(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
2345
1．数列1，，a n 是( )
3579n A. 2n ＋1n C. 2n －3答案：B
2．等差数列{a n }中，a 5＝10，a 1＋a 2＋a 3＝3，则( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2
D ．a 1＝3，d ＝－2
n 2n －1n 2n ＋3
解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝3，∴a 2＝1，∵a 5＝10，∴a 5－a 2＝3d ＝9，d ＝3，a 1＝－2. 答案：A
1
3．(2012·三明高二模拟) 数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1(n ∈N *) ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log (a 5
6＋a 7＋a 9) 的值是( )
A ．－2 C ．2
1B ．－
212
解析：由3＋a n ＝a n ＋1(n ∈N *) ，得a n ＋1－a n ＝3. ∴数列{a n }是以3为公差的等差数列． 由a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝9，得a 4＝3.
∴log 1 (a 5＋a 7＋a 9) ＝log 1 (3a 7) ＝log 1 [3(a 4＋3d )]
6
6
6
＝－log 6[3(3＋9)]＝－log 636＝－2. 答案：A
4．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6) x ＋10＝0( ) A ．无实根
B ．有两个相等实根 D ．不能确定有无实根
C ．有两个不等实根
解析：由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5， 即3a 5＝9，∴a 5＝3，
方程为x 2＋6x ＋10＝0，无实数解． 答案：A
5．下列命题中正确的个数是( )
(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2一定成等差数列； (2)若a ，b ，c 成等差数列，则2a, 2b, 2c 可能成等差数列；
(3)若a ，b ，c 成等差数列，则ka ＋2，kb ＋2，kc ＋2一定成等差数列； 111
(4)若a ，b ，c 成等差数列，则a b ，c 可能成等差数列. A ．4个 C ．2个
B ．3个 D ．1个
解析：对于(1)取a ＝1，b ＝2，c ＝3 ⇒a 2＝1，b 2＝4，c 2＝9，(1)错； 对于(2)a ＝b ＝c ⇒2a ＝2b ＝2c ，(2)正确； 对于(3)∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .
∴(ka ＋2) ＋(kc ＋2) ＝k (a ＋c ) ＋4 ＝2(kb ＋2) ，(3)正确；
111
对于(4)，a ＝b ＝c ≠0⇒a b ＝c (4)正确. 综上可知选B. 答案：B
6．等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为( )
A ．28 C ．30
B ．29 D ．31
解析：可知中间项为第n ＋1项，
⎧依题意⎨n (a ＋a
⎩2
2
(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)
＝319，
2
2n )
290.
n ＋1319
∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ，得n ＝10.
290
(2n ＋1)·(a ＋a ＋)
又S 2n ＋1＝＝(2n ＋1)·a n ＋1＝319＋290，
2∴a n ＋1＝a 11＝答案：B
609
29. 21
7．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 C ．51
B ．50 D ．52
1
解析：∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝21
∴数列{a n }
21
∴a 101＝a 1＋(101－1)·d ＝2＋100×＝52.
2答案：D
8．(2012·太原高二检测) 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若数列{a 11等于( )
A ．0 3
12D ．－1
1
为等差数列，则a n ＋1
11111
解析：设b n ＝b 3＝＝，b 7＝.
a n ＋1a 3＋13a 7＋12∵{b n }为等差数列，设其公差为d ， 11b 7－b 3231则d ＝.
4247－3142
∴b 11＝b 7＋4d ＝＋
2243即
a 11＝.
2a 11＋13
答案：B
9．(2012·丰台模拟) 已知数列{a n }中，a 1＝，a n ＝1－n ≥2) ，则a 2 011＝( )
5a n －11
A ．－
23 5
2B ．－
352
2532
解析：由递推公式得a 2＝－，a 3＝，a 4＝a 5„，所以数列是周期数列，周
32533
期为3，于是a 2 011＝a 670×3＋1＝a 1＝.
5
答案：C
10．(2012·沈阳市回民中学检测) 已知数列{a n }为等差数列，若项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为( )
A ．11 C ．20
B ．19 D ．21
a
解析：∵S n 有最大值，∴{a n }是递减等差数列． 又由
a ，∴a 10>0，a 11
a 11＋a 10a －1，得
∴a 11＋a 10
20(a 1＋a 20)∴S 20＝＝10(a 11＋a 10)
219(a 1＋a 19)
而S 19＝＝19a 10>0，
2∴使S n >0的n 的最大值为19. 答案：B
11、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )
A ．6 C ．8
B ．7 D ．9
解析：a 4＋a 6＝2a 5＝－6，得a 5＝－3， ∴公差d ＝
a 5－a 1－3＋11
＝2.
45－1
法一：由d ＝2>0可知，数列{a n }是递增数列． a n ＝－11＋2(n －1) ＝2n －13. 1
令a n ＝0，得n ＝2∴a 1
n (n －1)
法二：S n ＝na 1＋＝n 2－12n ＝(n －6) 2－36.
2∴当n ＝6时，S n 最小． 答案：A
S 12、等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1其前n 项和为S n ，则数列{n 的前10项和为( )
A ．120
B ．70
C ．75 D ．100
S S 解析：由等差数列前n 项和的性质知，数列{n 为等差数列，首项为＝a 1＝3，
1S S 1
公差为＝a 1＋a 2) －a 1
21211
＝a 2－a 1) ＝2＝1. 22S ∴{n }的前10项的和为 10×3＋
10×9
×1＝75. 2
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(2011·湖南高考) 设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *) 的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5
＝______.
解析：设数列的公差为d ，则3d ＝a 4－a 1＝6，得d ＝2，所以S 5＝5×1＋答案：25
14．若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1
＝________. b 3－b 2
解析：设这两个等差数列的公差分别为d 1，d 2. 则
a 2－a 1d b 3－b 2d 2
5×4
2＝25. 2
由等差数列的性质，得y －x ＝4d 1＝5d 2， d 5∴. d 24答案：
4
3
15．数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －3，则这个数列的通项公式为________．
2解析：a 1＝S 1＝1－3，
2∴a 1＝6.
3
又由题意得S n ＋1＝a n ＋1－3.
233
∴S n ＋1－S n ＝n ＋1－n .
22
33
∴a n ＋1＝a n ＋1－a n .
22
∴a n ＋1＝3a n ，{a n }是公比为3的等比数列， ∴a n ＝6×3n 1＝2×3n .
－
答案：2×3n
16. 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为__________．
解析：不妨设角A ＝120°，c
b 2＋(b －4)2－(b ＋4)21
于是cos 120°＝＝－
22b (b －4)1
解得b ＝10，所以S ＝sin 120°＝153.
2答案：3
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分) 已知{a n }是一个等差数列且a 2＋a 8＝－4，a 6＝2. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求{a n }的前n 项和S n 的最小值． 解：(1)设{a n }的公差为d . ∵a 2＋a 8＝2a 5，a 2＋a 8＝－4， ∴a 5＝－2. 又∵a 6＝2， ∴d ＝a 6－a 5＝4. ∴a 1＝－18. ∴a n ＝a 1＋(n －1) d ＝4n －22. (2)S n ＝na 1n (n －1)
＝2n 2－20n 2
＝2(n －5) 2－50，∴n ＝5时S n 取得最小值－50. 18．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解：(1)由已知a 3＝5，a 10＝－9得
⎧a 1＋2d ＝5，⎧a 1＝9⎪⎪⎨可解得⎨ ⎪⎪⎩a 1＋9d ＝－9. ⎩d ＝－2.
数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .
(2)由(1)知，S n ＝na 1＋
n (n －1)
＝10n －n 2. 2
因为S n ＝－(n －5) 2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值． 1
2S 2119、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n ≥2) ，证明数列{是等差数列，并求S n .
S n 2S n －12S 2证明：∵a n ＝n ≥2) ，
2S n －12S 2∴S n －S n －1＝，
2S n －1∴(2S n －1)(S n －S n －1) ＝2S 2n ， ∴S n －1－S n ＝2S n S n －1.
11两边同除以S n S n －1，得S 2(n ≥2) ．
S n －1n
111
∴数列{S 是以1为首项，2为公差的等差数列．
S 1a 1n 1
所以S 1＋(n －1)·2＝2n －1.
n
∴S n ＝
1
2n －1
2n 1a n
20(本小题满分12分)(2011·江西“八校”联考) 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n ∈
a n ＋2＋
N *) ．
2n
(1)证明：数列{}是等差数列；
a n (2)求数列{a n }的通项公式a n ；
(3)设b n ＝n (n ＋1) a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . a n ＋1a 解：(1)由已知可得，
2a n ＋22n 12n 2n 12n
即＋1，即＝1. a n ＋1a n a n ＋1a n
＋
＋
2n
∴数列{}是公差为1的等差数列．
a n 2n 2
(2)由(1)知(n －1) ×1＝n ＋1，
a n a 12n
∴a n ＝n ＋1(3)由(2)知b n ＝n ·2n .
S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋„＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋„＋(n －1)·2n ＋n ·2n 1，
＋
相减得
－S n ＝2＋22＋23＋„＋2n －n ·2n 1
＋
2(1－2n )＋＝－n ·2n 1
1－2＝2n 1－2－n ·2n 1，
＋
＋
∴S n ＝(n －1)·2n 1＋2.
＋
21．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数．
解：设所求四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，依题意可得，
2222⎧⎪(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝94，⎨ ⎪(a －d )(a ＋d )－(a －3d )(a ＋3d )＝18. ⎩
⎧4a 2＋20d 2＝94，⎪化简可得⎨2
⎪8d ＝18⎩
⎧∴⎨7
a ＝⎩2，
3d ＝，2
⎧或⎨7
a ＝－⎩2，
3d ＝，2
⎧或⎨7
a ＝－⎩23d ＝－，
2
⎧或⎨7
a ＝⎩2.
3d 2
∴所求四数为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1或8,5,2，－1或1，－2，－5，－8.
22、已知等差数列{an }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|an |｝的前n 项和T n ．
分析 等差数列前n 项和S n =na 1＋
n (n -1)
d ，含有两个未知数a 1， 2
d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．
n (n -1)
解 设公差为d ，由公式S n ＝na 1＋d
2
⎧3a 1＋3d =21得⎨
⎩ba 1＋15d =24
解方程组得：d ＝－2，a 1＝9 ∴a n ＝9＋(n－1)(n－2) ＝－2n ＋11
11
由a n ＝－2n ＋11＞0 得n ＜=5.5，故数列{an }的前5项为正，
2
其余各项为负．数列{an }的前n 项和为：
S n ＝9n ＋
n (n -1)
(－2) =－n 2＋10n 2
∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n
当n ＞6时，T n ＝S 5＋|Sn －S 5|＝S 5－(Sn －S 5) ＝2S 5－S n ∴T n ＝2(－25＋50) －(－n 2＋10n) ＝n 2－10n ＋50
2
⎧⎪T n =－n ＋10n 即⎨2
⎪⎩n －10n ＋50
n ≤5n ＞6
n ∈N *
说明 根据数列{an }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an |｝的前n 项和．
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
2345
1．数列1，，a n 是( )
3579n A. 2n ＋1n C. 2n －3答案：B
2．等差数列{a n }中，a 5＝10，a 1＋a 2＋a 3＝3，则( ) A ．a 1＝－2，d ＝3 B ．a 1＝2，d ＝－3 C ．a 1＝－3，d ＝2
D ．a 1＝3，d ＝－2
n 2n －1n 2n ＋3
解析：∵a 1＋a 2＋a 3＝3，∴a 2＝1，∵a 5＝10，∴a 5－a 2＝3d ＝9，d ＝3，a 1＝－2. 答案：A
1
3．(2012·三明高二模拟) 数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1(n ∈N *) ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log (a 5
6＋a 7＋a 9) 的值是( )
A ．－2 C ．2
1B ．－
212
解析：由3＋a n ＝a n ＋1(n ∈N *) ，得a n ＋1－a n ＝3. ∴数列{a n }是以3为公差的等差数列． 由a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝9，得a 4＝3.
∴log 1 (a 5＋a 7＋a 9) ＝log 1 (3a 7) ＝log 1 [3(a 4＋3d )]
6
6
6
＝－log 6[3(3＋9)]＝－log 636＝－2. 答案：A
4．等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6) x ＋10＝0( ) A ．无实根
B ．有两个相等实根 D ．不能确定有无实根
C ．有两个不等实根
解析：由于a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5， 即3a 5＝9，∴a 5＝3，
方程为x 2＋6x ＋10＝0，无实数解． 答案：A
5．下列命题中正确的个数是( )
(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2一定成等差数列； (2)若a ，b ，c 成等差数列，则2a, 2b, 2c 可能成等差数列；
(3)若a ，b ，c 成等差数列，则ka ＋2，kb ＋2，kc ＋2一定成等差数列； 111
(4)若a ，b ，c 成等差数列，则a b ，c 可能成等差数列. A ．4个 C ．2个
B ．3个 D ．1个
解析：对于(1)取a ＝1，b ＝2，c ＝3 ⇒a 2＝1，b 2＝4，c 2＝9，(1)错； 对于(2)a ＝b ＝c ⇒2a ＝2b ＝2c ，(2)正确； 对于(3)∵a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b .
∴(ka ＋2) ＋(kc ＋2) ＝k (a ＋c ) ＋4 ＝2(kb ＋2) ，(3)正确；
111
对于(4)，a ＝b ＝c ≠0⇒a b ＝c (4)正确. 综上可知选B. 答案：B
6．等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为( )
A ．28 C ．30
B ．29 D ．31
解析：可知中间项为第n ＋1项，
⎧依题意⎨n (a ＋a
⎩2
2
(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)
＝319，
2
2n )
290.
n ＋1319
∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴n ，得n ＝10.
290
(2n ＋1)·(a ＋a ＋)
又S 2n ＋1＝＝(2n ＋1)·a n ＋1＝319＋290，
2∴a n ＋1＝a 11＝答案：B
609
29. 21
7．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 C ．51
B ．50 D ．52
1
解析：∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝21
∴数列{a n }
21
∴a 101＝a 1＋(101－1)·d ＝2＋100×＝52.
2答案：D
8．(2012·太原高二检测) 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若数列{a 11等于( )
A ．0 3
12D ．－1
1
为等差数列，则a n ＋1
11111
解析：设b n ＝b 3＝＝，b 7＝.
a n ＋1a 3＋13a 7＋12∵{b n }为等差数列，设其公差为d ， 11b 7－b 3231则d ＝.
4247－3142
∴b 11＝b 7＋4d ＝＋
2243即
a 11＝.
2a 11＋13
答案：B
9．(2012·丰台模拟) 已知数列{a n }中，a 1＝，a n ＝1－n ≥2) ，则a 2 011＝( )
5a n －11
A ．－
23 5
2B ．－
352
2532
解析：由递推公式得a 2＝－，a 3＝，a 4＝a 5„，所以数列是周期数列，周
32533
期为3，于是a 2 011＝a 670×3＋1＝a 1＝.
5
答案：C
10．(2012·沈阳市回民中学检测) 已知数列{a n }为等差数列，若项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为( )
A ．11 C ．20
B ．19 D ．21
a
解析：∵S n 有最大值，∴{a n }是递减等差数列． 又由
a ，∴a 10>0，a 11
a 11＋a 10a －1，得
∴a 11＋a 10
20(a 1＋a 20)∴S 20＝＝10(a 11＋a 10)
219(a 1＋a 19)
而S 19＝＝19a 10>0，
2∴使S n >0的n 的最大值为19. 答案：B
11、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )
A ．6 C ．8
B ．7 D ．9
解析：a 4＋a 6＝2a 5＝－6，得a 5＝－3， ∴公差d ＝
a 5－a 1－3＋11
＝2.
45－1
法一：由d ＝2>0可知，数列{a n }是递增数列． a n ＝－11＋2(n －1) ＝2n －13. 1
令a n ＝0，得n ＝2∴a 1
n (n －1)
法二：S n ＝na 1＋＝n 2－12n ＝(n －6) 2－36.
2∴当n ＝6时，S n 最小． 答案：A
S 12、等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1其前n 项和为S n ，则数列{n 的前10项和为( )
A ．120
B ．70
C ．75 D ．100
S S 解析：由等差数列前n 项和的性质知，数列{n 为等差数列，首项为＝a 1＝3，
1S S 1
公差为＝a 1＋a 2) －a 1
21211
＝a 2－a 1) ＝2＝1. 22S ∴{n }的前10项的和为 10×3＋
10×9
×1＝75. 2
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(2011·湖南高考) 设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *) 的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5
＝______.
解析：设数列的公差为d ，则3d ＝a 4－a 1＝6，得d ＝2，所以S 5＝5×1＋答案：25
14．若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，则a 2－a 1
＝________. b 3－b 2
解析：设这两个等差数列的公差分别为d 1，d 2. 则
a 2－a 1d b 3－b 2d 2
5×4
2＝25. 2
由等差数列的性质，得y －x ＝4d 1＝5d 2， d 5∴. d 24答案：
4
3
15．数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －3，则这个数列的通项公式为________．
2解析：a 1＝S 1＝1－3，
2∴a 1＝6.
3
又由题意得S n ＋1＝a n ＋1－3.
233
∴S n ＋1－S n ＝n ＋1－n .
22
33
∴a n ＋1＝a n ＋1－a n .
22
∴a n ＋1＝3a n ，{a n }是公比为3的等比数列， ∴a n ＝6×3n 1＝2×3n .
－
答案：2×3n
16. 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为__________．
解析：不妨设角A ＝120°，c
b 2＋(b －4)2－(b ＋4)21
于是cos 120°＝＝－
22b (b －4)1
解得b ＝10，所以S ＝sin 120°＝153.
2答案：3
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分) 已知{a n }是一个等差数列且a 2＋a 8＝－4，a 6＝2. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求{a n }的前n 项和S n 的最小值． 解：(1)设{a n }的公差为d . ∵a 2＋a 8＝2a 5，a 2＋a 8＝－4， ∴a 5＝－2. 又∵a 6＝2， ∴d ＝a 6－a 5＝4. ∴a 1＝－18. ∴a n ＝a 1＋(n －1) d ＝4n －22. (2)S n ＝na 1n (n －1)
＝2n 2－20n 2
＝2(n －5) 2－50，∴n ＝5时S n 取得最小值－50. 18．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；
(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 解：(1)由已知a 3＝5，a 10＝－9得
⎧a 1＋2d ＝5，⎧a 1＝9⎪⎪⎨可解得⎨ ⎪⎪⎩a 1＋9d ＝－9. ⎩d ＝－2.
数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .
(2)由(1)知，S n ＝na 1＋
n (n －1)
＝10n －n 2. 2
因为S n ＝－(n －5) 2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值． 1
2S 2119、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n ≥2) ，证明数列{是等差数列，并求S n .
S n 2S n －12S 2证明：∵a n ＝n ≥2) ，
2S n －12S 2∴S n －S n －1＝，
2S n －1∴(2S n －1)(S n －S n －1) ＝2S 2n ， ∴S n －1－S n ＝2S n S n －1.
11两边同除以S n S n －1，得S 2(n ≥2) ．
S n －1n
111
∴数列{S 是以1为首项，2为公差的等差数列．
S 1a 1n 1
所以S 1＋(n －1)·2＝2n －1.
n
∴S n ＝
1
2n －1
2n 1a n
20(本小题满分12分)(2011·江西“八校”联考) 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(n ∈
a n ＋2＋
N *) ．
2n
(1)证明：数列{}是等差数列；
a n (2)求数列{a n }的通项公式a n ；
(3)设b n ＝n (n ＋1) a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . a n ＋1a 解：(1)由已知可得，
2a n ＋22n 12n 2n 12n
即＋1，即＝1. a n ＋1a n a n ＋1a n
＋
＋
2n
∴数列{}是公差为1的等差数列．
a n 2n 2
(2)由(1)知(n －1) ×1＝n ＋1，
a n a 12n
∴a n ＝n ＋1(3)由(2)知b n ＝n ·2n .
S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋„＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋„＋(n －1)·2n ＋n ·2n 1，
＋
相减得
－S n ＝2＋22＋23＋„＋2n －n ·2n 1
＋
2(1－2n )＋＝－n ·2n 1
1－2＝2n 1－2－n ·2n 1，
＋
＋
∴S n ＝(n －1)·2n 1＋2.
＋
21．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数．
解：设所求四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，依题意可得，
2222⎧⎪(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝94，⎨ ⎪(a －d )(a ＋d )－(a －3d )(a ＋3d )＝18. ⎩
⎧4a 2＋20d 2＝94，⎪化简可得⎨2
⎪8d ＝18⎩
⎧∴⎨7
a ＝⎩2，
3d ＝，2
⎧或⎨7
a ＝－⎩2，
3d ＝，2
⎧或⎨7
a ＝－⎩23d ＝－，
2
⎧或⎨7
a ＝⎩2.
3d 2
∴所求四数为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1或8,5,2，－1或1，－2，－5，－8.
22、已知等差数列{an }中，S 3=21，S 6=64，求数列｛|an |｝的前n 项和T n ．
分析 等差数列前n 项和S n =na 1＋
n (n -1)
d ，含有两个未知数a 1， 2
d ，已知S 3和S 6的值，解方程组可得a 1与d ，再对数列的前若干项的正负性进行判断，则可求出T n 来．
n (n -1)
解 设公差为d ，由公式S n ＝na 1＋d
2
⎧3a 1＋3d =21得⎨
⎩ba 1＋15d =24
解方程组得：d ＝－2，a 1＝9 ∴a n ＝9＋(n－1)(n－2) ＝－2n ＋11
11
由a n ＝－2n ＋11＞0 得n ＜=5.5，故数列{an }的前5项为正，
2
其余各项为负．数列{an }的前n 项和为：
S n ＝9n ＋
n (n -1)
(－2) =－n 2＋10n 2
∴当n ≤5时，T n ＝－n 2＋10n
当n ＞6时，T n ＝S 5＋|Sn －S 5|＝S 5－(Sn －S 5) ＝2S 5－S n ∴T n ＝2(－25＋50) －(－n 2＋10n) ＝n 2－10n ＋50
2
⎧⎪T n =－n ＋10n 即⎨2
⎪⎩n －10n ＋50
n ≤5n ＞6
n ∈N *
说明 根据数列{an }中项的符号，运用分类讨论思想可求｛|an |｝的前n 项和．