初中数学专题复习---分式及分式方程
知识要点
一、认识分式
1、分式的定义：两个整数不能整除时，出现了分数；类似地，当两个整式不能整除时，就出现了分式. 定义：整式A 除以整式B ，可以表示成
一个分式，分母都不能为零. A A 的形式，. 如果除式B 中含有字母，那么称为分式，对于任意B B
A 有意义的条件是：B ≠0， B
A ②分式无意义的条件是：B=0， B
A ③分式的值为0的条件是：A=0，B ≠0， B ①分式
2、整式和分式统称为有理式，即有：有理式⎨
3、分数的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变。 ⎧整式 ⎩分式A A ⨯M =, B B ⨯M A A ÷M =B B ÷M (M ≠0)
4、一个分式的分子、分母有公因式时，可以运用分式的基本性质，把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式，也就是把分子、分母的公因式约去, 这叫做约分。一个分式的分子、分母没有公因式时，分式叫最简分子，通常情况下，分子化简的结果为最简分子或整式。
二、分式的乘除法
1、分式乘以分式：用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 即：A C AC A C A D A ⋅D ⋅==⋅=, ÷ B D BD B D B C B ⋅C
2、分式乘方 A n ⎛A ⎫把分子、分母分别乘方，即： ⎪=n B ⎝B ⎭
n n (n 为正整数) n A n ⎛A ⎫A n ⎛A ⎫逆向运用n = ⎪，当n 为整数时，仍然有 ⎪=n 成立. B B ⎝B ⎭⎝B ⎭
3、分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
三. 分式的加减法
1、分式与分数类似，也可以通分，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
2、分式的加减法：分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减
(1)、同分母的分式相加减, 分母不变, 把分子相加减；上述法则用式子表示是：
(2)、异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式, 然后再加减
上述法则用式子表示是:
3、概念内涵
通分的关键是确定最简分母，其方法如下：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积，如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解。
4、分工的混合运算：同分数一样。
四、分式方程
1、分式方程的定义：分母里含有未知数的有理方程叫做分式方程
2、解分式方程的一般步骤:
①在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程。;
②解这个整式方程。
③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公母为零的根是原方程的增根，必须舍去. （分式方程必须验根）
3、列分式方程解应用题的一般步骤:
①审清题意
②设未知数
③根据题意找相等关系, 列出(分式) 方程
④解方程, 并验根
⑤写出答案.
五、典型例题 A B A ±B ±= C C C A C AD BC AD ±BC ±=±= B D BD BD BD
例1：（启航）已知：x2-5x-2010=0，则代数式
例2：（启航）若m 等于它的倒数，则分式
(x -2) -(x -1) x -222+1的值是多少？ 2014 2+4m +42m -4+2m ÷的结果为 ±1 。 m -22
例3：（启航）若
A B x -3，求A 、B 的值。 +=x +1x -1(x +1)(x -1)
例4：（启航）甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作，甲队有一半时间每天维修公路x 千米，另一半时间每天维修公路y 千米．乙队维修前1千米公路每天维修x 千米；维修后1千米公路时，每天维修y 千米（x≠y）．
（1）求甲、乙两队完成任务需要的时间（用含x 、y 的代数式表示）；
（2）问甲、乙两队哪队先完成任务？ （甲先）
例5：（启航）分式方程
例6：（启航）若分式方程
x m 有增根，则m 的值为多少？ （ 0、3） -1=x -1(x -1)(x +2) 34=有正根，求k 的取值范围 （k ＞-16/3且k ≠-4） x -4x +k A ．-1.5 B．1 C．-1.5或2 D．-0.5或-1.5
⎧1-x x 2m ⎪ x -2的一个解，求m 例9：（启航）如果关于x 的方程1+的解也是不等式组：⎨2=22-x x -4⎪⎩2(x -3) ≤x -8
的取值范围。 （m ＞0）
例10：（启航）第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售A 、B 两种山娃纪念品，其中A 种纪念品的利润率为10%，B 种纪念品的利润率为30%．当售出的A 种纪念品的数量比B 种纪念品的数量少40%时，该零售商获得的总利润率为20%；当售出的A 种纪念品的数量与B 种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率为 17.5% ．（利润率=利润÷成本）
例11：（启航）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a 个月，乙队做b 个月（a 、b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？ +9b ≤141⎧⎪15a b （②⎨a ，求得：a ≤4，b ≥9，所以：4、9或2、12） +=1⎪⎩1015
例12：：已知abc =1，求a b c ++的值。 ab +a +1bc +b +1ac +c +1
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。
解：原式=a ab abc ++ ab +a +1abc +ab +a abc +abc +ab
a ab abc ++ab +a +11+ab +a a +1+ab
a +ab +1 = ab +a +1
=1=
例13：： 已知a 、b 、c 为实数，且ab 1bc 1ca 1abc =，=，=，那么的值是多少？ a +b 3b +c 4c +a 5ab +bc +ca
分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。
解：由已知条件得：
所以2(111111+=3，+=4，+=5 a b b c c a 111++) =12 a b c
111 即++=6 a b c
ab +bc +ca 111=++=6 又因为abc c b a
abc 1= 所以ab +bc +ca 6
初中数学专题复习---分式及分式方程
知识要点
一、认识分式
1、分式的定义：两个整数不能整除时，出现了分数；类似地，当两个整式不能整除时，就出现了分式. 定义：整式A 除以整式B ，可以表示成
一个分式，分母都不能为零. A A 的形式，. 如果除式B 中含有字母，那么称为分式，对于任意B B
A 有意义的条件是：B ≠0， B
A ②分式无意义的条件是：B=0， B
A ③分式的值为0的条件是：A=0，B ≠0， B ①分式
2、整式和分式统称为有理式，即有：有理式⎨
3、分数的基本性质
分式的分子与分母都乘以(或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变。 ⎧整式 ⎩分式A A ⨯M =, B B ⨯M A A ÷M =B B ÷M (M ≠0)
4、一个分式的分子、分母有公因式时，可以运用分式的基本性质，把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式，也就是把分子、分母的公因式约去, 这叫做约分。一个分式的分子、分母没有公因式时，分式叫最简分子，通常情况下，分子化简的结果为最简分子或整式。
二、分式的乘除法
1、分式乘以分式：用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 即：A C AC A C A D A ⋅D ⋅==⋅=, ÷ B D BD B D B C B ⋅C
2、分式乘方 A n ⎛A ⎫把分子、分母分别乘方，即： ⎪=n B ⎝B ⎭
n n (n 为正整数) n A n ⎛A ⎫A n ⎛A ⎫逆向运用n = ⎪，当n 为整数时，仍然有 ⎪=n 成立. B B ⎝B ⎭⎝B ⎭
3、分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
三. 分式的加减法
1、分式与分数类似，也可以通分，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
2、分式的加减法：分式的加减法与分数的加减法一样，分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减
(1)、同分母的分式相加减, 分母不变, 把分子相加减；上述法则用式子表示是：
(2)、异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式, 然后再加减
上述法则用式子表示是:
3、概念内涵
通分的关键是确定最简分母，其方法如下：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积，如果分母是多项式，则首先对多项式进行因式分解。
4、分工的混合运算：同分数一样。
四、分式方程
1、分式方程的定义：分母里含有未知数的有理方程叫做分式方程
2、解分式方程的一般步骤:
①在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程。;
②解这个整式方程。
③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公母为零的根是原方程的增根，必须舍去. （分式方程必须验根）
3、列分式方程解应用题的一般步骤:
①审清题意
②设未知数
③根据题意找相等关系, 列出(分式) 方程
④解方程, 并验根
⑤写出答案.
五、典型例题 A B A ±B ±= C C C A C AD BC AD ±BC ±=±= B D BD BD BD
例1：（启航）已知：x2-5x-2010=0，则代数式
例2：（启航）若m 等于它的倒数，则分式
(x -2) -(x -1) x -222+1的值是多少？ 2014 2+4m +42m -4+2m ÷的结果为 ±1 。 m -22
例3：（启航）若
A B x -3，求A 、B 的值。 +=x +1x -1(x +1)(x -1)
例4：（启航）甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作，甲队有一半时间每天维修公路x 千米，另一半时间每天维修公路y 千米．乙队维修前1千米公路每天维修x 千米；维修后1千米公路时，每天维修y 千米（x≠y）．
（1）求甲、乙两队完成任务需要的时间（用含x 、y 的代数式表示）；
（2）问甲、乙两队哪队先完成任务？ （甲先）
例5：（启航）分式方程
例6：（启航）若分式方程
x m 有增根，则m 的值为多少？ （ 0、3） -1=x -1(x -1)(x +2) 34=有正根，求k 的取值范围 （k ＞-16/3且k ≠-4） x -4x +k A ．-1.5 B．1 C．-1.5或2 D．-0.5或-1.5
⎧1-x x 2m ⎪ x -2的一个解，求m 例9：（启航）如果关于x 的方程1+的解也是不等式组：⎨2=22-x x -4⎪⎩2(x -3) ≤x -8
的取值范围。 （m ＞0）
例10：（启航）第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售A 、B 两种山娃纪念品，其中A 种纪念品的利润率为10%，B 种纪念品的利润率为30%．当售出的A 种纪念品的数量比B 种纪念品的数量少40%时，该零售商获得的总利润率为20%；当售出的A 种纪念品的数量与B 种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率为 17.5% ．（利润率=利润÷成本）
例11：（启航）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a 个月，乙队做b 个月（a 、b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？ +9b ≤141⎧⎪15a b （②⎨a ，求得：a ≤4，b ≥9，所以：4、9或2、12） +=1⎪⎩1015
例12：：已知abc =1，求a b c ++的值。 ab +a +1bc +b +1ac +c +1
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc 替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。
解：原式=a ab abc ++ ab +a +1abc +ab +a abc +abc +ab
a ab abc ++ab +a +11+ab +a a +1+ab
a +ab +1 = ab +a +1
=1=
例13：： 已知a 、b 、c 为实数，且ab 1bc 1ca 1abc =，=，=，那么的值是多少？ a +b 3b +c 4c +a 5ab +bc +ca
分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。
解：由已知条件得：
所以2(111111+=3，+=4，+=5 a b b c c a 111++) =12 a b c
111 即++=6 a b c
ab +bc +ca 111=++=6 又因为abc c b a
abc 1= 所以ab +bc +ca 6