激光与原子相互作用的经典描述
摘 要：利用四阶龙格——库塔法求解二阶微分方程，用经典方法研究了一维原子模型在强激光场中的电离机理，并就电子在返回原子核时会出现的各种情况进行了讨论。最后用高斯脉冲取代余玄脉冲，讨论了激光产生的高斯脉冲与原子相互作用的物理过程。由于避免了量子化解释，使得模型简单容易理解，计算结果与参考文献上的完全一致。 关键词：激光场； 原子； 经典描述； 有质动力能； 牛顿方程
A classic description of the interaction of Laser with atoms
Name: ZHAO Fei-ping Tutor: LI Peng-cheng
Major: Physics Grade: Class 1, 2010th Student ID: [1**********]4
Abstract: We make use of fourth-order Runge-Kutta method to solve second order differential equation, and study ionization mechanism with the classical one-dimensional atomic model in intense laser field. Meanwhile, we take a discussion on avrious kinds situation when a electronic return to the atomic nucleus. Finally, we counsel the physical process which gaussian pulse, instead of cosine pulse, generated by laser interact with atomic. The model become simplified and easily understood as well as Calculating Results are exactly accordant with it on the references.
Keywords: Laser field; Atom; Classic description; The pondero-motive energy ; Newton equation
引言
描述光与原子相互作用存在三种基本的理论体系：全经典理论、半经典理论[1]、全
量子理论[2]。全经典理论的主要特点是，将光场看成是满足麦克斯韦方程组的经典电磁波场，而将物质体系（原子、分子）看成是一些简单的经典带电谐振子的集合。这种理论描述光辐射在真空中，或在一般介质中的传播行为时是非常成功的，但描述光与物质相互作用方面，则在原则上是不成功的。半经典理论的主要特点是，将光场仍看成是经典的电磁波场，但对物质体系却满足量子力学规律。这种半经典理论的主要成功之处，是能够对大多数人们发现的光与物质相互作用有关的光学现象给出合理的解释，且有计算简便的优点，其不足之处是对一些个别的但又是十分重要的光学过程（如自发辐射[3]、光场的量子起伏等），不能给出自然而又合理的描述。全量子理论，实质上即为量子电动力学理论，这时光场和物质都满足量子力学规律，从而把光与物质的相互作用归结为量子化电磁场（光子集合[4]）与量子化物质体系（原子或分子集合）之间的相互作用。这种理论体系的优点是对目前涉及到的光与物质相互作用的现象而言，既能从理论上给出简单明了的定性描述，又能在一定的原则下给出严格地定量描述，其不足之处是它所采用的数学处理过程相当复杂，得不到简单的解析结果。在这里我们主要介绍激光与原子相互作用的经典描述。
原子与强激光场作用产生的多光子效应是近年来发展迅速的前沿课题。其中，高次谐波占有很重要的地位，它不仅有重要的理论研究价值与实用价值，而且它是产生X光激光的重要方法[5]。高次谐波的基本特征是开始端有一个急速下降，随后呈现一个很宽的平台，最后在远端突然截止，截止频率[6]为 ωmax=I0+3.2Up。这里I0是原子初始态的束缚能，Up是电子在激光场中获得的有质动力能。高次谐波谱平台的出现使得人们可以利用高次谐波获得相干极紫外高频段辐射源XUV和X射线源，而且高次谐波是人们获得阿秒脉冲的首选光源，因此，高次谐波一直是研究工作者广泛关注的课题。高次谐波产生的一般物理过程可用经典的三步模型描述:处于原子中的电子在光场作用下通过隧穿电离，然后在激光场的驱动作用下作振动，最后返回到核附近，与核发生复合而放出光子，产生高次谐波。由于高次谐波的计算牵扯到量子理论，故本文只讨论了原子与强激光场作用产生多光子效应的经典模型，并研究了电子电离时刻与返回时刻之间的关系，以及返回能量的大小。（本文均采用原子单位a.u.，m=1，e=1，其它物理量的参数为：激光场的峰值为I0=1.0⨯1014W/cm2，波长λ=800nm）
§1 理论方法
§1.1 光的电磁理论
麦克斯韦电磁理论[7]预言了电磁波的存在，其传播速度等于光速，由此推知光也是一种电磁波。在这里我们仅仅介绍所讨论问题关联到的光的电磁理论，在经典情况下线性极化的单模电磁场（光场）的矢势可以表示为：
A(t)=εA0sin(ωt-k⋅r) (1)
其中ε为电磁场极化方向的单位矢量，A0为电磁场的振幅，ω为单模电磁场的角频率，
k为波矢，其大小为k=ω/c。如果考虑到目前所用的光波波长远远大于原子的线度a0（a0为Bohr半径），则可以引入偶极近似，(1)式变为：
A(t)=εA0sin(ωt) (2)
因此，偶极近似下的电磁场仅仅依赖于时间。实际计算表明，若光的波长范围从红外到紫外区域，偶极近似都是一种很好的方法。
§1.2 激光与原子相互作用的经典描述
用量子方法描述激光场与原子相互作用时，需要求解含时薛定谔方程且数值解的计算量非常大，对于初次接触这个学科的同学来说，理解起来难度很大。本文采用全经典的方法，利用激光场与原子相互作用的三步模型，分析计算了氢原子中的电子在强激光场中的电离时间、返回时间、返回母核后的一些运动情况，以及其能量变化，很好的揭示了原子在强激光场中的运动规律。近年来许多研究工作者利用一维原子模型来代替三维原子[8~12]，并且Rae 等人[13]具体计算了一维原子模型和三维原子在激光场中的行为后发现，两者的结论吻合得很好。使用一维原子模型大大节约了计算机的CPU时间，笔者在本文中考虑一维原子模型。
根据激光与原子相互作用的经典假设，这个过程可以分成三步，即三步模型：
第一步，原子在强激光场的作用下，最外层电子隧穿原子势垒，即发生电离，如图1中的①所示。
第二步，把电子看成经典的粒子，在电离时刻，设电子的初动能为零，然后在强激光场的作用下，在来回震荡中可以从强激光场中获得或失去能量，如图1中的②所示。
第三步，在某些电离时刻，电子能够返回原子核，并与原子核发生相互作用重新结合，在重新结合过程中，过剩的能量（电子动能和结合能）全都以光子的形式放出，如图1中的③所示。
图1 激光与原子相互作用的三步模型示意图
§2 计算与讨论
§2.1 电子返回后与母核复合 ˆE0cosωt的作用下第一次在ti时刻被一个一维原子周围的电子在单色激光场E=x
电离，这个过程用牛顿运动学方程表述为：
(t)=-E0cosωt (3) x
对(3)式积分两次，并把初始条件代入则t时刻电子的位置可以表述为： x(t)=x(ti)+E0
ω[cosωt-cosωti]+[2E0ω (ti)](t-ti) (4) sinωti+x
(ti)=v(ti)=0，x(ti)=0，将其代入(4)式得：如果电子刚开始在原点的初速度为零即：x
x(t)=eE0[coωsti(-)ωcto+sω(ti-)t2mω(ωti) s i n ( ) ] (5) 电子返回原子核的时间tr满足：
cosωtr-cosωti+ωsinωti(tr-ti)=0 (6) 式(5)表示位移关于时间变化的函数关系，对(3)式利用四阶龙格库塔法数值计算，可以得到位移关于时间演化的曲线关系，如图2所示。
图2中画出了4个不同电离时刻电子在激光场中位移与时间的关系。从图中可以看出当ωti=0.08π时，电子只有一次机会返回原子核；当ωti=0.04π时，电子有四次机会返回原子核；当ωti=-0.04π时，电子不能返回原子核。
对一个周期（0
数就越多。返回时电子有可能与原子核发生相互作用重新结合，其动能一部分转换成结合能，剩下的能量以光子的形式放出。
位移(eE0/mω2)时间ωt
图2 电子位移随时间变化的曲线 由于原子核不动，电子返回原子核时有x=0设返回时速度为v，由(3)式积分得：
=- v=xeE0[sin(ωt)-sin(ωti)] (7) mω
根据返回速度可以推算返回动能，由动能公式并把(7)式代入得：
212e2E02[]sin(ωt)-sin(ωt) Ek=mv= (8) i222mω
令电子在一个激光场周期所获得的平均动能为：
1m〈v2〉av2
11Te2E02 =m⎰22sin2ωtdt (9) 2T0mω
e2E02=4mω2Up=
Up称为电子在激光场中获得的有质动力能，可见电子的有质动力能与激光场光强成正
比，与激光场角频率的平方成反比。
把(9)式代入(8)式得：
Ek=2Up[sin(ωt)-sin(ωti)] (10) 2
由于电子第一次返回时不一定与原子核发生相互作用，这样就需要考虑电子多次返回时与原子核发生相互作用：
返回动能Up时间ωt
图3 电子返回动能与返回时间变化关系
从图3可以看出电子每次返回原子核时动能随时间变化曲线基本相同，电子返回时的动能都是由小变大，达到最大值后又变小，值得注意的是电子返回动能的最大值出现在它第一次返回Ek(max)=3.2Up，这是因为电子在第一次返回时表现出的粒子性更强，之后的第二次、第三次……返回动能的最大值渐渐地趋向于一个定值2Up。
按照全经典的理论，电子返回原子核时在激光场中获得的最大动能约为3.2Up。那
么我们可以推断出，电子返回原子核并与原子核发生碰撞时所发射出光子的最大频率为：
ωmax=I0+3.2Up (11)
其中，I0为原子的电离能，以氢原子为例，电离能I0=0.5a.u.(13.6eV)。对这里的所有
E02物理量都取原子单位，则Up=那么由式(11)可以算出电子返回原子核并与原子核发24ω
生碰撞时所发射出光子的最大频率ωmax=3.7a.u.=65ω（计算时取原子单位）。也就是说电子与原子核发生碰撞时所发射出的光子的最大频率是原来激光场频率的65倍，即产生了高次谐波，这一结果与文献中利用半经典方法[14]算出的高次谐波最大阶数接近。 §2.2 电子多次返回原子核时动能的变化
我们再来仔细分析图3，可以发现随着时间的增加，电子第二次、第三次……返回动能的最大值渐渐地趋向于一个定值2Up。前面我们在讨论位移随时间变化关系时就发现ωti越趋于零（即ti趋于零），电子返回的次数就会越多。从图3中还可以看出，电子返回原子核时最大动能所对应的返回时间ωt=2π（这里n是电子返回的次数）且n越
大这种现象越明显。现在我们把分析结果代入(10)式：
Ek=2Up[sin(ωt)-sin(ωti)]
=2Up[2n
+1π)-sin(0)]
=2Up22
这就从理论上解释了，为什么电子多次返回时其最大动能为2Up。
§2.3 电子返回母核后的重散射理论
在重散射理论（QRS）[15]中，我们依然使用和三步模型中相同的激光场，原子在强激光场的作用下，最外层电子隧穿原子势垒发生电离，设电子在电离时刻的初动能为零，然后在强激光场的作用下，被电离的电子在来回的震荡中可以从强激光场中获得或失去能量，在某些电离时刻电子能够返回，在电子返回过程中我们假设电子与靶离子之间经历一个弹性碰撞，然后以角θr再散射。
图4 激光与原子相互作用的重散射理论示意图
若电子在激光场强度达到峰值之前被电离，那么电子将不能返回原子核，然而如果电离是在激光场强度达到峰值之后发生，则电子可以多次返回。已经证明电子的多次返回对激光场的影响不大[16]，在这里我们只考虑电子第一次返回。电子在tr时刻第一次返回原子核的动量：
(tr)=- pr=x
E(t)/ωE0ω(sinωtr-sinωti) (12)
时间ωt
图5 电场及其磁失势随时间的变化关系
如图5我们作出了电场和失势随ωt的变化关系。这里激光场的基本参量λ=800nm I0=1.0⨯1014w/cm2。磁失势的最大值A0=0.94。重散射模型中电子的返回区间为
1.28π0.78A0，通过解方程(4)我们得知对应的电离时间区间为0.02π
下面我们假设电子和靶离子经历了一个弹性碰撞，其散射角为θr。当t>tr，沿着极轴方向以及与其垂直方向上的速度可以表示为：
(t)=- xE0
ω[sinωt-sinωtr+cosθr(sinωtr-sinωti)] (13)
(t)=- yE0
ωsinθr(sinωtr-sinωti) (14)
根据(13)式和(14)式，光电子的能量随时间变化的平均动能可以用有质动力能1Up=mv2
2e2E02=表示为： 4mω2av
Ek=2Up[sin2ωti+2sinωtr(1-θr)(sinωtr-sinωti)] (15)
返回动能Up
返回动能Up返回时间ωt电离时间ωt
图6 电子返回动能与返回时间和电离时间的关系
求解方程(15)我们发现，若电子在ωti=0.08π被电离，那么当磁失势几乎达到最大值时它才会在ωtr=1.47π时返回原点，这时光电子的动能最大，为Ek=10.005Up。这些能量是返回电子经历一个散射角θr=π的反向散射得到的。电子的动能Ek与返回时间和电离时间所对应的关系如图6所示。
从图6中我们能够看出除了与时间1.47π所对应的最大的动能值之外，每一个动能都对应着两个不同的返回时间。实际上，在1.47π之后所返回的电子都是在0.08π之前被电离的。
我们来分析图7，图中表明比值pr(t)/A(t)经过急剧变小直到1.33π之后就变得平缓了，返回时间在1.33π到1.78π之间的pr(t)/A(t)的平均值大约为1.25。尽管1.33π之前
返回时间ωt
图7 电子的动量和磁失势及它们所对应返回时间的比率关系
pr(t)/A(t)的值偏离平均值较远，但这部分电离的电子比较少。三步模型和重散射模型电离机理相同，但电子返回时与母核复合过程是有区别的。
下面我们分析一下不同散射角所对应的电子最大能量与返回时间的关系。图8中分别作出了散射角等于π，0.75π，0.5π时电子的返回动能随返回时间的变化关系，通过
返回动能Up返回时间ωt
图8 不同散射角所对应的电子的返回动能与返回时间的关系
求解方程(15)我们发现，对于除零之外的其它任意散射角，当电子在ωti=0.08π被电离时，与之对应的返回时刻都为1.47π，且返回动能在这一返回时刻都有最大值。由方程
(15)我们很容易理解随着散射角的变小，电子的返回动能也在变小。
速度(eEo/mω)
图9 沿极轴方向散射电子的速度与时间及散射角的变化关系
下面我们讨论电子与靶粒子碰撞后，沿极轴方向散射电子的速度随时间以及散射角的变化关系，如图9所示。在这里讨论电子的合速度是没有多大意义的，因为根据式(14)，沿与极轴垂直方向的速度的方向是一定的，变化的只是它的大小，而且由合速度计算公
2 2
(t)+y (t)]计算出的合速度只有大小，而无法反应出速度方向的变化。从图式v合=[x
9中我们可以看出当散射角为π时，散射电子速度的绝对值最大，从这里我们也可理解为什么当散射角为π时电子的动能最大。 §2.4 激光产生的高斯脉冲与原子相互作用
ˆE0cosωt作为强激光场来与原子相互作用，但在在前面的讨论中，我们都使用E=x
实验中这种波形的激光场是很难实现的，下面我们用更具有现实意义的高斯脉冲作为强激光场，来研究它与氢原子的相互作用。
仍以氢原子为例，原子核外有一个电子，当它所处的线性极化的激光场为：
2⎛πt⎫()Et=xEcos ⎪cos(ωt) (16) 0
⎝τ⎭
这里τ是激光场的周期数，文中我们分别讨论两个周期和三个周期的高斯脉冲与氢原子的相互作用，高斯脉冲波形图如图10，图11所示。
E（t）/ω
时间ωt
图10 两个周期的高斯脉冲波形图
E(t)/ω
时间ωt
图11 三个周期的高斯脉冲波形图
由经典的牛顿运动定律可得到电子在线性极化单色激光场中的运动方程为：
⎛πt⎫
(t)=-E0cos2 ⎪cos(ωt) (17) x
⎝τ⎭
设电子在ti时刻被电离，电子被电离时初速度为零，即初始条件为v(ti)=0，对式(17)积分一次，并把初始条件代入，得到电子的返回速度为：
2πt
sin(ωti)-sin(ωt)2πτ(cos(ωt)sin(2πt)-cos(ωti)sin(i) =E0(v=x+
2ω2(ω2τ2-4π2)
πt
ωτ2(sin(ωti)2)-sin(ωt))+)222
2(ωτ-4π)
i
(18)
由返回速度可以推算返回动能。
这里我们仍以有质动力能Up作为能量的单位。假设原子核不动，电子返回原子核时（x=0），动能为Ek。由于电子第一次返回时不一定与原子核发生相互作用，这样就需要考虑电子多次返回时与原子核发生相互作用，图12是两个周期的高斯脉冲与氢原子相互作用时，电子的返回能量与返回时间的关系。
返回时间ωt
返回能量Up
图12 两个周期的高斯脉冲作用下电子返回动能与返回时间的关系
从图12可以看出电子每次返回时动能随返回时间的变化曲线基本相同，电子返回原子核时动能都是由小变大，达到最大值后又变小，值得注意的是电子在ti=-1.01π时刻被电离时，电子的返回动能最大，为Ek(max)=3.2Up，其返回时间为0.405π，这是因为电子在第一次返回时表现出的粒子性更强，这与余玄脉冲下电子的最大返回能量相同，之后的第二次、第三次……返回动能的最大值渐渐地趋向于一个定值2Up。
由式(11)可以算出电子返回原子核并与原子核发生碰撞时所发射出光子的最大频率ωmax=3.7a.u.=65ω（计算时取原子单位）。即电子与原子核发生碰撞时所发射出的光子的最大频率是原来激光场频率的65倍，也产生了高次谐波。
如图13是电子在两个周期的高斯脉冲作用下，第一次返回时其动能与时间的关系，图中返回电子的电离区间ti=-0.78π~-1.98π，电子从-0.5π开始返回。应当引起我们注意的是，当返回时间在0.5π~1.5π之间时，每一个返回时刻对应两个返回能量，这是因为最先被电离的电子（电离区域为-1.06π
返回能量Up
返回时间ωt
图13 两周期高斯脉冲作用下电子第一次返回时动能与时间的关系
返回动能Up
返回时间ωt
图14 三个周期高斯脉冲作用下电子第一次返回时动能与时间的关系
图14是在三个周期的高斯脉冲作用下，电子第一次返回时能量与时间的变化关系。
从图中可以明显看出电子返回动能的最大值仍为Ek(max) 3.2Up。
§3 结论
通过介绍光与原子相互作用的经典理论方法，分析了光与原子相互作用时的物理过程，并得出了一些与半经典理论相似的结果。结果表明，全经典的理论方法只能描述光与原子相互作用时能量转换的规律，不能描述光与原子相互作用时产生的一些量子物理现象。全经典理论在描述自由电子与物质相互作用时存在着不可克服的缺陷，但它却也有着容易理解、计算简单等优点，且从本文的分析中可以看到，全经典理论在描述自由电子在单色场中的运动轨迹及获得的最大能量时能够得到比较理想的结果。
文中的重散射理论描述了，由强激光脉冲电离出的高能光电子返回母核时与靶离子发生弹性碰撞物理过程。我们发现返回电子波包几乎完全由激光脉冲决定。重散射理论的有效性可以通过求解单电子近似下的含时薛定谔方程得到验证。重散射过程中，波长较长的激光场能够给予返回电子足够的能量使之在与母核作用后，使另外电子（束缚电子）在碰撞后发生直接电离，对于波长较短的激光场，返回电子获得的能量小于束缚电子的电离能，束缚电子更易在被激发到激发态后再由激光场将其电离。
我们用经典牛顿运动定律，得到了电子在线性极化单色激光场中的运动方程，这样使得激光与原子相互作用的物理过程显明易懂。但是用两次积分求得电子的位移随时间的变化关系后，要想再用数学方法求得其精确的解析解是不可能的，因为该方程是一个初等超越方程。故本文从一开始就用四阶龙格—库塔法求解二阶微分方程，当后面我们用高斯脉冲讨论时，这种方法的优越性就显现出来了，但在文中后面的计算中，这种算法有些力不从心，计算速度极为缓慢。笔者考虑在以后的计算中使用更快更精确的六阶龙格—库塔法求解二阶微分方程。 致 谢
在毕业论文写作过程中，周效信老师和李鹏程老师给予了我很大的帮助，他们严谨求实的科研精神以及对学生认真负责的态度深深地感染了我，使得我在这次毕业论文写作过程中，无论是在知识层面，还是在做事态度方面都受益匪浅。在这里我真诚地感谢两位老师，也一并感谢在论文写作过程中给我提供帮助的王永熙同学和其他同学。 参考文献
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激光与原子相互作用的经典描述
摘 要：利用四阶龙格——库塔法求解二阶微分方程，用经典方法研究了一维原子模型在强激光场中的电离机理，并就电子在返回原子核时会出现的各种情况进行了讨论。最后用高斯脉冲取代余玄脉冲，讨论了激光产生的高斯脉冲与原子相互作用的物理过程。由于避免了量子化解释，使得模型简单容易理解，计算结果与参考文献上的完全一致。 关键词：激光场； 原子； 经典描述； 有质动力能； 牛顿方程
A classic description of the interaction of Laser with atoms
Name: ZHAO Fei-ping Tutor: LI Peng-cheng
Major: Physics Grade: Class 1, 2010th Student ID: [1**********]4
Abstract: We make use of fourth-order Runge-Kutta method to solve second order differential equation, and study ionization mechanism with the classical one-dimensional atomic model in intense laser field. Meanwhile, we take a discussion on avrious kinds situation when a electronic return to the atomic nucleus. Finally, we counsel the physical process which gaussian pulse, instead of cosine pulse, generated by laser interact with atomic. The model become simplified and easily understood as well as Calculating Results are exactly accordant with it on the references.
Keywords: Laser field; Atom; Classic description; The pondero-motive energy ; Newton equation
引言
描述光与原子相互作用存在三种基本的理论体系：全经典理论、半经典理论[1]、全
量子理论[2]。全经典理论的主要特点是，将光场看成是满足麦克斯韦方程组的经典电磁波场，而将物质体系（原子、分子）看成是一些简单的经典带电谐振子的集合。这种理论描述光辐射在真空中，或在一般介质中的传播行为时是非常成功的，但描述光与物质相互作用方面，则在原则上是不成功的。半经典理论的主要特点是，将光场仍看成是经典的电磁波场，但对物质体系却满足量子力学规律。这种半经典理论的主要成功之处，是能够对大多数人们发现的光与物质相互作用有关的光学现象给出合理的解释，且有计算简便的优点，其不足之处是对一些个别的但又是十分重要的光学过程（如自发辐射[3]、光场的量子起伏等），不能给出自然而又合理的描述。全量子理论，实质上即为量子电动力学理论，这时光场和物质都满足量子力学规律，从而把光与物质的相互作用归结为量子化电磁场（光子集合[4]）与量子化物质体系（原子或分子集合）之间的相互作用。这种理论体系的优点是对目前涉及到的光与物质相互作用的现象而言，既能从理论上给出简单明了的定性描述，又能在一定的原则下给出严格地定量描述，其不足之处是它所采用的数学处理过程相当复杂，得不到简单的解析结果。在这里我们主要介绍激光与原子相互作用的经典描述。
原子与强激光场作用产生的多光子效应是近年来发展迅速的前沿课题。其中，高次谐波占有很重要的地位，它不仅有重要的理论研究价值与实用价值，而且它是产生X光激光的重要方法[5]。高次谐波的基本特征是开始端有一个急速下降，随后呈现一个很宽的平台，最后在远端突然截止，截止频率[6]为 ωmax=I0+3.2Up。这里I0是原子初始态的束缚能，Up是电子在激光场中获得的有质动力能。高次谐波谱平台的出现使得人们可以利用高次谐波获得相干极紫外高频段辐射源XUV和X射线源，而且高次谐波是人们获得阿秒脉冲的首选光源，因此，高次谐波一直是研究工作者广泛关注的课题。高次谐波产生的一般物理过程可用经典的三步模型描述:处于原子中的电子在光场作用下通过隧穿电离，然后在激光场的驱动作用下作振动，最后返回到核附近，与核发生复合而放出光子，产生高次谐波。由于高次谐波的计算牵扯到量子理论，故本文只讨论了原子与强激光场作用产生多光子效应的经典模型，并研究了电子电离时刻与返回时刻之间的关系，以及返回能量的大小。（本文均采用原子单位a.u.，m=1，e=1，其它物理量的参数为：激光场的峰值为I0=1.0⨯1014W/cm2，波长λ=800nm）
§1 理论方法
§1.1 光的电磁理论
麦克斯韦电磁理论[7]预言了电磁波的存在，其传播速度等于光速，由此推知光也是一种电磁波。在这里我们仅仅介绍所讨论问题关联到的光的电磁理论，在经典情况下线性极化的单模电磁场（光场）的矢势可以表示为：
A(t)=εA0sin(ωt-k⋅r) (1)
其中ε为电磁场极化方向的单位矢量，A0为电磁场的振幅，ω为单模电磁场的角频率，
k为波矢，其大小为k=ω/c。如果考虑到目前所用的光波波长远远大于原子的线度a0（a0为Bohr半径），则可以引入偶极近似，(1)式变为：
A(t)=εA0sin(ωt) (2)
因此，偶极近似下的电磁场仅仅依赖于时间。实际计算表明，若光的波长范围从红外到紫外区域，偶极近似都是一种很好的方法。
§1.2 激光与原子相互作用的经典描述
用量子方法描述激光场与原子相互作用时，需要求解含时薛定谔方程且数值解的计算量非常大，对于初次接触这个学科的同学来说，理解起来难度很大。本文采用全经典的方法，利用激光场与原子相互作用的三步模型，分析计算了氢原子中的电子在强激光场中的电离时间、返回时间、返回母核后的一些运动情况，以及其能量变化，很好的揭示了原子在强激光场中的运动规律。近年来许多研究工作者利用一维原子模型来代替三维原子[8~12]，并且Rae 等人[13]具体计算了一维原子模型和三维原子在激光场中的行为后发现，两者的结论吻合得很好。使用一维原子模型大大节约了计算机的CPU时间，笔者在本文中考虑一维原子模型。
根据激光与原子相互作用的经典假设，这个过程可以分成三步，即三步模型：
第一步，原子在强激光场的作用下，最外层电子隧穿原子势垒，即发生电离，如图1中的①所示。
第二步，把电子看成经典的粒子，在电离时刻，设电子的初动能为零，然后在强激光场的作用下，在来回震荡中可以从强激光场中获得或失去能量，如图1中的②所示。
第三步，在某些电离时刻，电子能够返回原子核，并与原子核发生相互作用重新结合，在重新结合过程中，过剩的能量（电子动能和结合能）全都以光子的形式放出，如图1中的③所示。
图1 激光与原子相互作用的三步模型示意图
§2 计算与讨论
§2.1 电子返回后与母核复合 ˆE0cosωt的作用下第一次在ti时刻被一个一维原子周围的电子在单色激光场E=x
电离，这个过程用牛顿运动学方程表述为：
(t)=-E0cosωt (3) x
对(3)式积分两次，并把初始条件代入则t时刻电子的位置可以表述为： x(t)=x(ti)+E0
ω[cosωt-cosωti]+[2E0ω (ti)](t-ti) (4) sinωti+x
(ti)=v(ti)=0，x(ti)=0，将其代入(4)式得：如果电子刚开始在原点的初速度为零即：x
x(t)=eE0[coωsti(-)ωcto+sω(ti-)t2mω(ωti) s i n ( ) ] (5) 电子返回原子核的时间tr满足：
cosωtr-cosωti+ωsinωti(tr-ti)=0 (6) 式(5)表示位移关于时间变化的函数关系，对(3)式利用四阶龙格库塔法数值计算，可以得到位移关于时间演化的曲线关系，如图2所示。
图2中画出了4个不同电离时刻电子在激光场中位移与时间的关系。从图中可以看出当ωti=0.08π时，电子只有一次机会返回原子核；当ωti=0.04π时，电子有四次机会返回原子核；当ωti=-0.04π时，电子不能返回原子核。
对一个周期（0
数就越多。返回时电子有可能与原子核发生相互作用重新结合，其动能一部分转换成结合能，剩下的能量以光子的形式放出。
位移(eE0/mω2)时间ωt
图2 电子位移随时间变化的曲线 由于原子核不动，电子返回原子核时有x=0设返回时速度为v，由(3)式积分得：
=- v=xeE0[sin(ωt)-sin(ωti)] (7) mω
根据返回速度可以推算返回动能，由动能公式并把(7)式代入得：
212e2E02[]sin(ωt)-sin(ωt) Ek=mv= (8) i222mω
令电子在一个激光场周期所获得的平均动能为：
1m〈v2〉av2
11Te2E02 =m⎰22sin2ωtdt (9) 2T0mω
e2E02=4mω2Up=
Up称为电子在激光场中获得的有质动力能，可见电子的有质动力能与激光场光强成正
比，与激光场角频率的平方成反比。
把(9)式代入(8)式得：
Ek=2Up[sin(ωt)-sin(ωti)] (10) 2
由于电子第一次返回时不一定与原子核发生相互作用，这样就需要考虑电子多次返回时与原子核发生相互作用：
返回动能Up时间ωt
图3 电子返回动能与返回时间变化关系
从图3可以看出电子每次返回原子核时动能随时间变化曲线基本相同，电子返回时的动能都是由小变大，达到最大值后又变小，值得注意的是电子返回动能的最大值出现在它第一次返回Ek(max)=3.2Up，这是因为电子在第一次返回时表现出的粒子性更强，之后的第二次、第三次……返回动能的最大值渐渐地趋向于一个定值2Up。
按照全经典的理论，电子返回原子核时在激光场中获得的最大动能约为3.2Up。那
么我们可以推断出，电子返回原子核并与原子核发生碰撞时所发射出光子的最大频率为：
ωmax=I0+3.2Up (11)
其中，I0为原子的电离能，以氢原子为例，电离能I0=0.5a.u.(13.6eV)。对这里的所有
E02物理量都取原子单位，则Up=那么由式(11)可以算出电子返回原子核并与原子核发24ω
生碰撞时所发射出光子的最大频率ωmax=3.7a.u.=65ω（计算时取原子单位）。也就是说电子与原子核发生碰撞时所发射出的光子的最大频率是原来激光场频率的65倍，即产生了高次谐波，这一结果与文献中利用半经典方法[14]算出的高次谐波最大阶数接近。 §2.2 电子多次返回原子核时动能的变化
我们再来仔细分析图3，可以发现随着时间的增加，电子第二次、第三次……返回动能的最大值渐渐地趋向于一个定值2Up。前面我们在讨论位移随时间变化关系时就发现ωti越趋于零（即ti趋于零），电子返回的次数就会越多。从图3中还可以看出，电子返回原子核时最大动能所对应的返回时间ωt=2π（这里n是电子返回的次数）且n越
大这种现象越明显。现在我们把分析结果代入(10)式：
Ek=2Up[sin(ωt)-sin(ωti)]
=2Up[2n
+1π)-sin(0)]
=2Up22
这就从理论上解释了，为什么电子多次返回时其最大动能为2Up。
§2.3 电子返回母核后的重散射理论
在重散射理论（QRS）[15]中，我们依然使用和三步模型中相同的激光场，原子在强激光场的作用下，最外层电子隧穿原子势垒发生电离，设电子在电离时刻的初动能为零，然后在强激光场的作用下，被电离的电子在来回的震荡中可以从强激光场中获得或失去能量，在某些电离时刻电子能够返回，在电子返回过程中我们假设电子与靶离子之间经历一个弹性碰撞，然后以角θr再散射。
图4 激光与原子相互作用的重散射理论示意图
若电子在激光场强度达到峰值之前被电离，那么电子将不能返回原子核，然而如果电离是在激光场强度达到峰值之后发生，则电子可以多次返回。已经证明电子的多次返回对激光场的影响不大[16]，在这里我们只考虑电子第一次返回。电子在tr时刻第一次返回原子核的动量：
(tr)=- pr=x
E(t)/ωE0ω(sinωtr-sinωti) (12)
时间ωt
图5 电场及其磁失势随时间的变化关系
如图5我们作出了电场和失势随ωt的变化关系。这里激光场的基本参量λ=800nm I0=1.0⨯1014w/cm2。磁失势的最大值A0=0.94。重散射模型中电子的返回区间为
1.28π0.78A0，通过解方程(4)我们得知对应的电离时间区间为0.02π
下面我们假设电子和靶离子经历了一个弹性碰撞，其散射角为θr。当t>tr，沿着极轴方向以及与其垂直方向上的速度可以表示为：
(t)=- xE0
ω[sinωt-sinωtr+cosθr(sinωtr-sinωti)] (13)
(t)=- yE0
ωsinθr(sinωtr-sinωti) (14)
根据(13)式和(14)式，光电子的能量随时间变化的平均动能可以用有质动力能1Up=mv2
2e2E02=表示为： 4mω2av
Ek=2Up[sin2ωti+2sinωtr(1-θr)(sinωtr-sinωti)] (15)
返回动能Up
返回动能Up返回时间ωt电离时间ωt
图6 电子返回动能与返回时间和电离时间的关系
求解方程(15)我们发现，若电子在ωti=0.08π被电离，那么当磁失势几乎达到最大值时它才会在ωtr=1.47π时返回原点，这时光电子的动能最大，为Ek=10.005Up。这些能量是返回电子经历一个散射角θr=π的反向散射得到的。电子的动能Ek与返回时间和电离时间所对应的关系如图6所示。
从图6中我们能够看出除了与时间1.47π所对应的最大的动能值之外，每一个动能都对应着两个不同的返回时间。实际上，在1.47π之后所返回的电子都是在0.08π之前被电离的。
我们来分析图7，图中表明比值pr(t)/A(t)经过急剧变小直到1.33π之后就变得平缓了，返回时间在1.33π到1.78π之间的pr(t)/A(t)的平均值大约为1.25。尽管1.33π之前
返回时间ωt
图7 电子的动量和磁失势及它们所对应返回时间的比率关系
pr(t)/A(t)的值偏离平均值较远，但这部分电离的电子比较少。三步模型和重散射模型电离机理相同，但电子返回时与母核复合过程是有区别的。
下面我们分析一下不同散射角所对应的电子最大能量与返回时间的关系。图8中分别作出了散射角等于π，0.75π，0.5π时电子的返回动能随返回时间的变化关系，通过
返回动能Up返回时间ωt
图8 不同散射角所对应的电子的返回动能与返回时间的关系
求解方程(15)我们发现，对于除零之外的其它任意散射角，当电子在ωti=0.08π被电离时，与之对应的返回时刻都为1.47π，且返回动能在这一返回时刻都有最大值。由方程
(15)我们很容易理解随着散射角的变小，电子的返回动能也在变小。
速度(eEo/mω)
图9 沿极轴方向散射电子的速度与时间及散射角的变化关系
下面我们讨论电子与靶粒子碰撞后，沿极轴方向散射电子的速度随时间以及散射角的变化关系，如图9所示。在这里讨论电子的合速度是没有多大意义的，因为根据式(14)，沿与极轴垂直方向的速度的方向是一定的，变化的只是它的大小，而且由合速度计算公
2 2
(t)+y (t)]计算出的合速度只有大小，而无法反应出速度方向的变化。从图式v合=[x
9中我们可以看出当散射角为π时，散射电子速度的绝对值最大，从这里我们也可理解为什么当散射角为π时电子的动能最大。 §2.4 激光产生的高斯脉冲与原子相互作用
ˆE0cosωt作为强激光场来与原子相互作用，但在在前面的讨论中，我们都使用E=x
实验中这种波形的激光场是很难实现的，下面我们用更具有现实意义的高斯脉冲作为强激光场，来研究它与氢原子的相互作用。
仍以氢原子为例，原子核外有一个电子，当它所处的线性极化的激光场为：
2⎛πt⎫()Et=xEcos ⎪cos(ωt) (16) 0
⎝τ⎭
这里τ是激光场的周期数，文中我们分别讨论两个周期和三个周期的高斯脉冲与氢原子的相互作用，高斯脉冲波形图如图10，图11所示。
E（t）/ω
时间ωt
图10 两个周期的高斯脉冲波形图
E(t)/ω
时间ωt
图11 三个周期的高斯脉冲波形图
由经典的牛顿运动定律可得到电子在线性极化单色激光场中的运动方程为：
⎛πt⎫
(t)=-E0cos2 ⎪cos(ωt) (17) x
⎝τ⎭
设电子在ti时刻被电离，电子被电离时初速度为零，即初始条件为v(ti)=0，对式(17)积分一次，并把初始条件代入，得到电子的返回速度为：
2πt
sin(ωti)-sin(ωt)2πτ(cos(ωt)sin(2πt)-cos(ωti)sin(i) =E0(v=x+
2ω2(ω2τ2-4π2)
πt
ωτ2(sin(ωti)2)-sin(ωt))+)222
2(ωτ-4π)
i
(18)
由返回速度可以推算返回动能。
这里我们仍以有质动力能Up作为能量的单位。假设原子核不动，电子返回原子核时（x=0），动能为Ek。由于电子第一次返回时不一定与原子核发生相互作用，这样就需要考虑电子多次返回时与原子核发生相互作用，图12是两个周期的高斯脉冲与氢原子相互作用时，电子的返回能量与返回时间的关系。
返回时间ωt
返回能量Up
图12 两个周期的高斯脉冲作用下电子返回动能与返回时间的关系
从图12可以看出电子每次返回时动能随返回时间的变化曲线基本相同，电子返回原子核时动能都是由小变大，达到最大值后又变小，值得注意的是电子在ti=-1.01π时刻被电离时，电子的返回动能最大，为Ek(max)=3.2Up，其返回时间为0.405π，这是因为电子在第一次返回时表现出的粒子性更强，这与余玄脉冲下电子的最大返回能量相同，之后的第二次、第三次……返回动能的最大值渐渐地趋向于一个定值2Up。
由式(11)可以算出电子返回原子核并与原子核发生碰撞时所发射出光子的最大频率ωmax=3.7a.u.=65ω（计算时取原子单位）。即电子与原子核发生碰撞时所发射出的光子的最大频率是原来激光场频率的65倍，也产生了高次谐波。
如图13是电子在两个周期的高斯脉冲作用下，第一次返回时其动能与时间的关系，图中返回电子的电离区间ti=-0.78π~-1.98π，电子从-0.5π开始返回。应当引起我们注意的是，当返回时间在0.5π~1.5π之间时，每一个返回时刻对应两个返回能量，这是因为最先被电离的电子（电离区域为-1.06π
返回能量Up
返回时间ωt
图13 两周期高斯脉冲作用下电子第一次返回时动能与时间的关系
返回动能Up
返回时间ωt
图14 三个周期高斯脉冲作用下电子第一次返回时动能与时间的关系
图14是在三个周期的高斯脉冲作用下，电子第一次返回时能量与时间的变化关系。
从图中可以明显看出电子返回动能的最大值仍为Ek(max) 3.2Up。
§3 结论
通过介绍光与原子相互作用的经典理论方法，分析了光与原子相互作用时的物理过程，并得出了一些与半经典理论相似的结果。结果表明，全经典的理论方法只能描述光与原子相互作用时能量转换的规律，不能描述光与原子相互作用时产生的一些量子物理现象。全经典理论在描述自由电子与物质相互作用时存在着不可克服的缺陷，但它却也有着容易理解、计算简单等优点，且从本文的分析中可以看到，全经典理论在描述自由电子在单色场中的运动轨迹及获得的最大能量时能够得到比较理想的结果。
文中的重散射理论描述了，由强激光脉冲电离出的高能光电子返回母核时与靶离子发生弹性碰撞物理过程。我们发现返回电子波包几乎完全由激光脉冲决定。重散射理论的有效性可以通过求解单电子近似下的含时薛定谔方程得到验证。重散射过程中，波长较长的激光场能够给予返回电子足够的能量使之在与母核作用后，使另外电子（束缚电子）在碰撞后发生直接电离，对于波长较短的激光场，返回电子获得的能量小于束缚电子的电离能，束缚电子更易在被激发到激发态后再由激光场将其电离。
我们用经典牛顿运动定律，得到了电子在线性极化单色激光场中的运动方程，这样使得激光与原子相互作用的物理过程显明易懂。但是用两次积分求得电子的位移随时间的变化关系后，要想再用数学方法求得其精确的解析解是不可能的，因为该方程是一个初等超越方程。故本文从一开始就用四阶龙格—库塔法求解二阶微分方程，当后面我们用高斯脉冲讨论时，这种方法的优越性就显现出来了，但在文中后面的计算中，这种算法有些力不从心，计算速度极为缓慢。笔者考虑在以后的计算中使用更快更精确的六阶龙格—库塔法求解二阶微分方程。 致 谢
在毕业论文写作过程中，周效信老师和李鹏程老师给予了我很大的帮助，他们严谨求实的科研精神以及对学生认真负责的态度深深地感染了我，使得我在这次毕业论文写作过程中，无论是在知识层面，还是在做事态度方面都受益匪浅。在这里我真诚地感谢两位老师，也一并感谢在论文写作过程中给我提供帮助的王永熙同学和其他同学。 参考文献
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