平面直角坐标系内的三角形面积解法初探
【摘 要】已知三角形三个顶点的坐标求三角形的面积，在浙教版初中教材中并没有专题研究，但是，处理坐标系中的三角形面积问题是一类比较常见的问题.为此，本文根据三角形的三边与坐标轴的位置关系，将其分为两大类型，并用实例对其求法进行了初探。
【关键词】 平面直角坐标系；三角形面积；转化；直三角形；斜三角形
一、问题的提出
近年来，函数作为探索具体问题中的数量关系与变化规律的工具，其重要性不言而喻。而为表示函数图像而建立的直角坐标系中的一些问题又成为大小题目的一大亮点。尤其直角坐标系中的三角形面积问题，它可以有效地与各个综合性的大题交织在一起。本文旨在帮助学生由简入繁，掌握简单的一般方法，重点在于讨论三角形的三边在几种不同情况下的三角形面积的求法，从而打下解决综合性大题的坚实基础。为了有条理地论述该问题，笔者根据三角形的三边与坐标轴的位置关系定义了两种三角形。
二、两种三角形的定义
（1）直三角形：在平面直角坐标系中，三角形的三边中至少有一条边与x轴平行、垂直或重合，则这个三角形就称为直三角形。
（2）斜三角形：在平面直角坐标系中，三角形的三边中没有一条边与x轴平行、垂直或重合，则这个三角形就称为斜三角形。 从以上定义不难发现，这两种三角形已经涵盖了所有平面直角坐
标系中的三角形。下面就围绕这两种三角形，对其解法逐一进行探究。
三、两种三角形的面积求法
1.直三角形面积求法
情况一：有两边与x轴平行或垂直。
例1：如图1，平面直角坐标系中，△abc的顶点坐标分别为a（3，
1），（-2，1），（-2，-2），你能求出三角形abc的面积吗？ 图1 分析：因为点a与点c的纵坐标均为1，所以线段ac平行于x轴，则线段ac=3-（-2）=5；因为点c与点b的横坐标均为-2，所以线段bc平行于y轴，则线段bc=1-（-2）=3；△abc的面积不难求出：。 情况二：有一边与x轴平行或垂直。
例2：如图2，平面直角坐标系中，△abc的顶点坐标分别为a（-2，
1），b（3，1），（1，-3），求三角形abc的面积。
分析：因为点a与点b的纵坐标均为1，所以线段ab平行于x轴，则线段ab=3-（-2）=5；以线段ab为底，则ab边上的高cd=1-（-3）=4；△abc的面积不难求出：。
图2
情况三：三角形边与x轴重合情况类似于以上两种情况，这里不再赘述。
从以上三种情况可以发现：直三角形的底和高均与三角形的三个顶点直接相关而较易求得，因此较易求出三角形的面积。
2. “斜三角形”面积求法
在求斜三角形面积时，由于斜三角形的底是“斜”的，所以与之垂直的高也是“斜”的，因此斜三角形一般不易像直三角形一样直接求，而是通过转化等思想间接求出，下面通过一个实例介绍几种求法。
例： 如图3，在平面直角坐标系中，ab、cd都垂直于x轴，垂足分别为b、d且ad与b相交于e点。已知：a（-2，-6）， c（ 1 ，-3 ）。
图3
如果ab位置不变，再将dc水平向右移动k（k>0）个单位，此时ad与bc相交于e′点，如图②，求△ae′c的面积s关于k的函数解析式。
（1）面积和差方法。即将所要求的“斜三角形”面积转化为几个“直图形”（根据点的坐标可直接求面积的图形）的面积之差或面积之和。这也是最常用的处理方法。
①面积差：（如图4）
当dc水平向右平移k后，过ad与bc的交点e′作e′f⊥x轴垂足为f。
根据△abe’相似于△dce’可得：，则易得
当然，也可通过s△abc-s△abe’等方法来求，但思考角度相同，这里不再复述。
②面积和：（如图5）
根据△abe’和△dce’、△ae’h和△adc
这两对相似三角形易得：
图5
注：此处的e’h和bd又可称为△ae’c的“铅垂高”和“水平宽”，则该方法又可归纳为 ，其实质还是将“斜三角形” 面积分成若干个“直三角形”的面积之和。
（2）面积转化：（如图6）
3.面积比：（如图7）
所谓面积比方法，即将“斜三角形”的面积利用其与某个“直三角形”的面积之比转化 图6
为“直三角形”的面积问题。解法如下：
综上所述，以上方法的共同点都是将“斜三角形”的面积转化为“直三角形”的面积问题而间接求得，可见这是解决“斜三角形”面积问题的主流思路； 图7
因此，在平时遇到此类问题时，应多引导学生朝着该方向或角度去思考，一般问题都能得到解决。
另外，对于平面直角坐标系中的三角形面积问题还有一个更为一般性的方法——公式法：即已知平面直角系中的三点坐标为a 求得。但该方法通过套用公式获得三角形面积，显得较为死板，缺少了数学这门课应有的思想方法，对学生分析能力培养也是有害无益的，因此本文对该方法只是作一介绍，不作详细探究。
教无定法，学也无定法；重要的是在探究一类问题中的多种解法中，辨析它们之间的不同点和共性，从而找到这类问题的思考方向
和解题规律，最终使学生既解决了这类问题，其能力也得到一定的提升。
参考文献：
[1]陈勇.《例析平面直角坐标系中三角形面积的求法》
[2]李雪峰.《在平面直角坐标系中如何求三角形面积》
平面直角坐标系内的三角形面积解法初探
【摘 要】已知三角形三个顶点的坐标求三角形的面积，在浙教版初中教材中并没有专题研究，但是，处理坐标系中的三角形面积问题是一类比较常见的问题.为此，本文根据三角形的三边与坐标轴的位置关系，将其分为两大类型，并用实例对其求法进行了初探。
【关键词】 平面直角坐标系；三角形面积；转化；直三角形；斜三角形
一、问题的提出
近年来，函数作为探索具体问题中的数量关系与变化规律的工具，其重要性不言而喻。而为表示函数图像而建立的直角坐标系中的一些问题又成为大小题目的一大亮点。尤其直角坐标系中的三角形面积问题，它可以有效地与各个综合性的大题交织在一起。本文旨在帮助学生由简入繁，掌握简单的一般方法，重点在于讨论三角形的三边在几种不同情况下的三角形面积的求法，从而打下解决综合性大题的坚实基础。为了有条理地论述该问题，笔者根据三角形的三边与坐标轴的位置关系定义了两种三角形。
二、两种三角形的定义
（1）直三角形：在平面直角坐标系中，三角形的三边中至少有一条边与x轴平行、垂直或重合，则这个三角形就称为直三角形。
（2）斜三角形：在平面直角坐标系中，三角形的三边中没有一条边与x轴平行、垂直或重合，则这个三角形就称为斜三角形。 从以上定义不难发现，这两种三角形已经涵盖了所有平面直角坐
标系中的三角形。下面就围绕这两种三角形，对其解法逐一进行探究。
三、两种三角形的面积求法
1.直三角形面积求法
情况一：有两边与x轴平行或垂直。
例1：如图1，平面直角坐标系中，△abc的顶点坐标分别为a（3，
1），（-2，1），（-2，-2），你能求出三角形abc的面积吗？ 图1 分析：因为点a与点c的纵坐标均为1，所以线段ac平行于x轴，则线段ac=3-（-2）=5；因为点c与点b的横坐标均为-2，所以线段bc平行于y轴，则线段bc=1-（-2）=3；△abc的面积不难求出：。 情况二：有一边与x轴平行或垂直。
例2：如图2，平面直角坐标系中，△abc的顶点坐标分别为a（-2，
1），b（3，1），（1，-3），求三角形abc的面积。
分析：因为点a与点b的纵坐标均为1，所以线段ab平行于x轴，则线段ab=3-（-2）=5；以线段ab为底，则ab边上的高cd=1-（-3）=4；△abc的面积不难求出：。
图2
情况三：三角形边与x轴重合情况类似于以上两种情况，这里不再赘述。
从以上三种情况可以发现：直三角形的底和高均与三角形的三个顶点直接相关而较易求得，因此较易求出三角形的面积。
2. “斜三角形”面积求法
在求斜三角形面积时，由于斜三角形的底是“斜”的，所以与之垂直的高也是“斜”的，因此斜三角形一般不易像直三角形一样直接求，而是通过转化等思想间接求出，下面通过一个实例介绍几种求法。
例： 如图3，在平面直角坐标系中，ab、cd都垂直于x轴，垂足分别为b、d且ad与b相交于e点。已知：a（-2，-6）， c（ 1 ，-3 ）。
图3
如果ab位置不变，再将dc水平向右移动k（k>0）个单位，此时ad与bc相交于e′点，如图②，求△ae′c的面积s关于k的函数解析式。
（1）面积和差方法。即将所要求的“斜三角形”面积转化为几个“直图形”（根据点的坐标可直接求面积的图形）的面积之差或面积之和。这也是最常用的处理方法。
①面积差：（如图4）
当dc水平向右平移k后，过ad与bc的交点e′作e′f⊥x轴垂足为f。
根据△abe’相似于△dce’可得：，则易得
当然，也可通过s△abc-s△abe’等方法来求，但思考角度相同，这里不再复述。
②面积和：（如图5）
根据△abe’和△dce’、△ae’h和△adc
这两对相似三角形易得：
图5
注：此处的e’h和bd又可称为△ae’c的“铅垂高”和“水平宽”，则该方法又可归纳为 ，其实质还是将“斜三角形” 面积分成若干个“直三角形”的面积之和。
（2）面积转化：（如图6）
3.面积比：（如图7）
所谓面积比方法，即将“斜三角形”的面积利用其与某个“直三角形”的面积之比转化 图6
为“直三角形”的面积问题。解法如下：
综上所述，以上方法的共同点都是将“斜三角形”的面积转化为“直三角形”的面积问题而间接求得，可见这是解决“斜三角形”面积问题的主流思路； 图7
因此，在平时遇到此类问题时，应多引导学生朝着该方向或角度去思考，一般问题都能得到解决。
另外，对于平面直角坐标系中的三角形面积问题还有一个更为一般性的方法——公式法：即已知平面直角系中的三点坐标为a 求得。但该方法通过套用公式获得三角形面积，显得较为死板，缺少了数学这门课应有的思想方法，对学生分析能力培养也是有害无益的，因此本文对该方法只是作一介绍，不作详细探究。
教无定法，学也无定法；重要的是在探究一类问题中的多种解法中，辨析它们之间的不同点和共性，从而找到这类问题的思考方向
和解题规律，最终使学生既解决了这类问题，其能力也得到一定的提升。
参考文献：
[1]陈勇.《例析平面直角坐标系中三角形面积的求法》
[2]李雪峰.《在平面直角坐标系中如何求三角形面积》