 (τ ) d τ ≥－ r01 T 2 u 2 (τ ) y 2 (τ ) d τ ≥－ r02 T
t0
由 u = u1 = u2 ,
y = y1 + y2
可得
t1 T t0
∫
t1
t0
u (τ ) y (τ ) d τ =
T
∫
t1
t0
u (τ ) y1 (τ ) d τ + ∫ u 2 (τ ) y 2 (τ ) d τ
T 1
2 ≥－ r01 r02 ≡ r02 － 2
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超稳定方块
两个超稳定方块 H1、H2的反馈并联组合，也是 超稳定方块。
其中 u = u1 y2 , ＋
y = y1 = u2
T
∫u
t0
t1
T
(τ ) y (τ )dτ = ∫ (u (τ ) + y2 (τ )) y1 (τ )dτ
t0 T 1 T 1 t1 T t0
t1
2 2 = ∫ u (τ ) y1 (τ )dτ + ∫ u2 (τ ) y2 (τ )dτ ≥ －r01－r02 ≡ r02 t0
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t1